Lý thuyết polya và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HÀ THU LÝ THUYẾT POLYA VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HÀ THU LÝ THUYẾT POLYA VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cam đoan ii Lời nói đầu 1 1 Lý thuyết Polya 2 1.1 Khái niệm nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Quan hệ tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Định lý Lagrange và các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Nhóm các phép hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Nhóm các phép hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Chu trình của hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Bổ đề Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Tác động nhóm lên một tập . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Vận dụng giải bài toán tô màu . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Đa thức xích các chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.1 Khái niệm đa thức xích chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.2 Đa thức xích chỉ số của C n , D n , S n . . . . . . . . . . . . 23 1.5 Định lý Polya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Vận dụng Định lý Polya 28 2.1 Vận dụng Định lý Polya trong bài toán tô màu . . . . . . . . . . . 28 2.2 Một vài bài toán tô màu khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận và Đề nghị 37 Tài liệu tham khảo 38 ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan mọi thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, ngày 16 tháng 4 năm 2015 Học viên Bùi Thị Hà Thu 1 Lời nói đầu Luận văn này trình bày lại một số kết quả về lý thuyết Polya và một vài vận dụng. Luận văn được chia ra làm hai chương. Chương 1 gồm năm mục. Mục 1.1 trình bày về khái niệm nhóm. Trong Mục 1.2 tập trung viết về nhóm các phép hoán vị. Mục 1.3 được dành để chứng minh lại Bổ đề Burnside. Mục 1.4 được dành để viết về xích các đa thức chỉ số. Trong Mục 1.5 chúng tôi chứng minh Định lý Polya. Chương 2 gồm hai mục. Mục 2.1 trình bày một vài vận dụng Định lý Polya trong bài toán tô màu. Mục 2.2 trình bày một vài ví dụ về việc vận dụng Định lý Polya trong bài tóan tổ hợp. Trong thời gian sưu tầm tài liệu, làm đề cương và viết luận văn, tôi đã nhận được sử góp ý và chỉ dẫn tận tình của người hướng dẫn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy của mình, PGS.TS Đàm Văn Nhỉ. Nhân đây, tôi cũng xin chân thành cảm ơn Khoa Toán- Tin, Khoa Sau đại học Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập của tôi. Tôi cũng xin được cảm ơn sự nhiệt tình giảng dạy của các giảng viên trong suốt thời gian tôi học tập. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Hải An đã luôn tạo điều kiện tốt cho tôi công tác và học tập, để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập của mình. Cuối cùng, tôi xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt nhất tới đại gia đình, vì những động viên khích lệ giúp tôi hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên ngày 16 tháng 04 năm 2015 Bùi Thị Hà Thu 2 Chương 1 Lý thuyết Polya 1.1 Khái niệm nhóm 1.1.1 Quan hệ tương đương Giả thiết tập X = ∅. Tích đề các X × X được định nghĩa như sau: X × X = {(x, y)|x, y ∈ X}. Định nghĩa 1.1.1. Tập con S của X × X được gọi là một quan hệ hai ngôi trong X. Nếu (x, y) ∈ S thì ta nói x có quan hệ S với y và viết xSy. Định nghĩa 1.1.2. Giả thiết X = ∅ và S = ∅ là một quan hệ hai ngôi trong X. Quan hệ S được gọi là một quan hệ tương đương trong X nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau đây: (1) (Phản xạ) Với mọi x ∈ X có xSx. (2) (Đối xứng) Với mọi x, y ∈ X, nếu có xSy thì cũng có ySx. (3) (Bắc cầu) Với mọi x, y, z ∈ X, nếu có xSy và ySz thì cũng có xSz. Khi S là một quan hệ tương đương trong X thì ta thường ký hiệu ∼ thay cho S. Đặt C(x) = {y ∈ X|y ∼ x} và gọi nó là một lớp tương đương với x làm đại diện. Dễ dàng chỉ ra các tính chất sau: Mệnh đề 1.1.3. Với quan hệ tương đương ∼ trong X = ∅ ta có 3 (1) Với mọi x ∈ X có x ∈ C(x). (2) Với mọi y, z ∈ C(x) có y ∼ z và y, z ∼ x. (3) Với mọi x, y ∈ X, có hoặc C(x) ∩ C(y) = ∅ hoặc C(x) = C(y). (4) Tập thương X/ ∼ là tập các lớp tương đương không giao nhau. 1.1.2 Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương Trước tiên, ta nhắc lại một số khái niệm và ký hiệu về nhóm. Định nghĩa 1.1.4. Tập G = ∅ với phép toán hai ngôi G × G → G, (x, y) → x.y được gọi là một nhóm nếu nó thỏa mãn ba điều kiện (1) (x.y).z = x.(y.z) với mọi x, y, z ∈ G. (2) Có phần tử e ∈ G, được gọi là đơn vị, thỏa mãn e.x = x.e = x với mọi x ∈ G (3) Với mỗi x ∈ G có phần tử x  ∈ G để x.x  = x  .x = e. Do tính duy nhất của x  cho mỗi x nên x  được ký hiệu qua x −1 và được gọi là phần tử nghịch đảo của x. Nhóm G được gọi là một nhóm giao hoán hay nhóm abel nếu x.y = y.x với mọi x, y ∈ G. Để đơn giản, nhiều khi thay cho tích x.y ta viết đơn giản xy và đôi khi để biết phép toán hai ngôi trong nhóm G ta cũng thường viết (G, .). Đôi khi người ta cũng thường ký hiệu phần tử đơn vị của nhóm G bởi 1. Định nghĩa 1.1.5. Cho hai nhóm (G, .) và (G  , ◦). Ánh xạ φ : G → G  được gọi là một đồng cấu nếu φ(xy) = φ(x) ◦ φ(y) thỏa mãn cho mọi x, y ∈ G. Đồng cấu φ được gọi là một đẳng cấu nếu nó là một song ánh. Định nghĩa 1.1.6. Cho nhóm G. Lực lượng của G, ký hiệu |G|, được gọi là cấp của G. Nếu |G| < ∞ thì G được gọi là nhóm hữu hạn. 4 Định nghĩa 1.1.7. Tập con H khác rỗng của nhóm G thỏa mãn x.y ∈ H và x −1 ∈ H, khi x, y ∈ H, được gọi là một nhóm con của G. Nhóm con A của nhóm G được gọi là một nhóm con chuẩn tắc của G nếu xax −1 ∈ A với mọi a ∈ A, x ∈ G. Giả thiết A là một nhóm con của nhóm G. Ta ký hiệu hai tập sau: xA = {xa|a ∈ A}, Ax = {ax|x ∈ A}. Tập xA được gọi là lớp ghép trái của A trong X; Tập Ax được gọi là lớp ghép phải của A trong G. Ký hiệu tập thương của G trên A qua G/A = {xA|x ∈ G}. Tiếp tục, định nghĩa quan hệ ∼ trong nhóm G như sau: Với x, y ∈ G, quan hệ x ∼ y nếu x −1 y ∈ A. Bổ đề 1.1.8. Quan hệ ∼ trong G là một quan hệ tương đương. Chứng minh: Vì e ∈ A nên x −1 x = e ∈ G. Vậy x ∼ x với mọi x ∈ G. Giả sử x, y ∈ G thỏa mãn x ∼ y. Khi đó x −1 y ∈ A. Vì A cũng chính là một nhóm nên y −1 x =  x −1 y  −1 ∈ A. Do vậy y ∼ x. Cuối cùng, giả sử x, y, z ∈ G thỏa mãn x ∼ y và y ∼ z. Khi đó x −1 y, y −1 z ∈ A và ta có x −1 z = x −1 y.y −1 z ∈ A. Từ đây suy ra x ∼ z. Tóm lại, quan hệ ∼ trong G là một quan hệ tương đương. Hệ quả 1.1.9. Với x, y ∈ G, xA = yA khi và chỉ khi x −1 y ∈ A. Chứng minh: Kết quả được suy ra từ Bổ đề 1.1.8. Bổ đề 1.1.10. Với quan hệ tương đương ∼ trong G, mỗi lớp C(x) = xA với x ∈ G. Chứng minh: Thật vậy, vì ∼ là một quan hệ tương đương theo Bổ đề 1.1.8 nên ta có các lớp C(x). Lấy y ∈ C(x). Khi đó x ∼ y và ta có x −1 y ∈ A. Vậy, tồn tại a ∈ A để x −1 y = a. Từ đây suy ra y = xa ∈ xA. Do y được lấy tùy ý nên C(x) ⊂ xA. Lấy y ∈ xA. Khi đó có a ∈ A để y = xa. Vậy x −1 y = a ∈ A hay y ∼ x và suy ra y ∈ C(x). Do y được lấy tùy ý nên C(x) ⊃ xA. Tóm lại C(x) = xA 5 Định lý 1.1.11. Nhóm con A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G khi và chỉ khi xA = Ax với mọi x ∈ G. Chứng minh: Giả thiết A là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Lấy y = xa ∈ xA. Vì A là một nhóm con chuẩn tắc nên xax −1 ∈ A. Vậy có b ∈ A để xax −1 = b và suy ra y = xa = bx ∈ Ax. Do y được lấy tùy ý từ xA nên xA ⊂ Ax. Tương tự có xA ⊃ Ax. Tóm lại, xA = Ax với mọi x ∈ G. Ngược lại, Giả thiết xA = Ax với mọi x ∈ G. Với x ∈ G, a ∈ A có xa ∈ xA = Ax và như vậy, tồn tại b ∈ A để xa = bx hay xax −1 = b ∈ A. Điều này chỉ ra A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G Định lý 1.1.12. Với nhóm con chuẩn tắc A của nhóm G, ánh xạ G/A × G/A → G/A, (xA, yA) → xyA là một phép toán hai ngôi và tập thương G/A = {xA|x ∈ G} cùng phép toán hai ngôi trên lập thành một nhóm. Nhóm này được gọi là nhóm thương của G trên A. Chứng minh: Ta có kết quả từ Bổ đề 1.1.10 và Định lý 1.1.11. Có nhiều nhóm con quan trọng được sinh ra bởi một tập con của G. Giả sử A là một tập con khác rỗng của nhóm G. Chuẩn tắc hóa của A trong G là một nhóm con của G được định nghĩa bằng N G (A) = {x ∈ G|xax −1 ∈ A, ∀ a ∈ A}. Tâm hóa của A trong G là một nhóm con của G được định nghĩa bằng C G (A) = {x ∈ G|xa = ax, ∀ a ∈ A}. Tâm của G là một nhóm con của G được định nghĩa bằng Z(G) = {x ∈ G|xa = ax, ∀ a ∈ G}. Chú ý rằng, Z(G) = C G (G) và Z(G) là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Cấp của phần tử x ∈ G là số tự nhiên dương nhỏ nhất r để x r = e. Nếu ta ký hiệu nhóm cyclic do x sinh ra qua < x > thì ta có ngay < x >= {e, x, . . . , x r−1 } và r = | < x > |. Chú ý cấp của e bằng 1. 6 1.1.3 Định lý Lagrange và các hệ quả Trong phần này chúng ta chứng minh một vài kết quả quan trọng về lý thuyết nhóm. Giả sử A là một nhóm con của nhóm hữu hạn G. Chỉ số của A trong G, ký hiệu qua |G : A| hoặc ind(A), được định nghĩa bằng |G/A|. Định lý 1.1.13. [Lagrange] Với nhóm con A của nhóm hữu hạn G ta luôn có |G| = |A||G : A|. Chứng minh: Giả thiết G là nhóm hữu hạn cấp n = |G| và A là nhóm con của G với m = |A| và k = |G : A|. Với mỗi x ∈ G ta định nghĩa ánh xạ f x : A → xA, a → xa. Hiển nhiên, ánh xạ f x là một toàn ánh. Từ xa = xb suy ra a = b. Vậy f x còn là một đơn ánh. Do vậy, f x là một song ánh và suy ra m = |A| = |xA|. Vì các xA = C(x) là tách biệt theo Mệnh đề 1.1.3 nên G được phân ra thành k lớp phân biệt và mỗi lớp đều chứa đúng m phần tử. Do vậy |G| = mk = |A||G : A|. Hệ quả 1.1.14. Cấp của mỗi phần tử thuộc nhóm hữu hạn G là một ước số của n = |G|. Chứng minh: Xét nhóm con A sinh ra bởi phần tử a. Cấp của a bằng |A|. Vì |A| là một ước của |G| theo Định lý 1.1.13 nên cấp của phần tử A thuộc nhóm hữu hạn G là một ước số của n = |G|. Hệ quả 1.1.15. [Cauchy] Với nhóm abel hữu hạn G và số nguyên tố p chia hết cấp n = |G| luôn có phần tử của G cấp p. Chứng minh: Quy nạp theo cấp n của nhóm G. Lấy phần tử x ∈ G, x = e. Nếu n = p thì G là nhóm cyclic cấp p với phần tử sinh là x theo Định lý 1.1.13. Vậy x có cấp p. Bây giờ giả thiết n > p và tất cả các nhóm con của G đều có cấp nhỏ hơn n và xét những nhóm con với cấp chia hết cho p. Ta chỉ ra những nhóm con như vậy sẽ có phần tử cấp p. Trước tiên, xét trường hợp cấp m của phần tử x chia hết cho p. Khi đó m = | < x > | = kp. Vậy e = x m = (x k ) p . Từ đây suy ra | < x k > | = p và x k có cấp p. [...]... phép hoán vị (1234) và (1432) với chu trình độ dài 4; có 1 phép hoán vị chứa hai chu trình độ dài 2 Do vậy, đa thức chỉ số chu trình của nhóm G là PG (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 1 4 x + x2 + 2x4 Theo Định lý 1.5.1, Định lý Polya, số cách sử dụng 3 màu để tô 2 4 1 1 4 đỉnh hình vuông đúng bằng PG (3, 3, 3, 3) = (34 + 32 + 2.30 = 24 4 28 Chương 2 Vận dụng Định lý Polya 2.1 Vận dụng Định lý Polya trong bài toán... 1.4.12 Sử dụng hàm sinh người ta đã chứng minh được rằng PSn (x1 , , xn ) = 1 x1 k1 !k2 ! kn ! 1 k1 x2 2 k2 ··· xn n kn trong đó tổng lấy theo tất cả các số nguyên không âm k1 , k2 , , kn thỏa mãn k1 + 2k2 + · · · + nkn = n 26 1.5 Định lý Polya Vẫn sử dụng ký hiệu T = {1, 2, , n} và tập màu C Ký hiệu K là tập tất cả các cách tô màu tập T Đó là tập tất cả các ánh xạ k : T → C và mỗi k được... 2x6 ] 1 2 2 3 12 1 Theo Định lý Polya số cách sử dụng 3 màu để tô màu các đỉnh một lục giác bằng 1 6 PD6 (3, , 3) = 3 + 3.32 32 + 4.33 + 2.32 + 2.3 = 92 12 Ví dụ 2.1.8 Xác định số cách dùng ba màu trắng, đen và đỏ để tô màu các đỉnh một thất giác Bài giải: Số cách sử dụng 3 màu để tô màu các đỉnh một thất giác bằng PD7 (3, , 3) = 1 7 3 + 7.34 + 6.3 = 198 theo Định lý Polya 14 Ví dụ 2.1.9 Có bao... và t ∈ T = {1, 2, , n} Giả sử x ∈ Cp (t) = (t1 t2 tk ) Khi đó tồn tại i k để x = ti Ta sẽ có Cp (x) = (ti ti+1 tk t1 ti−1 ) Hai chu trình Cp (t) và Cp (x) tương đương Bổ đề 1.2.11 Giả sử p, q ∈ Sn Nếu t, t ∈ T = {1, , n} thì ta có (1) Hoặc Cp (t) và Cp (t ) rời nhau hoặc chúng tương đương (2) Hoặc Cp (t) và Cq (t) trùng nhau hoặc chúng không tương đương Chứng minh: (1) Nếu Cp (t) và. .. tác động lên K được gọi là một mẫu (pattern) Định lý 1.5.1 [Polya] Số các mẫu của G tác động lên K đúng bằng PG (|C|, |C|, , |C|) Chứng minh: Theo Bổ đề Burnside, Định lý 1.3.7, số các mẫu, (quỹ đạo), đúng bằng N= 1 |G| | FixK (p)| p∈G với FixK (p) = {k ∈ K|p ◦ k = k} Chúng ta sẽ chứng minh rằng, p tác động bất biến trên một lược đồ tô màu k khi và chỉ khi k tô màu các phần tử thuộc cùng một chu... đơn vị 1 và tập hữu hạn Ω Ta nói rằng, nhóm G tác động lên tập Ω nếu với mỗi a ∈ Ω và g ∈ G có phần tử xác định g(a) ∈ Ω thỏa mãn hai điều kiện: (1) (hg)(α) = h(g(α)) với mọi g, h ∈ G và mọi α ∈ Ω (2) 1.α = α với mọi α ∈ Ω Với g, h ∈ G và mọi α ∈ Ω, ta nói rằng, phần tử g chuyển phần tử α đến phần tử g(α) Bổ đề 1.3.2 Tương ứng φ : α → g(α) trên tập Ω xác định một phép hoán vị của tập Ω Chứng minh:... con Ga và của nhóm G 17 Bổ đề 1.3.6 Với mỗi phần tử a thuộc Ω ta luôn có hệ thức liên hệ |G| = |Ga || Orbit(a)| Chứng minh: Với a ∈ Ω và h ∈ G ta định nghĩa tập hGa = {hg|g ∈ Ga } Vì tương ứng Ga → hGa , g → hg là tương ứng 1-1 nên Ga và hGa có cùng lực lượng Dễ dàng kiểm tra, hai tập hGa và kGa hoặc trùng nhau hoặc giao nhau bằng rỗng Điều này chỉ ra rằng, chúng ta phân được hoàn toàn nhóm G ra thành... ánh và ta có |G| = |Ga )|| Orbit(a)| William Burnside sinh vào ngày mùng 2 tháng 7 năm 1852 tại London Ông học tập, nghiên cứu và sau này giảng dạy luôn tại trường Đại học Tổng hợp Cambrigdge Sau một thời gian, ông chuyển sang trường Royal Naval College ở Greenwich Trong suốt cuộc đời mình, ông đã viêt hơn 150 bài báo khoa học thuộc nhiều lĩnh vực Đặc biệt, ông đã có nhiều kết quả đặc sắc trong Lý thuyết. .. biệt, ông đã có nhiều kết quả đặc sắc trong Lý thuyết nhóm Định lý dưới đây sẽ chứng minh lại một kết quả nổi tiếng của ông Đó là Định lý Burnside hay Bổ đề Burnside, tùy theo cách gọi của những ai quan tâm đến nó Định lý 1.3.7 [Burnside’s Lemma] Số các Orbit của một nhóm hữu hạn tác động lên một tập hữu hạn đúng bằng 1 |G| | FixΩ (g)| g∈G 18 Chứng minh: Giả thiết G là một nhóm hữu hạn Gọi Ω1 , , Ωr... số cách tô màu ba đỉnh một tam giác đều T Đó là 4 cách tô màu với đại diện tương ứng: ◦ ◦ • ◦; ◦ • ◦; • • ◦; • • Ví dụ 1.3.11 Ký hiệu tập bốn đỉnh một hình vuông T = {1, 2, 3, 4} và tập hai màu sử dụng để tô đỉnh hình vuông là C = {w, b}, trong đó w là màu trắng (white) và 22 b là màu đen (black) Phép tô màu k : T → C sử dụng để tô bốn đỉnh hình vuông 1 4 được cho theo 2 3 k(1) = w, k(2) = w, k(3) = . HỌC BÙI THỊ HÀ THU LÝ THUYẾT POLYA VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HÀ THU LÝ THUYẾT POLYA VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành:. 23 1.5 Định lý Polya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Vận dụng Định lý Polya 28 2.1 Vận dụng Định lý Polya trong bài toán tô màu . . . . . . . . . . . 28 2.2 Một vài bài. vận dụng Định lý Polya trong bài toán tô màu. Mục 2.2 trình bày một vài ví dụ về việc vận dụng Định lý Polya trong bài tóan tổ hợp. Trong thời gian sưu tầm tài liệu, làm đề cương và viết luận