ôn thi lượng giác (lớp 12)

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 1 Chương VI: LƯỢNG GIÁC BÀI 1: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC I. Khái niệm cung và góc lượng giác: 1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó đã chọn một chiều di động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm.Ta qui ước chọn chiều ngược chiều kim đồng hồ làm chiều dương Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A, B. Điểm M di động trên đường tròn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo thành một cung đgl cung lượng giác Kí hiệu : AB chỉ cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B Với 2 điểm A, B có vô số cung lượng giác. 2. Góc lượng giác: Trên đường tròn định hướng cho cung lượng giác CD điểm M di động trên đường tròn từ C đến D. Tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến OD. Khi đó tia OM tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là OC tia cuối là OD. Kí hiệu: (OC,OD) 3-Đường tròn lượng giác : Đường tròn lượng giác: là đường tròn định hướng tâm O bán kính R=1và cắt Ox tại A(1; 0) A’(-1; 0); cắt Oy tại B(0; 1) B’(0; -1). II. Số đo của cung và góc LG: 1. Độ và radian Trên đường tròn tùy ý cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad 180 0 =  rad 1 0 = 180  rad và rad=( 180  ) 0 với   3,14; 1 0  0,01745rad Chú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị radian, ta thường không viết chữ rad sau số đó. Ví dụ: 3  ; 2  *Bảng chuyển đổi thông dụng: Độ 30 0 45 0 60 0 90 0 180 0 360 0 - + A + A'(-1; 0) B'(0; -1) B(0; 1) O A(1; 0) Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 2 rad 6  4  3  2   2  *Độ dài của một cung lượng giác Độ dài cung có số đo  rad của đường trịn bán kính R là : l = R  § 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG I. Các giá trị lượng giác của cung  1) Định nghĩa : Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM =  . Khi đó : + Khi đó tung độ y= OK của điểm M gọi là sin của  kí hiệu là sin   sin = y . + Khi đó hoảnh độ x= OH của điểm M gọi là côsin của  kí hiệu là cos   cos = x . + Nếu cos   0, tỉ số   cos sin gọi là tang của  kí hiệu tan  (hoặc tg ) tan=   cos sin + Nếu sin   0, tỉ số   sin cos gọi là côtang của  kí hiệu cot  (hoặc cotg ) cot =   sin cos . Các giá trị sin  , cos  , tan  , cot  được gọi là các giá trị lượng giác của cung  . Trục tung còn gọi là trục sin, trục hoành còn gọi là trục cosin. * Chú ý : - Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác. - Nếu 0 0    180 0 thì các giá trị lượng giác của  cũng chính là các tỉ số lượng giác của góc  trong SGK HH10. 2) Các hệ quả : a) sin và cos đều được xác định  R. Ta có: sin( + k2) = sin cos( + k2) = cos 1  sin  ,cos   1 b)  m  R, 1≤m≤ 1 đều tồn tại  và  sao cho sin = m và sin =m c) tan xác định khi   2  + k  , k  Z. cot  xác định khi   k  , k  Z. c) Dấu của các giá trị lượng giác Góc phần tư Góc lượng giác I II III IV sin + +   cos +   + tan +  +  cot +  +  B' B A' A O M (x;y)  K H Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 3 3) Bảng giá trị lượng giác của một số cung hay góc đặc biệt : Góc Giá trị lượng giác 0(0 0 ) /6(30 0 ) /4(45 0 ) /3(60 0 ) /2(90 0 ) Sin 0 1/2 2 /2 3 /2 1 Cos 1 3 /2 2 /2 1/2 0 Tg 0 3 /3 1 3 || Cotg || 3 1 3 /3 0 || : không xác định II) Ý nghĩa hình học của tan  và cot  + tan được biễu diễn bởi độ dài đại số của véctơ AT trên trục t’At,trục này gọi là trục tang. + cot được biểu diễn bởi độ dài đại số của véctơ BS trên trục s’Bs,trục này gọi là trục cotang. Từ ý nghĩa hình học của tan  và cot ta có : tan(+k  ) = tan cot(+k  ) = cot ( k  Z ). III. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác 1/ Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản Với mọi k  Z ta có : sin 2  + cos 2  = 1 ) 2 ( 1cot. )( sin 1 cot 1 1 ) 2 ( cos 11 1 22 22         kgtg k g k tg    Ví dụ 1 : Cho sin  = 3/5 với 0<  </2. Tính cos  ? Ví dụ 2 : Cho tg  =2/3 với 3 /2 <<2 . Tính sin  và cos  ? Ví dụ 3 : Cho   /2+k  , k  Z . Chứng minh rằng : 1 cos sincos 23 3      tgtgtg Ví dụ 4 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào  A =     g g tg tg cot 1cot . 1 2 2   y x t K H AA' B' B O M T y x S H K A B' B O M Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 4 2) Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt a) Cung đối nhau :  và   sin() = sin  cos() =  cos  tan() = tan  cot() = cot  . b) Cung bù nhau :  và  sin() = sin cos() = cos tan()= tan cot()= cot  . c) Cung hơn kém nhau  :  và  +  sin(+) = sin cos(+) = cos tan(+) = tan cot(+) =cot  . d) Cung phụ nhau :  và 2    sin(/2) = cos cos(/2)= sin tan(/2) = cot cot(/2) = tan e) Cung hơn kém nhau /2 :  và 2  + (Xem) sin(/2+) = cos  cos(/2+) = sin  tan(/2+) = cot  cot(/2+)= tan  . Ví dụ : Tính a) cos(11/4) = cos (11/4) = cos(3/4 + 2) = cos3/4=cos(/4)=cos(/4). b) tg(21/4)=tg(/4+5)=tg /4 = 1. sin(1050 0 )=sin(30 0 3.360 0 ) =sin30 0 = ½ . 2. Số đo của cung lượng giác: VD: Xem hình 44 Kết luận: số đo của một cung lượng giác AM (A ≠M) là một số thực dương hay âm. Kí hiệu: số đo của cung AM là: sđAM. Ghi nhớ:Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2 . Và viết là: sđAM = 2k   , (k  Z) Trong đó  là số đo của một cung lượng giác tuỳ ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M. M  A  sđAA = 2k , (k  Z) k = 0  sđAA = 0 * Ta cũng có công thức tổng quát của số đo bằng độ của các cung lượng giác AM là: SđAM = a 0 + k360 0 , (k  Z) 3. Số đo một góc lượng giác: Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 5 Số đo của góc lượng giác (OA,OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng . Chú ý: Từ nay về sau khi nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại. 4.Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác: Để biểu diễn một cung lượng giác có số đo  trên đường tròn lượng giác ta lấy điểm A làm điểm gốc ,điểm cuối M được xác định theo hệ thức sau : sđ AM =  . Hệ thức này xác định một và chỉ một điểm M trên đường tròn lượng giác. Ví dụ 1: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác có số đo là 25 4  ; -765 0 Giải: SGK tr139 Ví dụ 2: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung sau a) 11 2  ; b) 405 0 Giải a) 11/2 = -/2 + 6. Điểm ngọn M của cung 11/2 được xác định bởi hệ thức : sđ AM = -/2 + 6 hay sđ AM = -/2 . Vậy M là điểm B’(0;-1). b) Ta có 405 0 = 45 0 + 360 0 . Điểm ngọn N của cung 405 0 được xác định bởi hệ thức: sđAN = 45 0 + 360 0 hay sđ AN = 45 0 . Vậy N là trung điểm của cung hình học nhỏ AB. Ví dụ 2 : Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung có số đo  = /2 + k , kZ. Giải kZ nên k có thể là số chẵn hoặc là số lẻ : + Nếu k chẵn thì k = 2n, nZ. Khi đó  = /2 + n2 , nZ. Vậy điểm ngọn của  là B(0;1). + Nếu k lẻ thì k = 2n - 1, nZ. Khi đó  = /2 + (2n-1) = -/2 + n2 , nZ. Vậy điểm ngọn của  là B’(0;-1). § 3 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC I) Công thức cộng Với mọi số thực a , b ta có : cos(a  b) = cosa.cosb + sina.sinb cos(a + b) = cosa.cosb  sina.sinb sin(a  b) = sina.cosb  cosa.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb tgatgb1 tgbtga )ba(tg    (a  /2 + k ;b  /2 + k ;a+b  /2 + k  ;ab  /2 + k  ) Ví dụ1 : Tính a) cos 12 13  b) sin75 0 c) tg 14 7  Ví dụ 2 : Chứng minh rằng a) tga1 tga1 )a 4 (tg     b) tga1 tga1 )a 4 (tg     Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 6 Áp dụng tính A = 0 0 151 151 tg tg    tg15 0 = ? II) Công thức nhân 1) Công thức nhân đôi sin2a = 2sina.cosa cos2a = cos 2 a  sin 2 a = 2cos 2 a  1 = 1  2sin 2 a tg2a = atg1 tga2 2  ( a  /2 + k  , a  /4 + k /2 ) * Công thức nhân ba sin3a = 3sina  4sin 3 a cos3a = 4cos 3 a  3cosa tg3a = atg31 atgtga3 2 3   Ví dụ : a) Chứng minh rằng a2sin 2 1 1acosasin 244  . b) Chứng minh rằng asinacos asinacos a2sin1 a2cos     2) Công thức hạ bậc 2 a2cos1 acos 2   2 a2cos1 asin 2   a2cos1 a2cos1 atg 2    ( a  /2 + k  ) Ví dụ : Tính a ) cos /8 b)sin /8 c) tg /8 3) Công thức tính sina, cosa, tga theo t = tg 2 a (không học) Giả sử a   + k  ,đặt t = tg 2 a ,ta có : 22 2 2 t1 t2 tga ; t1 t1 acos ; t1 t2 asin        . Ví dụ1 : Biết tg 2 a = 3 2  , tính asin54 acos32   III) Công thức biến đổi tích thành tổng cosa.cosb = 2 1 [cos(a+b) + cos(ab)] sina.sinb =  2 1 [cos(a+b)  cos(ab)] sina.cosb = 2 1 [sin(a+b) + sin(ab)] cosa.sinb = 2 1 [sin(a+b)  sin(ab)] Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 7 Ví dụ 1 : Tính các biểu thức sau : 24 sin 24 5 sinB 12 7 sin 12 5 cosA   Ví dụ 2 : Biến đổi thành tổng các biểu thức sau C = cos5x.cos3x D = 4sinx.sin2x.sin3x = 2 sin2x(2sin3x.sinx) = 2sin2xcos2x 2sin2xcos4x = sin4x sin6x + sin2x IV) Công thức biến đổi tích thành tổng 2 yx sin 2 yx sin2ycosxcos 2 yx cos 2 yx cos2ycosxcos     2 yx sin 2 yx cos2ysinxsin 2 yx cos 2 yx sin2ysinxsin     sin( ) tan tan cos cos xy xy xy   Ví dụ1 : Biến đổi biểu thức cosx + sinx thành tích Khi đó ta có các công thức : ) 4 xsin(2xcosxsin ) 4 xcos(2xsinxcos ) 4 xsin(2) 4 xcos(2xsinxcos         Ví dụ 2 : Biến đổi biểu thức sau thành tích A = sinx + sin2x + sin3x = (sin3x+sinx) + sin2x =2sin2xcosx + 2sinxcosx = 2cosx(sin2x + sinx ) = . cung lượng giác Kí hiệu : AB chỉ cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B Với 2 điểm A, B có vô số cung lượng giác. 2. Góc lượng giác: Trên đường tròn định hướng cho cung lượng giác CD. học tập Online Page 1 Chương VI: LƯỢNG GIÁC BÀI 1: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC I. Khái niệm cung và góc lượng giác: 1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác: Đường tròn định hướng là một. đúng cho góc và ngược lại. 4.Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác: Để biểu diễn một cung lượng giác có số đo  trên đường tròn lượng giác ta lấy điểm A làm điểm gốc ,điểm cuối