Chương 1- Hóa Lượng tử

Toán tử và hàm sóng Do hệ lợng tử có các thuộc tính khác biệt với hệ vĩ mô, nên ngời ta không thể biểudiễn các đại lợng vật lí của hệ này bằng các biểu thức giải tích thông thờng nh tron

Tr¸i l¹i, nÕu chiÕu ¸nh s¸ng tr¾ng qua h¬i Na th× trªn phæ liªn tôc, ë vÞ trÝ t¬ng øngvíi v¹ch vµng Na lµ mét vÖch tèi §ã lµ phæ hÊp thô cña Na Nguyªn tö cã kh¶ n¨ng hÊp thô

11

§Ó ®a vËt lý tho¸t ra khái “ Sù khñng ho¶ng tö ngo¹i”, n¨m 1900 nhµ vËt lý ngêi §øc

lµ Max Planck ®a ra thuyÕt lîng tö gäi lµ thuyÕt lîng tö Planck

Theo thuyết lợng tử Planck thì: “ Một dao động tử dao động với tần số ν chỉ có thể phát ra hay hấp thụ năng lợng từng đơn vị gián đoạn, từng lợng nhỏ một nguyên vẹn, gọi là lợng tử năng lợng ε Lợng tử năng lợng này tỉ lệ với tần số ν của dao động tử".

(h = 6,625.10-27erg.sec = 6.625.10-34 J.s)

ý nghĩa quan trọng của thuyết lợng tử Planck là đã phát hiện ra tính chất gián đoạnhay tính chất lợng tử của năng lợng trong các hệ vi mô Năng lợng của electron trong nguyên

tử, năng lợng quay, năng lợng dao động của các nguyên tử hay nhóm nguyên tử trong phân

tử đều nhận những giá trị gián đoạn xác định

Theo thuyết lợng tử Planck thì năng lợng của dao động tử dao động với tần số ν chỉ

có thể nhận những giá trị gián đoạn:

0, hν, 2hν, 3hν, 4hν, nhν

nghĩa là bội số nguyên lần lợng tử năng lợng ε = hν Do đó, ta có thể biểu diễn E theo côngthức:

E = nhν (n = 0, 1, 2, 3, )Mặt khác, vì năng lợng của dao động tử phát ra hay hấp thụ dới dạng năng lợng bứcxạ nên thuyết lợng tử Planck cũng có nghĩa là:

“ánh sáng hay bức xạ nói chung gồm những lợng tử năng lợng ε = h.ν phát đi từ nguồn sáng”.

Vì vậy, thuyết lợng tử Planck còn đợc gọi là thuyết lợng tử ánh sáng

1.1.3 Tính chất sóng - hạt của ánh sáng

H.Hetz (1887) khi làm thí nghiệm để chứng minh sự tồn tại của sóng điện từ trong líthuyết cuả MaxWell đã phát hiện ra rằng ánh sáng cực tím có tác dụng trợ lực cho sự phóng

điện trong chân không Sau đó, (1900) Lenard chỉ ra rằng nguyên nhân của hiện tợng trên là

do ánh sáng cực tím đã giải phóng electron ra khỏi bề mặt catôt Hiện tợng electron đợc giảiphóng ra khỏi bề mặt kim loại dới tác dụng của ánh sáng đợc gọi là hiệu ứng quang điện

einstein (1905) cho rằng có thể mở rộng thuyết lợng tử của Planck để giải thích hiệuứng quang điện Vì vậy, Einstein đa ra thuyết hạt hay thuyết lợng tử ánh sáng Theo thuyết l-ợng tử ánh sáng của Einstein thì ánh sáng hay bức xạ nói chung là một thông lợng các hạtvật chất đợc gọi là photon (quang tử) hay lợng tử ánh sáng với một lợng tử năng lợng:

Electron trong kim loại hấp thụ hoàn toàn và ngay lập tức toàn bộ năng lợng củaphoton khi nó tơng tác với photon

Trong những điều kiện nhất định nh trong các thí nghiệm giao thoa và nhiễu xạ, bứcxạ điện từ thể hiện tính chất sóng của chúng; còn trong điều kiện khác, nh trong hiệu ứngquang điện, chúng lại có bản chất hạt Tính chất đó gọi là lỡng tính sóng- hạt của bức xạ

Từ đó suy ra p = m c =

λ

h

(1.5)

Nh vậy, phơng trình (1.5) cho thấy mối quan hệ của m (đặc trng tính chất hạt) và λ

(đặc trng cho tính chất sóng) Đây là phơng trình quan trọng chứa đựng bản chất nhị nguyêncủa bức xạ điện từ

1.1.4 Tính chất sóng- hạt của hạt vật chất (sóng vật chất De Broglie)

Năm 1924, nhà vật lí Pháp Louis De Broglie cho rằng có thể mở rộng bản chất nhịnguyên sóng - hạt của bức xạ điện từ do Einstein phát hiện ra cho mọi vật chất Giả thiết của

De Broglie chủ yếu dựa trên cơ sở triết học về sự đối xứng trong tự nhiên Có thể chia thếgiới vật chất thành hai phần là bức xạ và vật chất Bên cạnh thuộc tính sóng, bức xạ còn cóthuộc tính hạt Suy ra, ngoài bản chất hạt, vật chất còn có tính chất sóng

Sự chuyển động của một hạt vật chất bất kì có thể đợc xem nh một quá trình sóng cóbớc sóng λ và tần số ν :

Nếu có một hạt vật chất ta có biểu thức sóng:

ψ(x,t) = a.ei.(Et - px)/ h (1.6) : sóng vật chất De Broglie

1.1.5 Nguyên lí bất định Heisenberg

Trong cơ học cổ điển khi nghiên cứu chuyển động của các hạt, ngời ta phải nói đếnquỹ đạo của chúng, lúc đó tại một thời điểm bất kì ta có thể xác định đợc toạ độ và động l-ợng của hạt

Trong cơ học lợng tử, khi nói đến tính sóng của hạt vật chất thì khái niệm quỹ đạokhông còn ý nghĩa nữa

Theo hệ thức De Broglie ta có:

λ= h p ⇒ p = λ

h

Vì λ không phải là hàm của toạ độ, do đó p không thể là hàm của toạ độ Điều này

đợc Heisenberg phát biểu qua hệ thức bất định:

“Toạ độ và động lợng của hạt tơng ứng với toạ độ đó là không thể đồng thời xác

định”.

Biểu thức bất định Heisenberg:

∆x ∆px≥  (1.8)

∆x: độ bất định của toạ độ ∆px: độ bất định của động lợng trên phơng x.

định) và ngợc lại Có nghĩa là ta không thể xác định đợc đồng thời một cách chính xác vị trí

x và vận tốc Vx của một electron trong nguyên tử Nếu biết Vx thì không thể xác định chínhxác toạ độ x của nó, tức là không tồn tại quỹ đạo của electron trong nguyên tử

Nguyên lí bất định Heisenberg cũng đúng trong trờng hợp của hệ vĩ mô, nhng vì hạt

vĩ mô thì tính chất sóng- hạt là rất bé nên ít đợc áp dụng

Từ hai tính chất vật lí của hạt vật chất ta có thể rút ra tính chất đặc trng của hệ vi mô:

- Các đại lợng vật lí của hạt vi mô đều gián đoạn

- Toạ độ x và động lợng của hạt là không thể đồng thời xác định

- Chuyển động của hạt vi mô không có quỹ đạo

1.1.6 Sự khác nhau giữa cơ học cổ điển và cơ học lợng tử

Dựa trên các số liệu thực nghiệm thu đợc và các hiện tợng quan sát, ta có thể tóm tắt

sự khác nhau chính giữa hai loại cơ học nh sau:

- Toạ độ và động lợng tơng ứng với toạ độ

đó là không thể đồng thời xác định

1.2 Toán tử và hàm sóng

Do hệ lợng tử có các thuộc tính khác biệt với hệ vĩ mô, nên ngời ta không thể biểudiễn các đại lợng vật lí của hệ này bằng các biểu thức giải tích thông thờng nh trong cơ học

cổ điển mà phải dùng đến một công cụ toán học mới có khả năng mô tả bản chất của hệ lợng

tử Một trong những công cụ ấy là toán tử tác dụng lên hàm sóng

Toán tử A = nhân với a có nghĩa là thực hiện phép nhân a vào hàm số đứng sau nó.

Aˆ = d/ dx nghĩa là lấy đạo hàm theo x hàm số đứng sau nó Ngời ta thờng kí hiệu cáctoán tử: Aˆ, Bˆ, Cˆ

b Các phép toán về toán tử

1 Phép cộng của hai toán tử A và B:

Tổng các toán tử A và B là toán tử C ( Cˆ = Aˆ +Bˆ) sao cho khi Cˆ tác dụng lên hàm

u (tuỳ ý) thì bằng Aˆ +Bˆ tác dụng lên hàm u đó

Aˆ +Bˆ= Cˆ nếu Cˆu = Aˆu + Bˆu

Cˆu = Bˆ[Aˆu] = d/dx (x.u) = x du/dx + u ≠ Cˆu

Nếu Aˆ.Bˆ ≠ Bˆ.Aˆ thì ta nói hai toán tử Aˆ,Bˆ không giao hoán với nhau,

ta gọi [Aˆ,Bˆ] = Aˆ Bˆ- Bˆ Aˆ là giao hoán tử của hai toán tử Aˆ và Bˆ

Nếu Aˆ Bˆ= Bˆ.Aˆ thì ta nói hai toán tử Aˆ và Bˆ giao hoán

[Aˆ,Bˆ] = Aˆ Bˆ- Bˆ Aˆ = 03.Luỹ thừa của toán tử: Luỹ thừa của toán tử Aˆ đợc định nghĩa:

Â2u = (Â.Â)u =  (Âu)Vậy Â2 = Â. là  tác dụng liên tiếp hai lần

2 2

2 2

2

z y

∂+

∂

∂+

∂

∂

+Toán tử Napla:

z y

∂+

∂

∂+

b Tính chất của toán tử tuyến tính

Nếu hai toán tử Aˆ, Bˆ là toán tử tuyến tính (t4) thì tổ hợp tuyến tính của chúng là toán

tử tuyến tính và tích của chúng nhân với một số cũng là toán tử tuyến tính

Aˆ, Bˆ: t4 thì (a.Aˆ + b.Bˆ ) : t4 (c Aˆ Bˆ, d.Bˆ Aˆ) : t4

c Hàm riêng và trị riêng của toán tử tuyến tính

1 Định nghĩa: Nếu kết quả tác động của toán tử tuyến tính Lˆ lên một hàm u bằngchính hàm u đó nhân với tham số L nào đó, thì ta gọi u là hàm riêng và L là trị riêng của toán

2 Trị riêng không suy biến và suy biến

Một toán tử tuyến tính Lˆ có thể tồn tại nhiều hàm riêng và trị riêng khác nhau Tậphợp các trị riêng của Lˆ gọi là phổ các trị riêng Phổ các trị riêng có thể là liên tục hoặc gián

đoạn, hoặc một phần gián đoạn một phần liên tục

- Nếu ứng với mỗi hàm riêng u chỉ có một trị riêng L thì ngời ta nói trị riêng đó làkhông suy biến

- Nếu ứng với một trị riêng L ta có k hàm riêng u thì ta nói trị riêng L suy biến k lầnhay suy biến bậc k

Ví dụ: Lˆu1 = Lu1

Lˆu2 = Lu2

Lˆuk = Luk

 L là trị riêng suy biến bậc k

d Các định lí về hàm riêng và trị riêng của toán tử tuyến tính

1 Định lí 1: Nếu un là hàm riêng của toán tử tuyến tính Lˆ ứng với trị riêng Ln và a làmột hằng số tuỳ ý ≠ 0 thì aun cũng là hàm riêng của Lˆ ứng với trị riêng Ln

1.2.3 Một số khái niệm về các hệ hàm

a Hệ hàm trực giao: Hệ hàm u, v, w đợc gọi là hệ hàm trực giao nếu tích phân của một

hàm nào đó với liên hợp phức của một hàm khác luôn bằng 0 trong toàn phạm vi biến đổicủa hàm số

∫ u.v* dx = 0, ∫ u.w* dx = 0 , ∫ v.w* dx = 0

b Hàm chuẩn hoá: Hàm ψ đợc gọi là hàm chuẩn hoá nếu ∫ ψψ*dx = 1

ψ cha chuẩn hoá: ∫ ψ 2 dx = N ( N ≠ 1)

Để có đợc hàm ψ chuẩn hoá, ngời ta chia phơng trình này cho N:

d Hệ hàm đầy đủ: Hệ hàm ψ1, ψ2, ., ψm, , ψn đợc gọi là hệ hàm đầy đủ, nếu hàm ψ bấtkì có thể khai triển thành chuỗi tuyến tính của hệ hàm ấy

ψ = C1ψ1 + C2ψ2 + + Cmψm + + Cnψn = ∑ Ciψi (1.17)

Ci : hệ số khai triển chuỗiNếu hệ hàm đầy đủ cũng là hệ hàm trực giao thì ta có thể xác định đợc hệ số khaitriển chuỗi

Ví dụ: Muốn xác định Cm thì ta nhân phơng trình với ψm* và lấy ∫

m

m m

ψψ

ψψ

*

*

Nếu hệ hàm đầy đủ thoả mãn tính chất chuẩn hoá thì: Cm = ∫ψm*ψdx

e Hàm đều hoà (hàm đều đặn)

Hàm ψ đợc gọi là hàm đều hoà nếu nó đơn trị, hữu hạn và liên tục trong phạm vi biến

đổi của biến số

1.2.4 Toán tử tuyến tính tự liên hợp (toán tử Hermite)

a Định nghĩa: Toán tử Lˆ đợc gọi là toán tử Hermit nếu nó thoả mãn hệ thức sau:

∂

∂+

b Các định lí về hàm riêng và trị riêng của toán tử Hermit

1 Định lí 1: Trị riêng của toán tử Hermit là trị thực: Ln = Ln

Thật vậy, nếu Lˆ là toán tử tuyến tính Hermit và Ln là trị riêng của Lˆ thì ta có:

2 Định lí 2: Tập hợp tất cả các hàm riêng khác nhau của một toán tử Hermit có phổ

trị riêng gián đoạn làm thành một hàm trực giao

Lˆψn = Ln ψn (1)

Lˆψm = Lmψm (2)(Ln ≠ Lm)

∫ψn Lˆ ψn dτ = ∫ψn Lˆ*ψn dτ (3)

Từ (1) nhân ψm* rồi lấy ∫ ta đợc ∫ ψm* Lˆ ψn dτ = ∫ ψm* Lnψn dτ

⇒∫ ψm* Lˆ ψn dτ = Ln∫ ψm* ψn dτ (4) Lấy liên hợp phức (2) rồi nhân với ψn , sau đó lấy tích phân ta đợc:

∫ψn Lˆ*ψm* dτ = Lm*∫ψm* ψn dτ = Lm∫ψnψm* dτ (5)

Từ (3) so sánh (4) và (5) ta đợc:

Ln∫ψm* ψn dτ = Lm ∫ ψn ψm* dτ

⇒ (Ln - Lm ) ∫ψm* ψn dτ = 0

⇒ ∫ψm* ψn dτ = 0 đó là điều phải chứng minh

c Tính chất của toán tử tuyến tính Hermit

- Nếu Lˆ là toán tử tuyến tính Hermit thì Lˆ.a (a ≠ 0) cũng là toán tử tuyến tínhHermit

- Nếu Aˆ và Bˆ là toán tử tuyến tính Hermit thì giao hoán tử Aˆ.Bˆ= Bˆ.Aˆ cũng là toán

τψψ

d

d L

n n

n n

*

*ˆ

n

L thu đợc cũng là trị thực

Thông qua các thuộc tính quan trọng của toán tử tuyến tính Hermite ta thấy rằng chỉ

có loại toán tử này mới đủ khả năng biểu diễn bản chất của các đại lợng vật lý của hệ lợng

tử Và đó cũng là lý do tại sao toán tử Hermite là công cụ toán học trong cơ học lợng tử

1.3 Hệ tiên đề của cơ học lợng tử

1.3.1 Tiên đề về hàm sóng (tiên đề 1) - Nguyên lí chồng chất các trạng thái

a Hàm sóng

1 Nội dung: “Mỗi trạng thái của một hệ vật lí vi mô (hệ lợng tử) đợc đặc trng bằng

một hàm xác định, đơn trị, hữu hạn, liên tục phụ thuộc vào thời gian t và toạ độ q, kí hiệu là hàm ψ (q,t); gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái của hệ “.

Mọi thông tin về hệ lợng tử chỉ có thể thu đợc từ hàm sóng mô tả trạng thái cuả hệ

2 ý nghĩa vật lí và tính chất của hàm sóng

- Vì hàm sóng ψ (q,t) nói chung là hàm phức nên nó không có ý nghĩa vật lí trực tiếp,

mà chỉ có bình phơng modun ψ 2 (trị này là thực) của hàm sóng mới có ý nghĩa

là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại toạ độ tơng ứng, đó chính là ý nghĩa vật lí của hàm sóng

- Nếu gọi dw là xác suất tìm thấy hạt trong một thể tích dv xung quanh một điểm nào

∫ψ 2dv = 1 (1.21)Biểu thức (1.21) muốn thoả mãn tích phân ∫ψ 2dv phải có giá trị hữu hạn, nghĩa là

ψ  0 đủ nhanh ở vô cực

Đây là điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng, hàm ψ(q,t) gọi là hàm đã chuẩn hoá

Ngoài ra, hàm ψ(q,t) phải thoả mãn tính chất đơn trị, hữu hạn và liên tục để thảo mãntính chất của một hàm mật độ vì:

1- Tính đơn trị: Vì ψ 2 biểu thị mật độ xác suất của hạt và xác suất là một đại lợng hoàntoàn xác định nên Ψ phải là một hàm đơn trị của toạ độ, nêú không tại một toạ độ xác định

ta sẽ thu đợc nhiều giá trị xác suất và điều này hoàn toàn không có ý nghĩa vật lý

2- Tính hữu hạn: Vì xác suất là hữu hạn nên hàm sóng Ψ phải hữu hạn tại mọi vị trí

3- Tính liên tục: Vì trạng thái của hệ lợng tử phải biến đổi liên tục trong không gian, nênhàm sóng Ψ mô tả trạng thái của hạt phải là một hàm liên tục

b Nguyên lí chồng chất trạng thái

Trong cơ học lợng tử xuất phát từ bản chất của hàm sóng ngời ta thừa nhận mộtnguyên lí, gọi là nguyên lí chồng chất trạng thái Đây là một nguyên lí cơ bản của cơ học l-ợng tử

“Nếu các hàm ψ1 , ψ2 , , ψn là các hàm sóng mô tả trạng thái của một hệ lợng tử, thì

tổ hợp tuyến tính của chúng cũng mô tả đợc trạng thái của hệ lợng tử đó”.

ψ = C1ψ1 + C2ψ2 + + Cnψn : hàm trạng thái (1.22)

C1 , C2, là những hệ số tuỳ ý

Nguyên lí chồng chất phản ánh tính chất độc lập của một trạng thái này đối với mộttrạng thaí khác

1.3.2.Tiên đề về toán tử (tiên đề 2)

a Nội dung: Tơng ứng với mỗi đại lợng vật lí L của hệ lợng tử ở trạng thái ψ thì có một toán

x

i x i

∂

∂+

2 ˆ ˆ ˆˆ

z y

2

m m

p m

mv T

22

ˆ2

8 Toán tử năng lợng (toán tử Hamilton)

E = T + U → Hˆ =Tˆ+Uˆ Thay các giá trị ta đợc:

)(2

m

H =−  ∆+

1.3.3 Tiên đề về trị riêng và đại lợng đo đợc

a Phổ trị riêng của toán tử Hermite và những giá trị khả dĩ của các đại lợng vật lí tơng ứng

Đại lợng vật lí L của một hệ lợng tử ở một thời điểm chỉ có thể nhận những giá trịriêng của toán tử tơng ứng Lˆ thoả mãn phơng trình trị riêng ở thời điểm t:

Lˆ ψn = Lnψn (1.24)

b Những giá trị ψ mà ở đó đại lợng vật lí L có giá trị xác định

Nếu hệ lợng tử ở trạng thái ψ mà hàm ψ này đồng nhất với một hàm riêng φk nào đócủa toán tử Hermite Lˆ, thì ở trạng thái ψ đó đại lợng vật lí L có giá trị xác định và bằng trịriêng Lk của toán tử tuyến tính Hermite Lˆ

Những trạng thái ψL mà ở đó một đại lợng vật lí L có giá trị xác định là những trạngthái thoả mãn phơng trình trị riêng của toán tử tơng ứng Lˆ

LˆψL = LψL

c Xác suất để một đại lợng L có một giá trị L i

Nếu hệ lợng tử ở vào trạng thái ψ, mà ψ không trùng với một hàm riêng nào của Lˆ

thì đại lợng vật lí L của trạng thái ψ đó không có giá trị xác định Đại lợng L chỉ có thể nhậnmột trong những giá trị xác định Li của phổ trị riêng của toán tử Lˆ, nhng không biết chắc làtrị nào Vì thế ngời ta phải xác định L theo định luật xác suất

Xuất phát từ nguyên lí chồng chất trạng thái và tính đầy đủ, trực giao của hệ hàmriêng của toán tử tuyến tính Hermite Lˆ ngời ta biểu diễn hàm ψ mô tả trạng thái của hệthành chuỗi tuyến tính theo các hàm riêng

C = 1 : điều kiện chuẩn hoá

Với W (Li) là xác suất để đại lợng L nhận một trong những giá trị có thể có của Ln

Từ Lˆ ψn = Lnψn⇒ ψn Lˆ ψn = ψn L ψn = Lnψn ψn

⇒ Ln = ∫ ψn Lˆ ψn dτ

∫ψn ψn dτ

Thực tế trong cơ học lợng tử ít khi tìm đợc ψn là một hàm riêng đúng, mà chỉ tìm

đ-ợc hàm riêng gần đúng Do đó trị riêng ψn tìm thấy là trị trung bình:

n

L = ∫ ψn Lˆ ψn dτ (1.26)

∫ψn ψn dτ

Giá trị trung bình này còn gọi là kì vọng của L.

1.3.4 Điều kiện để hai đại lợng vật lí có giá trị xác định đồng thời trong cùng một trạng thái

Ta đã biết, đại lợng vật lí A của trạng thái ψ1 có giá trị xác định nếu ψ 1 là hàm riêngcủa toán tử Aˆ Đại lợng vật lí B của trạng thái ψ2 có giá trị xác định nếu ψ2 là hàm riêng của

Bˆ Do đó, hai đại lợng vật lí A, B của cùng trạng thái ψ sẽ có giá trị xác định đồng thời nếu

ψ là hàm riêng chung của hai toán tử Aˆ, Bˆ; khi đó hai toán tử Aˆ và Bˆ phải giao hoán vớinhau Ngợc lại, nếu hai toán tử giao hoán thì chúng sẽ có chung hàm riêng và hai đại lợngvật lí tơng ứng sẽ có giá trị đồng thời xác định

Vậy: Điều kiện cần và đủ để hai đại lợng vật lí của hệ lợng tử có trị xác định đồng thời trong cùng một trạng thái là các toán tử của chúng giao hoán với nhau.

• Một số thí dụ:

a Các toán tử giao hoán:

- Toán tử xˆ, yˆ,zˆ giao hoán với nhau từng đôi một

[xˆ,yˆ] = 0; [yˆ,zˆ] = 0; [xˆ,zˆ] = 0Vậy các toạ độ x, y, z của một hạt có thể nhận đồng thời những giá trị trong cùng mộttrạng thái

- Toán tử thành phần động lợng px, py, pz giao hoán với nhau từng đôi một, nên có giátrị đồng thời xác định trong cùng một trạng thái

b- Các toán tử không giao hoán:

- Động lợng và toạ độ: Các toán tử toạ độ và thành phần động lợng tơng ứng với toạ

độ đó không giao hoán, nên từng đôi một không thể có giá trị xác định đồng thời Nhng mộttoán tử toạ độ và toán tử thành phần động lợng ứng với toạ độ khác lại giao hoán Do đó,chúng lại có thể đồng thời xác định trong cùng một trạng thái

-Toán tử thành phần momen động lợng: Toán tử thành phần momen động lợng khônggiao hoán với nhau từng đôi một Do đó, các thành phần Mx, My, Mz của momen động lợngkhông thể có những giá trị xác định

[Mˆ x, Mˆ y] = i ħMˆ z ; [Mˆ y, Mˆ z] = i ħ Mˆ x ; [Mˆ zMˆ x] = i ħMˆ yTuy nhiên, toán tử bình phơng mômen động lợng Mˆ 2 = Mˆ x + Mˆ y + Mˆ z2 lại giaohoán với mỗi toán tử Mˆ x, Mˆ y, Mˆ z

1.3.5 Tiên đề về phơng trình Schrodinger-Trạng thái dừng

a Tiên đề 3 - Phơng trình Schodinger tổng quát

Hàm sóng ψ(q,t) mô tả trạng thái của hệ lợng tử biến thiên theo thời gian đợc xác

định bởi phơng trình Schrodinger tổng quát: