ôn tập lượng giác toán 10

Giá trị lượng giác của góc cung lượng giác 1.. Dấu của các giá trị lượng giác 3... Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt II.. VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác Để

I Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

1 Định nghĩa các giá trị lượng giác

Cho (OA OM, ) a = Giả sử M x y( ; )

x OH

y OK

cos sin

sin tan

cos cot

sin

a a

a a

a

= =

= =

Nhận xét:

· "a, 1 cos- £ a £1; 1 sin- £ a £ 1

· tana xác định khi k k Z,

2

p

a ¹ + p Î · cota xác định khi a ¹k k Z p, Î

· sin(a+k2 ) sinp = a · tan(a+k p) tan= a

cos(a +k2 ) cosp = a cot(a +k p) cot= a

2 Dấu của các giá trị lượng giác

3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

0

6

p

4

p

3

p

2

3

4

p

2

p

2p

00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600

2

2 2

3

3 2

2

2

2 2

1

1 2

2

3 3

CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Phần tư

cosin

O

cotang

M

K

B S

a

T

4 Hệ thức cơ bản:

sin a+ cos a = ; tan cot1 a a = ; 1 1 tan2 12 ; 1 cot2 12

5 Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

II Công thức lượng giác

1 Công thức cộng

2 Công thức nhân đôi

sin 2a =2sin cosa a

cos2a =cos a -sin a =2 cos a- = -1 1 2sin a

tan 2 2 tan2 ; cot 2 cot2 1

2 cot

1 tan

a a

sin(a b+ ) sin cos= a b +sin cosb a

sin(a b- ) sin cos= a b-sin cosb a

cos(a b+ ) cos cos= a b -sin sina b

cos(a b- ) cos cos= a b+ sin sina b

tan tan tan( )

1 tan tan

a b

+

-tan tan tan( )

1 tan tan

a b

+

2

p

2

p

2

2

2

p

cos( ) cos-a = a sin(p a- ) sin= a sin cos

2

p

sin( )-a = -sina cos(p a- ) = -cosa cos sin

2

p

tan( )-a = -tana tan(p a- ) = -tana tan cot

2

cot(-a) = -cota cot(p a- ) = -cota cot tan

2

3 Công thức biến đổi tổng thành tích

4 Công thức biến đổi tích thành tổng

Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)

2 2 2

1 cos2 sin

2

1 cos2 cos

2

1 cos2 tan

1 cos2

a a

a a

a a

a

-= +

=

-= +

3 3

3 2

sin 3 3sin 4sin

3tan tan tan 3

1 3tan

a

a

-=

-sin( ) tan tan

cos cos

a b

+

sin( ) tan tan

cos cos

a b

sin( ) cot cot

sin sin

a b

+

b a

sin( ) cot cot

sin sin

a + a = æça+ ö÷= æça - ö÷

a- a= æça- ö÷= - æça+ ö÷

1

2 1

2 1

2

VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác

Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG

Bài 1 Xác định dấu của các biểu thức sau:

a) A = sin 50 cos( 300 )0 - 0 b) B = sin 215 tan0 21

7

p

c) C = cot3 .sin 2

Bài 2 Cho 00< <a 900 Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = sin(a +90 )0 b) B = cos(a -45 )0

c) C = cos(2700-a) d) D = cos(2a +90 )0

Bài 3 Cho 0

2

p a

< < Xét dấu của các biểu thức sau:

c) C = sin 2

5

p a

+

3 cos

8

p a

Bài 4 Cho tam giác ABC Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = sinA+sinB+sinC b) B = sin sin sin A B C

c) C = cos cos cosA B C

Bài 5

a)

VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)

Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết

I Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại

1 Cho biết sina, tính cosa, tana, cota

· Từ sin2a +cos2a = Þ 1 cosa = ± -1 sin2a

– Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cosa = 1 sin- 2a

– Nếu a thuộc góc phần tư II hoặc III thì cosa = - -1 sin2a

· Tính tan sin

cos

a a

a

tan

a

a

2 Cho biết cosa, tính sina, tana, cota

· Từ sin2a +cos2a = Þ 1 sina = ± 1 cos- 2a

– Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc II thì sina = 1 cos- 2a

– Nếu a thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sina = - -1 cos2a

· Tính tan sin

cos

a a

a

tan

a

a

3 Cho biết tana, tính sina, cosa, cota

· Tính cot 1

tan

a

a

· Từ 12 1 tan2

1 cos

1 tan

a

a

= ±

– Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc IV thì

2

1 cos

1 tan

a

a

=

– Nếu a thuộc góc phần tư II hoặc III thì

2

1 cos

1 tan

a

a

=

· Tính sina =tan cosa a

4 Cho biết cota, tính sina, cosa, tana

· Tính tan 1

cot

a

a

· Từ 12 1 cot2

1 sin

1 cot

a

a

= ±

– Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc II thì

2

1 sin

1 cot

a

a

=

– Nếu a thuộc góc phần tư III hoặc IV thì

2

1 sin

1 cot

a

a

=

II Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức

· Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức

· Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết

III Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG

Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:

A2+B2=(A B+ )2-2AB A4+B4 =(A2+B2 2) -2A B2 2

A3+B3=(A B A+ )( 2-AB B+ 2) A3-B3=(A B A- )( 2+AB B+ 2)

IV Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình

· Đặt t=sin , 02x £ £ t 1 Þ cos2x t = Thế vào giả thiết, tìm được t

Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính

· Thiết lập phương trình bậc hai: t2- + = với S x y P xy St P 0 = + ; = Từ đó tìm x, y

Bài 1 Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:

a) cosa 4, 2700 a 3600

5

2 5

p

a = - < < a

c) sina 5 , a

13 2

3

a = - < <a

e) tana 3, a 3

2

p p

2

p

a = - < < a p

2

p

a = p a< <

Bài 2 Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:

a) A a a khi a a

p

+

25 7

2

8 3

2sin 3sin cos 4 cos

23 47

sin 2 cos

+

55 6

3

2 cos sin

3 2

-

+

19 13

cos sin

+

3 2

-

Bài 3 Cho sina cosa 5

4 + = Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A=sin cosa a b) B=sina-cosa c) C=sin3a-cos3a

ĐS: a) 9

7 4

128

±

Bài 4 Cho tana-cota= Tính giá trị các biểu thức sau: 3

a) A=tan2a+cot2a b) B=tana+cota c) C=tan4a-cot4a

ĐS: a) 11 b) ± 13 c) ±33 13

Bài 5

a) Cho 3sin4x cos4x 3

4

+ = Tính A=sin4x+3cos4x ĐS: A 7

4

=

b) Cho 3sin4x cos4x 1

2

- = Tính B=sin4x+3cos4x ĐS: B = 1

c) Cho 4sin4x 3cos4x 7

4

+ = Tính C=3sin4x+4 cos4x ĐS: C 7 C 57

Bài 6

a) Cho sinx cosx 1

5

+ = Tính sin , cos , tan , cot x x x x

b) Cho tanx+cotx= Tính 4 sin , cos , tan , cot x x x x

ĐS: a) 4; 3; 4; 3

5 -5 -3 - 4 b)

2

-Bài 7

a)

VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết

Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết)

Bài 1 Tính các GTLG của các góc sau:

a) 120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b) 9 ; 11 ; 7 ;13 ; 5 ;10 ; 5 ;11 ; 16 ;13 ; 29 ; 31

-Bài 2 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A cos x cos(2 x) cos(3 x)

2

p

b) B 2 cosx 3cos( x) 5sin 7 x cot 3 x

d) D cos(5 x) sin 3 x tan 3 x cot(3 x)

Bài 3 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A sin( 328 ).sin 9580 0 0 cos( 508 ).cos( 1022 )0 0 0

b) B sin( 234 ) cos21600 00.tan 360

sin144 cos126

-=

c) C=cos200+cos 400+cos600+ + cos1600+cos1800 ĐS: C= - 1

d) D=cos 102 0+cos 202 0+cos 302 0+ + cos 1802 0 ĐS: D 9=

e) E=sin 200+sin 400+sin 600+ + sin3400+sin3600 ĐS: E 0=

f) 2sin(7900+x) cos(1260+ 0- +x) tan(6300+x).tan(12600- x) ĐS: F= +1 cosx

Bài 4

a)

VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác

Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức

Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:

A B C p + + = và A B C

p

Bài 1 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin4x-cos4x = -1 2 cos2x

b) sin4x+cos4x = -1 2 cos sin2x 2x

c) sin6x+cos6x = -1 3sin cos2x 2x

d) sin8x+cos8x = -1 4sin cos2x 2x+2sin cos4x 4x

e) cot2x-cos2x = cos cot2x 2x

f) tan2x-sin2x = tan sin2x 2x

g) 1 sin+ x+cosx+tanx = +(1 cos )(1 tan )x + x

h) sin tan2x x+cos cot2x x+2sin cosx x = tanx+cotx

-=

x

2

2 2

1 sin

-Bài 2 Chứng minh các đẳng thức sau:

tan tan tan tan

cot cot

+

=

2 2

+

2

2

+

2 2

1 cos 1 (1 cos ) 2 cot

=

2

2

6

-=

sin cos

Bài 3 Cho x a với a b

Bài 4 Rút gọn các biểu thức sau:

a) (1 sin ) cot- 2x 2x+ -1 cot2x b) (tanx+cot )x 2-(tanx-cot )x 2

sin sin tan

+ + d) ( sinx a y- cos )a 2+( cosx a y+ sin )a 2

g) sin (1 cot ) cos (1 tan )2x + x + 2x + x h) x x x

p p

2 2

p p

Bài 5 Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:

a) 3(sin4x+cos ) 2(sin4x - 6x+cos )6x ĐS: 1

b) 3(sin8x-cos ) 4(cos8x + 6x-2sin ) 6sin6x + 4x ĐS: 1

c) (sin4x+cos4x-1)(tan2x+cot2x+ 2) ĐS: –2

d) cos cot2x 2x+3cos2x-cot2 x+2sin2x ĐS: 2

2 3

f) x x x x

3 2

Bài 6 Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) sinB=sin(A C+ ) b) cos(A B+ )= -cosC

c) sinA B cosC

+

e) cos(A B C+ - )= -cos2C f) cos 3A B C sin 2A

2

-g) sinA B 3C cosC

2

+ +

+

-=

Bài 7

a)

VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng

sin(a b+ ) sin cos= a b +sin cosb a

sin(a b- ) sin cos= a b-sin cosb a

cos(a b+ ) cos cos= a b -sin sina b

cos(a b- ) cos cos= a b+ sin sina b

tan tan tan( )

1 tan tan

a b

+

-tan tan tan( )

1 tan tan

a b

+

Bài 1 Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:

a) 15 ; 75 ; 105 0 0 0 b) ; 5 ; 7

12 12 12

Bài 2 Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

38 25 3 11

(5 12 3) 26

-c) cos(a b).cos(a b khi) cosa 1, cosb 1

144

-d) sin(a b- ), cos(a b+ ), tan(a b+ ) khi sina 8 , tanb 5

= = và a, b là các góc nhọn

e) tana+tan , tan , tanb a b khi 0 a b, ,a b

< < + = và tan tana b = -3 2 2 Từ đó

suy ra a, b ĐS: 2 2 2- ; tana tanb 2 1, a b

8

p

Bài 3 Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:

a) A = sin 202 o+sin 1002 o+sin 1402 o ĐS: 3

2 b) B = cos 102 o+cos110o+cos 1302 o ĐS: 3

2 c) C = tan 20 tan80o o+tan 80 tan140o o+tan140 tan 20o o ĐS: –3

d) D = tan10 tan 70o o+tan 70 tan130o o+tan130 tan190o o ĐS: –3

e) E = cot 225o ocot 79 cot 71o o o

cot 259 cot 251

2 -g) G = 1 tan15o0

1 tan15

3 3

HD: 400 =600-20 ; 800 0 =600+200; 500 =600-10 ; 700 0 =600+100

Bài 4 Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin(x y+ ).sin(x y- ) sin= 2x-sin2y

tan tan

+

e) (cos70o+cos50 )(cos230o o+cos290 )o +(cos 40o+cos160 )(cos320o o+cos380 ) 0o =

tan 2 tan tan tan3

1 tan 2 tan

-=

-Bài 5 Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:

a) 2 tana=tan(a b khi+ ) sinb=sin a cos a b( + )

b) 2 tana=tan(a b khi+ ) 3sinb=sin(2a b+ )

c) tan tana b 1 khi cos(a b) 2 cos(a b)

3

k

1

1

+

HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a

c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b

Bài 6 Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) sinC=sin cosA B+sin cosB A

0

c) tanA+tanB+tanC =tan tan tan ( , ,A B C A B C¹90 )0

d) cot cotA B+cot cotB C+cot cotC A= 1

e) tan tanA B tan tanB C tan tanC A 1

f) cot A cotB cotC cot cot cotA B C

h) cos cos cosA B C sin sin cosA B C sin cos sinA B C cos sin sinA B C

i) sin2 A sin2 B sin2C 1 2sin sin sinA B C

HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 180 0 e, f) Sử dụng A B C 900

g) VT = VP = tanA h) Khai triển cos A B C

2 2 2

+ +

i) Khai triển sin A B C

2 2 2

+ +

Chú ý: Từ cos B C sinA

cos cos sin sin sin

Bài 7 Cho tam giác A, B, C Chứng minh:

a) tanA+tanB+tanC ³3 3,"D ABC nhọn

b) tan2A+tan2B+tan2C ³ 9,"D ABC nhọn

c) tan6A+tan6B+tan6C³ 81,"D ABC nhọn

d) tan2 A tan2 B tan2C 1

e) tanA tanB tanC 3

HD: a, b, c) Sử dụng tanA+tanB+tanC =tan tan tanA B C và BĐT Cơ–si

d) Sử dụng a2+b2+c2³ab bc ca+ +

và tan tanA B tan tanB C tan tanC A 1

e) Khai triển tanA tanB tanC 2

Bài 8

a)

VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân Công thức nhân đôi

sin 2a =2sin cosa a

cos2a =cos a -sin a =2 cos a- = -1 1 2sin a

tan 2 2 tan2 ; cot 2 cot2 1

2 cot

1 tan

a a

Bài 1 Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) cos2 , sin 2 , tan 2 khi cos 5 , 3

p

b) cos2 , sin 2 , tan 2a a a khi tana = 2

c) sin , cos khi sin 2 4, 3

d) cos2 , sin 2 , tan 2 khi tan 7

8

Bài 2 Tính giá trị của biểu thức sau:

a) A cos20 cos 40 cos60 cos80= o o o o ĐS: 1

16 b) B sin10 sin 50 sin 70= o o o ĐS: 1

8 c) C cos cos4 cos5

8

8 e) E sin 6 sin 42 sin 66 sin 78= o o o o ĐS: 1

16 f) G cos2 cos4 cos8 cos16 cos32

32 h) H = sin 5 sin15 sin 25 sin 75 sin 85o o o o o ĐS: 2

512 i) I =cos10 cos20 cos30 cos70 cos800 0 0 0 0 ĐS: 3

256 k) K 96 3 sin cos cos cos cos

l) L cos cos2 cos3 cos4 cos5 cos6 cos7

128

Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)

2 2 2

1 cos2 sin

2

1 cos2 cos

2

1 cos2 tan

1 cos2

a a

a a

a a

a

-= +

=

-= +

3 3

3 2

sin 3 3sin 4sin

3tan tan tan 3

1 3tan

a

a

-=

-m) M sin cos cos

8

Bài 3 Chứng minh rằng:

n n

P

a

sin cos cos cos cos

2

Bài 4 Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin4 cos4x 3 1cos 4x

4 4

8 8

c) sin cosx 3x cos sinx 3x 1sin 4x

4

e) 1 sinx 2sin2 x

4 2

p

x

2 2

-=

g)

x x

x

1 cos

2

2

p p

p

+

x

1 sin 2 tan

p

x

p

tan 2 tan tan tan3

1 tan tan 2

-=

x

2 cot tan

sin 2

n) 1 1 1 1 1 1cosx cos ,x với 0 x .

p

Bài 5

a)

VẤN ĐỀ 7: Cơng thức biến đổi

1 Cơng thức biến đổi tổng thành tích

-sin( ) tan tan

cos cos

a b

+

sin( ) tan tan

cos cos

a b

sin( ) cot cot

sin sin

a b

+

b a

sin( ) cot cot

sin sin

2 Công thức biến đổi tích thành tổng

Bài 1 Biến đổi thành tổng:

a) 2sin(a b+ ).cos(a b- ) b) 2 cos(a b+ ).cos(a b- )

c) 4sin3 sin 2 cos x x x d) 4sin13x.cos cosx x

e) sin(x+30 ).cos(o x-30 )o f) sin sin2

g) 2sin sin 2 sin3 x x x h) 8cos sin 2 sin 3 x x x

i) sin x sin x cos2x

è ø è ø k) 4 cos(a b- ).cos(b c- ).cos(c a- )

Bài 2 Chứng minh:

a) 4 cos cosx x cos x cos3x

Áp dụng tính:

A sin10 sin 50 sin 70= B cos10 cos50 cos70= o o o

C =sin 20 sin 40 sin 800 0 0 D=cos20 cos 40 cos800 0 0

Bài 3 Biến đổi thành tích:

e) 3 4 cos4+ x+cos8x f) sin 5x+sin 6x+sin 7x+sin8x

g) 1 sin 2 – cos2 – tan 2+ x x x h) sin (2 x+90 ) 3cos (o - 2 x-90 )o

i) cos5x+cos8x+cos9x+cos12x k) cosx+sinx+ 1

Bài 4 Rút gọn các biểu thức sau:

sin 7 sin8 sin 9 sin10

=

B

sin 2 2sin3 sin 4 sin3 2sin 4 sin 5

=

=

D

sin 4 sin 5 sin 6

=

Bài 5 Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A cos cos2

c) C =sin 70 sin 50 sin 102 o 2 o 2 o d) D =sin 172 o+sin 432 o+sin17 sin 43o o

1

2 1

2 1

2

a+ a = æça+ ö÷= æça- ö÷

a- a= æça- ö÷= - æça+ ö÷

e) E 1 o 2sin 70o

2sin10

sin10 cos10

-g) G tan 80o o o cot10o o o

cot 25 cot 75 tan 25 tan 75

h) H = tan 90-tan 270-tan 630+tan810

ĐS: A 1

2

64

4

=

E = 1 F = 4 G = 1 H = 4

Bài 6 Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin sin7 sin13 sin19 sin25

32 b) 16.sin10 sin30 sin 50 sin 70 sin 90 o o o o o ĐS: 1

c) cos24o+cos 48o-cos84o-cos12o ĐS: 1

2 d) cos2 cos4 cos6

ĐS: 1 2

-

e) cos cos2 cos3

2 f) cos cos5 cos7

ĐS: 0

g) cos2 cos4 cos6 cos8

h) cos cos3 cos5 cos7 cos9

2

Bài 7 Chứng minh rằng:

a) tan 9o-tan 27o-tan 63o+tan81o = 4

b) tan 20o-tan 40o+tan80o = 3 3

c) tan10o-tan 50o+tan 60o+tan 70o =2 3

d) tan30o tan 40o tan 50o tan 60o 8 3.cos20o

3

e) tan 20o+tan 40o+tan80o+tan 60o =8sin 40o

f) tan 206 o-33tan 204 o+27tan 202 o- = 3 0

Bài 8 Tính các tổng sau:

a) S1=cosa+cos3a+cos5a + cos(2+ n-1)a (a ¹k p)

2 =sinp +sin2p +sin3p + sin+ ( -1)p.

3 cosp cos3p cos5p cos(2 -1)p.

p

ĐS: S n

1 sin 2

2sin

a a

n

2

p

n

3= -cos p ;

S

a

sin

n x S

x

1

5 tan 2 tan 2

-=

Bài 9

a) Chứng minh rằng: sin3x 1(3sinx sin 3 ) (1)x

4

-b) Thay x a n vào tính S n 3a 3 a n 1 3 a n

2

3

Bài 10

a) Chứng minh rằng: a a

a

sin 2 cos

2sin

2

cos cos cos

n n

x P

x

2 sin 2

=

Bài 11

x

2

a

a

-Bài 12

a) Chứng minh rằng: tan tan 22x x = tan 2x-2 tanx

2

-Bài 13 Tính sin 2 , biết: 2 x

8 9

Bài 14 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cotx-tanx-2 tan 2x = 4 cot 4x b) x x

2

1 2sin 2 1 tan 2

1 sin 4 1 tan 2

=

2 6

x

tan 4

cos 4 sin 2 cos2

+ e) tan 6x-tan 4x-tan 2x = tan 2 tan 4 tan 6x x x

x

sin 7 1 2 cos2 2 cos 4 2 cos6

g) cos5 cos3x x+sin 7 sinx x=cos2 cos 4x x

Bài 15

a) Cho sin(2a b+ ) 5sin= b Chứng minh: a b

a

2 tan( ) 3 tan

+

=