so hang tong quat cua day truy hoi

TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN CĐ.DÃY TRUY HỒI ?. Huỳnh Việt Anh You can’t run before you can walk 1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ  Phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số khi biết công thức truy hồi tuyến tính :  Dạng 1 . Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u n ) : 0)(a2n 1n au n u 0 x 1 u ¹³ - = = ï ỵ ï í ì ?.Phương pháp : F Cách 1. Sử dụng cấp số nhân công bội là a ta được : 1 n a 1 u n u - = IVD : Xác đònh số hạng tổng quát của dãy số (u n ) được xác đònh bởi: 2 2u n u 3, u 1 n 1 ³ " = = - . Giải: Ta thấy dãy (u n ) là một cấp số nhân có công bội q = 2. Vậy : 1 n n 3.2u - = F Cách 2 . Sử dụng Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất thuần nhất Dạng : ax n+1 + bx n = 0 (1) với n = 0; 1; 2; 3 . . . trong đó a ¹ 0, b ¹ 0 là những số cho trước Phương trình đặc trưng là : a λ + b = 0 có nghiệm là λ = a b - Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân là : x n = C. λ n IVD : Cho dãy số {U n } : u 0 = – 3 1 , u n+1 = 2u n với n = 0; 1; 2; . . . Tìm số hạng tổng quát. Giải : Ta có : u n+1 = 2u n Û u n+1 – 2u n = 0 Xét phương trình x – 2 = 0 có nghiệm là x = 2 Þ u n = C.2 n . Vì x 0 = – 3 1 nên : – 3 1 = C(2) 0 Û C = – 3 1 Vậy : u n = – 3 1 .2 n vietanh4839@yahoo.com TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN CĐ.DÃY TRUY HỒI ?. Huỳnh Việt Anh You can’t run before you can walk 2 Dạng 2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u n ) : 2n b 1n u n u 0 x 1 u ³ + - = = ï ỵ ï í ì ?.Phương pháp : Sử dụng cấp số cộng công sai b ta được: 1).b (n 1 u n u - = IVD : Xác đònh số hạng tổng quát của dãy số (u n ) được xác đònh bởi : 2 n 2 u u 1, u 1 n n 1 ³ " - = = - Giải: Ta thấy dãy (u n ) là một cấp số cộng có công sai d = – 2. Vậy : 3 2n 1) 2(n 1 u n + - = - - =  Dạng 3 . Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u n ) : 2n b 1n au n u 0 x 1 u ³ + - = = ï ỵ ï í ì ; a, b = const ¹ 0, a ¹ 1 ?.Phương pháp : F Cách 1. Sử dụng biến phụ đưa về cấp số nhân Viết 1 a b 1 a a.b b - - - = 1 a b 1 a ab 1n a.u n u - - - + - =Þ ÷ ÷ ø ư ç ç è ỉ - + - = - +Û 1a b 1n ua 1a b n u Đặt ÷ ÷ ø ư ç ç è ỉ - + - = - Þ - += 1a b 1n ua 1n v 1a b n u n v và 1 a b 1 u 1 v - += 1n 1 1n 1 n 1n n .a 1a b u.avvavv - ÷ ÷ ø ư ç ç è ỉ - - - +==Û=Þ (theo cấp số nhân) 1n 1 n a 1a b u 1a b u - ÷ ÷ ø ư ç ç è ỉ - += - +Û Û 1a b a 1a b uu 1n 1 n - - - += - ÷ ÷ ø ư ç ç è ỉ Vậy : 1 a a bauu 1 n 1n 1 n - ×+= - - TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN CĐ.DÃY TRUY HỒI ?. Huỳnh Việt Anh You can’t run before you can walk 3 IVD : Xác đònh số hạng tổng quát của dãy số (u n ) được xác đònh bởi : u 1 = –2, u n = 3u n – 1 – 1 " n ³ 2 Giải : Ta có : 2 1 2 3 1 +-=- nên ta viết công thức truy hồi của dãy như sau: ÷ ø ư ç è ỉ -=-=- 2 1 3 2 3 3 2 1 11 nnn uuu Đặt 2 5 2 1 1 -=Þ-= vuv nn và 1 3 - = nn vv .2 ³ " n Ta thấy : Dãy (v n ) là cấp số nhân có công bội q = 3 .3. 2 5 3. 11 1 -==Þ nn n vv Vậy 2 1 3. 2 5 2 1 3. 2 5 2 1 +-=+-=+= nn nn vu ,2,1 = " n F Cách 2. Sử dụng phép biến đổi đưa về cấp số nhân Ta có: 1).b(auabb)a(aubauu bau 1 2 123 12 u ++=++=+= + = u 4 = au 3 + b = a[a 2 u 1 + b(a + 1)] + b = a 3 u 1 + (a 2 + a + 1).b u 5 = au 4 + b = a[a 3 u 1 + (a 2 + a + 1).b ]+ b = a 4 u 1 + (a 3 +a 2 + a + 1).b - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - u n = a n -1 u 1 + (a n -2 + a n -3 + . . . . + a 3 +a 2 + a + 1).b = a n -1 u 1 + b 1 a 1a 1n × - - - Vậy : 1 a a bauu 1 n 1n 1 n - - ×+= - - 1 IVD : Xác đònh số hạng tổng quát của dãy số (u n ) được xác đònh bởi : u 1 = 2, u n = 3u n – 1 – 1 " n ³ 2 Giải : Ta có : u 1 = 2, u n = 3u n – 1 – 1 1)(.3.2311)3(3.23.2u 3.2 2 1 3 1 2 u -+= == = - - u 4 = 3.u 3 – 1 = 3[3 2 .2 + 3.(–1)] – 1 = 3 3 .2 + (3 2 + 3 + 1).(-1) TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN CĐ.DÃY TRUY HỒI ?. Huỳnh Việt Anh You can’t run before you can walk 4 u 5 = 3u 4 – 1 = 3[3 3 .2 + (3 2 + 3 + 1).(-1)] – 1 = 3 4 .2 + (3 3 +3 2 + 3 + 1).(-1) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - u n = 3 n -1 .2 + (3 n -2 + 3 n -3 + . . . . + 3 3 + 3 2 + 3 + 1).(-1) = = 3 n -1 .2 + )1( 1 3 13 1n - - - - = 2 1n1n 134.3 +- - - = 2 n 13 + F Cách 3. Sử dụng Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất không thuần nhất Dạng : ax n+1 + bx n = d (2) Nghiệm tổng quát là : x n = C.( a b - ) n + * n x Trong đó * n x là nghiệm riêng của phương trình  Nếu d n = 0 thì (2) là phương trình sai phân bậc nhất thuần nhất.  Nếu d n = d ( d = const và d ¹ 0) với mọi giá trò n = 0; 1; 2; 3 . . . thì khi đó nghiệm riêng * n x = C 1 . Thay vào (2) ta được : a. C 1 + b. C 1 = d Þ C 1 = b a d + Þ * n x = b a d + Vậy : nghiệm tổng quát của phương trình sai phân là : x n = C.( a b - ) + b a d + IVD : Cho dãy số {u n } : u 0 = – 1, u n+1 = 3u n + 7 với n = 0; 1; 2; . . . Tìm số hạng tổng quát. Giải : Ta có : u n+1 = 3u n + 7 Û u n+1 – 3u n = 7 Ta có phương trình này chính là phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất không thuần nhất ax n+1 + bx n = d n có d n = 7 là hằng số. Phương trình thuần nhất đặc trưng là : λ – 3 = 0 có nghiệm là λ = 3 Þ Nghiệm tổng quát của phương trình là : x n = C.(3) n + x * Vì d n = 7 là hằng số nên nghiệm riêng có dạng : x * = C 1 Thay vào phương trình ta có : C 1 – 3C 1 = 7 Û C 1 = 2 7 - Þ x * = 2 7 - Þ x n = C.3 n 2 7 - hay u n = C.3 n 2 7 - TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN CĐ.DÃY TRUY HỒI ?. Huỳnh Việt Anh You can’t run before you can walk 5 Vì x 0 = – 1 nên : – 1 = C.3 0 2 7 - Û C = 2 5 Vậy : u n = 2 5 .3 n 2 7 - F Cách 4 . Sử dụng tính chất của dãy số và tính chất của cấp số nhân @ Bổ sung kiến thức : Với mọi dãy số (u n ) ta luôn có : u n = (u n – u n –1 ) + (u n –1 – u n –2 ) + (u n –2 – u n –3 ) + . . . + (u 3 – u 2 ) + (u 2 – u 1 ) + u 1 IVD : Cho dãy số {u n } : u 1 = 1, u n+1 = 3u n + 6 với n Ỵ N* Tìm số hạng tổng quát. Giải : Đặt : u n = 3 n .v n Þ v n = n n u 3 , v 1 = 3 1 3 1 1 = u Þ v n+1 = nn n n n n n uu u 3 2 3 3 63 3 11 1 += + = ++ + = v n + n 3 2 Þ v n+1 – v n = n 3 2 Ta có : v n = (v n – v n –1 ) + (v n –1 – v n –2 ) + (v n –2 – v n –3 ) + . . . + (v 3 – v 2 ) + (v 2 – v 1 ) + v 1 Þ v n = 1 3 2 -n + 2 3 2 -n + 3 3 2 -n + . . . + 2 3 2 + 3 2 + v 1 = = 3 2 ( 2 3 1 -n + 3 3 1 -n + 1 3 1 -n + . . . + 2 3 2 + 3 2 +1) + v 1 Þ v n = 3 2 . 1 3 1 1 3 1 1 - - -n + v 1 = 3 2 .( 2 3 - ). 1 1 3 31 - - - n n + v 1 = 1 1 3 13 - - - n n + 3 1 Þ u n =3 n .( 1 1 3 13 - - - n n + 3 1 ) = 3 n – 3 + 3 n -1 Vậy : u n = 3 n + 3 n -1 – 3 TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN CĐ.DÃY TRUY HỒI ?. Huỳnh Việt Anh You can’t run before you can walk 6 Dạng 4. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u n ) : ï ỵ ï í ì - += = f(n)auu xu 1n n 01 Trong đó: a = const; f(n) là đa thức bậc k của n ?.Phương pháp : F Cách 1 . Sử dụng đa thức phụ đưa về cấp số nhân 1. Phân tích f(n) = g(n) – a.g(n– 1) · Nếu 1 ¹ a thì g(n) là đa thức bậc k của n · Nếu 1 = a thì g(n) là đa thức bậc k + 1 của n 2. Viết u n = u n – 1 + f(n) Û u n = au n – 1 + g(n) – a.g(n– 1) Û u n – g(n) = a[u n – 1 – g(n– 1)] Đặt : v n = u n – g(n) Þ v n – 1 = u n – 1 – g(n – 1) và khi đó ta có v 1 = u 1 – g(1) Þ v n = a.v n – 1 p dụng công thức cấp số nhân ta được : v n = v 1 .a n – 1 Û u n – g(n) = [u 1 – g(1)] .a n – 1 Vậy : u n = [u 1 – g(1)] .a n – 1 + g(n) IVD1 : Cho dãy số (u n ) ï ỵ ï í ì - -+= = 13n2uu 2u 1n n 1 . Tìm số hạng tổng quát. Giải : Đặt 3n – 1 = an + b – 2[a(n –1) + b] Cho n = 1; n = 2 ta có: ï ỵ ï í ì ï ỵ ï í ì -= = Û =- = - 5b 3a 5b 2ba 5] 1) 3(n 2[ 5 3n 2u n u 1 n - - - - - - = Þ - 5] 1) 3(n 2[u 5 3n n u 1 n + - + = + + Û - Đặt: 5 3n u v n n + + = 5 1) 3(n u v 1 n 1 n + - + = Þ - - 10 7 3.1 5 3.1 2 5 3n u v 1 1 = + = + + = + + = TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN CĐ.DÃY TRUY HỒI ?. Huỳnh Việt Anh You can’t run before you can walk 7 Þ 1 n n 2v v - = Áp dụng công thức cấp số nhân ta được : 1 n n 10.2v - = Þ 1 n n 10.253nu - =++ Vậy: 53n5.253n10.2u n 1 n n =-+= - IVD2 : Cho dãy số (u n ): ï ỵ ï í ì - ++= = 12nuu 2u 1n n 1 . Tìm số hạng tổng quát. Giải : Đặt: 1)]b(n1)[a(nbnan12n 2 2 -+ +=+ Khi n = 0; n = 1 Û =+ = + - Þ ï ỵ ï í ì 3ba 1ba ỵ í ì = = 2b 1a [ ] 1)2(n1)(n2nn12n 2 2 -+ +=+Þ [ ] 1)2(n1)(n2nnuu 2 2 1 n n -+ ++=Þ - [ ] 1)2(n1)(nu2n)(nu 2 1 n 2 n -+ =+-Û - Đặt [ ] 1)2(n1)(nuv2n)(nuv 2 1 n 1 n 2 nn -+ =Þ+-= - - và 1322.1)(1uv 2 1 1 -=-=+-= 1.1vvv1v 1 n 1 n 1 n n -==Þ-=Þ - - 12n)(nu 2 2 n -=+-Þ Vậy: 1.2nnu 2 n -+= IVD3 : Cho dãy số (u n ): ï ỵ ï í ì - =+= = 3, 2,n;23uu 1u n 1n n 1 . Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy (u n ). Giải : Đặt : 1 n n n 3a.2 a.2 2 - - = Cho n = 1, ta có: a = – 2 Þ 1 n n n 3.2.2 2.2 2 - + - = Nên ta có: 4)(u3 )2.23(u2.2u 1 1 n 1 n 1 n n n +==+=+ - - - Đặt : v n = u n + 2.2 n Þ v n – 1 = u n – 1 + 2.2 n và v 1 = u 1 + 2.2 1 = 1 + 4 = 5 Þ v n = 3v n – 1 = v 1 .3 n - 1 Þ u n + 2.2 n = 5.3 n – 1 Û u n = 5.3 n – 1 – 2 n+1 Vậy : u n = 5.3 n – 1 – 2 n+1 TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN CĐ.DÃY TRUY HỒI ?. Huỳnh Việt Anh You can’t run before you can walk 8 F Cách 2. Sử dụng Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất không thuần nhất Dạng : ax n+1 + bx n = d n Nghiệm tổng quát là : x n = C.( a b - ) n + * n x Trong đó * n x là nghiệm riêng của phương trình Nếu d n = f(n) là đa thức bậc k của n thì : * Nếu a + b ¹ 0 thì * n x = C 1 n k + C 2 n k– 1 + C 3 n k– 2 + . . . * Nếu a + b = 0 thì * n x = n.(C 1 n k + C 2 n k– 1 + C 3 n k– 2 + . . . ) IVD1 : Cho dãy số {U n } : u 0 = 1, u n+1 = 5 3u2 n n - với n = 0; 1; 2; . . . Tìm số hạng tổng quát. Giải : Ta có : u n+1 = 5 3u2 n n - Û 5u n+1 + 3u n = 2 n Ta có phương trình này chính là phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất không thuần nhất , phương trình thuần nhất đặc trưng là : 5 λ + 3 = 0 có nghiệm là λ = 5 3 - Þ Nghiệm tổng quát của phương trình là : x n = C.( 5 3 - ) n + x * Vì a + b = 5 + 3 = 8 ¹ 0 và d n = 2 n Nên gnhiệm riêng có dạng : x * = C 1 .2 n Thay vào phương trình ta có : 5C 1 .2 n+1 + 3C 1 .2 n = 2 n Û C 1 (5.2 n+1 + 3.2 n ) = 2 n Û 2 n C 1 (5.2 + 3) = 2 n Û C 1 = 13 1 Þ x * = 13 1 .2 n Þ x n = C.( 5 3 - ) n + 13 1 2 n hay u n = C.( 5 3 - ) n + 13 1 2 n Vì x 0 = 1 nên : 1 = C.( 5 3 - ) 0 + 13 1 .2 0 Û C = 13 12 Vậy : u n = 13 12 .( 5 3 - ) n + 13 1 2 n IVD2 : Cho dãy số {U n } : u 0 = 1, u n+1 = u n + 2n 2 với n = 0; 1; 2; . . . Tìm số hạng tổng quát. Giải : Ta có : u n+1 = u n + 2n 2 Û u n+1 – u n = 2n 2 TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN CĐ.DÃY TRUY HỒI ?. Huỳnh Việt Anh You can’t run before you can walk 9 Phương trình đặc trưng là : λ – 1 = 0 có nghiệm là λ = 1 Þ Nghiệm tổng quát của phương trình là : x n = C.1 n + x * = C + x * Vì a + b = 1 + ( – 1) = 0 và d n = 2n 2 là đa thức bậc hai của n nên gnhiệm riêng có dạng : x * = n(C 1 .n 2 + C 2 .n + C 3 ) = C 1 .n 3 + C 2 .n 2 + C 3 .n Thay vào phương trình ta có : Û [C 1 .(n+1) 3 + C 2 .(n+1) 2 + C 3 .(n+1)] – [C 1 .n 3 – C 2 .n 2 – C 3 .n] = 2n 2 Û C 1 .[(n+1) 3 – n 3 ] + C 2 .[(n+1) 2 – n 2 ]+ C 3. [(n+1) – n ] = 2n 2 Û C 1 .(3n 2 + 3n + 1) + C 2 .(2n + 1) + C 3 = 2n 2 Û C 1 3n 2 + C 1 3n + C 1 + C 2 2n + C 2 + C 3 = 2n 2 Û 3C 1 n 2 + (3C 1 + 2C 2 )n + (C 1 + C 2 + C 3 ) = 2n 2 Đồng nhất 2 vế ta được : Û ï ỵ ï í ì =++ =+ = 0CCC 02C3C 23C 321 21 1 Û C 1 = 3 2 ; C 2 = – 1; C 3 = 3 1 Þ x * = 3 2 .n 3 – 1.n 2 + 3 1 .n Þ x n = C + 3 2 .n 3 – 1.n 2 + 3 1 .n Mà : u 0 = 1 Þ 1 = C + 3 2 .0 3 – 1.0 2 + 3 1 .0 Þ C = 1 Vậy : u n = 1 + 3 2 .n 3 – 1.n 2 + 3 1 .n F Cách 3. Sử dụng tính chất của dãy số và tính chất của cấp số nhân @ Bổ sung kiến thức : Với mọi dãy số (u n ) ta luôn có : u n = (u n – u n –1 ) + (u n –1 – u n –2 ) + (u n –2 – u n –3 ) + . . . + (u 3 – u 2 ) + (u 2 – u 1 ) + u 1 IVD : Cho dãy số {u n } : u 1 = 3, u n+1 = u n + 2 n với n Ỵ N* Tìm số hạng tổng quát. Giải : Ta có : u n+1 = u n + 2 n Û u n+1 – u n = 2 n Þ u n – u n-1 = 2 n-1 Lại có : u n = (u n – u n –1 ) + (u n –1 – u n –2 ) + (u n –2 – u n –3 ) + . . . + (u 3 – u 2 ) + (u 2 – u 1 ) + u 1 Þ u n = 2 n -1 + 2 n -2 + 2 n – 3 + . . . + 2 2 + 2 + u 1 Û u n = 2(2 n -2 + 2 n -3 + 2 n – 4 + . . . + 2 + 1) + u 1 Û u n = 2(2 n -1 – 1) + u 1 = 2 n – 2 + 3 = 2 n + 1 Vậy : u n = 2 n + 1 TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN CĐ.DÃY TRUY HỒI ?. Huỳnh Việt Anh You can’t run before you can walk 10  Dạng 5. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u n ) : ï ỵ ï í ì -+ =++ 0ucbuau u u 1n n 1n , 10 "n ³ 2 Trong đó: a, b, c = const ¹ 0 ?.Phương pháp : Sử dụng Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai thuần nhất au n+1 + bu n + cu n -1 = 0 Xét phương trình ax 2 + bx + c = 0 giả sử có nghiệm là x 1 và x 2 · Nếu 21 xx ¹ thì u n = kx 1 n + lx 2 n trong đó k, l là nghiệm của hệ: ï ỵ ï í ì =+ = + 121 0 uxkx uk l l · Nếu x 1 = x 2 = a thì u n = (n.k + l).a n -1 , trong đó kvà l là nghiệm của hệ: ï ỵ ï í ì =+ = 1 0 uk α.u l l IVD1 : Xác đònh công thức tính số hạng tổng quát của dãy số 2. 6u 5u u 3, u 1, u : ) (u 2n1n n 10 n ³ " - = = - = Giải: Ta có : 2 n 1 n n 6u 5u u - - - = Û u n – 5u n – 1 + 6u n – 2 = 0 Xét phương trình x 2 – 5x + 6 = 0 có 2 nghiệm là x 1 = 3 , x 2 = 2 Þ u n = k.3 n + l.2 n Vì u 0 = –1, u 1 = 3 nên : ï ỵ ï í ì ï ỵ ï í ì -= = Û =+ - = + 6 5k 323k 1k ll l Vậy : u n = 5.3 n – 6.2 n IVD2 : Cho dãy số (u 2 ) được xác đònh bởi: ï ỵ ï í ì -+ ³"+= = = 1nu4uu 2u1;u 1n n 1n 10 Hãy xác đònh công thức tính số hạng tổng quát của dãy số trên. Giải : Ta có : u n + 1 = 4u n + u n – 1 Û u n + 1 – 4u n – u n – 1 = 0 Xét phương trình x 2 – 4x – 1 = 0 có 2 nghiệm là .52x;52x 2 1 -=+= [...]... walk 11 CĐ.DÃY TRUY HỒI TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN ? Huỳnh Việt Anh Xét phương trình x2 – 2x + 1 = 0 có nghiệm kép x = 1 Þ a n = (kn + l ).1n -1 = kn + l ìk + l = 4019 ìk = 2009 Vì a1 = 4019, a2 = 6098 nên : ï Ûï í í ï2k + l = 6028 ïl = 2010 ỵ ỵ Vậy : an = 2009n + 2010 Þ a100 = 202910 Loại 4 Phương pháp tuyến tính hóa công thức truy hồi phi tuyến tính : Cho dãy số (un) xác đònh bởi công thức truy hồi phi tuyến... hồi phi tuyến tính Tìm công thức truy hồi tuyến tính tính un+1 theo un và un – 1 B1 Tính u0 ,u1, u2, u3, u4 theo công thức truy hồi đã cho B2 Đặt un+1 = a.un + b.un – 1 + c Þ ì u 2 = au 1 + bu 0 + c ï í u 3 = au 2 + bu 1 + c ï u = au + bu + c 3 2 ỵ 4 Thay các giá trò u0, u1, u2, u3, u4 vào hệ phương trình trên B3 Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c rồi suy ra công thức truy hồi IVD : u 2 -1 + 2 Cho...TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN n Þ un = k.( 2 + 5 ) + l.( 2 - 5 ) Vì u0 = 1, u1 = 2 nên : [ ? Huỳnh Việt Anh CĐ.DÃY TRUY HỒI n ìk + l = 1 ï í ïk(2 + 5 ) + l(2 ỵ ] ì 1 ïk = 2 Ûï í 5 ) = 2 ïl = 1 ï 2 ỵ Vậy : u n = 1 (2 + 5 ) n + (2 - 5 ) n 2 IVD3 : Xác đònh công thức tính số hạng tổng quát của dãy ìu = 1; u = 3 1 (u... ï11a + 3b + c = 41 ỵ Vậy : un= 4un – 1 – un – 2 F Chú ý : Có những bài toán ta phải thực hiện theo trình tự sau để giải : B1 Tuyến tính hóa dãy phi tuyến tính B2 Tìm số hạng tổng quát dựa vào công thức truy hồi tuyến tính tìm được ở bước 2 B3 Dựa vào số hạng tổng quát để giải tiếp bài toán You can’t run before you can walk 12 . 4. Phương pháp tuyến tính hóa công thức truy hồi phi tuyến tính : Cho dãy số (u n ) xác đònh bởi công thức truy hồi phi tuyến tính Tìm công thức truy hồi tuyến tính tính u n+1 theo u n. THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ  Phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số khi biết công thức truy hồi tuyến tính :  Dạng 1 . Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u n ) : 0)(a2n 1n au n u 0 x 1 u ¹³ - = = ï ỵ ï í ì . C(2) 0 Û C = – 3 1 Vậy : u n = – 3 1 .2 n vietanh4839@yahoo.com TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN CĐ.DÃY TRUY HỒI ?. Huỳnh Việt Anh You can’t run before you can walk 2 Dạng 2. Tìm số hạng tổng