bộ 50 đề thi thử thpt quốc gia môn toán có đáp án đặng thành nam

Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Mơn%Tốn%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%% Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%–%Thầy:%Đặng%Thành%Nam% Mơn:%Tốn;%ĐỀ%SỐ%01/50% Thời%gian%làm%bài:%180%phút,%khơng%kể%thời%gian%giao%đề% % Liên%hệ%đăng%ký%khố%học%–%Hotline:%0976%266%202%% 2x −1 (1) % Câu%1(4,0%điểm)%Cho%hàm%số% y = x −1 Khảo%sát%sự%biến%thiên%và%vẽ%đồ%thị%hàm%số%(1).% Cho%hai%điểm%A(1;2)%và%B(5;2).%Viết%phương%trình%tiếp%tuyến%của%(1)%cách%đều%A,B.% Tìm%điểm%M%thuộc%(1)%có%tổng%khoảng%cách%đến%2%trục%toạ%độ%đạt%giá%trị%nhỏ%nhất.% Câu%2(4,0%điểm)%Giải%các%phương%trình%% tan x(1− cos x ) = −1 % cos x + ln(x +1) + x − 2x + x − = %%% Câu%3(1,5%điểm)%Gọi%S%là%hình%phẳng%giới%hạn%bởi%các%đường% y = x −3x +1; y = −4x + %Tính% thể%tích%khối%trịn%xoay%khi%quay%S%quanh%trục%hồnh.%% Câu%4(1,5%điểm)%Gọi% z1 , z %là%hai%nghiệm%của%phương%trình% (1+ i)z − 2iz − 21+ i = %Tính% A = z12 − z %%% Câu%5(1,0%điểm)%Một%trị%chơi%quay%số%trúng%thưởng%với%mâm%quay%là%một%đĩa%trịn%được%chia% đều%thành%10%ơ%và%được%đánh%số%tương%ứng%từ%1%đến%10.%%Người%chơi%tham%gia%bằng%cách%quay% liên%tiếp%mâm%quay%2%lần,%khi%mâm%quay%dừng%kim%quay%chỉ%tương%ứng%với%ơ%đã%được%đánh% số.%Người%chơi%trúng%thưởng%nếu%tổng%của%hai%số%kim%quay%chỉ%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số% chia%hết%cho%3.%Tính%xác%suất%để%người%chơi%trúng%thưởng.%% Câu% 6(1,5% điểm)% Cho% hình% lăng% trụ% ABC.A’B’C’% có% đáy% ABC% là% tam% giác% vng% cân% tại% A,% BC = 2a %Hình%chiếu%vng%góc%của%A’%lên%mặt%phẳng%(ABC)%là%trung%điểm%cạnh%AB,%góc%giữa% đường% thẳng% A’C% và% mặt% đáy% bằng% 600.% Tính% thể% tích% khối% lăng% trụ% ABC.A’B’C’% và% khoảng% cách%từ%điểm%B%đến%mặt%phẳng%(ACC’A’).% Câu%7(3,5%điểm)%% Trong% khơng% gian% với% hệ% toạ% độ% Oxyz% cho% điểm% A(1;0;Ç1)% và% mặt% phẳng% (P ) : 2x + 2y − z −12 = % Viết% phương% trình% đường% thẳng% d% đi% qua% A% vng% góc% với% (P).% Tìm%toạ%độ%hình%chiếu%vng%góc%của%A%trên%(P).%% Trong%mặt%phẳng%với%trục%toạ%độ%Oxy%cho%hình%chữ%nhật%ABCD%có%đỉnh%A(Ç4;8).%Gọi%M%là% điểm%thuộc%tia%BC%thoả%mãn% CM = 2BC ,%N%là%hình%chiếu%vng%góc%của%B%trên%DM.%Tìm% toạ%độ%điểm%B,%biết% N (83/13;−1/13) và%đỉnh%C%thuộc%đường%thẳng% 2x + y + = %%% ⎧4x − xy − x = (x + y − 4)( x + y −1) ⎪ (x, y ∈ !) % Câu%8(1,5%điểm)%Giải%hệ%phương%trình ⎪ ⎨ ⎪(x − y)(x −1)( y −1)(xy + x + y) = ⎪ ⎩ Câu%9(1,5%điểm)%Cho%a,b,c%là%các%số%thực%không%âm%thoả%mãn% a ≥ 7.max {b,c };a + b + c =1 % Tìm%giá%trị%nhỏ%nhất%của%biểu%thức% P = a(b − c)5 + b(c −a)5 + c(a −b)5 % % kkkHẾTkkk% ĐÁP%ÁN%–%THANG%ĐIỂM%–%BÌNH%LUẬN%ĐỀ%01/50% Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%1/9% Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Mơn%Tốn%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%% Thang%điểm%tương%ứng:%% % Câu%1:%1.1(2,0%điểm);%1.2%và%1.3%mỗi%ý%1,0%điểm% Câu%2:%2.1%và%2.2%mỗi%ý%2,0%điểm% Câu%7:%7.1(2,0%điểm);%7.2(1,5%điểm)% 2x −1 (1) % x −1 Khảo%sát%sự%biến%thiên%và%vẽ%đồ%thị%hàm%số%(1).% Cho%hai%điểm%A(1;2)%và%B(5;2).%Viết%phương%trình%tiếp%tuyến%của%(1)%cách%đều%A,B.% Tìm%điểm%M%thuộc%(1)%có%tổng%khoảng%cách%đến%2%trục%toạ%độ%đạt%giá%trị%nhỏ%nhất.% Học%sinh%tự%làm.% Đường%thẳng%AB%có%pt%là% y = ;%trung%điểm%của%AB%là%điểm%I(3;2).% Câu%1(4,0%điểm)%Cho%hàm%số% y = Giả%sử%tiếp%điểm% M (m; 2m −1 2m −1 ),m ≠1 Tiếp%tuyến%có%dạng:% y = − % (x − m) + m −1 m −1 (m −1) Để%d%cách%đều%A,B%có%2%trường%hợp:% +%Nếu%d//AB%khi%đó% kd = kAB ⇔ − = (vô%nghiệm).% (m −1) 2m −1 (3− m) + ⇔ m − = ⇔ m = % m −1 (m −1) Suy%ra%tiếp%tuyến%cần%tìm%là% y = −x + %%%% +%Nếu%d%đi%qua%I%khi%đó% = − Giả%sử% M (m; 2m −1 2m −1 ),m ≠1 %Khi%đó% d(M ;Ox ) = ;d(M ;Oy) = m % m −1 m −1 Ta%cần%tìm%GTNN%của%biểu%thức% P = 2m −1 + m % m −1 1 +%Nếu% m > ⇒ P > m > % 2 2m −1 +%Nếu% m < ⇒ P > >1 % m −1 2m −1 m + m −1 (2m −1)(m +1) 1 +m = = + ≥ % +%Nếu% ≤ m ≤ ⇒ P = m −1 m −1 2(m −1) 2 ⎛1 ⎞ ⎟ So%sánh%có%giá%trị%nhỏ%nhất%bằng%½.%Dấu%bằng%xảy%ra%khi% m = ⇒ M ⎜ ;0⎟ %%%%% ⎜ ⎟ ⎜2 ⎟ ⎝ ⎠ Vậy%điểm%cần%tìm%là% M (1/ 2;0) % Câu%2(4,0%điểm)%Giải%các%phương%trình%% tan x(1− cos x ) = −1 % cos x + ln(x +1) + x − 2x + x − = %%% Điều%kiện:% cos x ≠ ⇔ x ≠ π + k2π % Phương%trình%tương%đương%với: sin x(1− cos x ) 1− cos x = % cos x cos x Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%2/9% Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Mơn%Tốn%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%% ⎡ ⎢ x = k2π ⎢ ⎡ cos x =1 ⎢ ⎢ π ⎢ ⎢ % ⇔ (1− cos x )( sin x −1) = ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ x = + k2π %% ⎢ ⎢sin x = ⎢ ⎣ 3π ⎢x = + k2π ⎢⎣ π 3π + k2π,k ∈ ! %%% Vậy%nghiệm%của%phương%trình%là% x = k2π; x = + k2π; x = 4 ⎧ x >−1 ⎪ Điều%kiện:% ⎪ ⇔ x >−1+ e −4 % ⎨ ⎪ln(x +1) + > ⎪ ⎩ Phương%trình%tương%đương%với:% + ln(x +1) + x(x −1) − = % +%Nếu% x > khi%đó%VT > + ln(x +1) − > ,%pt%vô%nghiệm.% +%Nếu% x < %khi%đó%VT ≤ + ln(x +1) − < ,%pt%vơ%nghiệm.%%%% Nhận%thấy% x = %thoả%mãn.%Vậy%phương%trình%có%nghiệm%duy%nhất% x = % Chú%ý.%Có%thể%giải%bằng%pp%hàm%số.%% Câu%3(1,5%điểm)%Gọi%S%là%hình%phẳng%giới%hạn%bởi%các%đường% y = x −3x +1; y = −4x + %Tính% thể%tích%khối%trịn%xoay%khi%quay%S%quanh%trục%hồnh.%% ⎡ x = −2 Phương%trình%hồnh%độ%giao%điểm:% x −3x +1 = −4x + ⇔ x + x − = ⇔ ⎢ % ⎢ x =1 ⎣ Vì%vậy%% 1 V = π ∫ (x −3x +1) −(−4x + 3) dx = π ∫ (x −1)(x + 2)(x −7x + 4) dx 2 −2 −2 7− 33 =π ∫ %%% −(x −1)(x + 2)(x −7x + 4)dx + −2 ⎛ 7856 847 33 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ (x −1)(x + 2)(x −7x + 4)dx = ⎜ ⎜ 15 − 10 ⎟ π ∫ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 7− 33 Chú%ý.%Thể%tích%khối%trịn%xoay%sinh%ra%khi%quay%hình%phẳng%giới%hạn%bởi%đồ%thị%của%hai%hàm%số% y = f (x ); y = g(x ) và%các%đường%thẳng% x = a; x = b(a < b) được%tính%theo%cơng%thức% b % V = π ∫ f (x ) − g (x ) dx % a b Nhiều%học%sinh%mắc%sai%lầm%khi%sử%dụng%công%thức%tự%chế%V = π ∫ ( f (x ) − g(x )) dx %Các%em% a cần%chú%ý.%%%%% Câu%4(1,5%điểm)%Gọi% z1 , z %là%hai%nghiệm%của%phương%trình% (1+ i)z − 2iz − 21+ i = %Tính% A = z12 − z %%% Ta%có% Δ' = i −(1+ i)(−21+ i) = 21+ 20i = (5 + 2i) % Suy%ra% z = −3+ 2i; z = −i % Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%3/9% Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Mơn%Tốn%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%% Vì%vậy% A = (−3+ 2i) −(4 −i) = (5−12i) −(15−8i) = 10 + 4i = 29 %%%% Chú%ý.%Một%số%học%sinh%tính%tốn%sai%giá%trị%của%A%nên%bước%tính%tốn%các%em%đặc%biệt%lưu%ý.% Câu%5(1,0%điểm)%Một%trị%chơi%quay%số%trúng%thưởng%với%mâm%quay%là%một%đĩa%trịn%được%chia% đều%thành%10%ơ%và%được%đánh%số%tương%ứng%từ%1%đến%10.%%Người%chơi%tham%gia%bằng%cách%quay% liên%tiếp%mâm%quay%2%lần,%khi%mâm%quay%dừng%kim%quay%chỉ%tương%ứng%với%ơ%đã%được%đánh% số.%Người%chơi%trúng%thưởng%nếu%tổng%2%số%kim%quay%chỉ%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia% hết%cho%3.%Tính%xác%suất%để%người%chơi%trúng%thưởng.%% +%)%Số%cách%xuất%hiện%kết%quả%của%trị%chơi%là% 10.10 =100 %% +%)%Ta%tìm%số%kết%quả%để%tổng%2%số%nhận%được%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%hết%cho%3.% Trước%tiên%phân%chia%10%số%ban%đầu%thành%3%loại:%Loại%I%gồm%các%số%chia%hết%cho%3%có%3%số% (3,6,9);%loại%II%gồm%các%số%chia%3%dư%1%có%4%số%(1,4,7,10);%loại%III%gồm%các%số%chia%3%dư%2%số%có%3%số% (%2,5,8).%Vậy%có%các%khả%năng%sau:% +%Cả%2%lần%kim%quay%đều%chỉ%số%loại%I%có%3.3=9%cách.% +%Có%1%lần%quay%chỉ%số%loại%II%và%1%lần%quay%chỉ%số%loại%III%có%2!.4.3=24%cách.% Vậy%số%số%kết%quả%để%tổng%2%số%nhận%được%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%hết%cho%3%là% 9+24=33%cách.% Vậy%xác%suất%cần%tính%là% P = 33/100 = 0,33 %%% Chú%ý.%Có%thể%giải%bằng%cách%liệt%kê%số%phần%tử.%Xem%thêm%bình%luận%cuối%đề.%% Câu%6(1,5%điểm)%Cho%hình%lăng%trụ%ABC.A’B’C’%có%đáy%ABC%là%tam%giác%vng%cân%tại%A,% BC = 2a %Hình%chiếu%vng%góc%của%A’%lên%mặt%phẳng%(ABC)%là%trung%điểm%cạnh%AB,%góc%giữa% đường%thẳng%A’C%và%mặt%đáy%bằng%600.%Tính%thể%tích%khối%lăng%trụ%ABC.A’B’C’%và%khoảng% cách%từ%điểm%B%đến%mặt%phẳng%(ACC’A’).% Gọi%H%là%trung%điểm%cạnh%AB%theo%giả%thiết%ta%có% A' H ⊥ (ABC ) % Tam%giác%ABC%vuông%cân%tại%A,%suy%ra% AB = AC = a % Tam%giác%AHC%vng%có:% % HC = AC + AH = 2a + a a 10 = %% 2 ! Có%HC%là%hình%chiếu%của%A’C%trên%(ABC)%nên% A'CH = 600 % Suy%ra% A' H = HC.tan 600 = a 30 % % a 30 a 30 (a 2) = Vì%vậy%VABC A' B 'C = A' H S ABC = (đvtt).%%%% 2 Kẻ%HK%vng%góc%với%AA’%tại%K%có% AC ⊥ (ABB ' A') ⇒ AC ⊥ HK % Suy%ra% HK ⊥ (ACC ' A'),HK = d(H ;(ACC ' A')) % Ta%có% 1 2 a 30 = + = 2+ ⇒ HK = % 2 2 HK AH A' H a 15a Vì%vậy% d(B;(ACC ' A')) = BA a 30 d(H ;(ACC ' A')) = 2HK = %%%%% HA Câu%7(3,5%điểm)%% Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%4/9% Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Mơn%Tốn%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%% Trong%khơng%gian%với%hệ%toạ%độ%Oxyz%cho%điểm%A(1;0;Ç1)%và%mặt%phẳng% (P ) : 2x + 2y − z −12 = %Viết%phương%trình%đường%thẳng%d%đi%qua%A%vng%góc%với%(P).% Tìm%toạ%độ%hình%chiếu%vng%góc%của%A%trên%(P).%% Trong%mặt%phẳng%với%hệ%trục%toạ%độ%Oxy%cho%hình%chữ%nhật%ABCD%có%đỉnh%A(Ç4;8).%Gọi%M% là%điểm%thuộc%tia%BC%thoả%mãn% CM = 2BC ,%N%là%hình%chiếu%vng%góc%của%B%trên%DM.%Tìm% toạ%độ%điểm%B,%biết% N (83/13;−1/13) và%đỉnh%C%thuộc%đường%thẳng% 2x + y + = %%%%%% ! Đường%thẳng%d%vng%góc%với%(P)%nên%d%nhân%vtpt% n = (2;2;−1) %của%(P)%làm%véc%tơ%chỉ% ⎧ x =1+ 2t ⎪ ⎪ ⎪ (t ∈ !) % phương.%%Vì%vậy% d : ⎪ y = 2t ⎨ ⎪ ⎪ z = −1−t ⎪ ⎪ ⎩ Thay%x,y,z%từ%phương%trình%của%d%vào%pt%của%(P)%ta%được:% % 2(1+ 2t ) + 2.2t −(−1−t ) −12 = ⇔ 9t −9 = ⇔ t =1 % Suy%ra%toạ%độ%hình%chiếu%vng%góc%của%A%trên%(P)%là%điểm%H(3;2;Ç2).% 2.%Gọi% C (t;−2t −5) %Gọi%I%là%tâm%hình%chữ%nhật%ABCD,%suy%ra%I%là% trung%điểm%của%AC%và%BD.% ⎛ t − −2t + ⎞ ⎟ %Tam%giác%BDN%vng%tại%N%có%I%là%trung% ⎟ Do%đó% I ⎜ ; ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ BD = IB = IA % 2 2 ⎛ 83 t − ⎞ ⎛ −2t + ⎞ ⎛ ⎟ + ⎜− − ⎟ = ⎜−4 − t − ⎞ + ⎛8− −2t + ⎞ ⇔ t =1 % ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ta%có%pt:% ⎜ ⎜ 13 ⎟ ⎝ ⎟ ⎝ ⎟ ⎝ ⎟ ⎟ ⎜ 13 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎠ % điểm%BD%nên% IN = ⎛ 1⎞ ⎟ Suy%ra% I ⎜− ; ⎟;C (1;−7) % ⎜ ⎜ 2⎟ ⎟ ⎝ ⎠ !!!" !!! " Gọi%B(a;b)%ta%có% CM = 2BC = 2(1−a;−7−b) ⇒ M (3− 2a;−21− 2b) % !!! ⎛ 83−13a 1+13b ⎞ !!!! ⎛ 44 + 26a 272 + 26b ⎞ " " ⎟,MN = ⎜ ⎟ % ⎟ ⎟ Ta%có% BN = ⎜ ;− ; ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ 13 ⎜ 13 13 ⎟ 13 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Do%BN%vng%góc%với%MN%nên:% !!! !!!! " " BN MN = ⇔ (83−13a)(44 + 26a) −(1+13b)(272 + 26b) = (1) % 2 125 ⎛ 3⎞ ⎛ ⎞ 125 ⎟ ⎜ ⎟ Mặt%khác:% IB = IC = ⇔ ⎜a + ⎟ + ⎜b − ⎟ = (2) %%%%%%%% ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 2⎟ ⎝ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎠ 2 Từ%(1)%và%(2)%ta%có:% ⎡a = −4,b = −7 ⎧a + b + 3a −b = 60 ⎧2a −3b =13 ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ % % ⇔⎨ ⇔⎢ ⎨ 2 ⎪13(a + b ) −61a +137b −130 = ⎪a + b + 3a −b = 60 ⎢a = 83 ,b = − ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎢⎣ 13 13 Đối%chiếu%B%khác%N%suy%ra%B(Ç4;Ç7).%%%% ⎧ ⎪4x − xy − x = (x + y − 4)( x + y −1) Câu%8(1,5%điểm)%Giải%hệ%phương%trình ⎪ % ⎨ ⎪(x − y)(x −1)( y −1)(xy + x + y) = ⎪ ⎩ Điều%kiện:% x ≥ 0; y ≥1 % Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%5/9% Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Mơn%Tốn%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%% Phương%trình%thứ%nhất%của%hệ%tương%đương%với:% ⎡ x + x + y −1 = ( x + y −1 + x )(x + y − 4) = ⇔ ⎢⎢ % ⎢⎣ x + y = ⎧x = ⎪ +%Với% x + x + y −1 = ⇔ ⎪ (thử%lại%thấy%không%thoả%mãn).% ⎨ ⎪ y =1 ⎪ ⎩ ⎧ ⎪x + y = +%Với% x + y = %ta%có%hệ%phương%trình% ⎪ (1) % ⎨ ⎪(x − y)(x −1)( y −1)(xy + x + y) = ⎪ ⎩ % Viết%lại%pt%thứ%hai%của%hệ%dưới%dạng:% % ( y −1)x −( y −1)x + y − y − = ⇔ ( y −1)x −( y −1)(4 − y ) + y − y − = ⇔ ( y −1)x + y ( y − 2)( y +1) = ⇔ ( y −1)(4 − y )x + y ( y − 2)( y +1) = % ⇔ ( y +1)( y − 2) ⎡⎢ y ( y +1) −( y −1)( y + 2)x ⎤⎥ = ⎣ ⎦ ⎡ y = −1(l ) ⎢ ⇔ ⎢⎢ y = 2(t / m) ⇒ x = ⎢ y ( y +1) = ( y −1)( y + 2)x ⎢⎣ % Ta%xét%phương%trình:% y ( y +1) = ( y −1)( y + 2)x ⇔ y ( y +1) = ( y −1)( y + 2) − y % Mặt%khác: 1≤ y ≤ %suy%ra%:%% y = y + y − + (2− y) ≥ y + y − 2; % y +1 = y + 2y +1 = (4 − y ) + (2y + 2y −3) > − y % Suy%ra%VT >VP Tức%phương%trình%trên%vơ%nghiệm.%%% Vậy%hệ%phương%trình%có%nghiệm%duy%nhất% (x; y) = (0;2) %% Chú%ý.%Ta%có%thể%giải%(1)%bằng%2%cách%khác%sau:% Cách%2:%Khi%đó%để%hệ%(1)%có%nghiệm%ta%phải%có:% (x − y)(x −1) ≥ % Khi%đó%sử%dụng%bất%đẳng%thức%AM%–GM%ta%có:% VT = ( y −1) ⎡⎢(xy + x + y)(x − xy − x + y)⎤⎥ ⎣ ⎦ % ≤ 4( y −1) (5−( y −1) ) ( y −1)(x + 2y) ( y −1)(4 − y + 2y) % = = 4 ≤ ⎛ 4( y −1) + 4(5−( y −1) ) ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ =4 ⎧4( y −1) = 5−( y −1) ⎪ ⎪ ⎪ Đẳng%thức%xảy%ra%khi%và%chỉ%khi% ⎪ x − xy − x + y = xy + x + y ⇔ x = 0; y = %% ⎨ ⎪ ⎪x + y = ⎪ ⎪ ⎩ ( y −1)(4 − y + 2y) ≤ bằng%biến%đổi%tương%đương%hoặc% Chú%ý.%Bước%cuối%có%thể%chứng%minh% hàm%số.%%% Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%6/9% Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Mơn%Tốn%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%% ⎡ x ≥ y ≥1 Cách%3:%Khi%đó%để%hệ%(1)%có%nghiệm%ta%phải%có:% (x − y)(x −1) ≥ ⇔ ⎢ % ⎢ x ≤1≤ y ⎣ TH1:%Nếu% x ≥ y ≥1 %khi%đó%sử%dụng%AM%–GM%ta%có:% 2 ⎛ x − y + y −1⎞ ⎟ = (x −1) % ⎟ (x − y)( y −1) ≤ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (x −1)3 (xy + x + y) % Chú%ý%sử%dụng%bất%đẳng%thức%Cauchy%–Schwarz%ta%có:% (x − y) + ( y −1) ≥ (x −1) 2 ⇒ (x −1) ≤ (x −1) + (x − y) + ( y −1) =10− 2(x + y + xy) % ⇒ (x −1) ≤ (5− xy − x − y) 2 Đặt% t = x + y + xy ≤ x + y +1 = ⇒ t ∈ ⎡⎢⎣3;5⎤⎥⎦ % Suy%ra% P = (x − y)( y −1)(x −1)(xy + x + y) ≤ (x −1)6 43 (5−t )3 4t (5−t )3 (xy + x + y) ≤ t = % 16 16 27 4t (5−t )3 Xét%hàm%số% f (t ) = %trên%đoạn%[3;5]%ta%có:% 27 20t(t − 2)(t −5) 32 f '(t ) = − < ⇒ f (t ) ≤ f (3) = %Vì%vậy%f(b)%đồng%biến%trên%đoạn%[0;1/8]%.%% ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1024 ⎝ ⎟ ⎠ P ≤ ⎛ ⎞ 525 525 525 Suy%ra% P ≤ f ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎟ 8192 ⇔ − 8192 ≤ P ≤ 8192 %Dấu%bằng%đạt%tại% b = ;c = 0;a = % ⎜8⎟ ⎝ ⎠ Vậy%giá%trị%nhỏ%nhất%của%P%bằng%Ç525/8192.%% Chú%ý.%Câu%hỏi%đặt%ra%là%tại%sao%phân%tích%được%P%như%trên.%Nhận%thấy%khi% a = b = c ⇒ P = % Do%đó%P%có%các%nhân%tử% (a −b)(b − c)(c −a) %Nói%thêm%có%thể%khơng%cần%điều%kiện% Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%8/9% Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Mơn%Tốn%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%% a ≥ 7.max {b,c } %Việc%chặn%thêm%điều%kiện%này%chỉ%nhằm%mục%đính%bài%tốn%có%kết%quả%đẹp.% Dạng%tốn%này%bạn%đọc%tham%khảo%cuốn%“Kỹ$thuật$giải$Bất$đẳng$thức$bài$tốn$Min8Max”% cùng%tác%giả.%Để%rèn%luyện%bạn%đọc%thử%sức%với%bài%tốn%mức%độ%vừa%phải%%sau% Bài%tốn.%Cho%a,b,c%là%các%số%thực%khơng%âm%thoả%mãn% a + b + c =1 %Tìm%giá%trị%lớn%nhất%và%nhỏ% nhất%của%biểu%thức% P = a(b − c)3 + b(c −a)3 + c(a −b)3 %% Đánh%giá%chung%về%đề%thi%và%bài%làm%của%học%sinh%cho%đề%số%01/50:%% Lưu$ý:%Phần%đánh%giá%này%dựa%vào%phản%hồi%của%học%sinh%khi%làm%bài.% Đề%thi%ở%mức%tương%đối%khó%với%đa%số%thí%sinh%và%nếu%khơng%có%cách%trình%bày%tốt%sẽ% khơng%có%đủ%thời%gian%để%làm%các%câu%khó.%Các%câu%từ%câu%1%đến%7.1%đề%cho%mức%độ%vừa%phải% riêng%có%câu%1.3%;%câu%2.2%và%câu%5%địi%hỏi%tư%duy.%Với%câu%2.2%cần%so%sánh%nghiệm%với%0%(có%thể% xét%hàm%số%tuy%nhiên%dài).%Câu%5%địi%hỏi%các%em%phải%tư%duy%phân%chia%tập%hợp%10%số%thành%3% loại%%với%số%dư%khi%chia%cho%3.%Chú%ý%nếu%u%cầu%thay%đổi%chia%cho%m%thì%ta%phân%chia%tập%hợp% thành%các%loại%với%số%dư%khi%chia%cho%m%(có%thể%giải%bằng%pp%liệt%kê%số%kết%quả%Ç%tuy%nhiên%khi% tăng%số%lần%quay%lên%3,4,…%lần%thì%sẽ%dài%thì%theo%lời%giải%trên%ta%có%cách%giải%tối%ưu)%.%Đây%là% một%bài%tốn%cũng%tương%tự%như%khi%tung%đồng%thời%các%con%xúc%sắc%vậy.%Tuy%nhiên%thầy%thấy% một%số%bạn%trình%bày%cách%dài%do%vậy%chiếm%phần%lớn%thời%gian%để%giải%quyết%các%câu%này%mà% chưa%có%thời%gian%tập%trung%suy%nghĩ%các%bài%khó%từ%(7.2%đến%9).%Câu%7.2%nút%thắt%quan%trọng% của%bài%tốn%là%phát%hiện%IN=IA.%Câu%số%8%về%hệ%phương%trình%sẽ%khá%lạ%với%nhiều%bạn.%Hầu% hết%tìm%được%x^2+y^2=4%từ%phương%trình%đầu%tuy%nhiên%khơng%xử%lý%được%vế%cịn%lại(chiếm% 80%%số%điểm%của%câu%hỏi)%–%Bằng%kỹ%năng%biến%đổi%kết%hợp%đánh%giá%cơ%bản%ta%có%kết%quả%bài% tốn.%Chú%ý%thêm%câu%8%là%điều%kiện%x>=0%và%y>=1%là%cần%thiết%để%hồn%thiện%lời%giải%cho%hệ% (1).%Riêng%câu%số%3%một%số%bạn%mắc%sai%lầm%ở%cơng%thức%tính%thể%tích%khối%trịn%xoay%về%điểm% này%các%em%cần%lưu%ý.%Câu%9%thầy%xuất%phát%từ%một%ý%tưởng%cũ%+%bài%tốn%mới%tuy%nhiên%địi% hỏi%khéo%léo%trong%q%trình%tiếp%cận%và%hiểu%đề%đến%trình%bày%lời%giải.%% Cấu%trúc%đề%cho%đề%số%01/50% Nhận%biết,%thơng%hiểu:%Câu%1.1;1.2;2.1;3;4(chiếm%8%điểm/20%điểm%=40%)% Vận%dụng:%1.3;%2.2;%5;%6;%7.1%(7,5%điểm/20%điểm%=37,5%)% Vận%dụng%cao:%7.2;8;9%(4,5%điểm/20%điểm%=22,5%)% Thầy%dự%đốn%mức%độ%nhận%biết,%thơng%hiểu%năm%nay%chiếm%50S60%.%Tuy%nhiên%vì%là%đề%luyện%nên% thầy%sẽ%giữ%ở%mức%độ%cao%hơn%một%chút%khoảng%40S50%.% Mức%điểm%trong%khoảng%14k16%điểm%sẽ%đạt%u%cầu.% % Qua%đây%có%một%kinh%nghiệm%là%các%loại%tốn%quen%thuộc%các%em%cố%gắng%hồn%thiện% lời%giải%theo%hướng%tối%ưu%để%tiết%kiệm%thời%gian%làm%bài.%Để%làm%được%điều%này%địi%hỏi%các% em%cần%rèn%luyện%ngay%từ%bây%giờ%bằng%cách%giải%chi%tiết%+%suy%nghĩ%mở%rộng%các%hướng%có% thể%tiếp%cận%bài%tốn%+%theo%dõi%khố%học%sát%sao%để%giải%đề%ngay%khi%đề%được%phát%hành%với% việc%căn%thời%gian%làm%bài%đúng%180%phút.%Sau%đó%so%sánh%đáp%án%chi%tiết%kèm%Video%thầy% phát%hành%sau%đó!%%%% Chúc$các$em$có$kết$quả$tốt$trong$các$đề$tiếp$theo!$ Thân$ái!$ Đơng$Hà$Nội$ngày$22.01.2015$ Đặng$Thành$Nam$ Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%9/9% Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn Khoá  giải  đề  THPT  Quốc  Gia  –  Thầy:  Đặng  Thành  Nam   Mơn:  Tốn;  ĐỀ  SỐ  02/50   Ngày  thi  :  25/01/2015   Thời  gian  làm  bài:  180  phút,  không  kể  thời  gian  giao  đề   Liên  hệ  đăng  ký  khoá  học  –  Hotline:  0976  266  202     Câu  1  (2,0  điểm)  Cho  hàm  số   y = 2x −3x +1 (1)   Khảo   sát     biến   thiên     vẽ   đồ   thị   hàm   số   (1)   Gọi   A,B       điểm   cực   trị     (1)   Chứng   minh  rằng  tam  giác  AOB  vuông  cân  (với  O  là  gốc  toạ  độ)   Viết  phương  trình  đường  thẳng  d  tiếp  xúc  với  (1)  tại  điểm  có  hồnh  độ   x1 >  và  cắt  (1)  tại   điểm  có  hồnh  độ   x thoả  mãn   2x1 x = −1   Câu  2  (1,0  điểm)  Giải  các  phương  trình     1 log (x −1) − log (x +1) = log (x − 2)   2 2(1+ sin x ) + cot x =   π Câu  3  (1,0  điểm)  Tính  tích  phân   I = ∫ sin 3x dx   1+ cos x Câu  4  (1,0  điểm)     Cho  số  phức  z  thoả  mãn   (1+ i).z + i.z −1−3i =  Viết   z  dưới  dạng  lượng  giác   Tìm  giá  trị  lớn  nhất  và  nhỏ  nhất  của  hàm  số   y = − x + ln(x +1)  [0;2]   Câu  5  (1,0  điểm)  Cho  hình  chóp  S.ABC  có AB = a, AC = a 3, BC = 2a,SA = SB = SC  và  tam  giác   SBC  vng  Tính  thể  tích  khối  chóp  S.ABC  và  khoảng  cách  giữa  hai  đường  thẳng  SA  và  BC           Câu  6(1,0  điểm)  Trong  không  gian  với  trục  toạ  độ  Oxyz  cho  mặt  phẳng   (P ) : x + y − z +1 =   đường   thẳng   d : x − y −1 z −1 = =   Tìm   toạ   độ   giao   điểm   I     d     (P)   Viết   phương   trình   −1 −3 d(H ;(P ))           Câu  7  (1,0  điểm)  Trong  mặt  phẳng  toạ  độ  Oxy  cho  tam  giác  ABC  có  phương  trình  đường  phân   giác     góc   A     y −3 =   Gọi   M (1;4), N (3;1) lần   lượt       điểm   thuộc     đường   thẳng   ⎛11 ⎞ ⎟ AB,AC  Tìm  toạ  độ  các  điểm  B,C  biết  trọng  tâm  tam  giác  ABC  là  điểm   G ⎜ ; ⎟           ⎜ ⎜ 3⎟ ⎟ ⎝ ⎠ đường  thẳng  d’  vng  góc  với  (P)  và  cắt  d  tại  H  sao  cho   IH = ⎧ x (3− y) + y − 2x =1 ⎪ ⎪ Câu  8  (1,0  điểm)  Giải  hệ  phương  trình   ⎨   ⎪ x −( x − 2y)x = 5− 2y + ⎪ ⎪ ⎩ Câu     (1,0   điểm)   Cho   a,b,c       số   thực   thoả   mãn   a,b,c ∈ ⎡⎢⎣0;2⎤⎥⎦ ;a + b + c =   Tìm   giá   trị   nhỏ    của  biểu  thức   P = a3 + b + c −   11−a −b − c ab + bc + ca + -­‐‑-­‐‑-­‐‑HẾT-­‐‑-­‐‑-­‐‑     Hotline:  0976  266  202     Chi  tiết:  Mathlinks.vn     Page  1   Đăng  ký  nhóm  3  học  sinh  nhận  ưu  đãi  học  phí     Bản quyền thuộc Mathlinks.vn – Thầy: Đặng Thành Nam – 0976 266 202 Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Bản quyền thuộc Mathlinks.vn – Khoá giải đề: Thầy – Đặng Thành Nam 0976 266 202 Khoá giải đề THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam Môn: Toán; ĐỀ SỐ 43/50 Ngày thi : 22/05/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Liên hệ đăng ký khoá học – Hotline: 0976 266 202 – Chi tiết: www.mathlinks.vn 5x − có đồ thị (H) 3x − Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (H) hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến (H) điểm có hồnh độ Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = Câu (1,0 điểm) π − < a < 1 (x, y ∈!, x + y > 0) có phần thực z = Tìm x,y b) Cho số phức z = x + y.i 2 a) Tính A = sin a + cos a , biết a số thực thoả mãn tan a = − ⎡ ⎤ Câu (0,5 điểm) Giải phương trình log ⎢ log (x ) + log x + x + 1⎥ = ⎣ ⎦ 21 + + 4x − 26 = Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 7x + + 3x + + Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x(2 x + 2)dx Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H cạnh AB, góc SD mặt phẳng (ABCD) ϕ , tan ϕ = Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) 6a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, cạnh AB,AC lấy điểm E,D cho BE = CD Đường tròn qua A,C,E cắt đường tròn qua A,B,D điểm thứ hai I Cho biết phương trình đường thẳng AI x + 2y + = , phương trình đường thẳng BC 2x + y − 13 = Tìm toạ độ đỉnh A,B,C biết M(4;2), N(0;-7) điểm thuộc đường thẳng AB,AC Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(−1;−2;−3) , B(1;2;−3) x y z+3 đường thẳng d : = = Chứng minh d AB cắt nhau, tìm toạ độ giao điểm chúng 1 −2 viết phương trình mặt phẳng (P) qua A,B chứa đường thẳng d (1+ x)2015 1+ x (2 − ) Câu (0,5 điểm) Tính hệ số số hạng chứa x khai triển x x Câu 10 (1,0 điểm) Cho biết a,b,c số thực dương thoả mãn a ≥ b ≥ c , x số thực thoả mãn π ≤ x ≤ Tìm giá trị nhỏ hàm số a−b b−c c−a f (x) = + + asin x + b cos x bsin x + c cos x csin x + a cos x Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn NGHIÊN CẤM CÁC HÌNH THỨC SHARE ĐÁP ÁN RA NGOÀI BOX GIẢI ĐỀ Bản quyền thuộc Mathlinks.vn – Khoá giải đề: Thầy – Đặng Thành Nam 0976 266 202 -HẾT - Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn NGHIÊN CẤM CÁC HÌNH THỨC SHARE ĐÁP ÁN RA NGOÀI BOX GIẢI ĐỀ Bản quyền thuộc Mathlinks.vn – Khoá giải đề: Thầy – Đặng Thành Nam 0976 266 202 PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN 5x − Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = có đồ thị (H) 3x − Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (H) hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến (H) điểm có hồnh độ 1 Học sinh tự giải ⇒ y'(1) = Ta có: y' = (3x − 2)2 Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ y = 2(x − 1) + = 2x − Câu (1,0 điểm) π a) Tính A = sin a + cos a , biết a số thực thoả mãn tan a = − − < a < 1 (x, y ∈!, x + y > 0) có phần thực z = Tìm x,y b) Cho số phức z = x + y.i 2 16 π a) Ta có: cos a = = ⇒ cos a = − < a < ⇒ sin a = − 1+ tan a 25 5 3 37 ⎛ 3⎞ ⎛ ⎞ Vậy A = ⎜ − ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ 125 x + y2 x − yi b) Ta có: z = ⇒z= = x + y2 x + y2 Vì z có phần thực ½ nên x +y 2 = (1) x = (2) x +y 2 Từ (1), (2) suy x = 2, y = ± ⎡ ⎤ Câu (0,5 điểm) Giải phương trình log ⎢ log (x ) + log x + x + 1⎥ = ⎣ ⎦ ⎧x > ⎪ Điều kiện: ⎨log (x ) + log x + x + > Phương trình tương đương với: ⎪ ⎩ log [ − log x + log x + x + 1] = ⇔ log (x + 1) = ⇔ x + = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = 21 + + 4x − 26 = Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 7x + + 3x + + Điều kiện: x ≥ − Nhận thấy x = khơng nghiệm phương trình: Ta xét x ≠ , phương trình tương đương với: Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn NGHIÊN CẤM CÁC HÌNH THỨC SHARE ĐÁP ÁN RA NGỒI BOX GIẢI ĐỀ Bản quyền thuộc Mathlinks.vn – Khoá giải đề: Thầy – Đặng Thành Nam 0976 266 202 3( 7x + − 2) 3( 3x + − 2) + + 4x − 26 = x x ⇔ 3( 7x + + 3x + ) + 4x − 26x − 12 = 3( 7x + − (x + 1)) + 3( 3x + − (x − 1)) + 4(x − 5x − 3) = 3 ⎡ ⎤ ⇔ (x − 5x − 3) ⎢ − − =0 7x + + x + 3x + + x − ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ± 37 ⎢x = ⇔⎢ 3 ⎢4 − − = (*) ⎢ 7x + + x + 3x + + x − ⎣ 3 ⎡ ⎞ − Xét phương trình (*), Xét hàm số f (x) = − ⎢ − ;+∞ ⎟ , ta ⎠ 7x + + x + 3x + + x − ⎣ có: f '(x) > 0,∀x ≥ − Do f (x) = f (0) ⇔ x = Đối chiếu với điều kiện x ≠ suy phương trình (*) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x(2 x + 2)dx 1 0 Ta có: I = ∫ 2x dx + ∫ x.2 x dx = x 1 0 + ∫ x.2 x dx = 1+ ∫ x.2 x dx Ta có: 1 ⎞ 1 ⎛ x1 2x 1 xd(2 x ) = x.2 − ∫ x dx ⎟ = (2 − )= (2 − ) ∫ ⎜ 0 ln ln ⎝ ln ln ln ⎠ ln 1 Vậy I = 1+ (2 − ) ln ln Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H cạnh AB, góc SD mặt phẳng (ABCD) ϕ , tan ϕ = Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) 6a Tính thể tích khối chóp S.ABCD x ∫ x.2 dx = Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn NGHIÊN CẤM CÁC HÌNH THỨC SHARE ĐÁP ÁN RA NGOÀI BOX GIẢI ĐỀ Bản quyền thuộc Mathlinks.vn – Khoá giải đề: Thầy – Đặng Thành Nam 0976 266 202 x Đặt AB = x > → HD = AH + AD = SH 3HD 3x tan ϕ = = ⇒ SH = = HD 5 Gọi K hình chiếu vng góc H lên BD, E hình chiếu vng góc H lên SK Ta có BD ⊥ HK, BD ⊥ SH ⇒ BD ⊥ (SHK ) ⇒ BD ⊥ HE Mà HE ⊥ SK ⇒ HE ⊥ (SBD) ⇒ HE = d(H;(SBD)) Lại có d(A;(SBD)) = 2d(H;(SBD)) = 2HE ⇒ HE = 3a x x = Tam giác vng HKB có HK = HBsin 45 = 2 1 76 Tam giác vng SHK có : = + = + = = ⇔ x = 76 2 HE SH HK 9x x 9x 9a x = 38 76a Vậy VS.ABCD = SH SABCD = Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, cạnh AB,AC lấy điểm E,D cho BE = CD Đường tròn qua A,C,E cắt đường tròn qua A,B,D điểm thứ hai I Cho biết phương trình đường thẳng AI x + 2y + = , phương trình đường thẳng BC 2x + y − 13 = Tìm toạ độ đỉnh A,B,C biết M(4;2), N(0;-7) điểm thuộc đường thẳng AB,AC ! ! Theo giả thiết A,E,I,C nội tiếp nên ACI = BEI , tương ! ! tự: ABI = CDI Theo giả thiết ta có BE = CD , suy hai tam giác IBE IDE IB = ID ! ! Do tam giác IBD cân I nên IBD = IDB Mặt khác ! ! " IBD = IAD(cung chan ID ) ! ! ! ! Tương tự BDI = BAI Vì BAI = IAD ⇒ AI phân giác góc BAC Gọi N’ điểm đối xứng N qua AI, N’ thuộc AB tìm N’(4;1) Đường thẳng AB qua M N’ x − = ⎧ x + 2y + = Toạ độ điểm A nghiệm hệ ⎨ ⇒ A(4;−4) ⎩x − = Phương trình đường thẳng AC qua A,N 3x − 4y − 28 = ⎧2x + y − 13 = Toạ độ điểm B nghiệm hệ ⎨ ⇒ B(4;5) ⎩x − = ⎧ 3x − 4y − 28 = 80 17 Toạ độ điểm C nghiệm hệ ⎨ ⇒ C( ;− ) 11 11 ⎩2x + y − 13 = 80 17 Vậy A(4;-4), B(4;5) C( ;− ) 11 11 Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn NGHIÊN CẤM CÁC HÌNH THỨC SHARE ĐÁP ÁN RA NGỒI BOX GIẢI ĐỀ Bản quyền thuộc Mathlinks.vn – Khoá giải đề: Thầy – Đặng Thành Nam 0976 266 202 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(−1;−2;−3) , B(1;2;−3) x y z+3 đường thẳng d : = = Chứng minh d AB cắt nhau, tìm toạ độ giao điểm chúng 1 −2 viết phương trình mặt phẳng (P) qua A,B chứa đường thẳng d ⎧ x = −1+ t !!! " ⎪ Ta có: AB = (2; 4;0) / /(1;2;0) ⇒ AB : ⎨ y = −2 + 2t ⎪ z = −3 ⎩ !!! " !" ! Ta có ud = (1;1;−2) không phương với AB điểm M(0;0;-3) thuộc d AB Vì d AB cắt điểm M(0;0;-3) !" ! !" !!! ! " +) Vì (P) chứa d AB nên nP = ⎡ud , AB ⎤ = (4;−4;2) / /(2;−2;1) ⎣ ⎦ Và (P) qua điểm M(0;0;-3) nên (P) : 2x − 2y + z + = Câu (0,5 điểm) Tính hệ số số hạng chứa x khai triển (1+ x)2015 1+ x (2 − ) x x (1+ x)2015 1+ x 2(1+ x)2015 (1+ x)2016 (2 − )= − x x x x2 2(1+ x)2015 (1+ x)2016 Hệ số x4 2C2015 ; hệ số x4 − −C2016 x x Suy hệ số x 2C2015 − C2016 Câu 10 (1,0 điểm) Cho biết a,b,c số thực dương thoả mãn a ≥ b ≥ c , x số thực thoả mãn π ≤ x ≤ Tìm giá trị nhỏ hàm số a−b b−c c−a f (x) = + + asin x + b cos x bsin x + c cos x csin x + a cos x Ta biến đổi f(x), a−b b−c (c − b) + (b − a) f (x) = + + asin x + b cos x bsin x + c cos x csin x + a cos x 1 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = (a − b) ⎢ − ⎥ + (b − c) ⎢ bsin x + c cos x − csin x + a cos x ⎥ ⎣ asin x + b cos x csin x + a cos x ⎦ ⎣ ⎦ (c − a)sin x + (a − b)cos x (c − b)sin x + (a − c)cos x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = (a − b) ⎢ + (b − c) ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ (asin x + b cos x)(csin x + a cos x) ⎦ ⎣ (bsin x + c cos x)(csin x + a cos x) ⎦ Ta có: = ⎧ ⎡ (c − a)t + a − b ⎤ ⎡ (c − b)t + a − c ⎤ ⎫ ⎨(a − b) ⎢ + (b − c) ⎢ ⎥ ⎥ ⎬ (1) cos x ⎩ ⎣ (at + b)(ct + a) ⎦ ⎣ (bt + c)(ct + a) ⎦ ⎭ Với t = tan x ∈[ 0;1] , ta có Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn NGHIÊN CẤM CÁC HÌNH THỨC SHARE ĐÁP ÁN RA NGOÀI BOX GIẢI ĐỀ Bản quyền thuộc Mathlinks.vn – Khoá giải đề: Thầy – Đặng Thành Nam 0976 266 202 ⎡ (c − a)t + a − b ⎤ ⎡ (c − b)t + a − c ⎤ g(t) = (a − b) ⎢ ⎥ + (b − c) ⎢ (bt + c)(ct + a) ⎥ ⎣ (at + b)(ct + a) ⎦ ⎣ ⎦ = ⎡ (a − b)[ (c − a)t + a − b ] (b − c)[ (c − b)t + a − c ] ⎤ + ⎥ ct + a ⎢ at + b bt + c ⎣ ⎦ (3abc − a 2b − b c − c a)t + (2a 2b + 2b c + 2c a − 2a c − 2ab − 2bc )t + ab + bc + ca − 3abc = (at + b)(bt + c)(ct + a) Đặt tử thức tam thưc bậc hai g(t) có hệ số x2 a 2b + b c + c a ≥ 3 a 2b.b c.c a = 3abc Nên đồ thị có dạng quay xuống nên đoạn [0;1] ta có: g(t) = { g(0); g(1)} Ta có: g(0) = ab + bc + ca − 3abc ≥ 0, g(1) = a 2b + b c + c a − (ab + bc + ca ) = ab(a − b) + bc(b − c) + ca(c − a) = ab(a − b) + bc(b − c) + ca [ (c − b) + (b − a)] = a(a − b)[ b − c ] + c(b − c)(b − a) = (a − b)(b − c)(a − c) ≥ Suy ra: g(t) ≥ 0,∀t ∈[ 0;1] ⇒ f (x) ≥ ⎧ π⎫ Dấu xảy a = b = c, x ∈ ⎨0; ⎬ ⎩ 4⎭ Vậy giá trị nhỏ f(x) Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn NGHIÊN CẤM CÁC HÌNH THỨC SHARE ĐÁP ÁN RA NGOÀI BOX GIẢI ĐỀ Nghiên cấm hình thức đăng đáp án khỏi Box đề - Thầy: Đặng Thành Nam – 0976 266 202 Khoá giải đề THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam Mơn: Tốn; ĐỀ SỐ 45/50 Ngày thi : 26/05/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Liên hệ đăng ký khoá học – Hotline: 0976 266 202 – Chi tiết: www.mathlinks.vn x − 2x + có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tìm m để phương trình x − 4x + = m + có nghiệm phân biệt Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = Câu (1,0 điểm) π < a < π sin a + cos a = − Tính A = 3sin a − cos a b) Tìm số thực a b để phương trình az + bz + = có nghiệm z = 1+ 3i Câu (0,5 điểm) Giải phương trình 32ln x − 2.92ln x = −1 Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình a) Cho số thực a thoả mãn 3(2x − x − 2) 3(x − 2x − 2) − (x − 2)3 ≤ (10x − 17x − 18) x + x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ 3x ( 3x + + 1)2 dx Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có BC = a 2, AB = AC = a , tam giác SBC đều, hình chiếu vng góc S lên mặt đáy (ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC cơsin góc hai đường thẳng SM AC, với M trung điểm cạnh AB Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có điểm H(4;3) thuộc ! đường thẳng AD Đường phân giác góc BAD cắt cạnh CD I, cắt BC E Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICE Cho biết phương trình đường đường trịn ngoại tiếp tam giác KCD 25 phương trình đường thẳng AI x − y − = , đỉnh B nằm đường thẳng (x − )2 + (y − 3)2 = x + 3y − = Tìm toạ độ đỉnh A,B,C,D biết B,D điểm có toạ độ nguyên Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(2;1;-1) hai đường thẳng d,d’ x −1 y z −1 x − y −1 z −1 có phương trình d : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua = = ;d ' : = = 1 −1 M chứa đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng Δ nằm (P) cắt d,d’ A,B cho MA = 3MB Câu (0,5 điểm) Được biết trận lượt bóng đá Nam vịng loại Word cup 2018 đội tuyển Việt Nam đội tuyển Thái Lan hai đội sử dụng chiến thuật phịng ngữ chặt chẽ phản cơng nhanh ghi bàn pha xút xa, xác suất ghi bàn từ pha xút xa đội tuyển Việt Nam 0,7 xác suất ghi bàn từ pha xút xa đội tuyển Thái Lan 0,8 Thống kê trung bình trận đấu cầu thủ đội tuyển Việt Nam thực pha xút xa cầu thủ Thái Lan thực pha xút xa Tính xác suất để trận lượt đội tuyển Việt Nam có kết thắng trước đội tuyển Thái Lan Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực không âm x,y,z thoả mãn x + y y + z z + x = Tìm giá trị ( )( )( ) nhỏ biểu thức P = ( x + y ) ( x + z ) + ( y + z ) ( x + y ) + ( z + x ) ( y + z ) 3 3 3 -HẾT Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Nghiên cấm hình thức đăng đáp án khỏi Box đề - Thầy: Đặng Thành Nam – 0976 266 202 PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN x − 2x + có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tìm m để phương trình x − 4x + = m + có nghiệm phân biệt Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = Học sinh tự giải Phương trình tương đương với: m +1 x − 2x + = 2 Số nghiệm phương trình số giao điểm m đường thẳng y = đồ thị (C’) suy từ (C) cách; giữ nguyên phần phía Ox (C) lấy đối xứng phần phía Ox (C) qua Ox Ta có đồ thị (C’) ( hình vẽ bên) Dựa vào đồ thị hàm số ta có: m +1 0< < ⇔ −1 < m < Câu (1,0 điểm) π < a < π sin a + cos a = − Tính A = 3sin a − cos a b) Tìm số thực a b để phương trình az + bz + = có nghiệm z = 1+ 3i 1 24 a) Ta có: sin a + cos a = − ⇒ (sin a + cos a)2 = 1+ sin 2a = ⇒ sin 2a = − 25 25 ⎡ ⎢sin a = 24 Suy ra: 2sin a(− − sin a) = − ⇔⎢ 25 ⎢sin a = − ⎢ ⎣ π 13 Vì < a < π ⇒ sin a > ⇒ sin a = ,cos a = − ⇒ A = 5 b) Theo giả thiết ta có: a(1+ 3i)2 + b(1+ 3i) + = ⇔ (−2a + b + 4) + (2a + b) 3i = ⎧−2a + b + = ⎧a = ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩2a + b = ⎩b = −2 Vậy a=1, b=-2 Câu (0,5 điểm) Giải phương trình 32ln x − 2.92ln x = −1 Điều kiện: x > Phương trình tương đương với: 9ln x − 2.92ln x +1 = Đặt t = 9ln x > , phương trình trở thành: a) Cho số thực a thoả mãn Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Nghiên cấm hình thức đăng đáp án khỏi Box đề - Thầy: Đặng Thành Nam – 0976 266 202 ⎡t =1(t / m) ⎢ t − 2t +1 = ⇔ ⎢ ⇔ 9ln x =1 ⇔ ln x = ⇔ x =1 ⎢t = − (l ) ⎢⎣ Kết luận: Phương trình có nghiệm x =1 Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình 3(2x − x − 2) 3(x − 2x − 2) − (x − 2)3 ≤ (10x − 17x − 18) x + x Điều kiện: x ≥ 1+ 13 ⎧a = 3(x − 2x − 2) ⎧ 3(2x − x − 2) = a + 3b ⎪ ⎪ ⇒⎨ Đặt ⎨ 2 ⎪ ⎩10x − 17x − 18 = 3a + b ⎪b = x + x ⎩ Bất phương trình trở thành: a(a + 3b ) − ( x − )3 ≤ b(b + 3a ) ⇔ (a − b)3 ≤ ( x − )3 ⇔ a − b ≤ x − ⇔ 3(x − 2x − 2) − x + x ≤ x − ⇔ 3(x − 2x − 2) ≤ x − + x + x ⇔ x − 4x − ≤ (x − 2)(x + x) ⇔ (x − 2x) − 2(x + 1) ≤ (x − 2x)(x + 1) ⇔ ( x − 2x + x + 1)( x − 2x − x + 1) ≤ ⇔ x − 2x − x + ≤ ⇔ x − 6x − ≤ ⇔ − 13 ≤ x ≤ + 13 Kết hợp với điều kiện, suy S = ⎡1+ 13; + 13 ⎤ ⎣ ⎦ Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ 3x ( 3x + + 1)2 dx Đặt t = 3x + ⇒ t = 3x + ⇒ 2tdt = 3x ln 3dx Vì 2 tdt 1 2 ⎛ 1 ⎞ I= = ( − )dt = (ln t + + ) = + − ⎜ ln ⎟ ∫ (t + 1)2 ln ∫ t + (t + 1)2 ln ln t + ln ⎝ 1+ 1+ ⎠ Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có BC = a 2, AB = AC = a , tam giác SBC hình chiếu S lên mặt đáy (ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC cơsin góc hai đường thẳng SM AC, với M trung điểm cạnh AB Gọi H trung điểm cạnh BC, tam giác ABC cân A nên AH ⊥ BC AH = AB − BC 2a 3a = 5a − = ; 4 a GH = AH = Do tam giác SBC nên SB = SC = BC = a ⇒ SH = SC − Suy SG = SH − GH = Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn BC a2 a = 2a − = 2 3a a − = a 2 Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Nghiên cấm hình thức đăng đáp án khỏi Box đề - Thầy: Đặng Thành Nam – 0976 266 202 1 3a a3 a = (đvtt) Vì VS.ABC = SG.SABC = SG.AH BC = a 6 2 Tính góc: ! ! Do MH//AC nên ( SM; AC ) = ( SM; MH ) Ta có MH = AC a a = ;SM = SG + GM = 2 Suy 5a 5a 6a + − 2 4 =2 ! SM + MH − SH = cos SMH = 2SM MH a a 2 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có điểm H(4;3) thuộc ! đường thẳng AD Đường phân giác góc BAD cắt cạnh CD I, cắt BC E Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICE Cho biết phương trình đường đường trịn ngoại tiếp tam giác KCD 25 phương trình đường thẳng AI x − y − = , đỉnh B nằm đường thẳng (x − )2 + (y − 3)2 = x + 3y − = Tìm toạ độ đỉnh A,B,C,D biết B,D điểm có toạ độ nguyên HD: Chứng minh BDCK nội tiếp đường trịn Do ABCD hình bình hành kết hợp AE phân giác góc ! ! ! BAD nên AEC = DAE = EAB ! ! ! Do CIE = AID = AEC suy tam giác CIE cân C nên CI = CE ! ! Do góc DAI = DIA ⇒ DI = DA = BC Do K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEI nên KC = KE = KI ! ! ! Suy KCE = KEC = KIC ! ! ! ! Do DIK = 180 − CIK = 180 − KCE = KCB ! Vậy cos ( SM; AC ) = ! ! ! ! Xét tam giác IDK CKB có DI = BC, KC = KI, DIK = BCK nên Vì KBC = KDI Vì tứ giác BDKC nội tiếp 25 ⎧ ⎡ x = 6, y = ⎪(x − ) + (y − 3) = Toạ độ điểm B nghiệm hệ ⎨ ⇔⎢ 21 23 ⇒ B(6;1) ⎢x = , y = ⎪ x + 3y − = ⎣ 10 10 ⎩ Gọi H’ điểm đối xứng H qua AI, H’ thuộc AB Phương trình đường thẳng AB qua B,H’ x − 2y − = ⎧ x − 2y − = Toạ độ điểm A nghiệm hệ ⎨ ⇒ A(2;−1) ⎩x − y − = Phương trình đường thẳng AD qua A,H 2x − y − = Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Nghiên cấm hình thức đăng đáp án khỏi Box đề - Thầy: Đặng Thành Nam – 0976 266 202 25 ⎧ ⎡ x = 3, y = ⎪(x − ) + (y − 3) = Toạ độ điểm D nghiệm hệ ⎨ ⇔⎢ 26 27 ⇒ D(3;1) ⎢x = , y = ⎪2x − y − = ⎣ 5 ⎩ !!!" !!! " Do DC = AB = (4;2) ⇒ C(7; 3) Vậy A(2;-1), B(6;1), C(7;3) D(3;1) Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(2;1;-1) hai đường thẳng d,d’ x −1 y z −1 x − y −1 z −1 có phương trình d : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua = = ;d ' : = = 1 −1 M chứa đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng Δ nằm (P) cắt d,d’ A,B cho MA = 3MB ! !!!! " +) Đường thẳng d qua điểm N(1;0;1), có vtcp u = (1;2;1) suy MN = (−1;−1;2) !" ! " !!!! " Vì (P) qua M, chứa d nên có vtpt, nP = ⎡u, MN ⎤ = (5;−3;1) ⎣ ⎦ +) Vậy (P) : 5x − 3y + z − = Vì Δ nằm (P) cắt d’ B, nên B giao điểm d’ (P) ⎧x = ⎧ x − y −1 z −1 = = ⎪ ⎪ Toạ độ điểm B nghiệm hệ: ⎨ 1 −1 ⇔ ⎨ y = ⇒ B(2;1;1) ⎪5x − 3y + z − = ⎪z = ⎩ ⎩ Gọi A(1+t;2t;1+t) ta có: 4 MA = 3MB ⇔ (t − 1)2 + (2t − 1)2 + (t + 2)2 = ⇔ 6t − 2t = ⇔ t = 0;t = ⇒ A( ; ; ) 3 3 !!! " 1 Ta có: AB = ( ; ;− ) / /(2;1;−1) , Δ qua B có vtcp (2;1;-1) có phương trình 3 x − y −1 z −1 Δ: = = −1 Đáp án câu 10 em xem trực tiếp Box đề, thầy cảm ơn Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Nghiên cấm hình thức đăng đáp án khỏi Box đề - Thầy: Đặng Thành Nam – 0976 266 202 Câu (0,5 điểm) Được biết trận lượt bóng đá Nam vịng loại Word cup 2018 đội tuyển Việt Nam đội tuyển Thái Lan hai đội sử dụng chiến thuật phịng ngữ chặt chẽ phản cơng nhanh ghi bàn pha xút xa, xác suất ghi bàn từ pha xút xa đội tuyển Việt Nam 0,7 xác suất ghi bàn từ pha xút xa đội tuyển Thái Lan 0,8 Thống kê trung bình trận đấu cầu thủ đội tuyển Việt Nam thực pha xút xa cầu thủ Thái Lan thực pha xút xa Tính xác suất để trận lượt đội tuyển Việt Nam có kết thắng trước đội tuyển Thái Lan (làm tròn đến chữ số thập phân) Gọi M biến cố đội tuyển Việt Nam có kết thắng trước đội tuyển Việt Nam có số bàn thắng lớn số bàn thằng Thái Lan, có khả sau: +) Gọi A biến cố Tỷ số 1-0 nghiêng Việt Nam, có P(A) = C5 (0, 7)1 (0, 3)4 C7 (0,2)7 +) Gọi B biến cố Tỷ số 2-0;2-1, có P(B) = C5 (0, 7)2 (0, 3)3 ⎡C7 (0,2)7 + C7 0,8.(0,2)6 ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ k ⎤ +) Gọi C biến cố Tỷ số 3-0;3-1;3-2, có P(C) = C5 (0, 7)3 (0, 3)2 ⎢ ∑ C7 (0,8)k (0,2)7−k ⎥ ⎣ k=0 ⎦ ⎡ ⎤ k +) Gọi D biến cố Tỷ số 4-0;4-1;4-2;4-3, có P(D) = C5 (0, 7)4 (0, 3)1 ⎢ ∑ C7 (0,8)k (0,2)3−k ⎥ ⎣ k=0 ⎦ ⎡ ⎤ k +) Gọi E biến cố Tỷ số 5-0;5-1;5-2;5-3;5-4, có P(E) = C5 (0, 7)5 ⎢ ∑ C7 (0,8)k (0,2)7−k ⎥ ⎣ k=0 ⎦ Vậy xác suất cần tính P(M ) = P(A + B + C + D + E) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) + P(E) ≈ ( )( )( ) nhỏ biểu thức P = ( x + y ) ( x + z ) + ( y + z ) ( x + y ) + ( z + x ) ( y + z ) Ta chứng minh: ( x + y ) ( x + z ) + ( y + z ) ( x + y ) + ( z + x ) ( y + z ) ≥ 3( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực không âm x,y,z thoả mãn x + y y + z z + x = Tìm giá trị 3 3 3 3 2 3 3 2 2 Thật vậy, bất đẳng thức cho tương đương với: ∑ (2x + 2x y − xyz − x y2 z − x 3z − x y) ≥ cyc ⇔ ∑ (x − xyz) + ∑ (x y − x y z ) cyc cyc ⎛1 ⎞ ⎛2 ⎞ + ∑ ⎜ x + x 3z − x 3z ⎟ + ∑ ⎜ x + x y − x y⎟ ≥ ⎝3 ⎠ cyc ⎝ ⎠ 3 cyc Bất đẳng thức đúng, dấu xảy ⎧x = y = z ⎧x = y = z −1+ ⇔⎨ ⇔x=y=z= ⎨ 2 ⎩(x + y )(y + z )(z + x ) = ⎩(x + x) = Vậy giá trị nhỏ P 3/2 Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Nghiên cấm hình thức đăng đáp án khỏi Box đề - Thầy: Đặng Thành Nam – 0976 266 202 Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí ...  phí     Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn Khố)giải )đề) THPT) Quốc) Gia) –)Thầy: )Đặng )Thành) Nam) Mơn:)Tốn;)ĐỀ)SỐ)03 /50) Ngày )thi) :)29/01/2015) Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)khơng)kể)thời)gian)giao )đề) ... giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn Khoá  giải ? ?đề ? ?THPT ? ?Quốc ? ?Gia  –  Thầy: ? ?Đặng ? ?Thành ? ?Nam   Mơn:  Tốn;  ĐỀ  SỐ  04 /50   Ngày ? ?thi  :  01/02/2015   Thời  gian...     Khoá giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! Khố)giải )đề) THPT) Quốc) Gia) –)Thầy: )Đặng )Thành) Nam) Mơn:)Tốn;)ĐỀ)SỐ)05 /50) Ngày )thi) :)04/02/2015) Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)khơng)kể)thời)gian)giao )đề)