2 Vận dụng Định lý Polya
2.2 Một vài bài toán tô màu khác
Trong Mục 2.1 ta đã xét các bài toán tô màu các đỉnh đa giác đều qua việc phân các lớp và tô màu phần tử đại diện. Trong thực tế có nhiều bài toán tô màu khác với cách giải qua lý thuyết đồ thị, chẳng hạn qua hai ví dụ dưới đây:
Ví dụ 2.2.1. Nếu tô màu các cạnh của đồ thị đầy đủ 6 đỉnhK6 với hai màu xanh hoặc đỏ thì luôn luôn tồn tại một đồ thị đầy đủ 3 đỉnhK3 là dồ thị con của đồ thị này và tất cả các cạnh của nó hoặc cùng màu đỏ hoặc cùng màu xanh.
Bài giải: Ta chọn đỉnhabất kỳ. Trong 5 cạnh phát xuất từacó ít nhất 3 cạnh cùng màu, chăng hạnab, ac, ad. Tất cả các cạnh nối các đỉnhb, c, dvới nhau hoặc cùng màu xanh cả và ta có điều cần chứng minh, hoặc là trong các cạnh này có một cạnh màu đỏ và cạnh này cùng với hai cạnhab, achoặcadlập thành mọt đồ thị đầy đủ 3 đỉnhK3 với 3 cạnh màu đỏ.
Ví dụ 2.2.2. 6 học sinh tham gia đấu cờ loại lập thành một bảng đấu, tức là mỗi đấu thủ gặp mọi người còn lại mỗi người một lần. Chứng minh rằng luôn có thể tìm ra trong họ ba đấu thủ đã gặp nhau rồi hoặc chưa gặp nhau lần nào.
Bài giải: Hai đấu thủ bất kì ở trong hai quan hệ hoặc đã đấu với nhau hoặc chưa. Ta cho tương ứng mỗi đấu thủ với một đỉnh của đồ thị. Nối các đỉnh từng cặp bằng cạnh được tô bởi một trong hai màu. Giả sử màu đỏ nghĩa là cặp đã đấu với nhau, còn màu xanh là chưa đấu. Ta sẽ được một đồ thị đủ 6 đỉnh và các cạnh với hai màu. Ta chỉ ra một đồ thị như vậy nhất thiết phải có một tam giác có 3 cạnh cùng màu. Mỗi đỉnh của đồ thị thuộc vào 5 cạnh. Vì 5 cạnh được tô bởi 2 màu nên có ít nhất 3 cạnh cùng màu, chẳng hạn là cạnh AB, AC, AD. Xét tam giác BCD, nếu tam giác BCD có 3 cạnh cùng màu thì bài toán này được chứng minh, còn nếu tam giác này có 3 cạnh không cùng màu thì phải có một cạnh trùng màu với AB hoặc AC hoặc AD, chẳng hạn cạnh BC. Khi đó ta có tam giác ABC là cùng màu. Suy ra điều phải chứng minh.
Kết luận
Trong luận văn chúng tôi đã trình bày được một số kết quả sau: (1) Chứng minh một số kết quả về nhóm.
(2) Trình bày về nhóm các phép hoán vị. (3) Chứng minh được Bổ đề Burnside.
(4) Trình bày được xích các đa thức chỉ số và xích các đa thức chỉ số của nhóm
Cn, Dn, Sn.
(5) Chứng minh được Định lý Polya.
(6) Một vài vận dụng các kết quả đạt được trong bài toán tô màu.
Vấn đề tác giả luận văn tiếp tục nghiên cứu: Vận dụng Định lý Polya vào giải quyết các bài toán tổ hợp.
Tài liệu tham khảo
[1] A. N. Bjerge, Counting and Coloring with Symmetry, Norwegian University of Science and Technology 2009.
[2] R. Merris,Combinatorics, PWS publishing company 20 Park Plaza, Boston, MA 02116-4324.
[3] K. R. Walcott, Application and Analysis of Burnside’s Theorem, Allegheny College Meadville, PA 2004.