ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]... Cho tam giác ABC, chứng minh các đẳng thức sau: a sinA=sin .cosB C+sin .cosC B b tanA+tanB+tanC=tan.. tan A B C Nhận xét:
Trang 1LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN
[Link tham gia khóa học: Khóa LTĐH môn Toán 2015]
MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:
Ví dụ 1: [ĐVH] Rút gọn các biểu thức sau:
B x x x
2 sin 2550 cos 188 1
tan 368 2 cos 638 cos 98
+
Lời giải:
2
sin π cos( π).cot π cos ( cos ).( tan ) sin cos
7 tan 368 2 cos 638 cos 98 tan 360 8
2
c C
c
0
tan 8 2 sin 8 sin 8 tan 8 sin 8 tan 8
−
Ví dụ 2: [ĐVH] Chứng minh các đẳng thức sau
a) sin 11π sin 21π sin 9π sin 29π 2cos 2π
2 0
cos 25 2
=
tan105 +tan 285 −tan −435 −tan −75 =0
Lời giải:
a) sin 11π sin 21π sin 9π sin 29π
01 ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 29π 21π 9π 21π 9π 9π π 2π
sin(360 180 25 ).cos( 360 90 25 ) cot(180 42 ).cot(360 48 )
cot(360 55).cot( 360 90 55) tan(180 17) tan(90 17)
sin 25 ( sin 25 ) cot 42 cot(90 42 ) sin 25 1 cos 25
+
0
2
tan105 tan 285 tan 435 tan 75
( )
tan(180 75 ) tan(360 75 ) tan( 360 75 ) tan 75
tan 75 tan 75 tan 75 tan 75 0
Ví dụ 3: [ĐVH] Tính giá trị các biểu thức sau
a) tan π
4
A x
, với
x= − < <x
b) Cho a, b là các góc nhọn thỏa mãn: sin 8 , tan 5
a= b= Tính: sin(a b− ), cos(a b+ ), tan(a b− )
Lời giải:
x= − ⇔ x= − x= − = ⇒ x= ±
x
x
Từ đó ta được
40 π
1 tan tan
x
x
−
−
b) Ta có:
sin a 8 cos a 15
Do a là góc nhọn cos 0 cos 15 tan 8
tan 5 sin 5 cos
b= ⇔ b= b
Từ đó ta có
5
12
12 cos
13
b
b
⇔
Do b là góc nhọn nên
5 sin
13 sin 0; cos 0
12 cos
13
b
b
=
> > →
• sin( ) sin cos cos sin 8 12 15 5 21
17 13 17 13 221
a b− = a b− a b= − =
• cos( ) cos cos sin sin 15 12 8 5 140
17 13 17 13 221
a b+ = a b− a b= − =
Trang 3•
tan( )
15 12
a b
a b
a b
−
−
Ví dụ 4: [ĐVH] Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a) cos2 cos2 π cos2 π
A x x x
b)
B
Lời giải:
a) Cách 1 :
Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc:
x
+
Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.
b) Ta có
B
x x
Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x
Ví dụ 5: [ĐVH] Chứng minh các đẳng thức sau
2 2
cos cos
a b a b
a b
b) sin4 cos4 1cos 4 3
x+ x= x+
c) 6 2 cos 4 cot2 tan2
1 cos 4
x
x
−
Lời giải:
a)
−
(sin cos sin cos )(sin cos sin cos ) sin( ) sin( )
a b b a a b b a a b a b
x+ x= x+ x − x x = − x= − − x = + x
c)
+
Trang 4( )2 2
2 2
sin 2
x
x
−
Ví dụ 6: [ĐVH] Cho tam giác ABC, chứng minh các đẳng thức sau:
a) sinA=sin cosB C+sin cosC B
b) tanA+tanB+tanC=tan tan tanA B C
Lời giải:
a) sinBcosC+cosBsinC =sin(B C+ )=sin(π−A)=sinA→đpcm
b) tan tan tan sin sin sin
sin cos cos sin cos cos sin cos cos
cos cos cos cos (sin cos sin cos ) sin cos cos
cos cos cos
sin (cos cos cos )
cos cos
A B C
A B C
A
=
=
−
tan tan tan
A B C
Nhận xét:
Cách giải trên là cách giải tương đối cổ điển, dựa vào phép biến đổi sơ cấp Ngoài ra chúng ta có thể thực hiện phép biến đổi theo hương khác nhanh gọn hơn như sau
( ) ( ) tanA tan
1 tan A tan
B
B
+
− tanA tanB tanC tan tan tanA B C tanA tanB tanC tan tan tanA B C dpcm
BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Rút gọn các biểu thức sau:
Bài 2: [ĐVH] Rút gọn các biểu thức sau:
a) cos 3π sin 3π cos 7π cos 7π
Bài 3: [ĐVH] Rút gọn các biểu thức sau:
A x x x x
B= − −x x− + x+ + − +x −x
Bài 4: [ĐVH] Rút gọn các biểu thức sau:
Trang 5=
A
Bài 5: [ĐVH] Cho 4 4 98
81
x+ x= Tính giá trị biểu thức A=2 sin4x+3cos4x
Bài 6: [ĐVH] Chứng minh các đẳng thức sau:
cos 20 sin 70
1 sin 160 cos 340 tan 250
−
2 2
sin cos
x x
Bài 7: [ĐVH] Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
1
−
b)
c)
Bài 8: [ĐVH] Chứng minh các đẳng thức sau
b) sin (1 cos 2 )x + x =sin 2 cosx x
x
2 cos
x
x x
+ =
Bài 9: [ĐVH] Rút gọn các biểu thức sau
A x x x x
C x x x x
D x x x
Bài 10: [ĐVH] Rút gọn các biểu thức sau
2 π
1 sin 2 sin
4 cos
2
x x
E
x
cos sin sin cos sin 2 cos 2
F
x x
−
=
sin 4 cos 2
(1 cos 4 )(1 cos 2 )
x x G
=
H
−
=
Bài 11: [ĐVH] Rút gọn các biểu thức sau
2 2(sin 2 2 cos 1)
cos sin cos 3 sin 3
I
=
J
sin sin 3 sin 5 sin 7
cos cos 3 cos 5 cos 7
K
=
cos , 0
Bài 12: [ĐVH] Chứng minh các đẳng thức sau
Trang 6a)
tan 2 tan
tan tan 3
1 tan 2 tan
a a
a a
Bài 13: [ĐVH] Chứng minh các đẳng thức sau
2 2
cos sin
1 tan cot
a b a b
a b
a b
= −
2 2
1 tan tan cos cos
a b a b
a b
a b
Bài 14: [ĐVH] Chứng minh các đẳng thức sau
a) 4 cos4 2 cos 2 1cos 4 3
4
x
x x− x x=
Bài 15: [ĐVH] Cho x a với a b
+
Bài 16: [ĐVH] Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
π
1 cos
π
sin 2
+
x x
x
+
x x
x
Bài 17: [ĐVH] Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cos cot π
tan tan 3
−
=
−
Bài 18: [ĐVH] Chứng minh các đẳng thức sau:
sin cos cos sin sin 4
4
b) sin6 cos6 1cos (sin2 4)
2x− 2x = 4 x x−
c)
2
2
1 sin
1
x
Bài 19: [ĐVH] Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cotx−tanx−2 tan 2x = 4 cot 4x b) x x
2
Bài 20: [ĐVH] Chứng minh các đẳng thức sau:
c)
2 6
tan 4
cos 4 sin 2 cos 2
−
+
x
Bài 21: [ĐVH] Chứng minh các đẳng thức sau:
e) tan 6x−tan 4x−tan 2x = tan 2 tan 4 tan 6x x x
f) sin 7 1 2 cos 2 2 cos 4 2 cos 6
x
g) cos 5 cos 3x x+sin 7 sinx x=cos 2 cos 4x x