tong-hop-de-vmo-2007-2012

TỔNG HỢP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUỐC GIA MƠN TỐN TỪ NĂM 2007 ĐẾN 2012 ************ Năm 2007 Bài Giải hệ phương trình  12   1  x 2   y  3x     12 1   y    y  x    Bài Cho x , y số nguyên x  1, y  1 cho x4  y  số nguyên  y 1 x 1 Chứng minh x y 44  chia hết cho x  Bài Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định đỉnh A di động Gọi H , G trực tâm trọng tâm tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm A biết trung điểm K HG nằm đường thẳng BC Bài Cho đa giác 2007 cạnh Tìm số nguyên dương k nhỏ thỏa mãn: Trong cách chọn k đỉnh đa giác, tồn đỉnh tạo thành tứ giác lồi mà số cạnh tứ giác cạnh đa giác cho Bài Cho b số thực dương Hãy xác định tất hàm số f :    thỏa mãn tính chất f ( x  y)  f ( x)  3b y  f ( y )1  b x (3b y  f ( y )1  by ) Bài Cho hình thang ABCD có đáy lớn BC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi P điểm thay đổi đường thẳng BC nằm đoạn BC cho PA khơng tiếp tuyến đường trịn (O) Đường trịn đường kính PD cắt (O) E khác D Gọi M giao điểm BC với DE, N giao điểm PA với (O) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định P di động Bài Cho số thực a  Đặt fn ( x)  a10 xn10  xn   x  x  với n  1, 2, 3, Chứng minh với n, phương trình fn ( x)  có nghiệm xn  (0; ) dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn n tiến tới vô cực Năm 2008 Bài Hãy xác định số nghiệm hệ phương trình (ẩn x , y ) sau x  y  29  log x log y   Bài  góc nhọn với E trung điểm cạnh AB Trên tia EC Cho tam giác ABC có BEC   ECA  Kí hiệu  số đo góc BEC  , tính tỉ số MC theo  lấy điểm M cho BME AB Bài Đặt m  2007 2008 Hỏi có tất số n  m mà n(2n  1)(5n  2) chia hết cho m ? Bài x1  0, x2   Cho dãy số ( xn ) xác định  xn2  2xn  , n  1,2, 3,  2 Chứng minh dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn n   Tìm giới hạn Bài Hỏi có số tự nhiên chia hết cho mà số gồm tối đa 2008 chữ số có chữ số 9? Bài Cho x , y , z số thực dương đôi khác Chứng minh  1    ( xy  yz  zx)    ( y  z)2 ( z  x)   ( x  y ) Hỏi dấu đẳng thức xảy nào? Bài Cho tam giác ABC có D trung điểm cạnh BC Gọi d đường thẳng qua D vng góc với đường thẳng AD Trên đường thẳng d lấy điểm M Gọi E, F trung điểm đoạn thẳng MB, MC Đường thẳng qua E vng góc với d cắt đường thẳng AB P, đường thẳng qua F vng góc với d cắt đường thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M, vng góc với đường thẳng PQ qua điểm cố định M di động đường thẳng d Năm 2009 Bài  1      xy  2y2 Giải hệ phương trình sau   x   x(1  x)  y(1  y )   Bài   x1   Cho dãy số ( xn ) xác định  với n   xn21  xn1  xn1  xn   n Chứng minh dãy số ( yn ) yn   i 1 có giới hạn hữu hạn n   xi2 Tìm giới hạn Bài Trong mặt phẳng, cho hai điểm A , B cố định (A khác B) Một điểm C di động mặt phẳng cho góc ACB   không đổi (00    1800 ) Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC , CA D , E, F Đường thẳng AI , BI cắt đường thẳng EF M , N Chứng minh 1/ Đoạn MN có độ dài khơng đổi 2/ Đường trịn ngoại tiếp tam giác DMN qua điểm cố định Bài Cho số thực a , b , c thỏa mãn: với số nguyên dương n, số an  bn  c n số nguyên Chứng minh tồn số nguyên p , q , r cho a , b , c nghiệm phương trình x  px  qx  r  Bài Cho số nguyên dương n Kí hiệu T tập hợp 2n số nguyên dương Hỏi có tập S T có tính chất: S khơng tồn hai số a , b mà a  b  1; n ? Năm 2010 Bài Giải hệ phương trình  x4  y  240   x3  y  3( x  y )  4( x  y)  Câu Cho dãy số ( an ) xác định công thức a1  5, an  n ann11  n1   3n1 với n  1/ Tìm cơng thức tổng qt dãy số ( an ) 2/ Chứng minh dãy ( an ) giảm Câu Cho đường tròn (O) hai điểm B, C cố định đường tròn, BC khơng phải đường kính Xét A điểm đường trịn khơng trùng với B, C Gọi AD , AE đường phân giác Giả sử I trung điểm DE Qua trực tâm tam giác ABC , kẻ đường thẳng vng góc với AI cắt AD , AE M , N 1/ Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định 2/ Tìm vị trí A cho diện tích tam giác AMN lớn Câu Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình x  15 y  n có n nghiệm tự nhiên Câu Cho bảng 3 n số nguyên dương cho trước Tìm số cách tơ màu khơng tô ô n màu (Hai cách tô màu gọi la cách nhận từ cách phép quay quanh tâm) Năm 2011 Bài Cho số nguyên dương n Chứng minh với số thực dương x , ta có x n  xn1  1 xn   x  12 n1      Hỏi đẳng thức xảy nào? Bài Cho dãy số thực ( xn ) xác định 2n x1  1, xn  (n  1)2 n1 x i 1 i với n  Với số nguyên dương n , đặt yn  xn1  xn Chứng minh dãy số ( yn ) có giới hạn hữu hạn n   Bài Trong mặt phẳng, cho đường trịn (O) đường kính AB Xét điểm P di động tiếp tuyến B (O) cho P không trùng với B Đường thẳng PA cắt (O) điểm thức hai C Gọi D điểm đối xứng với C qua O Đường thẳng PD cắt (O) điểm thứ hai E 1/ Chứng minh đường thẳng AE, BC PO qua điểm Gọi điểm M 2/ Hãy xác định vị trí điểm P cho tam giác AMB có diện tích lớn Tính giá trị lớn theo bán kính đường trịn (O) Bài Cho ngũ giác lồi ABCDE có độ dài cạnh độ dài đường chéo không vượt Lấy 2011 điểm phân biệt tùy ý nằm ngũ giác Chứng minh tồn hình trịn đơn vị có tâm nằm cạnh ngũ giác cho chứa 403 điểm số điểm lấy Bài Cho dãy số nguyên ( an ) xác định a0  1, a1  1, an  an1  5an2 với n  Chứng minh a2012  2010 chia hết cho 2011 Bài Cho tam giác ABC khơng cân A có góc B, C góc nhọn Xét điểm D di động cạnh BC cho D không trùng với B, C hình chiếu vng góc A BC Đường thẳng d vng góc với BC D cắt đường thẳng AB AC tương ứng E F Gọi M , N P tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF , BDE CDF Chứng minh bốn điểm A , M , N , P nằm đường tròn đường thẳng d qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài Cho n số nguyên dương Chứng minh đa thức P( x , y )  x n  xy  y n viết dạng P( x , y )  G( x , y)H ( x , y ) , G( x , y), H ( x , y ) đa thức với hệ số thực, khác với đa thức Năm 2012 Bài Cho dãy số thực ( xn ) xác định x1    xn  n  ( xn1  2), n  3n  Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn n   tính giới hạn Bài Cho cấp số cộng ( an ),(bn ) số nguyên m  Xét m tam thức bậc hai Pk ( x)  x  ak x  bk , k  1, 2, 3, , m Chứng minh hai tam thức P1 ( x), Pm ( x) khơng có nghiệm thực tất đa thức cịn lại khơng có nghiệm thực Bài Trong mặt phẳng, cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường trịn tâm O có cặp cạnh đối không song song Gọi M , N tương ứng giao điểm đường thẳng AB CD, AD BC Gọi P , Q , S, T tương ứng giao điểm đường phân giác  MBN  , MBN  MCN  , MCN  MDN  , MDN  MAN  Giả sử cặp góc MAN bốn điểm P , Q , S, T đôi phân biệt 1) Chứng minh bốn điểm P , Q , S, T nằm đường tròn Gọi I tâm đường trịn 2) Gọi E giao điểm đường chéo AC BD Chứng minh ba điểm E, O , I thẳng hàng Bài Cho số nguyên dương n Có n học sinh nam n học sinh nữ xếp thành hàng ngang, theo thứ tự tùy ý Mỗi học sinh (trong số 2n học sinh vừa nêu) cho số kẹo số cách chọn hai học sinh khác giới với X đứng hai phía X Chứng minh tổng số kẹo mà tất 2n học sinh nhận không vượt n(n  1) Bài Cho nhóm gồm gái, kí hiệu G1 , G2 , G3 , G4 , G5 12 chàng trai Có 17 ghế xếp thành hàng ngang Người ta xếp nhóm người cho ngồi vào ghế cho điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: 1/ Mỗi ghế có người ngồi 2/ Thứ tự ngồi cô gái, xét từ trái qua phải, G1 , G2 , G3 , G4 , G5 3/ Giữa G1 G2 có chàng trai 4/ Giữa G4 G5 có chàng trai nhiều chàng trai Hỏi có tất cách xếp vậy? Bài Xét số tự nhiên lẻ a , b mà a ước số b  b ước số a  Chứng minh a b số hạng dãy số tự nhiên ( ) xác định v1  v2   4vn1  vn2 với n  Bài Tìm tất hàm số f :    thỏa mãn đồng thời điều kiện sau 1/ f toàn ánh từ  đến  2/ f hàm số tăng  3/ f ( f ( x))  f ( x)  12 x với số thực x