Ứng dụng ANSYS trong cơ học phá hủy, biến dạng lớn

Ứng dụng ANSYS trong cơ học phá hủy, biến dạng lớn

1. Phương pháp phần tử hữu hạn trong bài toán biến dạng lớn 1.1 Mô tả biến dạng lớn trong phần tử hữu hạn Ma trận phần tử các vectơ tải trọng dẫn xuất từ phương trình Lagrange cải tiến có dạng: [ ] }{}{ nr i app i i FFuK −=∆ (1) Ma trận độ cứng tổng (tangent matrix) [ ] i K được tính bằng: [ ] [ ] [ ] ii i SKK += (2) [ ] i K : ma trận độ cứng đã biết trong phần tử hữu hạn: [ ] [ ] [ ][ ] ∫ = )V(dBDBK ii T ii (3) [S i ]: ma trận độ cứng hình học (geometric stiffness) được tính bằng: [ ] [ ] [ ][ ] ∫ τ= )V(dGGS ii T ii (4) {F app }: véctơ tải trọng tác dụng. [ ] nr i F : Véctơ lực phục hồi Newton-Raphson (Newton-Raphson restoring force) được tính bằng: [ ] [ ] [ ] ∫ σ= )V(dBF i T i nr i (5) [G i ] là ma trận hàm dạng và [τ i ] là ma trận ứng suất Cauchy trong hệ tọa độ tổng thể. 1.2 Mô tả bài toán góc xoay lớn trong phần tử hữu hạn Quan hệ ma trận hình học trong bài toán góc xoay lớn với ma trận hình học trong bài toán góc xoay nhỏ được tính theo công thức [ ] [ ][ ] nvn TBB = (6) [ ] v B : ma trận hình học trong bài toán góc xoay nhỏ (ma trận hình học quen thuộc trong lý thuyết phương pháp phần tử hữu hạn). [ ] n T : ma trận truyền. Như vậy, trong bài toán góc xoay lớn, ma trận độ cứng phần tử có dạng: [ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] )vol(dTBDBTK nv vol T v T ne ∫ = (7) Còn véctơ lực phục hồi Newton-Raphson sẽ có dạng: 1 [ ] [ ] [ ] [ ] { } )(voldDBTF el n vol T v T n nr e ε ∫ = (8) Trong đó biến dạng được tính bằng : { } [ ] { } d nV el n uB= ε (9) { } d n u : véctơ biến dạng phần tử. 1.3. Tính toán biến dạng của phần tử Trong bài toán biến dạng lớn (có kể đến biến dạng xoay), trường chuyển vị là sự kết hợp giữa sự dịch chuyển của vật rắn tuyệt đối, sự quay của vật rắn tuyệt đối và phần biến dạng của vật rắn biến dạng: { } { } { } dr uuu += (10) Trong đó: { } r u : chuyển vị của vật rắn tuyệt đối { } d u : chuyển vị biến dạng, bao gồm cả sự dich chuyển và sự xoay, được tính theo biểu thức: { } [ ] { } { }( ) { } vvn d t xuxRu −+= (11) Trong đó: { } d t u : các thành chuyển vị [ ] n R : ma trận xoay { } v x : Hệ tọa độ phần tử trong hệ tọa độ tổng thể. { } u : véctơ chuyển vị nút trong hệ tọa độ tổng thể. Các thành phần góc quay được phân thành góc quay của nút và góc quay của phần tử { } u và { } r u . [ ] [ ][ ] T nnd TRT = (12) 2 2. Mô hình vật liệu Trong các bài toán biến dạng lớn, ứng xử vật liệu được mô tả bằng: phương trình trạng thái (equation of state - EOS), mô hình bền (strength material model), mô hình phá hủy (failure model). Có nhiều mô hình vật liệu tương ứng cho một hay một số loại vật liệu tùy thuộc vào bản chất cơ lý tính của vật liệu đó, hơn nữa với cùng một loại vật liệu có thể có nhiều mô hình mô tả, dưới đây là một mô hình phổ biến thường dùng của vật liệu: Bảng 1.Một số mô hình thường dùng của vật liệu. Equation Of State (EOS) Material Strength Failure models Linear form Elastic Model Directional Failure Models Mie-Gruneisen form Von Mises Model Johnson-Cook Fracture Model Polynomial form Johnson-Cook Model Grady Spall Model Tillotson form Steinberg-Guinan Model Tsai - Hoffman - Hill Model For Porous Materials: Porous; Compaction; P-alpha forms. MO Granular Model Stochastic Failure Rigid RHT Concrete Model Cumulative Damage Model Shock Hyperelastic Johnson Holmquist …. …. …. Trong đề tài này, nhóm tác giả sử dụng một số mô hình vật liệu tương ứng với các vật liệu liệt kê trong bảng dưới đây: 3 Bảng 2: Mô hình vật liệu dùng trong đề tài nghiên cứu Vật liệu Equation Of State Material Strength Failure model Thép Linear Johnson Cook Johnson Cook Gốm (Ceramic) Linear Drucker- Prager Cumulative Damage Kevlar-epoxy orthotropic elastic Material stress/strain Chì Shock Steinberg- Guinan None Đồng Shock Johnson Cook none Bê tông P-alpha and Polynomial RHT RHT 2.1 Phương trình trạng thái (Equation Of State- EOS) 2.1.1 Phương trình trạng thái dạng tuyến tính (Linear) Ứng xử đàn hồi được mô tả bằng định luật Hook theo phương trình: µ Kp = (13) Trong đó µ = (ρ/ρ 0 ) − ; K : môđun khối của vật liệu 2.1.2 Mô hình Orthotropic Elastic Mô tả mối liên hệ gữa ứng suất và tốc độ biến dạng theo bước lặp thời biểu diễn theo biểu thức: [ ] [ ] [ ][ ] tS nn ∆+= + εσσ  1 (14) Trong đó [S]: ma trận độ cứng [ ] ε  : véc tơ tốc độ biến dạng Δt: bước thời gian Đảo của ma trận [S] trong bài toán 2D có dạng: 4 [ ]             −− −− −− = − 21 3223331 2232112 3311121 1 2/1000 0/1// 0//1/ 0///1 G EEE EEE EEE S υυ υυ υυ (15) Thứ tự lần lượt các véctơ tốc độ biến dạng và ứng suất sẽ là: [ ]             = 12 33 22 11 ε ε ε ε ε      ; [ ]             = 12 33 22 11 σ σ σ σ σ (16) Trong đó : E i : Mô đun đàn hồi theo trục chính thứ i ν ij : Các hệ số poát xông theo các phương trục G 12 : mô đun cắt Hệ số poatxong được tính bằng i j ij ε ε υ −=         = j i jiij E E υυ (17) Các hằng số vật liệu E 1 , E 2 , E 3 , và G 12 là các số dương, đồng thời 1 − ν 12 ν 21 − ν 31 ν 13 − ν 23 ν 32 − 2ν 21 ν 32 ν 13 > 0 (18) Và đảm bảo yêu cầu ( ) 2/1 1221 / EE< υ ; ( ) 2/1 2332 / EE< υ ; ( ) 2/1 2113 / EE< υ (19) 2.1.3 Mô hình trạng thái va chạm ( Shock EOS) Trong bài toán động học, các đại lượng vận tốc vật u p và vận tốc va chạm U được mô tả bằng : p sucU += 0 (20) Dựa vào đó Mie-Gruneisen thiết lập phương trình: )( HH eepp −Γ+= ρ (21) Trong đó 00 ρρ Γ=Γ = constant và 5 [ ] 2 2 00 )1(1 )1( µ µµρ −− + = s c p H (22) )1(2 0 µρ µ + = H H p e (23) Chú ý rằng nếu s > 1 biểu thức này cho giá trị giới hạn áp suất nén như là áp suất tới hạn. Nếu 1 - (s - 1) µ = 0 giá trị áp suất là không xác định. Giá trị lớn nhất của khối lượng riêng sẽ là: ρ = s ρ 0 (s - 1). Dẫu sao, việc giả thiết Γρ là hằng số là không chính xác. Để giải quyết vấn đề này, trong phần mềm mô phỏng số biến dạng lớn, định nghĩa 2 hàm quan hệ vận tốc : vận tốc và vận tốc va chạm (va chạm lớn: shock) thể hiện như hình dưới. Một đường cho va chạm cường độ thấp định nghĩa bởi v > VB và đường còn lại cho va chạm cường độ cao v < VE. Vùng đệm giữa VE và VB thể hiện bằng đường cong nội suy giữa 2 đường tuyến tính đã cho. Hình1 : Mối liên hệ vận tốc vật và vận tốc va chạm lớn (Shock Velocity) C 1 , C 2 , S 1 , S 2 , VE/V 0 , VB/V 0 , Γ 0 và ρ 0 là các đại lượng không đổi: P uscU 111 += 6 P uscU 222 += U = U 1 nếu v ≥ VB; U = U 2 nếu v ≤ VE (24) VBVE VBvUU UU − −− += ))(( 12 1 nếu VE < v < VB (25) Mô hình dạng này được dùng phổ biến cho nhiều loại vật liệu. Ngoài ra còn có mô hình có dạng bậc cao : 2 210 PP uSuSCU ++= nhưng không nhiều. 2.1.4 Mô hình P-alpha và dạng đa thức ( Polynomial) Thường dùng cho vật liệu dạng hạt, có độ xốp ban đầu. Ứng xử vật liệu rắn (không còn độ xốp) được mô tả bằng đa thức mô tả ở phương trình 26, các A i và B i là các hằng số. Còn khi vật liệu có độ xốp thì ứng xử vật liệu được mô tả bằng phương trình 27 (xem hình 2). Về thực chất thì khi vật liệu là rắn (độ xốp α = 1 ) áp lực p = P lock (ở phương trình 27). P crush ở phương trình 27 là áp suất gây nứt bê tông. eBBAAAP 010 3 3 2 21 )( ρµµµµ ++++= với 1 0 −= ρ ρ µ (26) ),(),( efPefP porous ραρ = →= với n crushlock lock init PP PP       − − −+= )1(1 αα (27) 7 Hình 2: Mô hình P-alpha 2.2 Mô hình độ bền vật liệu (Material Strength) 2.2.1 Mô hình Johnson and Cook Với mô hình này, ứng suất chảy của vật liệu thay đổi phụ thuộc vào biến dạng, tốc độ biến dạng và nhiệt độ. Giá trị này được tính bằng [ ][ ] [ ] m Hp n p TCBAY −++= 1ln1 * εε (28) Trong đó ε p = biến dạng dẻo ε p * = Tốc độ biến dạng dẻo T H = Nhiệt độ tương đương: T H = (T - T room ) / (T melt - T room ) (29) T room : Nhiệt độ phòng T melt : Nhiệt độ nóng chảy A, B, C, n và m là các hằng số của vật liệu 8 Hình 3: Mô hình Johnson and Cook 2.2.2 Mô hình Drucker-Prager Model Mô hình này sử dụng để mô tả ứng xử của các vật liệu như: đất cứng khô, sỏi đá, bê tông và các loại gốm (ceramics) Với 3 mô hình được dùng khá phổ biến: 2.2.2.1 Mô hình tuyến tính Ứng suất chảy là hàm tuyến tính với áp suất Hình 4: Mô hình Drucker-Prager dạng tuyến tính 2.2.2.2 Mô hình dạng rời rạc Ở mô hình này, giá trị ứng suất chảy và giá trị áp lực tạo thành các điểm rời rạc như ở hình vẽ dưới đây : Hình 5: Mô hình Drucker-Prager dạng đường cong rời rạc Ứng suất chảy là hàm tuyến tính rời rạc đối với ứng suất. thông thường số các điểm rời rạc thường là 10 điểm, thể hiện bằng các điểm tròn trên đồ thị, các giá trị này thường xác định bằng thực nghiệm 9 Trong bài toán kéo (áp lực dương), vật liệu dạng này thường có độ bền kéo thấp, đồ thị thể hiện rõ điều này, khi áp lực p tăng đến một giá trị tới hạn (về giá trị tuyệt đối) thì ứng suất giảm dần về 0. 2.2.2.3 Mô hình liên tục phi tuyến (stassi) Hình 6: hình Drucker-Prager dạng liên tục phi tuyến Hàm ứng suất Y(p) có dạng: [ ] pkkY Y J Y )1(3 3 0 0 2 −+= (30) Trong đó J 2Y : đại lượng bất biến thứ 2 của tenxơ ứng suất lệch Y 0 k : hệ số liên hệ giữa giới hạn ứng suất chảy khi nén và khi kéo p : áp lực 2.2.3 Mô hình Steinberg-Guinan Với mô hình này, ứng suất chảy thay đổi phụ thuộc vào biến dạng, tốc độ biến dạng và nhiệt độ Dưới đây là các hàm mô đun cắt và ứng suất chảy phụ thuộc vào tốc độ biến dạng lớn: 10 [...]... mô tả quá trình phá hủy của vật liệu thông qua việc tính toán hệ số phá hủy (damage factor) thường có liên hệ đến lượng biến dạng của vật thể Hệ số này cho biết sự giảm sút về môđun đàn hồi cũng như ứng suất chảy trong quá trình phá hủy Thông thường, đối với việc mô tả sự phá hủy vật liệu thông qua tham số D, D = 0 nếu là biến dạng dẻo khi mà giá trị biến dạng dẻo nhỏ hơn giá trị EPS1 trong đồ thị dưới... BQ.P * với 0.51 ≤ Q 2 ≤ 1 và BQ = 0.0105 (38) Sự phá hủy của vật liệu gia tăng khi mà điểm tính ứng suất vượt qua mặt phá hủy được mô tả theo phương trình 39 và 40 Trong đó biến dạng dẻo ∆εp được so sánh với biến dạng phá hủy εpfailure với giá trị áp lực cho bởi phương trình 40 và hai hằng số vật liệu D1 và D2 Tại giá trị áp lực nhỏ nhất có thể gây biến dạng nhỏ nhất được định nghĩa bằng Ef,min D=∑ ∆ε... 300)(1 + βε ) n  η G    0  Với giả thiết: Y0 [1 + βε]n ≤ Ymax (32) (33) Trong đó ε = biến dạng dẻo T = nhiệt độ (K) η = độ nén = v0 / v 2.2.4 Mô hình RHT Mô hình được dùng mô tả ứng xử bền và phá hủy của vật liệu dạng hạt có độ xốp (bê tong, gốm…) Ứng suất phá hủy là tích số của hàm độ bền nén Y *TXC(P) với hàm tốc độ biến dạng và hàm số tỷ lệ R3(θ) như mô tả dưới đây:   Y fail ( P,θ , ε ) = Y... Ứng suất chảy là hàm của hệ số phá hủy tích lũy b) Môđun chính và mô đun cắt không bị ảnh hưởng trong bài tóan nén trong khí ở trạng thái chịu kéo các giá trị này về 0 khi kết thúc quá trình phá hủy Trong bài toán kéo, các giá trị này giảm theo hệ số (1 - D/Dmax) như mô tả bằng đồ thị dưới đây 14 Hình 10: Mô đun khối và môđun cắt là hàm của hệ số phá hủy tích lũy 15 2.3.2 Mô hình phá hủy ứng suất /biến. .. hủy ứng suất /biến dạng (Material stress/strain) Theo mô hình này, tại một điểm nào đó, nếu ứng suất hay biến dạng đạt đến các giá trị giới hạn thì: • Nguyên tắc ứng suất vật liệu theo hướng phá hủy thiết lập về 0 • Mô đun cắt G thiết lập về 0 • Ứng suất cắt σ12 thiết lập về 0 • Ứng suất trung bình được tính toán lại sử dụng biểu thức sau: p = -(σ11 + σ22 + σ33) / 3 (46) 2.3.3 Mô hình phá hủy Johnson... khai thác được như: ứng suất, biến dạng, phá hủy, vận tốc, tiếng ồn… Ở đây nhóm tác giả đưa ra các ba kết quả chính đó là ứng suất tương đương (Von mises), quá trình phá hủy và vận tốc còn lại đầu đạn Các giá trị trên được nghiên cứu theo yếu tố thời gian thực cho hai cấu hình tấm giáp Các kết quả số được mô tả bằng các hình vẽ dưới đây 3.1 Cấu hình tấm giáp Ceramic/Kevlar-epoxy 3.1.1 Ứng suất von-mise... hình phá hủy Johnson and cook Quy luật sự phá hủy được mô tả theo biểu thức dưới đây D=∑ ∆ε εf (47)  ε f = [ D1 + D2 e D σ * ][1 + D4 ln(ε * )][1 + D5T * ] 3 Thành phần phụ thuộc áp suất Thành phần phụ thuộc tốc độ biến dạng (48) Thành phần phụ thuộc nhiệt độ ∆ε lượng gia tăng biến dạng dẻo tương ứng với lượng gia tăng tải trọng ε f , σ * là giá trị trung bình ứng suất, Các tham số D1,D2,D3,D4 và D5... bền phá hủy, A và N là các hằng số vật liệu xác định băng thực nghiệm * YTXC (P) = [ ] N YTXC (P) * = A P* − (PspallFrate ) fc (35)  Hệ số tốc độ biến dạng Frate (ε) được tính theo biểu thức dưới  ε α  Khi -6 -1    P > fc/3, với ε = 30x10 s    ε 0   FRATE (ε ) =  δ -6 -1   Khi  ε  P < fc/3, với ε = 3x10 s  ε      0  11 (36) θ: góc xoay trục thủy tĩnh trên bề mặt phá hủy,. .. tấm giáp hai lớp tương ứng hai cấu hình: ceramic/Kevlar-epoxy và thép/ Kevlar-epoxy Vận tốc đầu đạn đạt vận tốc lớn nhất là 815m/s Tấm có kích thước bao 60 x 30 (mm) Cấu hình mỗi lớp được mô tả trong bảng sau: Bảng 1: Cấu hình áo giáp STT Cấu hình Chiều dày các lớp (h1/h2) mm 1 Ceramic/Kevlar-epoxy 10/7 2 Thép/ Kevlar-epoxy 3/15 Đầu đạn sử dụng trong mô hình bài toán là đầu đạn sử dụng cho súng AK-47,... tấm với cấu hình tương ứng cho trong bảng 1 Hình vẽ dưới đây mô tả mô hình phần tử hữu hạn của bài toán 22 Hình 12: Cấu hình Thép/ Kevlar-epoxy Hình13: Cấu hình Ceramic/Kevlar-epoxy Sử dụng kiểu chia lưới Lagrange cho cả hai đối tượng áo giáp và viên đạn Vận tốc viên đạn sử dụng trong bài toán lần lượt lấy các giá trị: 400m/s; 600m/s; 700 m/s; 815 m/s cho cả hai mô hình tương ứng với các trường hợp . Phương pháp phần tử hữu hạn trong bài toán biến dạng lớn 1.1 Mô tả biến dạng lớn trong phần tử hữu hạn Ma trận phần tử các vectơ tải trọng dẫn xuất từ phương trình Lagrange cải tiến có dạng: . (38) Sự phá hủy của vật liệu gia tăng khi mà điểm tính ứng suất vượt qua mặt phá hủy được mô tả theo phương trình 39 và 40. Trong đó biến dạng dẻo ∆ε p được so sánh với biến dạng phá hủy ε p failure . } d nV el n uB= ε (9) { } d n u : véctơ biến dạng phần tử. 1.3. Tính toán biến dạng của phần tử Trong bài toán biến dạng lớn (có kể đến biến dạng xoay), trường chuyển vị là sự kết hợp giữa sự dịch chuyển