Khung chặt chuẩn hóa hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN NGỌC TÂN KHUNG CHẶT CHUẨN HÓA HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN NGỌC TÂN KHUNG CHẶT CHUẨN HÓA HỮU HẠN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN QUỲNH NGA HÀ NỘI, 2013 i LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích trong khoa Toán và các bạn học viên. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn Quỳnh Nga đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn này. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, ban giám hiệu trường THPT Yên Lạc 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên. Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả Nguyễn Ngọc Tân ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Quỳnh Nga, luận văn thạc sỹ "Khung chặt chuẩn hóa hữu hạn" được hoàn thành không trùng với bất kỳ luận văn nào khác. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã thừa kế những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả Nguyễn Ngọc Tân iii Mục lục Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1.Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.Giá trị riêng và vết của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.Khung trong không gian Hilbert tổng quát . . . . . . . . . . . 11 1.3.Khung chặt chuẩn hóa hữu hạn trong R 2 và R 3 . . . . . 19 Chương 2.Khung chặt chuẩn hóa hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.Thiết lập bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1. Các lực trung tâm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.2. Thế năng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.3. Tập cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.4. Các tập tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.Lực khung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.Điện thế khung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.Phân loại khung chặt chuẩn hóa hữu hạn . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 iv 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Khung là một tập các véc tơ “thừa” trong không gian Hilbert mà dẫn đến biểu diễn tự nhiên cho mỗi véc tơ trong không gian nhưng có thể có vô hạn các biểu diễn khác nhau cho mỗi véc tơ đã cho. Khung đã được sử dụng trong xử lý tín hiệu vì tính hữu hiệu khi có các tiếng ồn lẫn thêm vào, cũng như tính ổn định trong việc khôi phục lại tín hiệu và có độ tự do lớn để thu những đặc trưng của tín hiệu. Gần đây nhiều ứng dụng mới của khung chặt đều đã được đưa ra. Goyal, Kovacevic và Vetterli [8] đã sử dụng tính thừa của khung để làm giảm đi những ảnh hưởng của việc mất đi thông tin trong quá trình truyền các gói dữ liệu. Tính chặt của khung đảm bảo sự hội tụ nhanh của biểu diễn khung. Khung chuẩn hóa giúp kiểm soát các thành phần của khung. Khung hữu hạn giúp tránh các vấn đề xấp xỉ xảy ra khi phải chặt bớt khung vô hạn. Do những ưu điểm nổi bật trên làm cho khung chặt chuẩn hóa hữu hạn nhận được sự quan tâm đặc biệt. Ngay cả khi không có vấn đề trong xử lý tín hiệu; lý thuyết khung chặt chuẩn hóa hữu hạn trực tiếp dẫn đến bài toán thú vị về sự phân bố đều trên mặt cầu đơn vị S d−1 trong R d và bài toán cân bằng đối với các luật thế năng khác nhau. Được thôi thúc bởi tính ứng dụng cao của khung, được sự đồng ý hướng dẫn của TS.Nguyễn Quỳnh Nga, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu “Khung chặt chuẩn hóa hữu hạn” để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan về lý thuyết khung chặt chuẩn hóa hữu hạn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất và phân loại khung chặt chuẩn hóa hữu hạn. Mô tả khung chặt chuẩn hóa hữu hạn qua điện thế khung. 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Khung chặt chuẩn hóa hữu hạn. Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến khung trong không gian Hilbert; khung chặt chuẩn hóa hữu hạn. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn Trình bày một cách tổng quan về lý thuyết khung chặt chuẩn hóa hữu hạn trong không gian Hilbert và các bài toán liên quan đến khung chặt chuẩn hóa hữu hạn. Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả Nguyễn Ngọc Tân Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Giá trị riêng và vết của toán tử Do các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận có thể được xem như là các trường hợp đặc biệt của các định nghĩa cho các toán tử tuyến tính tổng quát, chúng ta bắt đầu xem xét lại các định nghĩa của giá trị riêng, véc tơ riêng, không gian riêng của một ma trận. Các kết quả của mục này được tham khảo trong [9]. Định nghĩa 1.1. Cho A là một ma trận vuông cấp n với các phần tử thuộc không gian Ơclit F (F = R hoặc C). Một đại lượng vô hướng λ ∈ F được gọi là một giá trị riêng của A nếu tồn tại một véc tơ khác không v ∈ F n sao cho Av = λv. Bất kỳ véc tơ khác không v thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là một véc tơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng λ. Không gian riêng của A tương ứng với giá trị riêng λ được định nghĩa: E λ = {v ∈ F n : Av = λv} Khi đó E λ là một không gian con của F n . Số chiều của E λ được gọi là số bội hình học của λ. Tập hợp của tất cả các giá trị riêng của A được gọi là phổ của A, chúng ta ký hiệu σ (A). Ví dụ: nếu D = diag(λ 1 , λ 2 , , λ n ) là một ma trận đường chéo n × n thì phổ σ (D) là tập các phần tử trên đường chéo phân biệt của D. Các giá trị riêng và số bội hình học là bất biến dưới phép đồng dạng của các ma trận. Nhớ lại rằng hai ma trận cấp n ×n A và B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại một ma trận nghịch đảo S sao cho A = S −1 BS. 3 4 Mệnh đề 1.2. Cho hai ma trận đồng dạng A và B. Khi đó các mệnh đề sau là đúng: (i) σ(A) = σ(B) (ii) dim E λ (A) = dim E λ (B) Chứng minh. (i) Giả sử A = S −1 BS. Lấy λ ∈ σ(A). Khi đó tồn tại v = 0 sao cho Av = λv. Suy ra S −1 BSv = λv, do đó BSv = λSv. Chú ý Sv = 0 do S là ma trận khả nghịch. Bởi vậy λ ∈ σ(B) suy ra σ(A) ⊆ σ(B). Bởi vì tính đối xứng của tính đồng dạng, chúng ta cũng có σ(B) ⊆ σ(A) và do đó (i) được chứng minh. (ii) Theo chứng minh của (i), chúng ta có SE λ (A) = E λ (B). Bởi vậy dim E λ (A) = dim E λ (B). Định thức ma trận được sử dụng trong tính toán các giá trị riêng của một ma trận như được chứng minh bởi kết quả tiếp theo. Mệnh đề 1.3. Cho A là ma trận cấp n ×n với các phần tử thuộc F. Khi đó các giá trị riêng của A là các nghiệm trong F của đa thức det(λI −A). Đa thức det(λI − A) được gọi là đa thức đặc trưng của A. Chứng minh. Một ma trận vuông M là nghịch đảo khi và chỉ khi det(M) = 0. Nếu det(λI − A) = 0 với một số λ ∈ F thì λI − A không khả nghịch. Vì vậy tồn tại một véc tơ khác không v trong F n sao cho (λI − A)v = 0 và vì vậy Av = λv. Từ đó suy ra λ là một giá trị riêng của A. Rõ ràng chúng ta có thể làm ngược lại lập luận bên trên. Do đó nếu λ là một giá trị riêng của A thì nó là một nghiệm của đa thức det(λI −A). Bổ đề 1.4. Cho µ và λ là hai giá trị riêng phân biệt của một ma trận cấp n × n. Khi đó với bất kỳ hai véc tơ riêng x ∈ E µ và y ∈ E λ cặp {x, y} là độc lập tuyến tính. Chứng minh. Bằng phản chứng, giả sử rằng x và y là phụ thuộc tuyến tính. Điều này tương đương với x = cy với c là đại lượng vô hướng. Khi đó Ax = A(cy) = cAy = cλy = λ(cy) = λx 5 và vì vậy µx = Ax = λx suy ra (µ − λ)x = 0. Do x = 0 nên chúng ta có µ −λ = 0 mâu thuẫn với µ và λ là phân biệt. Mệnh đề 1.5. Giả sử rẳng {λ 1 , λ 2 , , λ k } là tất cả các giá trị riêng phân biệt của một ma trận A cấp n×n. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) A là đồng dạng với một ma trận chéo, tức là A là chéo hóa được. (ii) F n có một cơ sở bao gồm các véc tơ riêng của A. (iii) dim F n = dim E λ 1 + dim E λ 2 + + dim E λ k (iv) F n = E λ 1 ˙ +E λ 2 ˙ + ˙ +E λ k với ˙ + ký hiệu là tổng trực tiếp. Hơn nữa nếu A = A ∗ thì A luôn đồng dạng với một ma trận chéo. Bây giờ chúng ta định nghĩa các giá trị riêng và véc tơ riêng của một toán tử tuyến tính tổng quát. Định nghĩa 1.6. Cho T là một toán tử tuyến tính từ không gian Hilbert hữu hạn chiều H vào chính nó. Một đại lượng vô hướng λ ∈ F được gọi là một giá trị riêng của T nếu tồn tại một véc tơ khác không v ∈ H sao cho: T v = λv Véc tơ khác không v được gọi là một véc tơ riêng của T tương ứng với giá trị riêng λ. Không gian riêng của T tương ứng với giá trị riêng λ được định nghĩa E λ (T ) = {v ∈ H : T v = λv} Hơn nữa, tập hợp của tất cả các giá trị riêng của T được gọi là phổ của T. Chúng ta ký hiệu phổ của toán tử như chúng ta đã làm với ma trận là σ(T ). Bổ đề 1.7. Nếu T là một toán tử tuyến tính trên một không gian Hilbert n chiều thì T có nhiều nhất n giá trị riêng phân biệt. Mệnh đề 1.8. Cho T là một toán tử trên một không gian Hilbert hữu hạn chiều H. (i) Nếu T là unita (tức là T T ∗ = T ∗ T = I) thì mỗi giá trị riêng λ có mô đun bằng 1; tức là |λ| = 1. [...]... trưng tất cả các khung chặt chuẩn hóa hữu hạn cho không gian Kd qua một hàm thế năng mà chúng ta gọi là thế vị khung Một A- khung chặt chuẩn hóa hữu hạn trong Kd là một dãy hữu hạn {xn : n = 1, , N } ⊆ Kd với chuẩn Ơclit xn = 1, ∀xn tức là với {xn } được chuẩn hóa và ∃A > 0 sao cho 1 ∀y ∈ K , y = A N d y, xn xn (2.1) n=1 Theo định lý 1.22 nếu {xn }N là một A -khung chặt chuẩn hóa hữu hạn n=1 thì A =... cũng tạo ra khung chặt chuẩn hóa hữu hạn cho R3 Dù các ví dụ đó của các khung chặt chuẩn hóa hữu hạn trong 3 chiều là thú vị, chúng không đem lại sự thỏa mãn Trong khi các căn bậc N của đơn vị sẽ tạo ra các khung chặt chuẩn hóa hữu hạn với N tùy ý trong R2 , nhưng trong thực tế chỉ có 5 Platon dẫn chúng ta tin rằng bất kỳ sự đặc trưng tổng quát nào của các khung chặt chuẩn hóa hữu hạn sẽ không thể... các khung chặt chuẩn hóa hữu hạn như các đỉnh của các Platon và của các quả bóng đá Các khung hữu hạn mà có cả hai tính chất chặt và chuẩn hóa, sở hữu một cấu trúc quan trọng vừa mới bắt đầu được nghiên cứu Một quan sát chỉ ra rằng có một sự lựa chọn duy nhất cho hằng số khung của một khung chặt chuẩn hóa hữu hạn của N phần tử cho không gian Hilbert d chiều Định lý 2.1 Nếu {xn }N là một A -khung chặt chuẩn. .. minh Một tập hợp của các véc tơ chuẩn hóa phân biệt trong Kd được gọi là một tập tới hạn với lực trung tâm F nếu (2.2) được thỏa mãn Để đặc trưng các khung chặt chuẩn hóa hữu hạn dưới dạng các điểm cực trị của thế năng tương ứng với một lực đặc biệt, thì bất kỳ khung chặt chuẩn hóa hữu hạn phải là một tập tới hạn dưới lực đó Nhớ lại rằng với một khung chặt chuẩn hóa hữu hạn {xn } chúng ta có S = cI chúng... khung chặt chuẩn hóa hữu hạn và không là một cơ sở của R2 Vai trò của bình phương ở đây là rất quan trọng Ví dụ tầm thường của một khung 22 Hình 1.1: Nâng một khung lên số chiều cao hơn chặt chuẩn hóa hữu hạn trong R2 là một cơ sở trực chuẩn tương ứng với {1, i} Ví dụ 1.27 Theo cách tương tự, định lý 1.25 có thể được sử dụng để tìm ra một số khung chặt chuẩn hóa hữu hạn trong R3 Thật vậy bất kỳ khung. .. tìm kiếm các phân tích hình học chặt chẽ của các khung chặt chuẩn hóa hữu hạn, 24 ta nhận ra rằng các tập như căn của đơn vị và đỉnh của các Platon cũng đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu về tính phân bố đều, cuối cùng đưa chúng ta đến nghiên cứu bài toán cân bằng Chương 2 Khung chặt chuẩn hóa hữu hạn Chúng tôi sẽ trình bày lý thuyết các khung chặt chuẩn hóa hữu hạn cho không gian Ơclit thực và... hợp đơn giản nhất của các khung chặt chuẩn hóa hữu hạn cụ thể là các cơ sở trực chuẩn không được phân bố tốt bằng trực giác và vì vậy chúng ta không mong đợi đặc trưng các khung chặt chuẩn hóa hữu hạn chỉ theo sự phân bố đều Thay vào đó chúng ta tìm cách đưa ra với một khái niệm từ phân phối đều, cụ thể là trạng thái cân bằng dưới một lực và mô tả các khung chặt chuẩn hóa hữu hạn như là các tập hợp ở... với độ đo Lebesgue chuẩn hóa Khi đó eins : n ∈ Z là một cơ sở trực chuẩn tiêu chuẩn cho L2 (T ) Nếu E ⊆ T là tập đo được bất kỳ thì eins |E : n ∈ Z là một khung Parseval cho L2 (E) Một khung chặt chuẩn hóa là một khung chặt và được chuẩn hóa Các khung chặt chuẩn hóa thường được hiểu như là một sự khái quát hóa của các cơ sở trực chuẩn Thật vậy, nếu dãy {xn } là một cơ sở trực chuẩn của H thì ta có đẳng... với chặt Hơn thế nữa, trong [8] các khung chặt chuẩn hóa hữu hạn đã được chỉ ra cho khai triển tối ưu để sử dụng trong mô hình mất dữ liệu đặc biệt Chúng tôi trình bày một con đường khác mà các khung chặt chuẩn hóa hữu hạn được sử dụng một cách tự nhiên và trình bày một đặc trưng theo cách này Để xây dựng được một đặc tính chung của các khung chặt chuẩn hóa hữu hạn, trước tiên chúng ta xem xét một... của các khung chặt chuẩn hóa hữu hạn trong không gian R1 là tầm thường, chúng tôi tập trung vào các so sánh trực quan giữa một số ví dụ trong R2 và R3 Ví dụ 1.26 Định lý 1.24 đã cung cấp một phương tiện tính toán đơn giản để tìm ra các khung chặt chuẩn hóa hữu hạn trong R2 Cụ thể đối với N > 2, N véc tơ trong R2 được đồng nhất với các căn bậc N của đơn vị là một khung chặt chuẩn hóa hữu hạn Để chứng . về lý thuyết khung chặt chuẩn hóa hữu hạn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất và phân loại khung chặt chuẩn hóa hữu hạn. Mô tả khung chặt chuẩn hóa hữu hạn qua điện thế khung. 2 4. Đối. vô hạn. Do những ưu điểm nổi bật trên làm cho khung chặt chuẩn hóa hữu hạn nhận được sự quan tâm đặc biệt. Ngay cả khi không có vấn đề trong xử lý tín hiệu; lý thuyết khung chặt chuẩn hóa hữu hạn. tượng nghiên cứu: Khung chặt chuẩn hóa hữu hạn. Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến khung trong không gian Hilbert; khung chặt chuẩn hóa hữu hạn. 5. Phương