MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số khi biết công thức truy hồi tuyến tính : Dạng 1.. Tìm số hạng tổng quát... T
Trang 1MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
Phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số khi biết
công thức truy hồi tuyến tính :
Dạng 1
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
1 n au n
x 1
u
¹
³
-=
=
ïỵ
ï í ì
?.Phương pháp :
F Cách 1
Sử dụng cấp số nhân công bội là a ta được : un =u1an-1
IVD :
Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi:
2 2u
n u 3,
u1= = n-1 "³
Giải:
Ta thấy dãy (un) là một cấp số nhân có công bội q = 2 Vậy : n 1
n 3.2
-F Cách 2
Sử dụng Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất thuần nhất
Dạng : ax n+1 + bx n = 0 (1) với n = 0; 1; 2; 3
trong đó a ¹ 0, b ¹ 0 là những số cho trước
Phương trình đặc trưng là : aλ+ b = 0 có nghiệm là λ=
a
b
-Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân là : x n = C λn
IVD :
Cho dãy số {Un} : u0 = –
3
1, un+1 = 2un với n = 0; 1; 2; Tìm số hạng tổng quát
Giải :
Ta có : un+1 = 2un Û un+1 – 2un = 0
Xét phương trình x – 2 = 0 có nghiệm là x = 2
Þun = C.2n Vì x0 = –
3
1 nên : –
3
1 = C(2)0 Û C = –
3 1
Vậy : u = –1.2n
Trang 2Dạng 2
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
b 1 n u n
x 1
u
³ +
-=
=
ïỵ
ï í ì
?.Phương pháp :
Sử dụng cấp số cộng công sai b ta được: un =u1(n-1).b
IVD :
Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi :
2 n 2 u
u 1,
u1= n = n-1- " ³
Giải:
Ta thấy dãy (un) là một cấp số cộng có công sai d = – 2
Vậy : un =1-2(n-1)=-2n+3
Dạng 3
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
b 1 n au n
x 1
u
³ +
-=
=
ïỵ
ï í
ì
; a, b = const ¹ 0, a ¹ 1
?.Phương pháp :
F Cách 1 Sử dụng biến phụ đưa về cấp số nhân
Viết
1 a
b 1 a
a.b
b= - -
-1
ab 1
aab 1 n a.u n
u
-+
-=
Þ
÷÷
ø
ư çç
è
ỉ
-+
-= -+
Û un ab1 a un 1 ab1
ø
ư çç
è
ỉ
-+
-=
-Þ -+
1
ab n u n
1 a
b 1
u 1
-1 n 1
1 n 1 n 1
n
1
ab u
.a v v av
-ø
ư çç
è
ỉ
-=
1 n 1
n ab1 u ab1 a
-ø
ư çç
è
ỉ
-+
= -+
Û Û u n =ççèỉu 1+ a b-1÷÷øưa n-1- a b-1
Vậy :u n u 1 a n 1 b a a n 1 1
-× +
Trang 3-IVD :
Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi :
u1 = –2, un = 3un – 1 – 1 " n ³ 2
Giải :
Ta có :
2
1 2
3
1 = - +
- nên ta viết công thức truy hồi của dãy như sau:
÷ ø
ư ç
è
-=
-=
-2
1 3
2
3 3
2
1
1
n
u
Đặt
2
5 2
1
1 = -Þ
v n n và v n = 3v n-1 "n³ 2
Ta thấy : Dãy (vn) là cấp số nhân có công bội q = 3
3 2
5 3
1
=
-=
n v
v
Vậy
2
1 3 2
5 2
1 3 2
5 2
1 = - + = - + +
n
F Cách 2 Sử dụng phép biến đổi đưa về cấp số nhân
Ta có:
1).b (a
u a b b) a(au b
au
u
b
au
1
2 1
2
3
1
2
u
+ +
= + +
= +
=
+
=
u4 = au3 + b = a[a2u1 + b(a + 1)] + b = a3u1 + (a2 + a + 1).b
u5 = au4 + b = a[a3u1 + (a2 + a + 1).b ]+ b = a4u1 + (a3+a2 + a + 1).b
- - -
- - -
un = an -1u1 + (an -2 + an -3 + + a3+a2 + a + 1).b = an -1u1 + b
1 a
1
an--1- × Vậy :u n =u 1 a n-1 +b×a n a--1 1-1
IVD :
Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi :
u1 = 2, un = 3un – 1 – 1 " n ³ 2
Giải :
Ta có : u1 = 2, un = 3un – 1 – 1
1) (
3 2 3 1 1) 3(3.2 3.2
u
3.2
2 1
3
1
2
u
-+
=
-=
=
=
-u4 = 3.u3 – 1 = 3[32.2 + 3.(–1)] – 1 = 33.2 + (32 + 3 + 1).(-1)
Trang 4u5 = 3u4 – 1 = 3[33.2 + (32 + 3 + 1).(-1)] – 1 = 34.2 + (33+32 + 3 + 1).(-1)
- - -
- - -
un = 3n -1.2 + (3n -2 + 3n -3 + + 33 + 32 + 3 + 1).(-1) =
= 3n -1.2 + ( 1)
1
3n--1- - =
2
1 n 1
4.3 - - - + =
2
n 1
3 +
F Cách 3
Sử dụng Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất không thuần nhất
Dạng : ax n+1 + bx n = d (2)
Nghiệm tổng quát là : xn = C.(
a
b
- )n + *
n x
Trong đó *
n
x là nghiệm riêng của phương trình
Nếu dn = 0 thì (2) là phương trình sai phân bậc nhất thuần nhất
Nếu dn = d ( d = const và d ¹ 0) với mọi giá trị n = 0; 1; 2; 3
thì khi đó nghiệm riêng *
n
x = C1 Thay vào (2) ta được : a C1 + b C1 = d Þ C1 =
b a
d + Þ
* n
x =
b a
d +
Vậy : nghiệm tổng quát của phương trình sai phân là :
xn = C.(
a
b
- ) +
b a
d +
IVD :
Cho dãy số {un} : u0 = – 1, un+1 = 3un + 7 với n = 0; 1; 2;
Tìm số hạng tổng quát
Giải :
Ta có : un+1 = 3un + 7 Û un+1 – 3un = 7
Ta có phương trình này chính là phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất không thuần nhất axn+1 + bxn = dn có dn = 7 là hằng số
Phương trình thuần nhất đặc trưng là : λ – 3 = 0 có nghiệm là λ = 3
Þ Nghiệm tổng quát của phương trình là : xn = C.(3)n + x*
Vì dn = 7 là hằng số nên nghiệm riêng có dạng : x* = C1
Thay vào phương trình ta có : C1 – 3C1 = 7 Û C1 =
2
7
- Þ x* =
2
7
-Þ xn = C.3n
2
7
- hay un = C.3n
2 7
Trang 5-Vì x0 = – 1 nên : – 1 = C.30
2
7
- Û C =
2 5
Vậy : un =
2
5.3n
2
7
-
F Cách 4
Sử dụng tính chất của dãy số và tính chất của cấp số nhân
@ Bổ sung kiến thức :
Với mọi dãy số (un) ta luôn có :
u n = (u n – u n –1 ) + (u n –1 – u n –2 ) + (u n –2 – u n –3 ) + + (u 3 – u 2 ) + (u 2 – u 1 ) + u 1
IVD :
Cho dãy số {un} : u1 = 1, un+1 = 3un + 6 với n Ỵ N*
Tìm số hạng tổng quát
Giải :
Đặt : un = 3n.vn Þ vn = u n n
3 , v1 =
3
1
3 1
1 =
u
n
n n
u
3
2 3 3
6 3
3 1 1
1 = ++ = +
3 2
Þ vn+1 – vn = n
3 2
Ta có :
vn = (vn – vn –1) + (vn –1 – vn –2) + (vn –2 – vn –3) + + (v3 – v2) + (v2 – v1) + v1
Þ vn = 1
3
2
3
2
3
2
-n + + 2
3
2 +
3
2+ v1 =
=
3
2( 2
3
1
3
1
3
1
-n + + 2
3
2 +
3
2+1) + v1
Þ vn =
3
2
1 3 1
1 3
1 1
-n
+ v1 =
3
2.(
2
3
- ) 1 1
3
3 1
-n
n
+ v1= 11
3
1 3
-n
n
+
3 1
Þ un =3n.( 11
3
1 3
-n
n
+
3
1) = 3n– 3 + 3n -1 Vậy : un = 3n + 3n -1– 3
Trang 6Dạng 4
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) :
ïỵ
ï í
ì
- +
=
=
f(n) au
u
x u
1 n n
0 1
Trong đó: a = const; f(n) là đa thức bậc k của n
?.Phương pháp :
F Cách 1 Sử dụng đa thức phụ đưa về cấp số nhân
1 Phân tích f(n) = g(n) – a.g(n– 1)
· Nếu a¹ 1 thì g(n) là đa thức bậc k của n
· Nếu a= 1thì g(n) là đa thức bậc k + 1 của n
2 Viết un = un – 1 + f(n) Û un = aun – 1 + g(n) – a.g(n– 1)
Û un – g(n) = a[un – 1 – g(n– 1)]
Đặt : vn = un –g(n) Þ vn – 1 = un – 1 –g(n – 1) và khi đó ta có v1 = u1 – g(1)
Þ vn = a.vn – 1
Aùp dụng công thức cấp số nhân ta được : vn = v1.an – 1
Û un –g(n) = [u1 – g(1)] an – 1
Vậy : un = [u1 – g(1)] an – 1 + g(n)
IVD1 :
Cho dãy số (un)
ïỵ
ï í
ì
-=
=
1 3n 2u
u
2 u
1 n n
1 Tìm số hạng tổng quát
Giải :
Đặt 3n – 1 = an + b – 2[a(n –1) + b]
Cho n = 1; n = 2 ta có:
ïỵ
ï í
ì ïỵ
ï í
ì
-=
= Û
=
-=
-5 b
3 a 5
b
2 b a
5]
1) 3(n 2[
5 3n 2u
n
-5]
1) 3(n 2[u
5 3n
n
-Đặt: vn =un +3n+5
5 1) 3(n u
vn 1= n 1+ - +
-10 7 3.1 5 3.1 2 5 3n
u
Trang 7Þ vn =2vn-1
Áp dụng công thức cấp số nhân ta được :
1 n
n 10.2
v = - Þ un+3n+5=10.2n-1
Vậy: un =10.2n-1+3n-5=5.2n -3n-5
IVD2 :
Cho dãy số (un):
ïỵ
ï í
ì
=
=
1 2n u
u
2 u
1 n n
1 Tìm số hạng tổng quát
Giải :
Đặt: 2n+1=an2+bn-[a(n-1)2 +b(n-1)]
= +
= + -Þ
ïỵ
ï í
ì
3 b a
1 b a
ỵ í
ì
=
= 2 b
1 a [(n 1) 2(n 1)] 2n
n 1
-Þ
[(n 1) 2(n 1)] 2n
n u
un = n 1+ 2+ - - 2+
-[(n 1) 2(n 1)] u
2n) (n
un- 2+ = n 1- - 2+
-Đặt vn =un -(n2+2n)Þvn-1=un-1-[(n-1)2+2(n-1)]
và v1=u1-(12+2.1)=2-3=-1
1 1
v v v
1
vn = - n 1Þ n = 1 n 1=
Vậy: un =n2+2n-1
IVD3 :
Cho dãy số (un):
ïỵ
ï í
ì
=
=
3,
2, n
; 2 3u
u
1 u
n 1 n n
Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy (un)
Giải :
Đặt :2n =a.2n -3a.2n-1
Cho n = 1, ta có: a = – 2 Þ 2n =-2.2n +3.2.2n-1
Nên ta có: un +2.2n =3(un-1+2.2n-1)= =3n-1(u1+4)
Đặt : vn = un + 2.2nÞ vn – 1 = un – 1 + 2.2n
và v1 = u1 + 2.21 = 1 + 4 = 5
Þ vn = 3vn – 1 = v1.3n - 1
Þ un + 2.2n = 5.3n – 1 Û un = 5.3n – 1 – 2n+1
Vậy : un = 5.3n – 1– 2n+1
Trang 8F Cách 2
Sử dụng Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất không thuần nhất
Dạng : ax n+1 + bx n = d n
Nghiệm tổng quát là : xn = C.(
a
b
- )n + *
n x
Trong đó *
n
x là nghiệm riêng của phương trình Nếu dn = f(n) là đa thức bậc k của n thì :
* Nếu a + b ¹ 0 thì *
n
x = C1nk + C2nk– 1 + C3nk– 2 +
* Nếu a + b = 0 thì *
n
x = n.(C1nk + C2nk– 1 + C3nk– 2 + )
IVD1 :
Cho dãy số {Un} : u0 = 1, un+1 =
5
3u
2 n - n với n = 0; 1; 2; Tìm số hạng tổng quát
Giải :
Ta có : un+1 =
5
3u
2 n - n Û 5un+1 + 3un = 2n
Ta có phương trình này chính là phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất không thuần nhất , phương trình thuần nhất đặc trưng là : 5λ + 3 = 0 có nghiệm là λ =
5
3
-Þ Nghiệm tổng quát của phương trình là : xn = C.(
5
3
- )n + x*
Vì a + b = 5 + 3 = 8 ¹ 0 và dn = 2n
Nên gnhiệm riêng có dạng : x* = C1.2n
Thay vào phương trình ta có : 5C1.2n+1 + 3C1.2n = 2n
Û C1(5.2n+1 + 3.2n) = 2n Û 2nC1(5.2 + 3) = 2n
Û C1 =
13
1
Þ x* =
13
1 2n
Þ xn = C.(
5
3
- )n +
13
1 2n hay un = C.(
5
3
- )n +
13
1 2n
Vì x0 = 1 nên : 1 = C.(
5
3
- )0 +
13
1 20 Û C =
13 12
Vậy : un =
13
12.(
5
3
- )n +
13
1 2n IVD2 :
Cho dãy số {Un} : u0 = 1, un+1 = un + 2n2 với n = 0; 1; 2;
Tìm số hạng tổng quát
Giải :
Ta có : un+1 = un + 2n2 Û un+1 – un = 2n2
Trang 9Phương trình đặc trưng là : λ – 1 = 0 có nghiệm là λ = 1
Þ Nghiệm tổng quát của phương trình là : xn = C.1n + x* = C + x*
Vì a + b = 1 + ( – 1) = 0 và dn = 2n2 là đa thức bậc hai của n nên gnhiệm riêng có dạng :
x* = n(C1.n2 + C2.n + C3) = C1.n3 + C2.n2 + C3.n
Thay vào phương trình ta có :
Û [C1.(n+1)3 + C2.(n+1)2 + C3.(n+1)] – [C1.n3 – C2.n2 – C3.n] = 2n2
Û C1.[(n+1)3 – n3] + C2.[(n+1)2 – n2]+ C3.[(n+1) – n ] = 2n2
Û C1.(3n2 + 3n + 1) + C2.(2n + 1) + C3 = 2n2
Û C13n2 + C13n + C1 + C22n + C2 + C3 = 2n2
Û 3C1n2 + (3C1 + 2C2)n + (C1 + C2 + C3) = 2n2
Đồng nhất 2 vế ta được :
Û
ï
ỵ
ï
í
ì
= +
+
= +
=
0 C C
C
0 2C
3C
2
3C
3 2
1
2 1
1
Û C1 =
3
2; C2 = – 1; C3 =
3 1
Þ x* =
3
2.n3 – 1.n2 +
3
1.n Þ xn = C +
3
2.n3 – 1.n2 +
3
1.n Mà : u0 = 1 Þ 1 = C +
3
2.03 – 1.02 +
3
1.0 Þ C = 1 Vậy : un = 1 +
3
2.n3 – 1.n2 +
3
1.n
F Cách 3
Sử dụng tính chất của dãy số và tính chất của cấp số nhân
@ Bổ sung kiến thức :
Với mọi dãy số (un) ta luôn có :
u n = (u n – u n –1 ) + (u n –1 – u n –2 ) + (u n –2 – u n –3 ) + + (u 3 – u 2 ) + (u 2 – u 1 ) + u 1
IVD :
Cho dãy số {un} : u1 = 3, un+1 = un + 2n với n Ỵ N*
Tìm số hạng tổng quát
Giải :
Ta có : un+1 = un + 2nÛ un+1 – un = 2nÞ un – un-1 = 2n-1
Lại có :
u n = (u n – u n –1 ) + (u n –1 – u n –2 ) + (u n –2 – u n –3 ) + + (u 3 – u 2 ) + (u 2 – u 1 ) + u 1
Þ un = 2n -1 + 2n -2 + 2n – 3 + + 22 + 2 + u1
Û un = 2(2n -2 + 2n -3 + 2n – 4 + + 2 + 1) + u1
Û u n = 2(2n -1– 1) + u1 = 2n– 2 + 3 = 2n+ 1
Vậy : un = 2n + 1
Trang 10 Dạng 5
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) :
ïỵ
ï í
ì
-+ +bu +c u =0 au
u u
1 n n
1 n
, 1 0
"n ³ 2 Trong đó: a, b, c = const ¹ 0
?.Phương pháp :
Sử dụng Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai thuần nhất
aun+1 + bun + cun -1 = 0
Xét phương trình ax 2 + bx + c = 0 giả sử có nghiệm là x 1 và x 2
· Nếu x1 ¹x2 thì un = kx1 n + lx2 n
trong đó k, l là nghiệm của hệ:
ïỵ
ï í
ì
= +
= +
1 2 1
0
u x kx
u
k
l
l
· Nếu x1 = x2 = a thì un = (n.k + l).an -1 ,
trong đó kvà l là nghiệm của hệ:
ïỵ
ï í
ì
= +
=
1
0
u k
α.u
l
l
IVD1 :
Xác định công thức tính số hạng tổng quát của dãy số
2
6u 5u
u 3, u 1, u
: )
(un 0=- 1= n = n-1- n-2 "³ Giải:
Ta có : un =5un-1-6un-2 Û un – 5un – 1 + 6un – 2 = 0
Xét phương trình x2– 5x + 6 = 0 có 2 nghiệm là x 1 = 3 , x 2 = 2
Þ un = k.3n + l.2n
Vì u0 = –1, u1 = 3 nên :
ïỵ
ï í
ì ïỵ
ï í
ì
-=
= Û
= +
-=
+
6
5
k 3 2 3k
1
k
l l
l
Vậy : un = 5.3n – 6.2n
IVD2 :
Cho dãy số (u2) được xác định bởi:
ïỵ
ï í
ì
=
=
1 n u
4u u
2 u 1;
u
1 n n 1
n
1 0
Hãy xác định công thức tính số hạng tổng quát của dãy số trên
Giải :
Ta có : un + 1 = 4un + un – 1 Û un + 1 – 4un – un – 1 = 0
Xét phương trình x 2 – 4x – 1 = 0 có 2 nghiệm là x1=2+ 5;x2 =2- 5
Trang 11Þ un = k.(2+ 5)n + l.(2- 5)n
Vì u0 = 1, u1 = 2 nên :
ï
ï ỵ
ï
ï í
ì ïỵ
ï í
ì
=
= Û
=
-+ +
= +
2
12
1 k 2
) 5 (2 ) 5 k(2
1 k
l l
l
Vậy : [(2 5) (2 5) ]
2
1
IVD3 :
Xác định công thức tính số hạng tổng quát của dãy
ïỵ
ï í
ì
+ = " =
-=
=
3
2, n 0 4u
4u u
3 u 1;
u : )
(u
2 n 1
n n
1 0
n
Giải :
un – 4un – 1 + 4un – 2 = 0
Xét phương trình x 2 – 4x + 4 = 0 có nghiệm kép x = 2
Þ un =(kn+l).2n-1
Vì u0 =1; u1=3 nên : 1; 2
3
= +
=
ïỵ
ï í
ì
l k l
k l
Vậy : un =(n+2).2n-1
Đối với dãy số (un) :
ïỵ
ï í
ì
-+1+ n + n 1=d
n
,
u c bu au
u
u0 1
"n ³ 2
Trong đó: a, b, c, d = const ¹ 0
Xét phương trình ax 2 + bx + c = 0 (*)giả sử có nghiệm là x 1 và x 2 ta có các trường hợp sau :
a + b + c ¹ 0
c b a lx kx
u n = 1n + 2n + +d+ u n =(n.k+l)x1n, 2+a+db+c
a + b + c = 0
n n
n = 1 + 2 + 2 d +
b a x
l k n
u n =( . + ) 1n, 2 + 2 d+
a + b + c = 0
và 2a + b = 0 u =kx1 +lx2 + 2a.n(n-1)
n n
2 )
a x
l k n
IVD :
Cho dãy số (an) : a1 = 4019, a2 = 6028, an + 2 = 2an + 2 – an + 3 với n ³ 1 Tính a100
Giải :
Trang 12Xét phương trình x 2 – 2x + 1 = 0 có nghiệm kép x = 1
Þ an =(kn+l).1n-1= kn + l
Vì a1 = 4019, a2 = 6098 nên :
ïỵ
ï í
ì ïỵ
ï í
ì
=
= Û
= +
=
+
2010
2009 6028
2
4019
l
k l
k
l k
Vậy : an = 2009n + 2010 Þ a100 = 202910
Loại 4 Phương pháp tuyến tính hóa công thức truy hồi phi tuyến tính :
Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi phi tuyến tính
Tìm công thức truy hồi tuyến tính tính un+1 theo un và un – 1
B1 Tính u0 ,u1, u2, u3, u4 theo công thức truy hồi đã cho
B2 Đặt un+1 = a.un + b.un – 1 + c
Þ
ï ỵ
ï í ì
+ +
=
+ +
=
+ +
=
c u u u
c u u u
c u u u
2 3 4
1 2 3
0 1 2
b a
b a
b a
Thay các giá trị u0, u1, u2, u3, u4 vào hệ phương trình trên
B3 Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c rồi suy ra công thức truy hồi
IVD :
Cho dãy số (un) : u0 = u1 = 1, un =
2 n
2 1 n
u
2 u
+
Tìm dạng tuyến tính của dãy đã cho Giải :
+ Từ u0 = u1 = 1, un =
2 n
2 1 n
u
2 u
+
ta tính được u2 = 3, u3 = 11, u4 = 41 + Đặt : un = a.un – 1 + b.un – 2 + c
Þ
ï
ỵ
ï
í
ì
= + +
= +
+
= +
+
41 c 3b
11a
11 c b
3a
3 c
b
a
Û a= 4, b = –1, c = 0
Vậy : un= 4un – 1 – un – 2
F Chú ý :
Có những bài toán ta phải thực hiện theo trình tự sau để giải :
B1 Tuyến tính hóa dãy phi tuyến tính
B2 Tìm số hạng tổng quát dựa vào công thức truy hồi tuyến tính tìm được ở bước 2
B3 Dựa vào số hạng tổng quát để giải tiếp bài toán