chương 2,3 - Hóa lượng tử

Chơng 2 Bài toán nguyên tử hệ 1 electron 2.1. Trờng xuyên tâm - Hệ toạ độ cầu 2.1.1. Trờng xuyên tâm: Một trờng thế đợc gọi là trờng xuyên tâm khi: - Mọi lực tác dụng lên hạt đều đi qua một điểm cố định goị là tâm của trờng và ngời ta lấy điểm này làm gốc toạ độ. - Lực đó chỉ phụ thuộc khoảng cách R từ tâm đến hạt chứ không phụ thuộc vào phơng của vectơ R, do đó U = U(r). Ví dụ: Trờng lực của hạt nhân đối với electron là trờng xuyên tâm. U = - r Ze 2 2.1.2. Toạ độ cầu: Vì trờng xuyên tâm là trờng đối xứng cầu, nên các bài toán trong trờng xuyên tâm ng- ời ta sử dụng hệ toạ độ cầu. Giữa toạ độ Descartes và toạ độ cầu có mối quan hệ sau: r = OM (0 r ) = (OZ,OM) (0 ) = (OX,OM) ( 0 2) x = rsincos y = rsinsin z = rcos ; r 2 = x 2 + y 2 + z 2 Phần thể tích d trong toạ độ cầu có dạng: d = r 2 dr.sindd 2.1.3. Các toán tử trong hệ toạ độ cầu 28 r - Toán tử Laplace 2 2 2 1 )( 1 r r r r r + = : Phần phụ thuộc góc của toán tử Laplace = 2 2 2 sin 1 )(sin sin 1 + - Toán tử mômen động lợng: )cos.(sin + = ctgiM x )sin.(cos = ctgiM y = iM z 22 =M Theo cơ học lợng tử, khi hạt chuyển động trong trờng xuyên tâm, giữa các toán tử momen động lợng có các tơng quan: [ M 2 , M x ] = [ M 2 , M y ] = [ M 2 , M z ] = 0 -Toán tử Haminton: H = - 2 2m [ 2 2 2 1 )( 1 r r r r r + ] + U - Phơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng trong trờng xuyên tâm: H (r, , ) = E (r, , ) (2.1) hay 0)( 21 )( 1 22 2 2 =++ UE m r r r r r (2.2) 2.1.4. Các toán tử giao hoán trong trờng xuyên tâm: Trong trờng xuyên tâm các toán tử H , M 2 và M z giao hoán với nhau từng đôi 29 một: [ H , M 2 ] = [ H , M z ] = [ M 2 , M z ] = 0. Do đó, các trị riêng của chúng E, M 2 , M z là đồng thời xác định. Chúng có chung hàm riêng và lập thành một hệ toán tử đầy đủ, xác định hoàn toàn hàm sóng của hệ. 2.2. Bài toán nguyên tử hidro và ion giống hidro Nguyên tử hidro và ion giống hidro nh He + , Li 2+ có một electron duy nhất chuyển động trong trờng lực của hạt nhân với điện tích dơng +e (hay +Ze) có thế năng U = -Ze 2 /r ( r: khoảng cách từ electron đến hạt nhân). So với electrron, hạt nhân có khối lợng rất lớn và chuyển động rất chậm, nên một cách gần đúng ngời ta xem nó đứng yên và đặt gốc toạ độ tại nhân. Nh vậy, bài toán nguyên tử hidro và ion giống hidro chuyển thành bài toán xét chuyển động của electron trong trờng xuyên tâm. 2.2.1.Phơng trình Schrodinger của nguyên tử hidro 0)( 21 )( 1 22 2 2 =++ UE m r r r r r (2.3) Việc giải phơng trình Schrodiger chính là đi tìm giá trị E và hàm của phơng trình (2.3). Trong trờng xuyên tâm các toán tử 2 M và z M giao hoán với nhau và giao hoán với toán tử H Toán tử z M và 2 M có hàm riêng chung là Y (,) ( hàm cầu). (r, , ) là hàm riêng của toán tử H . Để (r, , ) cũng là hàm riêng của 2 M và z M thì phải bằng tích của hàm cầu Y ( , ) với một hàm chỉ phụ thuộc r ( gọi là hàm bán kính R (r) ) (r, , ) = R (r) . Y ( , ) = R.Y (2.4) Thay (2.4) vào (2.3) ta đợc: 0)( 2 )( 1 22 2 2 =+ + RYUE m r RY r RY r r r (2.5) với 2 2 M = (2.5) 0)( 2 )( 22 2 2 2 2 =+ UERY mM r R r R r r r Y (2.6) Nhân (2.6) với RY r 2 , chuyển phần phụ thuộc góc về phía phải: 30 Y YM UE mr r R r rR 2 2 2 2 2 )( 2 )( 1 =+ (2.7) Để cho phơng trình (2.7) luôn nghiệm đúng thì hai vế của phơng trình phải bằng một hằng số và ngời ta tách thành hai phơng trình: - Phơng trình phụ thuộc góc (,): Y YM 2 2 = A (2.8) ( A = const) -Phơng trình phụ thuộc bán kính r: )( 2 )( 1 2 2 2 UE mr r R r rR + = A (2.9) Nh vậy, việc giải phơng trình Schrodinger chính là giải phơng trình phụ thuộc góc và phơng trình phụ thuộc bán kính. 2.2.2. Phơng trình phụ thuộc góc a. Hàm riêng của 2 M và z M Phơng trình (5.7) chính là phơng trình hàm riêng và trị riêng của toán tử 2 M . Vì hàm cầu Y(,) là hàm riêng chung của 2 M và z M , mà z M chỉ chứa một biến ( z M = -i ); nên Y(,) là tích của hàm ()(): Y(,) = ()() (2.10) Thay (2.10) vào phơng trình góc (2.8): 2 M Y = A 2 Y ta đợc: 2 2 2 sin 1 )(sin sin 1 + YY = -AY hay 0 sin ) (sin sin 2 2 =+ + A (2.11) Nhân (2.11) với 2 sin và biến đổi ta đợc: ])(sin sin 1 [sin 2 A+ = - 2 2 1 (2.12) Để cho (2.12) luôn nghiệm đúng, thì hai vế phải bằng một hằng số: 31 - 2 2 1 = m 2 (2.13) ])(sin sin 1 [sin 2 A+ = m 2 (2.14) *Phơng trình (2.13) đợc viết lại: 0 2 2 2 =+ m Đây là phơng trình vi phân bậc hai có nghiệm: m( ) = c. e im Để hàm m( ) là đơn trị, thì m phải nhận các giá trị 0, 1, 2 m( ) là hàm riêng của toán tử M z *Phơng trình (5.13) đợc viết lại: - = + A m 2 2 sin )(sin sin 1 Đặt A = l(l + 1), ta đợc: - += + )1( sin )(sin sin 1 2 2 ll m (2.15) Phơng trình (2.15) là phơng trình hàm số cầu, phơng trình này chỉ có thể có nghiệm đơn trị, hữu hạn, liên tục. Nghiệm của phơng trình: )!( )!( 2 12 )( ml ml l + + = . P )(cos m l (2.16) Với: l = 0, 1, 2, m= 0, 1, 2, , l Nh vậy: Hàm cầu Y ( , ) = ()() trở thành: Y ( , ) = 2 1 )!( )!( 2 12 ml ml l + + . P )(cos m l .e im (2.17) b.Trị riêng của toán tử M 2 , M z 32 -Trị riêng của M 2 : 22 AM = = l(l+1) 2 (2.18) l = 0,1,2, l gọi là số lợng tử phụ ( số lợng tử obital). Theo qui ớc những trạng thái của hệ ứng với các giá trị của l là: l = 0 1 2 3 4 5 6 7 s p d f g h i k -Trị riêng của M z : z M = M z hay im ec i . = M z Lấy vi phân ta đợc -i .c.i.m.e im = M z . .c.m.e im = M z . M z = m. (2.19) (m = 0, 1, 2, , l) m gọi là số lợng tử từ. m chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn từ +l đến -l. Về ý nghĩa vật lí, nó đặc trng cho sự định hớng của vectơ momen động trên trục Z. Một số dạng hàm cầu đã đợc chuẩn hoá nh bảng 1. Chỉ những hàm cầu có m l =0 mới là hàm thực, còn các hàm cầu có m l 0 đều là phức vì có chứa e im . Song vì hàm cầu Y là phần góc của = R.Y, trong đó hàm bán kính R là thực, cho nên để cho AO là thực thì cần biến đổi hàm cầu phức thành hàm thực. Để làm điều này ta tiến hành tổ hợp tuyến tính các hàm cầu phức một cách thích hợp có tính đến định lí Euler: Cos = (e i + e -i )/2 Sin = (e i - e -i )/2i Ví dụ: Với l = 1. Từ các giá trị ở bảng 1 ta có: P z = pz = Y 1,0 = cos 8 3 P x = px = cossin 4 3 ) 2 (sin 4 3 2 1,11,1 = + = + ii ee YY 33 P y = py = sinsin 4 3 ) 2 (sin 4 3 2 1,11,1 = = ii ee i YY Các giá trị của các hàm đã tổ hợp đợc đa ra ở bảng 2. Bảng 1: Dạng hàm cầu Y l,m (,) l m l Y l, m (, ) M z M 0 0 Y 00 = 4 1 0 0 0 Y 10 = cos 8 3 0 1 1 Y 1,1 = 8 3 sin. e i + 2 -1 Y 1,-1 = 8 3 sin. e -i - 0 Y 2,0 = 16 5 (3cos 2 - 1) 0 1 Y 2,1 = 8 15 sincos e i + 2 -1 Y 2,-1 = 8 15 sincos e -i - 6 2 Y 2,2 = 32 15 sin 2 e 2i +2 -2 Y 2,-2 = 32 15 sin 2 e -2i -2 Bảng 2: Dạng hàm cầu Y l,m của hidro l m l Y l, m (, ) Tổ hợp tuyến tính Ký hiệu 0 0 Y 00 = 4 1 s 1 0 Y 10 = cos 8 3 p z 1 1 Y 1,1 = 8 3 sin. e i 2 1 (Y 1,1 + Y 1,-1 ) p x 34 1 -1 Y 1,-1 = 8 3 sin. e -i 2 1 i (Y 1,1 - Y 1,-1 ) p y 2 0 Y 2,0 = 16 5 (3cos 2 - 1) d z2 2 1 Y 2,1 = 8 15 sincos e i 2 1 (Y 2,1 + Y 2,-1 ) d xz 2 -1 Y 2,-1 = 8 15 sincos e -i 2 1 i (Y 2,1 - Y 2,-1 ) d yz 2 2 Y 2,2 = 32 15 sin 2 e 2i 2 1 (Y 2,2 + Y 2,-2 ) d x2 - y2 2 -2 Y 2,-2 = 32 15 sin 2 e -2i 2 1 i (Y 2,2 - Y 2,-2 ) d xy Các dạng hàm P x , P y , P z thu đợc từ sự tổ hợp tuyến tính gọi là các obital nguyên tử P x , P y , P z và kết hợp với các giá trị của x, y, z trong hệ toạ độ cầu ta đợc: P z = 4 3 (z/r); P x = 4 3 (x/r); P y = 4 3 (y/r) Điều này giải thích vì sao chúng ta có các hàm ứng với các kí hiệu P x , P y , P z . Bằng cách tơng tự ta có các kí hiệu d xy , d xz , d yz , d x2-y2 và d z2 . 2.2.3. Phơng trình phụ thuộc bán kính r Từ phơng trình (2.8) : )( 2 )( 1 2 2 2 UE mr r R r rR + = l(l+1) Ta đợc: 0] )1( )( 2 [ 2 222 2 = + ++ R r ll UE m dr dR r dr Rd (2.19) Từ phơng trình (2.19) ta phải tìm giá trị E và R(r). Đối với electron có hai khả năng xảy ra: - Khi electrron bứt ra khỏi nguyên tử, nghĩa là không tồn tại liên kết, lúc đó E > 0. - Khi electrron còn tơng tác với hạt nhân, nghĩa là tồn tại liên kết hoá học, E < 0. Đây là trờng hợp mà ta quan tâm. Để giải phơng trình bán kính ta đặt: x = o na Zr2 (2.20) Với n là một tham số nào đó. Tìm giá trị của các hàm dr, dr 2 , dR/dr, d 2 R/dr 2 (2.21) Thay các gía trị ở (2.20) và (2.21) vào (2.19) và biến đổi để đa về dạng Laguerre, giải ta đợc nghiệm của phơng trình hàm bán kính: 35 R(r) = -C ) 2 () 2 12 / o l ln naZr o na Zr Le na Zr o + + a 0 = 0,529A 0 ~ 0,53A 0 (bán kính Bohr) L 2l+1 n+l (x) : Đa thức Laguerre C = 34 ])![( )!1(4 lnn ln + 2/3 )( o a Z Phơng trình bán kính chỉ có nghiệm khi n-l-1 0 và nguyên, tức là n l + 1 và nguyên, mà l = 0, 1, 2, ; do đó n = 1, 2, n đợc gọi là số lợng tử chính. Nh vậy ứng với một giá trị của n có n giá trị l n = 1 l = 0 : 1s n = 2 l = 0, 1 : 2s, 2p n = 3 l = 0, 1, 2 : 3s, 3p, 3d n = 4 l = 0, 1, 2, 3 : 4s, 4p, 4d, 4f Một số hàm bán kính R (n,l) của các ion giống hidro đợc trình bày ở bảng 3. Bảng 3: Một số hàm bán kính của các ion giống hidro n l R n.l (r) 1 0 o aZr o e a Z / 2/3 .)(2 2 0 o aZr oo e a Zr a Z 2/ 2/3 ). 2 1()( 2 1 2 1 o aZr o er a Z 2/ 2/5 .)( 62 1 3 0 o aZr o oo e a rZ a Zr a Z 3/ 2 22 2/3 ) 9 2 23()( 39 2 + 3 1 o aZr oo e a Zr a Z 3/ 2/5 ) 3 2()( 627 4 3 2 o aZr o er a Z 3/ 22/7 )( 3081 4 - Năng lợng: E = - 22 42 2 n meZ E đợc lợng tử hoá vì n nhận giá trị gián đoạn. 36 E 1 : ứng với trạng thái n = 1: Trạng thái cơ bản E min. Trong nguyên tử hidro và ion giống hidro thì những trạng thái ứng với n 2 gọi là trạng thái kích thích. 2.2.4. Một số tính chất của các hàm sóng 2.2.4.1. Khái niệm về obital nguyên tử Hàm sóng (r,,) là hàm mô tả trạng thái chuyển động của electron trong nguyên tử. Hàm (r,,) là tích của hàm bán kính và hàm góc. n,l,m (r,,) = R n, l (r) .Y l,m (,) Trong quá trình giải phơng trình Schrodinger ta thấy xuất hiện 3 số lợng tử: - n: Số lợng tử chính nhận các giá trị 1, 2, 3 Số lợng tử này xác định những mức năng lợng trong nguyên tử: E = - 22 42 2 n meZ - l: Số lợng tử phụ hay số lợng tử orbital nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, (n -1). Số lợng tử này xác định momen động lợng orbital: M = )1( +ll - m l : Số lợng tử từ nhận các giá trị 0, 1, 2 l. Số lợng tử này xác hình chiếu của mômen động lợng theo một phơng nào đó, chẳng hạn theo trục z. M z = m l . Nh vậy, hàm không gian n,l,m phụ thuộc vào 3 số lợng tử và mô tả trạng thái chuyển động của electron trong nguyên tử hidro và ion giống hidro. Theo Mulliken, những hàm nh thế gọi là orbital nguyên tử (viết tắt là AO - Atomic Orbital). Trong cơ học lợng tử khái niệm quỹ đạo (orbit) đợc thay bằng orbital. Đó chính là những hàm sóng mô tả trạng thái của electron, sự phân bố xác suất có mặt của electron trong nguyên tử. Một số obital nguyên tử của nguyên tử hiđro đợc đa ra ở bảng 4. Bảng 4: Một số orbiatl nguyên tử của nguyên tử hidro nlm Orbital Hàm bán kính Hàm góc E(eV) 100 1s 2a o -3/2 e -r/ao 2 1 -13,6 200 2s o ar o o e a r a 2/ 2/3 ) 2 1()( 2 1 2 1 -3,4 210 2p z o ar o era 2/ 2/5 .)( 62 1 cos 8 3 -3,4 37 [...]... - ES11)C11 + (H12 - ES12)C12 + + (H1n - ES1n)C1n = 0 (H21 - ES21)C21 + (H22 - ES22)C22 + + (H2n - ES2n)C2n = 0 57 (Hn1 - ESn1)Cn1 + (Hn2 - ESn2)Cn2 + + (Hnn - ESnn)Cnn = 0 Để cho các hệ số Ci không có nghiệm tầm thờng, có nghĩa là Ci 0, thì định thức của các hệ số của chúng phải bằng 0: (H11 - ES11) (H12 - ES12) (H1n - ES1n) (H21 - ES21) (H22 - ES22) (H2n - ES2n) (Hn1 -. ..211 2px 2py 2 1-1 1 2 6 1 2 6 300 3s ( a o ) 5 / 2 r.e r / 2 ao 3 sin.cos 8 -3 ,4 ( a o ) 5 / 2 r.e r / 2 ao 3 sin.sin 8 1 -3 ,4 r 2 r 2 r / 3 ao + 2 )e a o 9a o 9 3 4 r ( a o ) 5 / 2 ( 2 )e r / 3 ao 3a o 27 6 2 (a o ) 3 / 2 (3 2 310 3pz 31+1 3px 4 3py 27 6 4 3dz2 27 6 4 3 1-1 320 3dxz 3dyz 3dx2-y2 -1 ,5 ( a o ) 5 / 2 ( 2 r )e r / 3 ao 3a o 3 sin.sin 8 -1 ,5 15 -1 ,5 4 4 4 81 30 3 2-2 3dxy -1 ,5 3 sin.cos... (3.38) vào (3.36) ta có: E = -( 27/16)2Eh = - 2,4876Eh = - 126,12.1 0-1 9 J (3.39) Giá trị thực nghiệm của E = -2 ,904E h hay - 126,61.1 0-1 9 J Nh vậy, giá trị tính theo lý thuyết biến phân đạt khoảng 98% giá trị thực nghiệm 3.5 Orbital nguyên tử nhiều electron, orbital Slater và Gauss 3.5.1.Obital nguyên tử nhiều electron Theo mô hình trờng xuyên tâm, trong nguyên tử nhiều electron cũng tồn tại những trạng... 30 3 2-1 2 ( a o ) 5 / 2 ( 2 81 30 32+1 -1 ,5 4 81 30 ( a o ) 7 / 2 r 2 e r / 3 ao ( a o ) 7 / 2 r 2 e r / 3 ao ( a o ) 7 / 2 r 2 e r / 3 ao ( a o ) 7 / 2 r 2 e r / 3 ao ( a o ) 7 / 2 r 2 e r / 3 ao 4 15 4 15 4 15 4 15 4 (3cos2 -1 ) sin2cos sin2sin sin2 cos2 sin2sin2 -1 ,5 -1 ,5 -1 ,5 -1 ,5 2.2.4.2 Sự suy biến năng lợng của AO Qua bảng trên ta nhận thấy các AO phụ thuộc vào 3 số lợng tử n,... và giải phơng trình Schrodinger đã đợc tơng đối hoá thì thu đợc số lợng tử thứ 4 gọi là số lợng tử spin- kí hiệu là S; S = 1/2 ứng với mỗi giá trị của S có 2S + 1 giá trị khác nhau của m s (số lợng tử spin của e) ms = + 1/ 2, -1 / 2 Khi nói electron có spin + 1/ 2 hay -1 / 2 cần hiểu là nó có m s = +1/ 2 hay ms = -1 / 2 ( số lợng tử ms thờng gọi tắt là spin) Nh vậy, spin của electron đã xuất hiên một... =0 2 44 Các electron thuộc phân lớp p có : M = 1(1 + 1) h h = 2 2 2 2.2.5.3 Số lợng tử từ m Hình chiếu của momen động lợng của electron Các orbital trong một phân lớp a) Số lợng tử từ m Số lợng tử thứ 3 đặc trng cho orbital đợc gọi là số lợng tử từ m ứng với 1 giá trị của l có (2l + 1) giá trị của m: m = -l; -l + 1; -l + 2; ; 0; 1; 2; ; +l Nh vậy, phân lớp l có (2l +1) orbital Phân lớp s (l = 0) có... phát xạ nguyên tử của hidro 2.2.6.1 Các trạng thái năng lợng của electron trong nguyên tử hidro Biểu thức năng lợng của electron trong nguyên tử hidro: Z 2 me 4 1 En = - 2 2 2n (4 o ) 2 45 En = Hay : 13,6 (eV) n2 Biểu thức trên ta thấy năng lợng của electron chỉ phụ thuộc vào số lợng tử chính n Với n = 1 (lớp K) E = -1 3,6 eV Nh vậy, ở trạng thái cơ bản, electron có năng lợng bằng -1 3,6 eV Với n... 2.2.7 Spin của electron - Hàm spin- orbital a Spin của electron: Theo cơ học lợng tử phi tơng đối tính, khi giải phơng trình Schrodinger ta thu đợc 3 số lợng tử n, l, ml Ba số lợng tử này cha đủ để đặc trng cho trạng thái của electron Ví dụ: khi cho một chùm nguyên tử H đi qua một từ trờng không đều thì chùm H chia làm hai phần theo hai hớng ngợc nhau Ta đã biết với nguyên tử H : n = 1 l = 0 , M =... Các mức năng lợng của nguyên tử nhiều electron Cấu hình electron của nguyên tử 3.6.1 Các mức năng lợng của nguyên tử nhiều electron Trong nguyên tử nhiều electron, các electron chuyển động trong một trờng thế U không phải là trờng Coulomb, nên năng lợng của chúng không những phụ thuộc vào số lợng tử chính n, mà còn phụ thuộc vào số lợng tử phụ l Các mức năng lợng đơn điện tử n,l đợc xác định theo phơng... là các electron có cùng vỏ - Electron không tơng đơng khác ít nhất một trong hai số lợng tử đó ns1(n + 1)s1, np1(n + 1)p1, ns1np1, 3.7 Số hạng nguyên tử 3.7.1 Mô hình liên kết Russell - Saunders Sự cộng hợp các momen Đối với các nguyên tử nhiều electron ngoài tơng tác electron- hạt nhân, còn xuất hiện các tơng tác phức tạp nh tơng tác đẩy giữa các elctrron, tơng tác spin- obital Do đó, nếu không tính . e i + 2 -1 Y 1 ,-1 = 8 3 sin. e -i - 0 Y 2,0 = 16 5 (3cos 2 - 1) 0 1 Y 2,1 = 8 15 sincos e i + 2 -1 Y 2 ,-1 = 8 15 sincos e -i - 6 2 Y 2,2 = 32 15 sin 2 e 2i +2 -2 Y 2 ,-2 . 8 15 sincos e -i 2 1 i (Y 2,1 - Y 2 ,-1 ) d yz 2 2 Y 2,2 = 32 15 sin 2 e 2i 2 1 (Y 2,2 + Y 2 ,-2 ) d x2 - y2 2 -2 Y 2 ,-2 = 32 15 sin 2 e -2 i 2 1 i (Y 2,2 - Y 2 ,-2 ) d xy Các dạng. Y 1 ,-1 ) p x 34 1 -1 Y 1 ,-1 = 8 3 sin. e -i 2 1 i (Y 1,1 - Y 1 ,-1 ) p y 2 0 Y 2,0 = 16 5 (3cos 2 - 1) d z2 2 1 Y 2,1 = 8 15 sincos e i 2 1 (Y 2,1 + Y 2 ,-1 ) d xz 2 -1 Y 2 ,-1 = 8 15 sincos