tổng hợp 200 đề thi thử thpt quốc gia môn toán có đáp án hay part 2

Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SD trong đó M là trung điểm của cạnh BC.. Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị b Có tồn t

KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 – ĐỢT 1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – TP HCM

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (2 điểm): Cho hàm số có đồ thị là (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A (-1; 4)

Câu 2 (1 điểm) Tính tích phân sau: ∫ ( )

b) Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh viên có 8 người tham gia trong đó có hai bạn Việt và Nam Các vận động viên được chia làm hai bảng A và B, mỗi bảng gồm 4 người Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để cả hai bạn Việt và Nam nằm chung một bảng dấu

Câu 5 (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AD = 2 AB, SA

⊥ (ABCD), SC = √ và góc giữa SC và (ABCD) bằng 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SD trong đó M là trung điểm của

cạnh BC

Câu 6 (1 điểm) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): và hai điểm Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc (P) Tìm điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến (Q) bằng √

Câu 7 (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang ABCD có đáy lớn CD = 3 AB,

, trung điểm của AD là M (3; 1) Tìm tọa độ đỉnh B biết √ và

đỉnh D có hoành độ nguyên dương

Câu 8 (1 điểm) Giải hệ phương trình sau:

{ √ (√ ) √ √

Câu 9 (1 điểm)

Cho x, y là các số không âm thỏa Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:

b, (d) là tiếp tuyến của (C) tại

PT⇔ sin2x +3sinx = 2⇔2 sin2x 3sinx + 1 =0 (0,25đ)

⇔sin x = 1 hoặc sin x =

* ⇔

* ⇔ [

(0,25đ) b. ∑ đ Đặt

Pt ⇔ √

⇔{

⇔ {

(0,25đ) ⇔{

⇔ (0,25đ) Do đó ta được: ⇔ Vậy nghiệm của BPT là

Câu 4: a ∑ đ Ta có: ⇔

⇔ ⇔ ⇔ (0,25đ) Khi đó: √ √ ∑ √ √

∑

Số hạng chứa phải thỏa mãn ⇔ ⇔ (0,25đ) Vậy số hạng chứa trong khai triển của √ √ là

b ∑ đ Gọi Ω là không gian mẫu Số phần của Ω là | Ω|=

Gọi C là biến cố “cả hai bạn Việt và Nam nằm chung một bảng dấu” Ta có: Số phần tử của Ω là |Ω | (0,25đ) Vậy xác suất để cả hai bạn Việt và Nam nằm chung một bảng dấu là |Ω| Ω|| (0,25đ) Câu 5: ∑

⃗⃗⃗⃗⃗ và véc tơ pháp tuyến của (P) là ⃗⃗⃗⃗

Gọi ⃗⃗⃗⃗ là véc tơ pháp tuyến của (Q) Ta có:

Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

* : Chọn

=>D (d; (loại) (0,25đ) Vậy

Câu 8: Giải hệ phương trình sau:

{ √ (√ ) √ √

(0,25đ) Khi √ và khi x = 2 => y = 0

*√ mà à Thử lại ta có x= 2, y = 0 là nghiệm Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là √ (0,5đ)

Đặt Ta có: √

Ta có: *

=

=> (0,25đ) *

=>

√

√

= √ (0,25đ) = [√ ]

⇔ √

Ta có: ( ) và ( √ ) √ (0,25đ) Vậy √ và ( )

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 (Ngày thi: 28/12/2014) lần I

Môn: Toán – Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 ( ID: 81791 )(2 điểm + 2 điểm) Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị

b) Có tồn tại hay không tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc Chứng minh rằng có duy nhất một tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm uốn

Câu 2 ( ID: 81793 )(1 điểm + 1 điểm)

Câu 4 ( ID: 81796 )(1 điểm + 1 điểm)

a) Cho tập , hỏi có bao nhiêu số chẵn gồm 3 chữ số phân biệt của A b) Tìm số phức z thỏa mãn ̅ ̅

Câu 5 ( ID: 81798 )(1 điểm + 1 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy

ABCD là hình thoi cạnh a, ̂ √ √ , O và O’ là tâm của ABCD và

A’B’C’D’ Tính theo

a) Thể tích của khối lăng trụ ;

b) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng , và khoảng cách giữa hai đường thẳng AO’

và B’O

Câu 6 ( ID: 81800 ) ( 2 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC A’,

B’, C’ là các điểm sao cho và là hình bình hành Biết

và là trực tâm của các Tìm tọa độ các đỉnh của

Câu 7 ( ID: 81803 )(1 điểm + 1 điểm) Trong không gian với hệ tea độ Oxyz, cho mặt cầu

, các điểm và a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua các điểm A, B và C

b) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn (C) là giao của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S),

và viết phương trình mặt cầu (S’) đồng tâm với mặt cầu (S’) và tiếp xúc với mặt phẳng (P)

Câu 8 ( ID: 81805 )(2 điểm) Giải hệ phương trình {

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015

Câu 1: (4 điểm)

a) 2điểm

+ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1,00đ)

Ta có: (0,25đ)

Đổi trục tọa độ ta được hệ trục UXY (0,25đ)

Phương trình của đường cong trong hệ trục tọa độ mới là (0,25đ)

Hàm số mới là hàm lẻ nên đồ thị của nó nhận điểm uốn làm tâm đối xứng (0.25đ)

b) 2 điểm

Ta có => không tồn tại tiếp tuyến có hệ số góc (0,50 đ) Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là

(0,50đ) Tiếp tuyến đi qua điểm uốn

Ta có: AO // = O’C’ => AOC’O’ là hình bình hành => A’O // OC’ =>AO’ // (OB’C’)

=>d(AO’;B’O) = d(O’;(OB’C’)) Gọi I là hình chiếu của O’ lên B’C’ => OI B’C’

Ta có: OO’ // AA’ => OO’ (A’B’C’D’) => OO’ B’C’ => B’C’ (OO’I)

Gọi K là hình chiếu của O’ lên OI => O’K OI, B’C’ O’K => O’K (OB’C’)

K

Ta có ABA’C’ là hình bình hành nên AC // BA’ và AB // CA’ (0,50đ)

là trực tâm của ΔBCA’ => CH1 BA’ và BH1 CA’

=> CH1 AC và BH1 AB => ABH1C nội tiếp được

Gọi (K) là đường tròn ngoại tiếp ΔABC => và A đối xứng nhau qua K

Tương tự và B đối xứng với nhau qua K Vậy (K) cũng là đường tròn ngoại tiếp

=>Tọa độ I’ là nghiệm của hệ

{

{

(0,25đ) Câu 8: (2,0đ) Hệ đã cho tương đương với (0,50đ) {

{

{

{

{

(0,50đ) { [ (1.00đ)

Vậy phương trình có 2 nghiệm (1; 1) và ( -1; -1) Câu 9: (2,0đ) Bất đẳng thức đã cho tương đương với (1,00đ)

Bất đẳng thức đã cho được chứng minh khi ta có: (1,00đ) Thật vậy, do a < nên bất đẳng thức trên tương đương với

Từ a > 0 nên theo bất đẳng thức AM-GM ta nhận được √

Dấu bằng xảy ra a = 1

Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra a = b = c = 1

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 4 2

x 4x 3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2) Tìm m để phương trình x4 4x2 3 m có 4 nghiệm phân biệt

b) Gọi A là tập hợp số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7

Chọn ngẫu nhiên một số trong tập A Tính xác suất để số chọn ra có tổng các chữ số là một

số chẵn

Câu 5 (1,0 điểm).Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt bên

(SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) Góc giữa đường thẳng SC và mặt

đáy (ABCD) bằng 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường

thẳng BD và SC theo a

Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD với A(-2;0) và

đường thẳng d : 3x 4y 6 0   cắt đoạn thẳng BC Khoảng cách từ B và D tới đường thẳng d

lần lượt là 1 và 3 Đỉnh C thuộc đường thẳng x – y+4=0 và có hoành độ không âm Tìm tọa

độ các đỉnh B, D

Câu 7 (1,0 điểm).Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt

phẳng: P : x y 2z 3    và hai điểm 0 A 2;1;3 ;   B 6; 7;8   Tìm tọa độ điểm M thuộc

mặt phẳng (P) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 LẦN II

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

Câu 9 (1,0 điểm) Với các số thực: 0 a,b,c 2  thỏa mãn a  b c 3 Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức P 1 a  1 b  1 c

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015

Môn: Toán (Đáp án gồm 4 trang)

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ các số đã cho mà có 2 chữ số chẵn, 2 chữ

số lẻ là: C C 4!24 23 432 (số).Vậy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ các chữ

0,25

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

F

Gọi H, K, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, D, C trên d, F là hình chiếu

vuông góc của C trên DK

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7

(1.0đ)

Ta có: 2 1 2.3 3 6 7 2.8 3        nên A, B nằm cùng một phía đối với (P)  0

Phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P) là:

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

Suy ra: 1 c  Theo (*) ta có: 2 P 1 1 a  b 1 c  1 4 c  1 c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là: 1 2 3

0,25

Câu 1 ( ID: 79177 ) (2,0 điểm)

Cho hàm số y = x3

– 3x2 + 2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho

2 Tìm a để phương phương trình x3

– 3x2 + a = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt

Câu 2 ( ID: 79180 ) (2,0 điểm)

Giải các phương trình sau:

1 Giải phương trình log (2 x 3) 2log4x 2

2 Giải phương trình: 4sin2 2 3

Câu 3 ( ID: 79183 )(1,5 điểm)

1 Tìm nguyên hàm sau: I = (x 2 3sin )x dx





3 Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ để tham gia đồng diễn Tính xác suất sao cho 5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số học sinh

nữ ít hơn số học sinh nam

Câu 4 ( ID: 79185 ) (1,5 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm 0, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 450

1 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a

2 Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a

3 Tính khoảng cách từ điểm 0 đến mặt phẳng (SCD) theo a

Câu 5 ( ID: 79188 ) (1,0 điểm)

Giải hệ phương trình:{ ( √ ) √ √

( ) ( ) √

Câu 6 ( ID: 79189 ) (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng 0xy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh AD sao cho AN = 2ND Giả sử đường thẳng CN có phương trình x + 2y -11 = 0 và điểm M(5 1;

ĐÁP ÁN Câu 1: (2,0 điểm)

1 (1,5 điểm) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3





  

 Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;0); đồng biến trên các khoảng (-;-2) và (0;+) + Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -2, yCT = 3, đạt cực tiểu tại x = 0; yCĐ = -1

+ Giới hạn: lim

x ; lim

x  0,5 + Bảng biến thiên:

Phương trình tương đương với log (2 x 3) 2 x(x 3) 4 0,25

Giải và kết hợp điều kiện thu được nghiệm x = 4 0,25

k x

x

x

x x

TH1: 1 học sinh nữ và 4 học sinh nam, suy ra số cách chọn là 1 4

1 (0,5 điểm)

VS.ABCD = 1

3SA.dt(ABCD) Trong đó dt(ABCD) = a2

0,25 Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB) bằng góc

3 0

MC  0,25

Do C thuộc đường thẳng CN nên (11-2c;c) từ

3 102

5c 35c 50 0

    0,25 Tìm được C(7;2); C(1;5) 0,25

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI KÌ THI THỬ CHUẨN BỊ KÌ THI THPT QUỐC

GIA TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát

đề

Câu 1 ( ID: 79392 ) (4 điểm)Cho hàm số:

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Gọi Δ là đường thẳng đi qua A (1; 4) có hệ số góc k Tìm giá trị của k để đường thẳng

Δ cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D Chứng minh rằng các tiếp tuyến của (C) tại các điểm B và D có hệ số góc bằng nhau

Câu 2 ( ID: 79393 ) (4 điểm) Giải các phương trình

Câu 5 ( ID: 79396 ) (1.5 điểm)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD,

đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = AD = a Tính khoảng cách giữa

đường thẳng AB và SC

Câu 6 ( ID: 79397 ) (1.5 điểm) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 tới 16, chọn ngẫu

nhiên 4 thẻ.Tính xác suất để bốn thẻ được chọn đều đánh số bởi các số chẵn

Câu 7 ( ID: 79398 ) (2.5 điểm)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Qua

B kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại H Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn

thẳng CH, BH và AD Biết rằng

E( ), F ( ) và G(1; 5)

1) Tìm tọa độ điểm A

2) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE

Câu 8 ( ID: 79399 ) (2 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện có các đỉnh

Đáp án: Đề trường ĐHSP Hà Nội Câu 1:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 2; yCĐ = 6

3 Đồ thị

=>U (1; 4) là điểm uốn

Đồ thị giao với Oy tại điểm (0; 2)

Đồ thị nhận điểm U (1; 4) làm tâm đối xứng

Gọi xB; xD là nghiệm của PT (2) Theo hệ thức Vi ét ta có: xB + xD = 2 (*)

Ta có Hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại các điểm B, D là:

( )

( ) (0.5 điểm)

Sử dụng kết quả (*) ta có: ( ) ( )

( )( ) Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại 2 điểm B và D bằng nhau (0.5 điểm)

Câu 2:

PT (sin x + cos x)2

(cosx – sin x) = cos 2x (cos2

x – sin2x) (sinx + cosx) = cos2x (0.5 điểm)

cos2x (sinx + cosx) – cos2x = 0

2

cos2x (sinx + cosx – 1) = 0 (0.5 điểm)

(0.5 điểm)

PT

√( )( ) √ (√ ) (√ ) √( )( ) √ √ (√ √ ) (√ √ ) (√ √ )(√

Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SC bằng √ (0.5 điểm)

Câu 6: Số phần tử của không gian mẫu Ω là |Ω| = (0.5 điểm)

Gọi A là biến cố chẵn Ω, là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A Khi đó số phần tử của

Từ giả thiết ta có: BH ⊥AC

=>E là trực tâm của ΔABE Khi đó B là giao điểm của đường thẳng BH với đường thẳng

đi qua A vuông góc với EF

Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) nên đường thẳng đi qua A vuông góc với EF có phương trình:

Gọi O (x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABE; kẻ đường kính EK

Ta có tứ giác AKBF là hình bình hành, khi đó 2 đường chép KF và AB cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Ta có I (3; 1)

Mặt khác O là trung điểm của EK, suy ra IO là đường trung bình của ΔEFK

Suy ra mp (ABC) có véc tơ pháp tuyến là ⃗ ( )

Mặt phẳng ( ) đi qua D song song với mp(ABC) cũng có véc tơ pháp tuyến là

Câu 1 ( ID: 84817 ) (2,0 điểm)

Cho hàm số

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2, Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm sao cho √

Câu 2 ( ID: 84818 ) (1,0 điểm) Giải phương trình

Câu 3 (ID: 84819 ) (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

{

√ √ √

Câu 4 (ID: 84820 ) (1,0 điểm) Tính tích phân

2 Tính góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (AA’C’C)

Câu 6 ( ID: 84822 ) (1,0 điểm)

Chứng minh rằng phương trình có đúng 3 nghiệm thực phân biệt

Câu 7 ( ID: 84823 ) (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng

và hai điểm Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nhận G làm trọng tâm và đường thẳng Δ chứa đường trung trực của cạnh AC

Câu 8 ( ID: 84824 ) (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

và đường thẳng Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) và mặt phẳng (

Câu 9 ( ID: 84825 ) (1,0 điểm) Trong một lớp học có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ

Nhà trường cần chọn 4 học sinh để thành lập tổ công tác tình nguyện Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu 1 (2đ)

Tiếp tuyến tại điểm (0,5đ) Tiếp tuyến tại điểm

Phương trình (*) trở thành

(0,25đ)

Nếu thì √ √

Nếu thì √ √ => PT vô nghiệm

Tóm lại phương trình có các nghiệm là (0,25đ)

Vậy thể tích hình lăng trụ là √ (0,5đ)

2, Kẻ BH ⊥ AC, khi đó BH ⊥ (AA’C’C)

Suy ra góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (AA’C’C) là góc ̂

Trong tam giác vuông A’BH có ̂

√

√ ̂ Vậy góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (AA’C’C) là (0,5đ)

Câu 6 (1đ)

Xét hàm số Ta có

Tam thức bậc hai có nên có hai

nghiệm phân biệt (0,5đ)

Do ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Khi đó trung điểm của AB là và ⃗⃗⃗⃗⃗

Suy ra đường trung trực của AB có phương trình (0,25đ)

Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình

{ Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (0,25đ)

Câu 8 (1đ)

Gọi I, r là tâm và bán kính mặt cầu (S) Ta có (0,25đ) Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng và mặt phẳng khi và chỉ khi

Số phần tử của không gian mẫu (0,25đ)

Gọi A là biến cố để 4 học sinh được chonh có cả nam và nữ Khi đó:

(0,5đ) Vây xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ là (0,25đ)