Chương 1- Hóa Lượng tử

Chơng 1 Cơ sở cơ học lợng tử 1.1. Một số vấn đề mở đầu 1.1.2. Phổ nguyên tử Một trong những yêu cầu đặt ra đối với mọi lí thuyết về nguyên tử là giải thích đợc sự xuất hiện phổ vạch của nguyên tử và một số tính chất của chúng. Khi nung nóng một chất (bằng ngọn lửa, phóng điện trong chân không, hồ quang ) tới một nhiệt độ đủ lớn thì nó phát sáng. Ví dụ cho ít NaCl vào ngọn lửa đèn cồn thì ngọn lửa nhuộm màu vàng thẫm. ánh sáng vàng ấy là do nguyên tử Na (xuất hiện trong quá trình nhiệt phân NaCl trong ngọn lửa) phát ra. Phân tích ánh sáng ngọn lửa có chứa hơi Na bằng một quang phổ kế ngời ta thấy bên cạnh phổ liên tục của ánh sáng ngọn lửa là một vạch đậm màu vàng có bớc sóng 5892 A 0 (với quang phổ có độ phân giải cao sẽ thấy dó là một vạch kép). Phổ xuất hiện nh vậy gọi là phổ phát xạ. Trái lại, nếu chiếu ánh sáng trắng qua hơi Na thì trên phổ liên tục, ở vị trí tơng ứng với vạch vàng Na là một vệch tối. Đó là phổ hấp thụ của Na. Nguyên tử có khả năng hấp thụ ánh sáng có tần số đúng bằng tần số ánh sáng phát xạ của nó. Phổ nguyên tử H ở vùng thấy đợc có cấu trúc đặc biệt đơn giản. Balmer (1885) tìm thấy các phổ vạch nguyên tử H có bớc sóng tuân theo công thức đơn giản: = 22 2 2 . m mK (1.1) với K = 3645,6 . 10 -7 mm và m = 3,4,5 Công thức Balmer đợc Rydberg (1896) và Ritz (1908) khái quát hoá: = R H ( 2 2 2 1 11 nn ) (1.2) n 1 = 1, 2, 3, n 2 = n 1 + 1, n 1 + 2, R H = K 4 gọi là hằng số Rydberg. Thay n 2 = m và n 1 = 2 ta có đợc công thức Balmer. Cho n 1 các giá trị 1,2,3, và n 2 các giá trị nguyên lớn hơn n 1 ta có công thức biểu diễn toàn bộ phổ nguyên tử H. Theo Ritz, ngời ta gọi các đại lợng R/n 1 2 và R/n 2 2 là các số hạng. Nh vậy mỗi một vạch phổ ứng với hai số hạng. Mỗi một giá trị của n 1 đặc trng cho một dãy phổ. Các dãy phổ của nguyên tử H n 1 n 2 Dãy phổ Vùng phổ 1 2,3, Lyman Cực tím 2 3,4, Balmer Nhìn thấy và gần cực tím 3 4,5, Paschen Hồng ngoại gần 4 5,6, Brackett Hồng ngoại xa 5 6,7, Pfund Hồng ngoại xa 1.1.2.Thuyết lợng tử Planck Để đa vật lý thoát ra khỏi Sự khủng hoảng tử ngoại, năm 1900 nhà vật lý ngời Đức là Max Planck đa ra thuyết lợng tử gọi là thuyết lợng tử Planck. 1 Theo thuyết lợng tử Planck thì: Một dao động tử dao động với tần số chỉ có thể phát ra hay hấp thụ năng lợng từng đơn vị gián đoạn, từng lợng nhỏ một nguyên vẹn, gọi là lợng tử năng lợng . Lợng tử năng lợng này tỉ lệ với tần số của dao động tử". = h. (1.3) (h = 6,625.10 -27 erg.sec = 6.625.10 -34 J.s) ý nghĩa quan trọng của thuyết lợng tử Planck là đã phát hiện ra tính chất gián đoạn hay tính chất lợng tử của năng lợng trong các hệ vi mô. Năng lợng của electron trong nguyên tử, năng lợng quay, năng lợng dao động của các nguyên tử hay nhóm nguyên tử trong phân tử đều nhận những giá trị gián đoạn xác định. Theo thuyết lợng tử Planck thì năng lợng của dao động tử dao động với tần số chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn: 0, h, 2h, 3h, 4h, nh nghĩa là bội số nguyên lần lợng tử năng lợng = h. Do đó, ta có thể biểu diễn E theo công thức: E = nh (n = 0, 1, 2, 3, ) Mặt khác, vì năng lợng của dao động tử phát ra hay hấp thụ dới dạng năng lợng bức xạ nên thuyết lợng tử Planck cũng có nghĩa là: ánh sáng hay bức xạ nói chung gồm những lợng tử năng lợng = h. phát đi từ nguồn sáng. Vì vậy, thuyết lợng tử Planck còn đợc gọi là thuyết lợng tử ánh sáng. 1.1.3. Tính chất sóng - hạt của ánh sáng H.Hetz (1887) khi làm thí nghiệm để chứng minh sự tồn tại của sóng điện từ trong lí thuyết cuả MaxWell đã phát hiện ra rằng ánh sáng cực tím có tác dụng trợ lực cho sự phóng điện trong chân không. Sau đó, (1900) Lenard chỉ ra rằng nguyên nhân của hiện tợng trên là do ánh sáng cực tím đã giải phóng electron ra khỏi bề mặt catôt. Hiện tợng electron đợc giải phóng ra khỏi bề mặt kim loại dới tác dụng của ánh sáng đợc gọi là hiệu ứng quang điện. einstein (1905) cho rằng có thể mở rộng thuyết lợng tử của Planck để giải thích hiệu ứng quang điện. Vì vậy, Einstein đa ra thuyết hạt hay thuyết lợng tử ánh sáng. Theo thuyết l- ợng tử ánh sáng của Einstein thì ánh sáng hay bức xạ nói chung là một thông lợng các hạt vật chất đợc gọi là photon (quang tử) hay lợng tử ánh sáng với một lợng tử năng lợng: = h (1.3) Electron trong kim loại hấp thụ hoàn toàn và ngay lập tức toàn bộ năng lợng của photon khi nó tơng tác với photon. Trong những điều kiện nhất định nh trong các thí nghiệm giao thoa và nhiễu xạ, bức xạ điện từ thể hiện tính chất sóng của chúng; còn trong điều kiện khác, nh trong hiệu ứng quang điện, chúng lại có bản chất hạt. Tính chất đó gọi là lỡng tính sóng- hạt của bức xạ điện từ. Theo hệ thức của einstein, giữa khối lợng m của một vật và năng lợng E của nó có hệ thức: E = m.c 2 (c: vận tốc ánh sáng) (1.4) Do đó , đối với photon ta có: mc 2 = h. = h. c hay m = .c h 2 Từ đó suy ra p = m .c = h (1.5) Nh vậy, phơng trình (1.5) cho thấy mối quan hệ của m (đặc trng tính chất hạt) và (đặc trng cho tính chất sóng). Đây là phơng trình quan trọng chứa đựng bản chất nhị nguyên của bức xạ điện từ. 1.1.4. Tính chất sóng- hạt của hạt vật chất (sóng vật chất De Broglie) Năm 1924, nhà vật lí Pháp Louis De Broglie cho rằng có thể mở rộng bản chất nhị nguyên sóng - hạt của bức xạ điện từ do Einstein phát hiện ra cho mọi vật chất. Giả thiết của De Broglie chủ yếu dựa trên cơ sở triết học về sự đối xứng trong tự nhiên. Có thể chia thế giới vật chất thành hai phần là bức xạ và vật chất. Bên cạnh thuộc tính sóng, bức xạ còn có thuộc tính hạt. Suy ra, ngoài bản chất hạt, vật chất còn có tính chất sóng. Sự chuyển động của một hạt vật chất bất kì có thể đợc xem nh một quá trình sóng có bớc sóng và tần số : = h E ; = mV h = p h (1.6) m: khối lợng của hạt ; p: động lợng của hạt v: vận tốc hạt ; h: hằng số Plank. Biểu thức (1.6) gọi là biểu thức De Broglie hay là những phơng trình cơ bản của sóng vật chất De Broglie. Nếu có một hạt vật chất ta có biểu thức sóng: (x,t) = a.e i.(Et - px)/ h (1.6) : sóng vật chất De Broglie 1.1.5. Nguyên lí bất định Heisenberg Trong cơ học cổ điển khi nghiên cứu chuyển động của các hạt, ngời ta phải nói đến quỹ đạo của chúng, lúc đó tại một thời điểm bất kì ta có thể xác định đợc toạ độ và động l- ợng của hạt. Trong cơ học lợng tử, khi nói đến tính sóng của hạt vật chất thì khái niệm quỹ đạo không còn ý nghĩa nữa. Theo hệ thức De Broglie ta có: = p h p = h Vì không phải là hàm của toạ độ, do đó p không thể là hàm của toạ độ. Điều này đợc Heisenberg phát biểu qua hệ thức bất định: Toạ độ và động lợng của hạt tơng ứng với toạ độ đó là không thể đồng thời xác định. Biểu thức bất định Heisenberg: x. p x (1.8) 3 x: độ bất định của toạ độ p x : độ bất định của động lợng trên phơng x. Biết p x = m. V x Suy ra : x. V x m (1.9) Vì m = const, nên V x càng nhỏ (V x càng chính xác) thì x càng lớn (x càng bất định) và ngợc lại. Có nghĩa là ta không thể xác định đợc đồng thời một cách chính xác vị trí x và vận tốc V x của một electron trong nguyên tử. Nếu biết V x thì không thể xác định chính xác toạ độ x của nó, tức là không tồn tại quỹ đạo của electron trong nguyên tử. Nguyên lí bất định Heisenberg cũng đúng trong trờng hợp của hệ vĩ mô, nhng vì hạt vĩ mô thì tính chất sóng- hạt là rất bé nên ít đợc áp dụng. Từ hai tính chất vật lí của hạt vật chất ta có thể rút ra tính chất đặc trng của hệ vi mô: - Các đại lợng vật lí của hạt vi mô đều gián đoạn. - Toạ độ x và động lợng của hạt là không thể đồng thời xác định - Chuyển động của hạt vi mô không có quỹ đạo 1.1.6. Sự khác nhau giữa cơ học cổ điển và cơ học lợng tử Dựa trên các số liệu thực nghiệm thu đợc và các hiện tợng quan sát, ta có thể tóm tắt sự khác nhau chính giữa hai loại cơ học nh sau: Cơ học cổ điển - Chuyển động của hạt có quỹ đạo - Các đại lợng vật lí (năng lợng, động lợng, mô men động lợng .) có thể nhận bất cứ giá trị nào. - Các đại lợng cơ học đều có thể xác định đợc đồng thời. Cơ học lợng tử - Chuyển động của hạt không có quỹ đạo. - Các đại lợng vật lí chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn hay đợc lợng tử hoá. - Toạ độ và động lợng tơng ứng với toạ độ đó là không thể đồng thời xác định. 1.2. Toán tử và hàm sóng Do hệ lợng tử có các thuộc tính khác biệt với hệ vĩ mô, nên ngời ta không thể biểu diễn các đại lợng vật lí của hệ này bằng các biểu thức giải tích thông thờng nh trong cơ học cổ điển mà phải dùng đến một công cụ toán học mới có khả năng mô tả bản chất của hệ lợng tử. Một trong những công cụ ấy là toán tử tác dụng lên hàm sóng. 1.2.1. Toán tử a- Định nghĩa: Toán tử là một phép toán khi ta tác dụng lên một hàm thì cho ra một hàm mới. Thực hiện các phép toán đợc qui ớc trong toán tử A đối với hàm số x đứng sau nó ta nhận đợc hàm mới x . Hay nói cách khác x là kết quả của sự tác động toán tử A lên hàm số x . Kí hiệu: A x = x (1.10) Ví dụ: Toán tử A hàm số hàm mới nhân với a x ax d/ dx x 4 + 5 4x 3 4 Toán tử A = nhân với a có nghĩa là thực hiện phép nhân a vào hàm số đứng sau nó. A = d/ dx nghĩa là lấy đạo hàm theo x hàm số đứng sau nó. Ngời ta thờng kí hiệu các toán tử: A , B , C . b. Các phép toán về toán tử 1. Phép cộng của hai toán tử A và B: Tổng các toán tử A và B là toán tử C ( C = A + B ) sao cho khi C tác dụng lên hàm u (tuỳ ý) thì bằng A + B tác dụng lên hàm u đó. A + B = C nếu C u = A u + B u Ví dụ: A = x; B = d/ dx ; u = U (x) C = x + d /dx C u = xu + du / dx = ( x+ d /dx)u 2. Tích các toán tử: Tích hai toán tử A và B là toán tử C hay C ' sao cho: C = A . B C u = A [ B u] C = B . A C u = B [ A u] Ví dụ: A = x , B = d /dx C u = A [ B u] = x.du /dx C u = B [ A u] = d/dx (x.u) = x. du/dx + u C u Nếu A . B B . A thì ta nói hai toán tử A , B không giao hoán với nhau, ta gọi [ A , B ] = A . B - B . A là giao hoán tử của hai toán tử A và B . Nếu A . B = B . A thì ta nói hai toán tử A và B giao hoán. [ A , B ] = A . B - B . A = 0 3.Luỹ thừa của toán tử: Luỹ thừa của toán tử A đợc định nghĩa:  2 u = (Â.Â)u =  (Âu) Vậy  2 = Â. là  tác dụng liên tiếp hai lần. Ví dụ:  = dx d , u(x) = x 4  2 u = dx d (du/dx) = dx d (4x 3 ) = 12x 2 1.2.2. Toán tử tuyến tính a. .Định nghĩa: Toán tử L đợc gọi là toán tử tuyến tính nếu nó thoả mãn biểu thức sau: L (au + bv) = a L u + b L v (1.11) u,v: hàm ; a,b: các hằng số bất kì 5 Ví dụ: toán tử dx d của hàm f(x) theo x là toán tử tuyến tính vì: dx d (af 1 (x) + bf 2 (x) ) = a. dx d f 1 (x) + b. dx d f 2 (x) Một số toán tử tuyến tính nh: toán tử nhân (với một số, một hàm số) +Toán tử , vi phân: dx d , 2 2 dx d . +Toán tử Laplace: = 2 2 2 2 2 2 zyx + + +Toán tử Napla: zyx + + = +Toán tử Hamilton H = - m2 2 + U(x,y,z) Các toán tử không tuyến tính: , ( ) m (m 1); b. Tính chất của toán tử tuyến tính Nếu hai toán tử A , B là toán tử tuyến tính (t 4 ) thì tổ hợp tuyến tính của chúng là toán tử tuyến tính và tích của chúng nhân với một số cũng là toán tử tuyến tính. A , B : t 4 thì (a. A + b. B ) : t 4 (c. A . B , d. B A ) : t 4 c. Hàm riêng và trị riêng của toán tử tuyến tính 1. Định nghĩa: Nếu kết quả tác động của toán tử tuyến tính L lên một hàm u bằng chính hàm u đó nhân với tham số L nào đó, thì ta gọi u là hàm riêng và L là trị riêng của toán tử L : L u = Lu (1.12) u là hàm riêng của L , còn L là trị riêng của L ứng với hàm riêng u. Vd: dx d (e ax ) = a. e ax hàm u(x) = e ax là hàm riêng của toán tử dx d , còn a là trị riêng của toán tử và ứng với hàm riêng e ax Phơng trình (1.12) đợc gọi là phơng trình hàm riêng- trị riêng của toán tử L . 6 2. Trị riêng không suy biến và suy biến Một toán tử tuyến tính L có thể tồn tại nhiều hàm riêng và trị riêng khác nhau. Tập hợp các trị riêng của L gọi là phổ các trị riêng. Phổ các trị riêng có thể là liên tục hoặc gián đoạn, hoặc một phần gián đoạn một phần liên tục. - Nếu ứng với mỗi hàm riêng u chỉ có một trị riêng L thì ngời ta nói trị riêng đó là không suy biến. - Nếu ứng với một trị riêng L ta có k hàm riêng u thì ta nói trị riêng L suy biến k lần hay suy biến bậc k. Ví dụ: L u 1 = Lu 1 L u 2 = Lu 2 L u k = Lu k L là trị riêng suy biến bậc k d. Các định lí về hàm riêng và trị riêng của toán tử tuyến tính 1. Định lí 1: Nếu u n là hàm riêng của toán tử tuyến tính L ứng với trị riêng L n và a là một hằng số tuỳ ý 0 thì au n cũng là hàm riêng của L ứng với trị riêng L n . L u n = L n u n (1.13) L (a.u n ) = L n (a.u n ) (1.14) 2. Định lí 2: Nếu L n là trị riêng suy biến bậc k của toán tử L : L u 1 = L n u 1 L u 2 = L n u 2 L u k = L n u k thì tổ hợp tuyến tính của k hàm riêng đó cũng là hàm riêng của L ứng với trị riêng L n . L (c 1 u 1 + c 2 u 2 + . + c k u k ) = L n (c 1 u 1 + c 2 u 2 + . + c k u k ) (1.15) 3. Định lí 3: Điều kiện cần và đủ để hai toán tử A và B có chung hàm riêng là chúng phải giao hoán với nhau. A u = Au B v = Bu [ A , B ] = 0 u =v 1.2.3. Một số khái niệm về các hệ hàm a. Hệ hàm trực giao: Hệ hàm u, v, w . đợc gọi là hệ hàm trực giao nếu tích phân của một hàm nào đó với liên hợp phức của một hàm khác luôn bằng 0 trong toàn phạm vi biến đổi của hàm số. u.v * dx = 0, u.w * dx = 0 , v.w * dx = 0 b. Hàm chuẩn hoá: Hàm đợc gọi là hàm chuẩn hoá nếu * dx = 1. hay 2 dx = 1 (1.15) 7 cha chuẩn hoá: 2 dx = N ( N 1) Để có đợc hàm chuẩn hoá, ngời ta chia phơng trình này cho N: N 1 2 dx N 1 * dx = 1 N 1 ) ( N 1 * ) dx = 1 Hàm = N 1 là hàm chuẩn hoá; N 1 là thừa số chuẩn hoá. c. Hệ hàm trực chuẩn 1 , 2 , ., m , ., n gọi là hệ hàm trực chuẩn nếu nó chuẩn hoá và trực giao với nhau từng đôi một. m * n dx = 1 : nếu m = n (1.16) = 0 : nếu m n d. Hệ hàm đầy đủ: Hệ hàm 1 , 2 , ., m , ., n đợc gọi là hệ hàm đầy đủ, nếu hàm bất kì có thể khai triển thành chuỗi tuyến tính của hệ hàm ấy. = C 1 1 + C 2 2 + . + C m m + . + C n n = C i i (1.17) C i : hệ số khai triển chuỗi Nếu hệ hàm đầy đủ cũng là hệ hàm trực giao thì ta có thể xác định đợc hệ số khai triển chuỗi. Ví dụ: Muốn xác định C m thì ta nhân phơng trình với m * và lấy m * dx = C 1 m * 1 dx + C 2 m * 2 dx + . + C m m * m dx + . + C n m * n dx = dx dx C m m m * * Nếu hệ hàm đầy đủ thoả mãn tính chất chuẩn hoá thì: C m = m * dx e. Hàm đều hoà (hàm đều đặn) Hàm đợc gọi là hàm đều hoà nếu nó đơn trị, hữu hạn và liên tục trong phạm vi biến đổi của biến số. 1.2.4 Toán tử tuyến tính tự liên hợp (toán tử Hermite) a. Định nghĩa: Toán tử L đợc gọi là toán tử Hermit nếu nó thoả mãn hệ thức sau: + v * L u dx = + u. L * v * dx (1.18) 8 u,v là các hàm bất kì, bằng 0 ở + và - u * , v * , L * là liên hợp phức của u,v, L Các toán tử Hermit: L = x; L = U(x,y,z); L = -i (toán tử động lợng p x ) L = 2 2 2 2 2 2 zyx + + ; L = - m2 2 + U(x,y,z) L = - m2 2 b. Các định lí về hàm riêng và trị riêng của toán tử Hermit 1. Định lí 1: Trị riêng của toán tử Hermit là trị thực: L n = L n * Thật vậy, nếu L là toán tử tuyến tính Hermit và L n là trị riêng của L thì ta có: L n = L n n (1) và n * L n d = n L * n d (2) (1) * L n = n * L n n n * L n d = n * L n d = L n n * n d (3) Lấy liên hợp phức của (1): L n * n = L n * n * (4) (4) nhân với n và lấy ta đợc: n L n * n * d = n L n * n * d = L n * n * n d (5) từ (2) (3) Và (5) suy ra: L n n * n d = L n * n n * d hay L n 2 d = L n * 2 d L n = L n * Vậy trị riêng của toán tử Hermit là trị thực 2. Định lí 2: Tập hợp tất cả các hàm riêng khác nhau của một toán tử Hermit có phổ trị riêng gián đoạn làm thành một hàm trực giao. L n = L n n (1) L m = L m m (2) (L n L m ) n * L n d = n L * n * d (3) 9 Từ (1) nhân m * rồi lấy ta đợc m * L n d = m * L n n d m * L n d = L n m * n d (4) Lấy liên hợp phức (2) rồi nhân với n , sau đó lấy tích phân ta đợc: n L * m * d = L m * m * n d = L m n m * d (5) Từ (3) so sánh (4) và (5) ta đợc: L n m * n d = L m n m * d (L n - L m ) m * n d = 0 m * n d = 0 đó là điều phải chứng minh. c. Tính chất của toán tử tuyến tính Hermit - Nếu L là toán tử tuyến tính Hermit thì L .a (a 0) cũng là toán tử tuyến tính Hermit. Ví dụ: Toán tử i. dx d là toán tử tuyến tính Hermit thì -i dx d cũng là toán tử tuyến tính Hermit. - Nếu A và B là toán tử tuyến tính Hermit thì giao hoán tử A . B = B . A cũng là toán tử tuyến tính Hermit. - Toán tử A và B là Hermit thì tổng hoặc hiệu của chúng cũng là toán tử tuyến tính Hermit. - Nếu A và B là các toán tử Hermit thì tổ hợp tuyến tính của chúng cũng là toán tử tuyến tính Hermit. - Nếu n không phải là hàm riêng của toán tử Hermite L, nghĩa là L n L n n thì ngời ta gọi giá trị L n thu đợc là giá trị trung bình hay kì vọng toán học của L và đợc biểu diễn nh sau: n L = d dL nn nn * * n L thu đợc cũng là trị thực. Thông qua các thuộc tính quan trọng của toán tử tuyến tính Hermite ta thấy rằng chỉ có loại toán tử này mới đủ khả năng biểu diễn bản chất của các đại lợng vật lý của hệ lợng tử. Và đó cũng là lý do tại sao toán tử Hermite là công cụ toán học trong cơ học lợng tử. 1.3. Hệ tiên đề của cơ học lợng tử 1.3.1. Tiên đề về hàm sóng (tiên đề 1) - Nguyên lí chồng chất các trạng thái a. Hàm sóng 1. Nội dung: Mỗi trạng thái của một hệ vật lí vi mô (hệ lợng tử) đợc đặc trng bằng một hàm xác định, đơn trị, hữu hạn, liên tục phụ thuộc vào thời gian t và toạ độ q, kí hiệu là hàm (q,t); gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái của hệ . Mọi thông tin về hệ lợng tử chỉ có thể thu đợc từ hàm sóng mô tả trạng thái cuả hệ. 2. ý nghĩa vật lí và tính chất của hàm sóng 10 [...]... về toán tử (tiên đề 2) a Nội dung: Tơng ứng với mỗi đại lợng vật lí L của hệ lợng tử ở trạng thái thì có một toán tử Hermit L tơng ứng Giữa các toán tử này có các hệ thức giống nh những hệ thức đại lợng vật lí trong cơ học cổ điển b Một toán tử trong cơ học lợng tử tơng đơng với một đại lợng vật lí trong cơ học cổ điển 1 Toán tử toạ độ: x = x (x,y,z) = q( x,y,z) Một cách tổng quát q 2 Toán tử xung... của hai toán tử A , B ; khi đó hai toán tử A và B phải giao hoán với nhau Ngợc lại, nếu hai toán tử giao hoán thì chúng sẽ có chung hàm riêng và hai đại l ợng vật lí tơng ứng sẽ có giá trị đồng thời xác định Vậy: Điều kiện cần và đủ để hai đại lợng vật lí của hệ lợng tử có trị xác định đồng thời trong cùng một trạng thái là các toán tử của chúng giao hoán với nhau Một số thí dụ: a Các toán tử giao hoán:... mv = p = 2 2m 2m 2m 8 Toán tử năng lợng (toán tử Hamilton) E = T + U H = T +U Thay các giá trị ta đợc: 2 H = + U (q ) 2m 1.3.3 Tiên đề về trị riêng và đại lợng đo đợc a Phổ trị riêng của toán tử Hermite và những giá trị khả dĩ của các đại lợng vật lí tơng ứng 12 Đại lợng vật lí L của một hệ lợng tử ở một thời điểm chỉ có thể nhận những giá trị riêng của toán tử tơng ứng L thoả mãn phơng trình... px p x = 3 Toán tử xung lợng p = px + p y + pz + ) = i p = -i ( + x y Z 4 Toán tử bình phơng xung lợng 2 2 p 2 = p x + p y + p z2 = 2 5 Toán tử mô men động lợng thành phần z ) z y My = zpx - xpz M y = i ( z x ) x z Mz = xpy -ypx M z = i ( x y ) y x M2 =M2 +M2 +M2 Mx = ypz - zpy M x = i ( y x y z 6 Toán tử thế năng U(x,y,z) U ( x, y, z ) 7 Toán tử động năng 2 2... trình Schodinger tổng quát cũng thể hiện nguyên lí chồng chất trạng thái trong cơ học lợng tử Do những điều đó, phơng trình Schrodinger tổng quát là phơng trình gốc và toán tử Haminton là toán tử quan trọng nhất của cơ học lợng tử không tơng đối tính b Phơng trình Schodinger của các trạng thái dừng Giả sử hệ lợng tử ở vào một trờng thế U không phụ thuộc vào thời gian, chỉ phụ thuộc vào toạ độ U = U(q),... một giá trị năng lợng 20 nh nhau, tức là trị riêng Enx,ny,nz có suy biến Sự xuất hiện trị riêng suy biến rất thờng gặp trong cơ học lợng tử, phản ánh tính đối xứng của hệ khảo sát 1.43 Dao động tử điều hoà Chúng ta biét rắng dao động tử của một phân tử hai nguyên tử, chuyển động của các hạt trong mạng lới tinh thể, một cách gần đúng, đợc xem nh các dao động điều hoá tuyến tính Khi hạt chuyển động trong... Toán tử x , y , z giao hoán với nhau từng đôi một [ x , y ] = 0; [ y , z ] = 0; [ x , z ] = 0 Vậy các toạ độ x, y, z của một hạt có thể nhận đồng thời những giá trị trong cùng một trạng thái - Toán tử thành phần động lợng px, py, pz giao hoán với nhau từng đôi một, nên có giá trị đồng thời xác định trong cùng một trạng thái b- Các toán tử không giao hoán: - Động lợng và toạ độ: Các toán tử toạ... tơng ứng với toạ độ đó không giao hoán, nên từng đôi một không thể có giá trị xác định đồng thời Nhng một toán tử toạ độ và toán tử thành phần động lợng ứng với toạ độ khác lại giao hoán Do đó, chúng lại có thể đồng thời xác định trong cùng một trạng thái -Toán tử thành phần momen động lợng: Toán tử thành phần momen động lợng không giao hoán với nhau từng đôi một Do đó, các thành phần M x, My, Mz của momen... có giá trị xác định Nếu hệ lợng tử ở trạng thái mà hàm này đồng nhất với một hàm riêng k nào đó của toán tử Hermite L , thì ở trạng thái đó đại lợng vật lí L có giá trị xác định và bằng trị riêng Lk của toán tử tuyến tính Hermite L Những trạng thái L mà ở đó một đại lợng vật lí L có giá trị xác định là những trạng thái thoả mãn phơng trình trị riêng của toán tử tơng ứng L L L = LL c Xác suất... Nguyên lí chồng chất trạng thái Trong cơ học lợng tử xuất phát từ bản chất của hàm sóng ngời ta thừa nhận một nguyên lí, gọi là nguyên lí chồng chất trạng thái Đây là một nguyên lí cơ bản của cơ học lợng tử Nếu các hàm 1, 2, , n là các hàm sóng mô tả trạng thái của một hệ lợng tử, thì tổ hợp tuyến tính của chúng cũng mô tả đợc trạng thái của hệ lợng tử đó = C11 + C22 + + Cnn : hàm trạng thái (1.22) . nguyên tử, năng lợng quay, năng lợng dao động của các nguyên tử hay nhóm nguyên tử trong phân tử đều nhận những giá trị gián đoạn xác định. Theo thuyết lợng tử Planck thì năng lợng của dao động tử. xa 1.1.2.Thuyết lợng tử Planck Để đa vật lý thoát ra khỏi Sự khủng hoảng tử ngoại, năm 1900 nhà vật lý ngời Đức là Max Planck đa ra thuyết lợng tử gọi là thuyết lợng tử Planck. 1 Theo thuyết lợng tử Planck. hàm số) +Toán tử , vi phân: dx d , 2 2 dx d . +Toán tử Laplace: = 2 2 2 2 2 2 zyx + + +Toán tử Napla: zyx + + = +Toán tử Hamilton H = - m2 2 + U(x,y,z) Các toán tử không tuyến