bài toán đặt không chỉnh

Chính vì thế, ta cần phải có những phương pháp giải ổn định các bàitoán đặt không chỉnh, sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệmxấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bà

Bài toán đặt không chỉnh

Phạm Kỳ Anh

NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 222 tr.

Từ khoá: Bài toán đặt không chỉnh, Phương pháp hiệu chỉnh, Bài toán phi tuyến,

Bài toán tuyến tính, Phương pháp chon, Phương pháp tựa nghiệm, phương trình xấp xỉ, Phương pháp tựa nghịch đảo

Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả

Mục lục

Lời nói đầu 3

1 Một số khái niệm cơ bản 5 1.1 Ví dụ về bài toán không chỉnh 6

1.2 Một số khái niệm của giải tích hàm 12

1.3 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính 32

1.4 Khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh 35

2 Các phương pháp giải bài toán không chỉnh 38 2.1 Phương pháp chọn 39

2.2 Phương pháp tựa nghiệm 40

2.3 Phương pháp dùng phương trình xấp xỉ 45

2.4 Phương pháp tựa nghịch đảo 59

3 Phương pháp hiệu chỉnh 64 3.1 Khái niệm về thuật toán hiệu chỉnh 65

3.2 Sự tồn tại toán tử hiệu chỉnh 68

3.3 Phương pháp Lagrange xây dựng thuật toán hiệu chỉnh 71

3.4 Chọn tham số hiệu chỉnh theo độ lệch 74

3.5 Cực tiểu phiếm hàm làm trơn 81

3.6 Hiệu chỉnh cho trường hợp tổng quát 83

3.7 Hệ phương trình đại số tuyến tính điều kiện xấu 86

3.8 Nghiệm của phương trình tích phân tuyến tính loại I 98

3.9 Phương pháp xấp xỉ tương thích 112

3.10 Phương pháp compact thu hẹp 120

4 Phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán tuyến tính 124 4.1 Bài toán, phiếm hàm hiệu chỉnh và tham số 125

4.2 Phương pháp độ lệch suy rộng 135

4.3 Độ lệch suy rộng và tính chất của nó 139

4.4 Tốc độ hội tụ 150

4.5 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình tích phân tuyến tính loại I 155

5 Phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán phi tuyến với toán tử compact 160 5.1 Nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ 161

5.2 Xấp xỉ hữu hạn chiều 166

5.3 Tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều trong các thang không gian Hilbert 169

5.4 Nguyên lý độ lệch cải biên và tốc độ hội tụ 176

5.5 Bài toán ngược 185

6 Phương pháp hiệu chỉnh bài toán phi tuyến với toán tử đơn điệu 191 6.1 Thuật toán cơ bản 192

6.2 Nguyên lý độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh 200

6.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 208

Tài liệu tham khảo 214

Lời nói đầu

Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, kinh tế, sinh thái, v.v dẫn đến việcgiải các bài toán mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu,tức là một thay đổi nhỏ (sai một ly) của các dữ liệu có thể dẫn đến sự saikhác rất lớn (đi một dặm) của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở nên

vô nghiệm hoặc vô định Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh

Do các số liệu thường được thu nhập bằng thực nghiệm (đo đạc, quantrắc, ) và sau đó lại được xử lý trên máy tính nên chúng không tránh khỏisai số Chính vì thế, ta cần phải có những phương pháp giải ổn định các bàitoán đặt không chỉnh, sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệmxấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát

Những người có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán không chỉnh

là Tikhonov A.N., Lavrantiev M.M, Lions J.J., Ivanov V.K.,

Do tầm quan trọng đặc biệt của lý thuyết này mà nhiều nhà toán học

đã dành phần lớn thời gian và công sức của mình cho việc nghiên cứu cácphương pháp giải bài toán không chỉnh, điển hình là: Alber Ya.I., Atkin-son K.E., Bakushinskii A.B., Baumeiser J., Engl H.W., Gilbert F., GlaskoV.B., Goncharskii A.V., Gorenflo R., Groetsch C.W., Hanke M., Hofmann B.,Kirsch A., Landweber L., Louis A.K., Morozov V.A., Nashed M.Z., NattererF., Neubauer A., Vainikko G.M

Một số nhà toán học Việt nam cũng đi sâu nghiên cứu và có nhiều đónggóp cho lý thuyết cũng như ứng dụng các bài toán không chỉnh như: ĐặngĐình Ang, Đinh Nho Hào, Đặng Đức Trọng, vv hoặc quan tâm và có côngtrình liên quan đến lý thuyết trên như: Nguyễn Minh Chương, Trần Đức

Vân, Vũ Xuân Minh, cùng các tác giả của giáo trình này.

Thời gian gần đây, đã có nhiều giáo trình về bài toán không chỉnh bằngtiếng nước ngoài Tuy nhiên chưa có một tài liệu nào được viết hoặc dịch ratiếng Việt

Nhằm phục vụ các đối tượng là sinh viên đại học năm cuối, học viên caohọc, nghiên cứu sinh cũng như các nhà khoa học quan tâm đến ứng dụngcủa lý thuyết bài toán không chỉnh, chúng tôi đã biên soạn giáo trình này.Nội dung của cuốn sách được lựa chọn theo ý đồ và "khẩu vị" riêng củacác tác giả, vì vậy nó không thể phản ánh được hết các khía cạnh vốn dĩ rất

đa dạng của lý thuyết bài toán không chỉnh

Do điều kiện, thời gian và trình độ có hạn giáo trình này không tránhkhỏi thiếu sót Chúng tôi rất mong các vị độc giả gần xa góp ý và lượng thứ

Các tác giả

Chương 1

Một số khái niệm cơ bản

Chương này giới thịệu một số khái niệm cơ bản liên quan đến bài toánđặt không chỉnh gọi tắt là bài toán không chỉnh Các ví dụ về bài toán khôngchỉnh được xét trong mục 1.1 Mục 1.2 nhắc lại một số kiến thức về giải tíchhàm dùng trong các chương sau Trong mục 1.3 trình bày phương pháp tìmnghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính ít được đề cập ở các giáo trình

về giải tích số thông thường trong các trường đại học kỹ thuật Khái niệmtổng quát về bài toán không chỉnh được trình bày trong mục 1.4

1.1 Ví dụ về bài toán không chỉnh

• Nhiều bài toán thực tế đươc quy về giải hệ đại số tuyến tính, trong đómột sự thay đổi nhỏ hệ số của hệ phương trình ban đầu dẫn đến thay đổilớn nghiệm của hệ, thậm chí làm cho hệ trở nên vô nghiệm hoặc vô định.Những hệ phương trình đại số tuyến tính có tính chất như vầy được gọi là

hệ phương trình điều kiện xấu Ma trận A tạo bởi hệ số của hệ phương trình này được gọi là ma trận điều kiện xấu Khi đó định thức của ma trận A, kí hiệu lá det A, có giá trị tuyệt đối tương đối nhỏ.

có nghiệm là x1 = 1/2 và x2 = 1, trong khi đó hệ phương trình







2x1+ x2 = 2, 2.01x1 + x2 = 2.05,

có nghiệm là x1 = 5 và x2 = −8 Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số và vếphải của phương trình thứ hai kéo theo những thay đổi đáng kể của nghiệm.Như vậy, hệ phương trình này là một hệ điều kiện xấu

1.1 Ví dụ về bài toán không chỉnh 7

khi k → ∞ và tính tỷ sai phân

D k = f (x + h k ) − f (x)

h k

, k = 0, 1, , N.

Khi đó, ta có thể nghĩ rằng với N đủ lớn, tức h N đủ nhỏ, D N sẽ là xấp xỉ tốt

của f0(x) Vậy thì với h N nhỏ bao nhiêu ta sẽ nhận được xấp xỉ tốt Liệu h N

càng nhỏ có cho ta xấp xỉ càng tốt hay không? Để trả lời cho câu hỏi đó ta

xét ví dụ sau Cho hàm số f (x) = exp(x), tính đạo hàm f0(1) với h k = 10−k

ta có bảng kết quả

k h k f k = f (1 + h k) f k − e D k = fk−e

h

D k tiến gần tới f0(x) ở một thời khắc nào đó sau lại rời xa khỏi nó Cũng ở

ví dụ trên ta thấy 0.0007 = |D6− D5| ≥ |D5− D4| = 0.00012 Quan sát này gợi ý cho ta nên tính D k đến lúc |D N +1 − D N | ≥ |D N − D N −1| thì thôi

• Xét phương trình tích phân Fredholm loại I

Z b

a K(t, s)ϕ(s)ds = f0(t), t ∈ [c, d], (1.1)

ở đây nghiệm là một hàm ϕ(s), vế phải f0(t) là một hàm số cho trước và hạch K(t, s) của tích phân cùng với ∂K/∂t được giả thiết là các hàm liên tục Ta giả thiết nghiệm ϕ(s) thuộc lớp các hàm liên tục trên [a, b] với khoảng cách (còn được gọi là độ lệch) giữa hai hàm ϕ1 và ϕ2 trong lớp đó là

ρ C[a,b] (ϕ1, ϕ2) = max

s∈[a,b] |ϕ1(s) − ϕ2(s)|.

Sự thay đổi vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L2[c, d], tức

là khoảng cách giữa hai hàm f1(t) và f2(t) trong L2[c, d] được biểu thị bởi số

1.1 Ví dụ về bài toán không chỉnh 9

Giả sử phương trình (1.1) có nghiệm ϕ0(s) Khi đó với vế phải

f1(t) = f0(t) + N

Z b

a K(t, s) sin(ωs)ds,

Z b a K(t, s) sin(ωs)ds

|ϕ0(s) − ϕ1(s)|2ds

1/2

= |N |

Z b a

2ω sin(ω(b − a)) cos(ω(b + a)).

Dễ dàng nhận thấy hai số N và ω có thể chọn sao cho ρ L2[c,d] (f0, f1) rất nhỏ

nhưng vẫn cho kết quả ρ L2 [a,b] (ϕ0, ϕ1) rất lớn

với hệ số (a0, a1, , a n ) ∈ l2 đươc cho xấp xỉ bởi c n = a n + ε/n, n ≥ 1 và

c0 = a0 Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng

Do đó, khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ bất kỳ vì ε có thể

lấy nhỏ tuỳ ý Trong khi đó,

trong không gian L2[0, π], thì

∞

X

n=0 (c n − a n ) cos(nt)

Như vậy, bài toán lại ổn định, tức là khi dữ kiện ban đầu a n cho bởi xấp

xỉ c n với sai số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng cũng sai khác nhau

không nhiều trong L [0, π].

1.1 Ví dụ về bài toán không chỉnh 11

• Xét bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều

Nếu lấy f (x) = f2(x) = ϕ(x) = ϕ2(x) ≡ 0, thì nghiệm của bài toán (1.2)

- (1.3) là u2(x, y) ≡ 0 Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm

được xét trong độ đo đều ta có

đó, khoảng cách giữa các nghiệm

• Xét bài toán cực tiểu hàm ϕ(y) = y trên đoạn thẳng y = λ0x + y0 chứa

trong phần tư thứ nhất của mặt phẳng XOY và λ0, y0 > 0 là các số cho

trước

Giả sử λ0 = 0 và thay cho λ0 ta có λ δ : |λ δ − λ0| < δ Xét các trường

hợp:

∗ λ δ > 0 Trong trường hợp này, thay cho đường thẳng y = y0ta có đường

thẳng d1: y = λ δ x + y0 Giá trị cực tiểu của hàm ϕ(y) trên một phần của d1

nằm trong vùng {x ≥ 0, y ≥ 0} đạt được tại điểm (0, y0) Điều đó có nghĩa

là khi x = 0 thì ϕ(0) = y0

∗ λ δ < 0 Trong trường hợp này thay cho đường thẳng y = y0 ta có đường

thẳng d2: y = λ δ x + y0 Do λ δ < 0 cho nên d2 cắt trục OX tại một điểm x2(δ) nào đó Giá trị cực tiểu của hàm ϕ(y) trên một phần của d2 nằm trong vùng

{x ≥ 0, y ≥ 0} đạt được tại điểm (x2(δ), 0), tức là tại x = x2(δ) ϕ(x2(δ)) = 0 Khi δ → 0, λ δ → 0 và x2(δ) → ∞ Như vậy, bài toán này không ổn định.

Những ví dụ trên dẫn đến một lớp bài toán rất quan trọng trong lĩnh vựctính toán Đó là lớp các bài toán không chính quy hay còn được gọi là bàitoán đặt không chỉnh (hoặc không chỉnh) Để có thể phát biểu và nghiên cứu

nó một cách tổng quát ta cần phải biết một số khái niệm của giải tích hàm.Những khái niệm này được trình bày ở mục tiếp theo để độc giả tiện theodõi

1.2 Một số khái niệm của giải tích hàm

Phần lớn của cuốn sách nghiên cứu bài toán không chỉnh dạng phươngtrình toán tử

trong đó A là một toán tử (ánh xạ) từ một không gian metric X vào không gian metric Y nào đó, tuỳ thuộc vào bài toán cụ thể đặt ra.

Một tập nền X được gọi là một không gian metric, nếu với mỗi cặp phần

tử x và y của X (viết tắt là x, y ∈ X) tồn tại một hàm thực, kí hiệu là

ρ X (x, y), hai biến có các tính chất:

* ρ X (x, y) ≥ 0, ρ X (x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y,

* ρ X (x, y) = ρ X (y, x) và

* ρ (x, y) ≤ ρ (x, z) + ρ (z, y), ∀x, y, z ∈ X.

1.2 Một số khái niệm của giải tích hàm 13

Tập tất cả phần tử x ∈ X thoả mãn điều kiện ρ X (x, x0) < r, được gọi là hình cầu mở trong X tâm x0 bán kính r Trong đó, ρ X được gọi là metric

của không gian metric X.

Phần tử x0 của không gian metric X được gọi là điểm dính của tập

M ⊂ X, nếu mọi hình cầu mở bất kỳ S(x0, r) = {x ∈ X : ρ(x, x0) < r} tâm x0 bán kính r > 0 chứa ít nhất một phần tử thuộc M khác x0 Tập tất

cả các điểm dính của M và M được gọi là bao đóng của M và được ký hiệu bằng M hoặc [M ].

Một dãy {x n } gồm các phần tử x n ∈ X được gọi là hội tụ đến phần tử

x0 ∈ X, viết là x0 = limn→∞ x n, nếu limn→∞ ρ X (x n , x0) = 0 Không gian metric X được gọi là đầy đủ, nếu mọi dãy cơ bản (dãy Caushy) trong X hội

tụ đến phần tử thuộc X.

Một tập con M của không gian metric X được gọi là compact trong X (hay còn gọi là compact tương đối của X), nếu một dãy {x n } ⊂ M luôn tìm được một dãy con hội tụ đến một phần tử của X Như ta đã biết ở phần

giải tích toán học, điều kiện cần và đủ để cho một tập trong không gian hữu

hạn chiều Rn trở thành compact tương đối là tính giới nội của nó Nếu từ

một dãy bất kỳ {x n } ⊂ M tồn tại một dãy con hội tụ đến một phần tử cũng thuộc M , thì M được gọi là tập compact trong nó, hoặc gọi tắt là một tập

compact Mọi tập compact của một không gian metric nào đó có thể coi như

một không gian metric đầy đủ Để một compact trong không gian metric X

là một tập compact điều kiện cần và đủ là tập đó đóng trong X Mỗi một

tập compact chứa một tập trù mật không quá đếm được Trong không gian

C[a, b] một tập M là compact nếu thoả mãn định lý sau.

Định lý 1.1 (Arsela - Ascoli) Tập M ⊂ C[a, b] là compact khi và chỉ khi

nó giới nội đều và liên tục đồng bậc.

Không gian metric X được gọi là tuyến tính (đôi khi còn gọi là không gian vectơ, nếu với hai phần tử bất kỳ x1 và x2 thuộc X ta có phép toán cộng x1+ x2 và phép toán nhân một số β với một phần tử x ∈ X cũng cho

ta những phần tử thuộc X Hai phép toán cộng và nhân phải thoả mãn các

yêu cầu sau:

Khái niệm không gian tôpô là mở rộng khái niệm về không gian metric.

Cho một tập nền R với các phần tử được kí hiệu là x, y, Trong R ta có

thể xây dựng được nhiều tập con khác nhau Tập tất cả các tập con của R,

kí hiệu là P

, dược gọi là một hệ lân cận Một tập U ∈ P

dược gọi là lân

cận của phần tử x, nếu x ∈ U và kí hiệu là U x

Định nghĩa 1.1 Một tập R với một hệ lân cận P

được gọi là không gian tôpô, nếu:

Trong không gian tôpô R người ta đưa ra khái niệm điểm giới hạn của

một tập con M nào đó của R như sau Phần tử x được gọi là điểm giới hạn của tập M , nếu mỗi lân cận bất kỳ của x chứa ít nhất một phần tử của tập M khác x Tập tất cả các điểm giới hạn của tập M được kí hiệu là M0

1.2 Một số khái niệm của giải tích hàm 15

Tập [M ] = M ∪ M0 được gọi là bao đóng của M Cho {x n , n = 1, 2, } là một dãy các phần tử thuộc R Phần tử x ∈ R được gọi là giới hạn của dãy {x n , n ∈ N }, nếu

Nếu không gian tôpô R là tuyến tính, thì ta gọi tắt là không gian tôpôtuyến tính hoặc không gian véctơ tôpô

Chuẩn của một không gian tuyến tính X là một hàm, thường được kí hiệu là k.k, xác định trên toàn không gian X, nhận các giá trị hữu hạn và có

các tính chất sau:

1 kxk ≥ 0, với mọi x ∈ X, kxk = 0 khi và chỉ khi x = θ (phần tử không);

2 với mọi x1, x2 ∈ X kx1+ x2k ≤ kx1k + kx2k (bất đẳng thức tam giác);

3 với mọi số β và một phần tử bất kì x ∈ X kβxk = |β|kxk.

Nếu không gian tuyến tính X có chuẩn k.k, thì nó được gọi là không gian định chuẩn Không gian định chuẩn bất kì X có thể trở thành không gian metric, khi lấy ρ X (x, y) = kx − yk.

• Một số ví dụ về không gian định chuẩn:

Ví dụ 1.5 Không gian R n

p với x = (x1, x2, , x n ) và chuẩn kxk p =

Xn

i=1

|x i|p

1/p

trong đó p là một số thực bất kì: 1 ≤ p < +∞ Khi p = 2, ta thường kí hiệu

nó bởi E n và có tên gọi là không gian Euclid n chiều.

Ví dụ 1.6 Không gian các dãy số l p với phần tử x = (x1, x2, , x n , ) và

Ví dụ 1.9 Không gian Sobolev

Cho Ω là một miền giới nội trong R n và x(s) ∈ C l (Ω), là hàm khả vi liên tục đến cấp l Vì Ω là compact, cho nên với mỗi l = 0, 1, 2, C l (Ω) ⊆ L p (Ω).

Không gian Sobolev W l

p (Ω) là một không gian tạo bởi C l (Ω) được làm đầy

đủ bằng chuẩn trên Cũng dễ dàng nhận thấy rằng

∀x ∈ C l (Ω) kx(s)k Lp(Ω)≤ kx(s)k Wl

p (Ω) Không gian tuyến tính X được gọi là một không gian tiền Hilbert hay còn gọi là không gian có tích vô hướng, nếu trên X xác định được một hàm

thực hai biến, kí hiệu là x1, x2

1.2 Một số khái niệm của giải tích hàm 17

Với hàm kxk = x, x 1/2

thì X trở thành một không gian định chuẩn và

do đó X là không gian gian metric Không gian với tích vô hướng đầy đủ được gọi là không gian Hilbert Không gian định chuẩn X được gọi là không

gian Banach, nếu nó là không gian đầy đủ Dễ dàng nhận thấy các không

gian ở các Ví dụ 1.5 − 1.9 là không gian Banach và khi p = 2 chúng là không

gian Hilbert, trừ trường hợp không gian các hàm liên tục

Trong nhiều trường hợp khi nghiên cứu tốc độ hội tụ của phương pháphiệu chỉnh trong không gian Banach, ta cần sử dụng các đặc trưng hình họcnhư tính trơn cũng như tính lồi đều của các không gian đó Không gian

Banach X được gọi là lồi đều, nếu δ X (ε) > 0, ∀ε > 0, ở đây

và được gọi là môđun lồi của không gian X.

Không gian Banch X được gọi là trơn đều, nếu lim τ →0 γ X (τ )/τ = 0, ở

là môđun trơn của X Hàm γ X (τ ) là lồi và tăng.

Kí hiệu X∗ là tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X Nó còn được gọi là không gian đối ngẫu của X Ta có mối quan hệ giữa các tính

lồi và trơn được xác định như sau:

• Nếu X là lồi đều, thi X∗ là trơn đều,

• Nếu X là trơn đều, thì X∗ là lồi đều,

• Nếu X là lồi (trơn) đều, thì X là phản xạ.

Môđun lồi và trơn được xác định bởi Lindenstrauss cho không gian

Tính lồi và trơn của một không gian Banach bất kì được mô tả bởi ánh

xạ đối ngẫu U s , s ≥ 2 của X Anh xạ này tồn tại trong mọi không gian Banach X và được xác định như sau

U s (x) = {x∗∈ X∗ : x∗, x

= kx∗ks−1 kxk = kxk s }.

Khi s = 2 thì U s thường được viết là U và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn của không gian X Đối với không gian l p , 1 < p < +∞, U (x) = kxk 2−p lp z, ở đây x = (x1, x2, , x n , ) và z = (|x1|p−2 x1, |x2|p−2 x2, ) ∈ l p/(p−1) Còn đối với không gian L p(Ω), với Ω là một tập đo được của không gian Rnvà chuẩn

k.k Lp(Ω), 1 < p < +∞, ánh xạ U có dạng

U (ϕ) = kϕk 2−p L

p (Ω)|ϕ(t)| p−2 ϕ(t), t ∈ Ω.

Nếu X là không gian Hilbert, thường được kí hiệu là H (≡ H∗), thì ánh xạ

đối ngẫu chuẩn chính là toán tử đơn vị I trong không gian H Từ đây về sau toán tử đơn vị được kí hiệu là I hoặc I X , toán tử đơn vị của không gian X

khi cần lưu ý

• Hội tụ yếu trong không gian Banach và không gian Hilbert

Như đã biết một dãy các phần tử {x n } của không gian Banach X hội tụ mạnh đến một phần tử x0 khi n → ∞, nếu kx n − x0k → 0, khi n → ∞.

Hội tụ theo chuẩn được gọi là hội tụ mạnh Song song với khái niệm hội tụ

đó tồn tại một khái niệm hội tụ yếu của dãy {x n } Ta nói x n hội tụ yếu

đến x0, nếu ∀f ∈ X∗ có f (x n ) → f (x0), khi n → ∞ Ta luôn có từ hội tụ

mạnh của một dãy suy ra hội tụ yếu Ngược lại không đúng Ví dụ, trong

không gian Hilbert khả ly l2 lấy dãy {e j}∞

được kí hiệu bởi *) Nhưng ở đây dãy {e j}∞1 lại không hội tụ mạnh Thật

vậy, ke i − e jk =

√

2 cho nên nó không phải là một dãy cơ bản Do đó, không

có sự hội tụ mạnh Cũng như hội tụ mạnh, giới hạn yếu cũng duy nhất, tức

là nếu x n * x và x n * y, thì x = y Một số trường hợp từ hội tụ yếu có thể

suy ra hội tụ mạnh:

1.2 Một số khái niệm của giải tích hàm 19

1 X là không gian hữu hạn chiều

2 {x k } ⊂ M , ở đây M là một compact trong X.

Những khẳng định trên dễ hiểu, bởi vì, trong trường hợp thứ nhất ∀x ∈

Rn , x = Pn

1 ξ i e i , (e i là cơ sở của Rn ) lấy f i (x) = ξ i Một dãy {x (k)} trong

Rn có thể viết như sau x (k) = Pn

i=1 ξ i (k) e i Giả sử x (k) * x = (ξ i , ξ2, , ξ n),

khi đó f i (x (k) ) * f i (x) Có nghĩa là ξ i (k) → ξ i khi k → ∞ Trường hợp thứ hai, khi M là một tập comact trong X, {x n } ⊂ M và x n * x0 Nếu {x n}

không hội tụ mạnh đến x0, thì ∃ε > 0 : kx nk− x0k ≥ ε ∀k Do M là một tập compact cho nên tồn tại một dãy con {x nki} hội tụ mạnh đến y và y = x0

Khi đó, ta có sự mâu thuẫn ε ≤ kx nki − x0k → 0, khi i → ∞.

3 Mọi dãy hội tụ yếu đều giới nội

4 Nếu x n * x0, thì kxk ≤ limkx n k.

Ta kiểm tra cho trường hợp tổng quát khi X là không gian Banach Theo

hệ quả của Định lý Hahn-Banach với mỗi x0 tồn tại một phiếm hàm f ∈ X∗

Trường hợp x0 = 0 là hiển nhiên

5 Trong không gian có tích vô hướng ta có

1 ∃y ∈ M : y = arg min w∈M kw − x0k,

2 Nếu C lồi, thì y là duy nhất.

Chứng minh Đặt

d := inf w∈M kw − x0k.

Khi đó, tồn tại một dãy {y n } ∈ M sao cho ky n − x0k * d Như vậy, {y n}

là một tập giới nội Vì X là lồi đều, cho nên nó là không gian phản xạ Do một tập giới nội trong không gian X là compact yếu, suy ra tồn tại một dãy con {y nk} hội tụ yếu đến một phần tử y nào đó của X Nhưng M là một tập đóng yếu cho nên y ∈ M Mặt khác,

• Toán tử trong các không gian

Định nghĩa 1.2 Toán tử tuyến tính A : X → Y với X và Y là các không

gian định chuẩn, được gọi là toán tử hoàn toàn liên tục, nếu nó đưa mọi tập giới nội trong X vào tập compact của Y Kí hiệu K(X, Y ) là tập tất cả các toán tử hoàn toàn liên tục từ X vào Y Dễ dàng nhận thấy K(X, Y ) ⊂ B(X, Y ), ở đây B(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

1.2 Một số khái niệm của giải tích hàm 21

Trong không gian vô hạn chiều nếu A là một toán tử hoàn toàn liên tục, thì A−1 không liên tục Nếu không, I = A−1A là toán tử liên tục Lúc đó,

hình cầu đơn vị phải là một tập compact Điều đó vô lý trong không gian vôhạn chiều

Định lý 1.2 (Hilbert-Schmidt) Nếu A là một toán tử hoàn toàn liên tục

và tự liên hợp trong không gian Hilbert H thì:

Bổ đề 1.1 Cho A : X → Y biến đổi tập X0 ⊆ X lên Y0 = A(X0) Nếu A

là ánh xạ liên tục, song đơn ánh và X0 là một tập compact của X, thì A−1

Lấy một dãy {δ n } gồm các số dương dần tới 0, khi n → ∞ Với mỗi δ n

tìm được một phần tử ˜f n ∈ Y sao cho ρ Y( ˜f n , f0) < δ n và ρ X(˜x n , x0) ≥ ε1, ởđây ˜x n = x( ˜ f n ) Dễ dàng nhận thấy dãy { ˜ f n } hội tụ đến f0 Do {˜x n} thuộc

compact Y0 cho nên có thể trích được dãy con {˜x nk} hội tụ trong X đến một

phần tử ˜x0 ∈ X, ở đây ˜ x0 6= x0 và ρ X(˜x nk, x0) ≥ ε1 Điều đó nói lên rằng dãy

{ ˜f nk = A(˜ x nk)} là dãy con của { ˜f n} hội tụ đến ˜f0 = A(˜ x0) Như vậy,

hơn cả để giải các bài toán không chỉnh sẽ nghiên cứu ở các chương tiếp theocủa cuốn sách này.

Cho X với Y là hai không gian định chuẩn và A là một toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Khi đó,

∀ϕ ∈ Y∗, f (x) = ϕ(Ax)

là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X Cho nên, ta có thể viết f ∈ X∗

Như vậy, với mỗi phần tử ϕ ∈ Y∗ qua A ta xác định được một phần tử thuộc

X∗ Nói một cách khác, ta có một toán tử từ Y∗ vào X∗ Toán tử này phụ

thuộc vào toán tử A cho trước Để dễ nhớ đến điều đó, ta kí hiệu nó là A∗

Đồng thời kí hiệu này cũng nhắc rằng toán tử A∗ tác động từ không gian

đối ngẫu (liên hợp) vào không gian đối ngẫu và A∗ được gọi là toán tử liên

hợp của A Do f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục, cho nên có thể viết

Cho X là một không gian Banach phản xạ với không gian đối ngẫu của nó

là X∗ Cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là k.k và giá trị của một phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X∗ tại điểm x ∈ X được kí hiệu bởi x∗, x

A được gọi là đơn điệu chặt, nếu dấu bằng chỉ đạt được khi x = y.

A được gọi là d-đơn điệu, nếu tồn tại một hàm không âm d(t), không

1.2 Một số khái niệm của giải tích hàm 23

giảm với t ≥ 0, d(0) = 0 và thoả mãn tính chất

và liên tục theo H˝older, vì

ϕ(x) + ϕ(y)

, x, y ∈ X.

Phiếm hàm ϕ(x) với x ∈ X được gọi là lồi đều, nếu tồn tại một hàm δ(t) với

tính chất ở trên sao cho

ϕ( x + y

2 ) ≤

12



ϕ(x) + ϕ(y)

− 1

4δ(kx − yk), x, y ∈ X.

Ngoài các khái niệm về đạo hàm Fréchet và Gato của phiếm hàm lồi, ta còn

có khái niệm về dưới vi phân của ϕ được kí hiệu bởi ∂ϕ và được định nghĩa

∂ϕ(x) = {x∗ ∈ X∗ : ϕ(y) − ϕ(x) ≥ x∗, y − x

, ∀y ∈ X}.

Ta có mối liên quan chặt chẽ giữa tính lồi đều của một phiếm hàm và tínhđơn điệu đều của dưới vi phân của nó như sau:

Nếu ϕ là một phiếm hàm lồi đều xác định trên không gian Banach phản

xạ X thì ∂ϕ là một toán tử đơn điệu đều Nếu D(ϕ) ≡ X thì ∂ϕ còn là một toán tử h-liên tục tại mọi điểm x ∈ X (xem [13], [15], [24] và [67]), tức là

lim

t→0 ∂ϕ(x + ty) = ∂ϕ(x), ∀x, y ∈ X.

Đây cũng là khái niệm về tính h-liên tục (hemiliên tục, liên tục theo mọi tia)

cho một toán tử A bất kì.

Định nghĩa 1.3 Phiếm hàm ϕ(x) xác định trên X được gọi là nửa liên tục

dưới yếu tại điểm x0, nếu ∀{x n } : x n * x0 ⇒ ϕ(x0) ≤ lim inf ϕ(x n ) Phiếm hàm ϕ(x) được gọi là nửa liên tục dưới yếu, nếu nó nửa liên tục dưới yếu tại mọi điểm trong miền xác định của nó.

1.2 Một số khái niệm của giải tích hàm 25

Khái niệm về toán tử đơn điệu cũng có thể được mô tả dựa trên đồ thị

Gr(A) của toán tử A trong không gian tích X × X∗ Toán tử A được gọi là

đơn điệu, nếu

Chứng minh Giả sử A(x0) 6= f Khi đó, theo định nghĩa về chuẩn tồn tại một véctơ z khác 0 của X sao cho

Bổ đề 1.2 còn được gọi là bổ đề Minty, tên một nhà toán học Mỹ, người

đã chứng minh trong trường hợp không gian Hilbert Sau này cũng chínhông và F Browder chứng minh một cách độc lập cho trường hợp không gianBanach (xem [12], [57])

Bổ đề này vẫn còn có hiệu lực, khi bất đẳng thức trong bổ đề đúng với x thuộc một tập trù mật chứa và bao quanh x0

Bổ đề 1.3 Cho D là một tập mở, chứa điểm 0 và giới nội trong không gian

Euclid E n và cho A là một ánh xạ liên tục đưa bao đóng D vào E n Khi đó, nếu

cho nên kA t (x)k > 0 với mọi x ∈ Γ và t ∈ [0, 1] Do đó, bậc của ánh xạ

A t (x) đối với 0, tức là d(A t (x), D, 0), bất biến với mọi t ∈ [0, 1] Nhưng, d(A1(x), D, 0) = 1, cho nên

d(A(x), D, 0) ≡ d(A0(x), D, 0) = 1.

Theo định lý về bậc tôpô (xem [52]) tồn tại nghiệm của phương trình A(x) =

0 và nghiệm x này thuộc D Bổ đề được chứng minh.

1.2 Một số khái niệm của giải tích hàm 27

Xét hình cầu

D r = {x ∈ X : kxk ≤ r}

của không gian Banach phản xạ X Có thể coi hình cầu này như một không gian tôpô với tôpô tạo bởi tôpô yếu của không gian X Vì trong không gian

Banach phản xạ mọi hình cầu là một tập compact yếu, cho nên có thể coi

D r như một không gian tôpô compact

Một họ các tập con của một không gian tôpô được gọi là có tâm, nếugiao của một số hữu hạn các tập con của họ đó khác rỗng

Bổ đề 1.4 Để một không gian tôpô là compact điều kiện cần và đủ là giao

của họ bất kỳ các tập con đóng có tâm là khác rỗng.

Đặt tập

E x (y) = {y ∈ D r : A(x), x − y

≥ 0},

ở đây x là một phần tử bất kỳ của X và A là một ánh xạ từ X vào X∗

sao cho A(z), z

≥ 0, nếu kzk > r Tập E x (y) là đóng và lồi Thật vậy, với

Chứng minh Ta chứng minh rằng mỗi họ con E x1 (y), E x2 (y), , E xn (y), x i 6=

x k , i, k ≤ n, có giao không rỗng Để làm được điều đó, ta xét một tổ hợp

tuyến tính

z = α1x1 + α2x2+ + α n x n với mọi véctơ số α = (α1, α2, , α n) Véctơ này thuộc không gian Rn Dễ

dàng nhận thấy, nếu α ∈ R m , thì z thuộc không gian m-chiều Cũng dễ dàng nhận thấy, tồn tại một số dương r > 0 sao cho khi |α| = r thì kzk > r Xét

Vì vậy, trên biên của hình cầu |α| ≤ r ta có Q(α), α

> 0 Theo giả thiết của bổ đề trên, tồn tại α0 = (α01, α02, , α0n ) sao cho Q(α0) = 0 Suy ra,

kz0k < r, ở đây r cũng là một số dương cố định và r < 2M Vì A(x) là một

ánh xạ đơn điệu, cho nên

1.2 Một số khái niệm của giải tích hàm 29

Định lý 1.3 Cho A là một toán tử đơn điệu và h-liên tục từ không gian

Banach phản xạ X vào X∗ thoả mãn điều kiện: tồn tại một số dương M sao cho với mọi véctơ x ∈ X : kxk ≥ M , thì

A(x), x

> 0.

Khi đó, phương trình A(x) = 0 có ít nhất một nghiệm.

Chứng minh Theo bổ đề trên, tồn tại một số dương r > 0, sao cho

Theo bổ đề trên suy ra, A(x0) = 0 Định lý được chứng minh

Định lý 1.4 Cho A là một toán tử h-liên tục, đơn điệu và bức từ không

gian Banach phản xạ X vào X∗ Khi đó, A là tràn ánh, tức là phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ X∗.

Chứng minh Do A là bức, cho nên tồn tại một hàm thực không âm γ(t) : γ(t) → +∞ khi t → +∞ và

A(x), x

≥ kxkγ(kxk).

Xét ánh xạ a f (x) = A(x) − f , ở đây f ∈ X∗ là một phần tử bất kì Khi đó,

a f cũng là một ánh xạ liên tục và đơn điệu Hơn thế nữa,

Chú ý 1.1 Nếu ở định lý trên toán tử A là đơn điệu chặt, thì ánh xạ ngược

A−1 cũng là đơn ánh.

Nếu A thoả mãn điều kiện

kA(x) − A(y)k ≥ γ0(kx − yk),

ở đây γ0(t) là một hàm tăng dần, liên tục với mọi t ≥ 0 và γ0(0) = 0, thì ánh xạ A : X → X∗ là đồng phôi Có nghĩa là nó là một song ánh liên tục.

Cũng cần lưu ý rằng, hai định lý trên được chỉ ra một cách độc lập bởi

F Browder và G Minty Vơi thêm tính chất thế năng của toán tử A hoặc A

là một toán tử mạnh thoả mãn điều kiện trên, thì điều đó được F Browderchứng minh (xem [14]))

Cuối cùng ta xét bài toán cực tiểu phiếm hàm f (x) trên không gian Banach X Tìm phần tử x0 ∈ X sao cho

1.2 Một số khái niệm của giải tích hàm 31

Xét trường hợp X = H là không gian Hilbert l2 với cơ sở trực chuẩn

e1 = (1, 0, , 0, ),

e2 = (0, 1, , 0, ),

e n = (0, 0, , n, ),

ke k ta được f (x k ) = 1/k Như vậy, khi k → ∞ thì

f (x k ) → 0 Do f (x) ≥ 0 và f (0) = 0, cho nên {x k} là một dãy cực tiểu

hoá Nhưng dễ dàng nhận thấy {x k } không hội tụ đến 0, khi k → ∞ vì {x k}

không giới nội (kx kk =

Cho X là một không gian Hilbert khả ly bất kỳ có hệ trực chuẩn đầy đủ {e k } Xét phiếm hàm

là dãy {x k} không giới nội Do đó, nó không hội tụ

Cuối cùng, ta phát biểu một bổ đề sẽ dùng ở trong chương V (xem [43])

Bổ đề 1.6 Cho 0 < p ≤ 1, A : X → Y là một toán tử tuyến tính giới nội,

A∗ là đối ngẫu của A còn P là một phép chiếu vuông góc trên X với X, Y là các không gian Hilbert Khi đó,

k(I − P )(A∗A) p/2 k ≤ kA(I − P )k p

1.3 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính

Để tìm nghiệm một hệ phương trình đại số tuyến tính, tồn tại nhiềuphương pháp số khác nhau Tuỳ đặc điểm của từng ma trận hệ số, ta có thểchọn phương pháp nào cho có lợi hơn cả Khi tìm nghiệm hiệu chỉnh đã đượcrời rạc hoá của bài toán không chỉnh, ta thường sử dụng tính đối xứng vàtính không âm của ma trận hệ số Trong mục này, chúng tôi giới thiệu một

số phương pháp tính toán cho trường hợp đó mà ít khi được trình bày ở tàiliệu chung về giải tích số

• Phương pháp căn bậc hai

Một trong số các phương pháp mà chúng tôi trình bày ở đây là phương

pháp căn bậc hai để tìm nghiệm của hệ phương trình đại số Ax = b với A là một ma trận vuông cấp n đối xứng và xác định dương Các thành phần của

A được kí hiệu là a và b = (b , b , , b )T là chuyển vị của véctơ hàng Ta

1.3 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính 33

có thể biểu diễn ma trận A = U∗U với

i−1

X

k=1

u ki u kj ), i < j; u ij = 0, i > j.

Do đó hệ phương trình Ax = b được chia làm hai hệ phương trình U∗y = b

và U x = y Lần lượt giải hai hệ phương trình đại số với ma trận tam giác ta

có nghiệm x.

• Phương pháp phản chiếu (đối xứng qua siêu phẳng)

Phương pháp này dựa trên phép phản chiếu mọi véctơ của không gian

Euclid En qua một siêu phẳng Q nào đó Ta kí hiệu véctơ đơn vị vuông góc

với siêu phẳng Q là w Khi đó, mọi véctơ z ∈ E n có thể phân tích thành

Gọi l và s là hai véctơ cột, l là véctơ đơn vị Véctơ w luôn có thể tìm được

để cho ma trận U chuyển s đến véctơ song song với l Để đạt được mục đích

Bây giờ, ta có thể áp dụng quá trình này vào việc đưa ma trận A về ma trận

tam giác trên như sau

có các thành phần nằm dưới đường chéo chính ở hai cột đầu tiên bằng 0 Cứ

tiếp tục như vậy n − 1 lần, ta được ma trận tam giác

1.4 Khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh 35

Dễ dàng nhận thấy rằng nếu det A 6= 0, thì ở mỗi bước đều có véctơ s 6= 0,

cho nên quá trình trên tiến hành được đúng n − 1 lần Ta thực hiện phép biến đổi trên cho ma trận mở rộng [A, b] và khi đó nghiệm của hệ phương

1.4 Khái niệm về bài toán chỉnh và không

chỉnh

Khái niệm về bài toán chỉnh được J Hadamard đưa ra khi nghiên cứu vềảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình ellipticcũng như parabolic (xem [37])

Việc tìm nghiệm x của bất kì một bài toán nào cũng phải dựa vào dữ kiện ban đầu f , có nghĩa là x = R(f ) Ta sẽ coi nghiệm cũng như các dữ kiện đó là những phần tử thuộc không gian X và Y với các độ đo tương ứng

là ρ X (x1, x2) và ρ Y (f1, f2), x1, x2 ∈ X, f1, f2 ∈ Y.

Giả sử đã có một khái niệm thế nào là nghiệm của một bài toán Khi

đó, bài toán tìm nghiệm x = R(f ) được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ), nếu với mỗi số ε > 0 có thể tìm được một số δ(ε) > 0, sao cho từ

ρ Y (f1, f2) ≤ δ(ε) cho ta ρ X (x1, x2) ≤ ε, ở đây

x1 = R(f1), x2 = R(f2), f1, f2 ∈ Y, x1, x2 ∈ X.

Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài toán chỉnh trên cặp không gian metric (X, Y ), nếu có:

1 Với mỗi f ∈ Y tồn tại nghiêm x ∈ X.

2 Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhất.

3 Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y ).

Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thoả mãn

ba điều kiện trên Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó là sai lầm Nhất làkhi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằng máytính luôn sảy ra quá trình làm tròn số Chính sự làm tròn đó dẫn đến cáckết quả sai lệch đáng kể

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thoả mãn, bài toán tìmnghiệm được gọi là bài toán không chỉnh Đôi khi người ta gọi là bài toánđặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn

Cũng cần lưu ý rằng một bài toán có thể thiết lập không đúng đắn trêncặp không gian metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không gianmetric khác

Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.4) dữ kiện ban

đầu ở đây chính là toán tử A và vế phải f

Giả sử rằng toán tử A cho trước một cách chính xác, còn vế phải f cho bởi f δ với sai số ρ Y (f δ , f ) ≤ δ Như vậy, với (f δ , δ) ta cần phải tìm một phần

tử x δ ∈ X hội tụ đến x0, nghiệm chính xác của (1.4), khi δ → 0 Phần tử

x δ có tính chất như vậy được gọi là nghiệm xấp xỉ của bài toán không chỉnhtrên Nếu ta kí hiệu

Q δ = {x ∈ X : ρ Y (A(x), f δ ) ≤ δ},

thì nghiệm xấp xỉ của phương trình trên phải nằm trong tập Q δ Nhưng rất

tiếc là tập Q δ này lại quá lớn, tức là có các phần tử cách nhau rất xa Chính

vì vậy, không phải tất cả các phần tử của Q δ có thể coi là nghiệm xấp xỉ

của (1.4) được Vì lẽ đó, bài toán đặt ra là phải chọn phần tử nào của Q δ

làm nghiệm xấp xỉ cho (1.4) Muốn thực hiện việc chọn đó cần thiết phải có

thông tin khác nữa về nghiệm chính xác x Trong các công trình [40]-[42]

1.4 Khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh 37

việc sử dụng thông tin mang tính số lượng dẫn đến phương pháp tựa nghiệm.Còn dùng thông tin chất lượng (tính trơn hoặc tính đơn điệu của nghiệm )cho ta một hướng khác trong việc xây dựng thuật toán tìm nghiệm xấp xỉcho bài toán không chỉnh (1.4)

Chúng ta sẽ lần lượt nghiên cứu các thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ chobài toán không chỉnh ở các chương tiếp theo

Các phương pháp giải bài toán không chỉnh

Việc tìm các xấp xỉ của nghiệm, còn được gọi là nghiệm xấp xỉ, cho mộtbài toán không chỉnh, khi biết thêm thông tin về nghiệm như tính lồi, tínhđơn điệu, tính biến phân bị chặn cũng như tính khả vi được xác định dựatrên đặc tính của bài toán Những thông tin thêm về nghiệm cho phép ta

có thể tìm nghiệm xấp xỉ trong một tập hẹp hơn như là tập compact chẳnghạn Trong chương này ta sẽ xét một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ dựatrên thông tin bổ sung về nghiệm

2.1 Phương pháp chọn 39

2.1 Phương pháp chọn

Xét phương trình toán tử

với A là một toán tử từ một không gian metric X vào không gian metric Y

Phương trình toán tử trên thường được gọi là phương trình loại I Giả sử

tồn tại toán tử nghịch đảo A−1, nhưng nói chung A−1 không liên tục Khi

đó, bài toán (2.1) đặt không chỉnh

Một trong các phương pháp đầu tiên được sử dụng rộng rãi để tìm nghiệmxấp xỉ của bài toán không chỉnh (2.1) là phương pháp chọn Phương phápnày được tiến hành như sau Giả sử có thêm thông tin khẳng định nghiệm

nằm trong một tập M (⊂ X) ta tính A(x) với x là một phần tử bất kì của

M Nghiệm xấp xỉ của bài toán (2.1) chính là phần tử ˜ x ∈ M sao cho

ρ Y (A(˜ x), f0) = inf

x∈M ρ Y (A(x), f0) (2.2) Khi vế phải f0 của (2.1) cho chính xác ta cần tìm nghiệm chính xác x0

Thông thường tập M được chọn sao cho mỗi phần tử x của M phụ thuộc vào hữu hạn tham số để cho M là một tập đóng và giới nội trong không gian hữu hạn chiều Nếu x0 ∈ M , thì inf x∈M ρ Y (A(x), f0) = 0 và phần tử đó cho

cực tiểu phiếm hàm trên M Thực tế, do việc cực tiểu độ khớp ρ Y (A(x), f0)được tiến hành một cách xấp xỉ (có sai số), cho nên vấn đề đặt ra là có thểtìm được nghiệm xấp xỉ với độ chính xác tuỳ ý bằng phương pháp cực tiểunào đó hay không?

Cho {x n } là một dãy cực tiểu hoá của phiếm hàm ρ Y (A(x), f0) Với điều

... tốn khơng chỉnh dạng phươngtrình tốn tử

trong A tốn tử (ánh xạ) từ không gian metric X vào không gian metric Y đó, tuỳ thuộc vào tốn cụ thể đặt ra.

Một tập X gọi không gian... đủ gọi không gian Hilbert Không gian định chuẩn X gọi khơng

gian Banach, không gian đầy đủ Dễ dàng nhận thấy khơng

gian Ví dụ 1.5 − 1.9 không gian Banach p = chúng không< /i>... dụ dẫn đến lớp tốn quan trọng lĩnh vựctính tốn Đó lớp tốn khơng quy hay cịn gọi bàitốn đặt khơng chỉnh (hoặc khơng chỉnh) Để phát biểu nghiên cứu

nó cách tổng quát ta cần phải biết số khái