Đề cương ôn thi vào 10 môn toán năm học 2011-2012

Tìm nghiệm còn lại.. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.. Bài 22: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2... Đồ thị : Là một đường cong Parabol nhận trục tung là

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

0 ,

A A

A A

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

VÝ dô 1 : Rót gän biÓu thøc sau:







 3

a

a a

2 ) 3 ( 3 6

1 1

2 1 2

1 2

1

a

a a

a a

a a

1

a

a M

5 3 5

3 10

5 3

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

5 10

3

25 :

1 25

25

a

a a

a a

a

a a

a a

a) Rút gọn M

b) Tìm giá trị của a để M < 1

c) Tìm giá trị lớn nhất của M

Giảia) ĐK: a ≥ 0; a ≠ 4; a ≠ 25

5 2

5

25 :

1 5 5

5

a

a a

a a

a

a a

a

a a

4 25 25

a a

a a

a

2

5 4

2 5

a a

0 1 2

2

5



a lớn nhất  a 2 nhỏ nhất  a = 0Vậy với a = 0 thì M đạt giá trị lớn nhất

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho biểu thức

P =

3 x

3x2x-1

2x33x2x

11x15

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

1 a 2 a a

3 9a 3a

b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên

Bài 3: Cho biểu thức

1 : a a

1 1

a a

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2

c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0

Bài 4: Cho biểu thức

1 x : x 4

8x x

2

x 4

a) Rút gọn P

b) Tính x để P = -1

c)T ìm m để với mọi giá trị x >9 ta có m( x - 3)P > x + 1

Bài 5: Cho biểu thức

y y

xy

x : y x

xy

y x

a) Tìm x, y để P có nghĩa

b) Rút gọn P

c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 - 2 3

Bài 6: Cho biểu thức :

a) Rút gọn A

b) Tìm x có giá trị nguyên để A nhận giá trị nguyên

Bài 7: Cho biểu thức

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

2

x 1 1 x 2 x

2 x 1

x

2 x

10 x 3

x 4 x

1 x 5 2 x 3 x

Không phụ thuộc vào biến số x

Bài 10: Cho biểu thức

1 1

1

x

x x x

x x

x x

với x>0 vàx1 a) Rút gọn A

b a

1

ab

ab b a

1

2 1

a) Rút gọn M

b) Tính giá trị của M với a = 2 2 3

 c) Tìm giá trị lớn nhất của M

Bài 12: Cho biểu thức

P =

1 x

) 1 2(x x

x 2x 1 x x

x1

x2x

1x1

x

xx1

xx

xxx2x

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

Bài14:Chobiểuthức

1

1 2 : 1

1 4

x x

x x

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài 15: Cho biểu thức

2 2

2

1 ) 1

1 1

1

x x

c) Giải phương trình theo x khi A = -2

Bài 16: Cho biểu thức

) 1

1 1

2

(

x x

x x

x

x

x x

A

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị của A khi x 4  2 3

Bài 17: Cho biểu thức

x x x x x

b) Coi A là hàm số của biến x, vẽ đồ thị hàm số A

Bài 18: Cho biểu thức

b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3 

c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 19: Cho biểu thức

: 2

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

a) Với giá trị nào của a thì M xác định

b) Rút gọn M

c) Với giá trị nguyên nào của a thì M có giá trị nguyên

Bài 20: Cho biểu thức

b) Chứng minh rằng biểu thức P luôn dương với mọi a

Bài 21:Cho biểu thức

a a

1

1 1

b) Tính giá trị của P khi A = 9

Bài 23: Cho biểu thức

P =

x x

x

x x

1

1 1 1

1

1 1a) Rút gọn P

3 6

5

9 2

a) Rút gọn P

b) a = ? thì P < 1

c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên

* *

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

c by ax

 Số các nghiệm của hệ:

+ Nếu  

' ' b

b a

a

Hệ có nghiệm duy nhất+ Nếu   

' '

c b

b a

a

Hệ vô nghiệm+ Nếu   

' '

c b

b a

- Thay biểu thức của x vào phương trình còn lại để tìm y

- Thay y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm x

KL : Nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được

Ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau :

6 3 2

y x

y x

Thay y = 0 vào phương trình (*) ta được : x = 3

Vậy nghiệm của hệ là:

3

y x

5 2

y x

y x

Thay x = 2 vào (*) ta được : y = 5 – 2.2  y 1

Vậy nghiệm của hệ là :

2

y x

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

2 Phương pháp cộng :

- Biến đổi các hệ số của cùng một ẩn sao cho có giá trị tuyệt đối bằng nhau

- Cộng hoặc trừ từng vế của hệ để khử đi một ẩn

- Giải phương trình tìm ẩn chưa khử

- Thay giá trị vào một phương trình của hệ để tìm ẩn còn lại

KL : nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau :

14 2

y x

y x

((21))Cộng từng vế của hệ ta được : 5y = 5  y 1

Thay y = 1 vào phương trình (1) ta được :

11 4 3

y x

y x

((12))Trừ từng vế của hệ ta được : -8x = 8  x  1

Thay x = -1 vào phương trình (2) ta được:

1

y x

c by ax

+Nếu a = a’ hoặc b = b’ ta nên sử dụng phép cộng từng vế

+Nếu a = -a’ hoặc b = -b’ ta nên sử dụng phép trừ

+Nếu các hệ số a; a’; b; b’ bằng 1 hoặc -1 thì ta nên dùng phương pháp thế

+ Nếu các hệ số a; a’; b; b’ khác  1và không có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì ta đi tìm BCNN (a;a’) hoặc BCNN (b; b’)

.Chú ý 2 : Với bài tập dạng tìm điều kiện của tham số để nghiệm của hệ thoả mãn một điều kiện  nào đó ta làm như sau:

+ Coi tham số như số đã biết

+ Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y).Nghiệm (x; y) phụ thuộc vào tham số

+ Giải các phương trình (Bất phương trình) của biểu thức chứa tham số

Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau :

1 3

4

y x

y x

((21))

GiảiNhân phương trình (1) với 2, nhân phương trình (2) với 3 ta được :

9

2 6

8

y x

y x

Cộng từng vế của hệ ta được : 17x = 34  x 2

Thay x = 2 vào phương trình (1) ta được :

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

4.2 + 3y = -1

3 9

2

y x

3

6 4

5

y x

y x

((21))Nhân phương trình (2) với 2 ta được :

6

6 4

5

y x

y x

Trừ từng vế của hệ ta được : -x = 2  x  2

Thay x = -2 vào phương trình (1) ta được:

5.(-2) – 4y = -6

- 4y = 4  y   1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (-2; -1)

VÝ dô4: Cho hệ phương trình:

0 2

y mx

y x

((21))a) Giải hệ với m = -2

0 2

y x

y x

((31))

Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào (3) ta được:

-2.2y – 3y = 2  y  72 thay vào (*)  x  74

Vậy nghiệm của hệ là :

y x

b)Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào phương trình (2) ta được:

m.2y – 3y = 2

3 2

2 2

) 3 2 (

0 3 2 4

0 0

m

m y

x

 2m – 3 > 0

 m >

2 3

Đề cơng ôn tập vào 10 Tổ KHTN trờng THCS Đại Đồng

b) Hệ pt có một nghiệm duy nhất khi: 1 1 1

b) Coi m nh một số đã biết, giải hệ pt tìm nghiệm x và y theo tham số m



    ( Thỏa mãn đk )Vậy với m = 4 thì hệ pt có nghiệm duy nhất thỏa mã đk x+ y = 3

b) Coi m nh một số đã biết, giải hệ pt trình tìm nghiệm theo m

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

8 3

2

y x

y x

6

17 5 7

y x

y x

9

5 7

12

y x

y x

3 2

y x

a y x

a) Giải hệ phương trình với a = 2

6 3 4

ay x

y x

a) Giải hệ phương trình với a = 3

b) Tìm giá trị của a để hệ co nghiệm âm duy nhất

Bài 4: Cho hệ phương trình

12 ) 1 ( 3

y x m

y m x

a) Giải và biện luận hệ phương trình

b) Tìm m để hệ có một nghiệm sao cho x < y

Bài 5: Cho hệ phương trình

y x

(

a) Giải hệ với a = 2

b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm x + y > 0

Bài 6: Cho hệ phương trình

(

16 ) 4 ( 2

y x m

y m x

a) Giải và biện luận hệ phương trình

1

(

3

y x m

my mx

a) Giải hệ với m = 2 b)Tìm m để hệ có nghiệm âm

Bài 8: Cho hệ phương trình

(

1 ) ( ) (

y b a x b a

y b a x b a

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

a) Giải hệ với a = 2 và b = 1

b) Tìm tất cả các cặp giá trị nguyên của a và b để hệ có nghiệm nguyên

Bài 9: Cho hệ phương trình:

a ay

x

a y ax

a) Giải và biện luận hệ phương trình trên

b) Tìm giá trị nguyên sao cho nghiệm của hệ có gi¸ trÞ nguyên

Bài 10: Cho hệ phương trình:

ax

b ay x

9 8

4 2

Đáp án : Phương trình : b, c là các phương trình bậc hai

2 Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn:

a) Công thức nghiệm:

Với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Δ = b2 – 4.a.c+ Δ < 0  phương trình vô nghiệm

2 1

2 1

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

+ Δ’ < 0  phương trình vô nghiệm

7 5

b) Áp dụng : Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:

Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)

+ Nếu a + b + c = 0 th ì x1 = 1; x2 =

a c

+ Nếu a – b + c = 0 th ì x1 = -1; x2 = a c

+ Nếu có hai số x1, x2 sao cho

x1 + x2 = S; x1.x2 = P ( v ới P2 – 4S ≥ 0)Thì x1, x2 là nghiệm của phương trình : X2 – SX + P = 0

Ví dụ 1: a) Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 17 và tích của chúng bằng 72.

Giải Gọi x1, x2 là hai số cần tìm Ta có: x1 + x2 = 17

x1 x2 = 72

Vậy x1, x2 phải là nghiệm của phương trình : X2 – 17X + 72 = 0

Δ = (-17)2 - 4.72 = 289 – 288 = 1

x1 = (17+ 1) : 2 = 9; x2 = (17 - 1) : 2 = 8Vậy hai số cần tìm là 8 và 9

b) Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là -3 và 7

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

Giải

Ta có : x1 + x2 = -3 + 7 = 4

x1 x2 = -3 7 = -21

Vì 42 – 4 (-21) ≥ 0

Vậy x1 , x2 là nghiệm của phương trình : x2 – 4x – 21 = 0

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Bài tập về số nghiệm của phương trùnh bậc hai:

Với phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Δ = b2 – 4.a.c + Phương trình có hai nghiệm phân biệt  Δ > 0 (Δ’ > 0)

; 0

a b a

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :

b)Ta có : Δ = 42 – 4.2.(-m) = 16 + 8m

Δ = 16 + 8m > 0  m > -2

Vậy với m > - 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2 : Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm kép.

-Ta có:

Δ’ = (m - 9)2 + (m + 7) (7m - 15)

= m2 - 18m + 81 + 7m2 – 15m +49m – 105 Δ’ = 8m2 + 16m – 24 = 8 (m2 + 2m - 3) Δ’ = 0  (m2 + 2m - 3) = 0

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

 m = 1 hoặc m = -3 (thoả mãn)Vậy với m = 1 hoặc m= - 3 thì phương trình có nghiệm kép

b) Ta có :

Δ’ = 452 – 15m = 2025 – 15m

Δ’ = 0  2025 – 15m = 0

 m = 135Vậy với m = 135 thì phương trình có nghiệm kép

Ví dụ 3: : Tìm các giá trị của m để các phương trình sau vô nghiệm

Vậy với - 12 m 12 thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 4: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a b a

4 ( ) 2 (

0 4

4 0

2

0 4

m

m

m m

Vậy với m = 4 hoặc m = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất.

2 Bài tập về dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

Cho phương trình : : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu:

0

a c

b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương : 

a b a c

c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm:

a b a c

d) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu :

13 0

1

0 4 4 9 0

0

m

m m

m a

c

Vậy với 1 < m 134 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu

b)Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu:

3

0 3 0

0

m

m m

1 1

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

Bước2:Ap dông hÖ thøc Vi-et tÝnh tæng vµ tÝch 2 nghiÖm

a

b x x

2 1

2 1

2 1 2

1

1

x x

x x x

a

b x x

2 1

2 1

. ((21))+ Bước 3: Nêu hệ thức của bài toán (3)

+ Bước 4 : giải hệ gồm 2 phương trình sau đó thay vào phương trình còn lại để tìm m

Ví dụ : Cho phương trình: x2 – (m + 5)x – m + 6 = 0

Xác định giá trị của m để nghiệm x1 , x2 của phương trình thoả mãn hệ thức : 2x1 + 3x2 = 13

Gi¶i TÝnh biÖt thøc

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

m

m

thì phương trình có nghiệm (*)Theo vi et ta có : x1 + x2 = m + 5 (1)

5

2 1

2 1

x x

m x x

((31))Nhân phương trình (1) với 2 ta được

2

10 2 2 2

2 1

2 1

x x

m x x

Trừ từng vế của hệ ta được : x2 = 3 – 2m thay vào phương trình (1) ta được : x1 + 3 – 2m =

5.Bài tập dạng tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số:

Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 Cách giải:

+ Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có nghiệm (  0hoÆc a.c < 0)

+ Bước 4 : Thay S = x1 + x2 ; P = x1.x2 ta được hệ thức cần tìm

Ví dụ : Cho phương trình: x2 – 2.(m - 1)x + m2 – 1 = 0

Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

GiảiPhương trình có nghiệm :   ' 0

2

m P

m S

((21))

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

Từ (1) ta có : m =

2

2 1

thay vào (2)ta được :

P = 1 4 ( 2 ) 4

4

) 2

(

0 ) ( ) (

2 1

2 1

x x

Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m

+ Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm < 

(

0 ) ( ) (

2 1

2 1

x x

Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m

+ Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm , trong đó một nghiệm > 

nghiệm kia < 

0 ) ).(

( 1 2 

 x  x 

Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m

Có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai:

Nếu a.f(  )  0  x1   x2

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm lớn hơn 2

x2 - 2mx + 8 = 0 (1) -Giải-

m m

m

m

thì phương trình có nghiệmTheo vi et ta có: x1 + x2 = 2m

2 (

0 ) 2 ( ) 2 (

2 1

2 1

x x

x x

2

0 4 ) (

2 1 2 1

2 1

x x x x

x x

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

4 4 8

0 4 2

m

m m

Bài 4: Cho phương trình : x2 +4mx + 3m2 + 2m – 1 = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình nhận x = 2 là nghiệm

Bài 5 : Tìm m để phương trình : (3 – 2m)x2 + (m - 1)x + 6 = 0 nhận x = 3 là nghiệm khi

đó tìm nghiệm còn lại?

Bài 6: Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – 5 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu Khi đó xác định dấu các nghiệm

Bài 7: Cho phương trình: x2 – 2(m+1)x + 4m = 0

a) Giải phương trình với m = -2

b) CMR phương trình có nghiệm với mọi m

c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để x12+x22 = 4

Bài 8: Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m = 0

a) CMR phương trình luôn có nghiệm Tìm các nghiệm đó

b) Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình, tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 9: Xác định k để phương trình x2 + 2x + k = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn một trongcác điều kiện sau đây:

a) x12 + x22 = 1 b) x12 – x22 = 12

Bài 10: Cho phương trình : x2 – 2.(m - 1)x + m2 – 3m = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm âm

c) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 0 Tìm nghiệm còn lại

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn

x12 + x22 = 8

Bài 11: Cho phương trình :x2 +2x + m = 0

Xác đinh m để phương trình x1, x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1

Bài 12: Cho phương trình : 2x2 + (2m – 1)x + m -1 = 0

a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức 3x1 – 4x2 = 11b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

c) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Bài 13: Xác định k để để phương trình sau có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 = 2x2

a) x2 + 6x + k = 0 b) x2 + kx + 8 = 0

Bài 14: Cho phương trình : x2 – 6x + m = 0

Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 3x1 + 2x2 =20

Bài 15: Cho phương trình: 3x2 – (3m - 2)x – (3m + 1) = 0

a)Chứng tỏ phương trình có nghiệm x = -1 Tìm nghiệm còn lại

b) Xác định m để phương trình có nghiệm thoả mãn 3x1 – 5x2 = 6

c) Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lạp với m

Bài 16: Cho phương trình : x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0

a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b)Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn

-3 < x1 < x2 < 6

d) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia

Bài 17: Cho phương trình: x2 – (m - 3)x + 2m + 1 = 0

a)Giải phương trình với m = -1

b)Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài 18: Cho phương trình: x2 – (2m +1)x + m2 + m -1 = 0

a)Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b)Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trinh Tìm m sao cho

( 2x1 – x2 ) ( 2x2 – x1 ) đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất ấy

c) Tìm một hệ thức liện hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài 19: Cho phương trình: x2 + (4m + 1)x + 2.(m - 4) =0

a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn x2 - x1 = 17

b) Tìm m để biểu thức A = (x1 – x2)2 có giá trị nhỏ nhất

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài 20: Cho phương trình mx2 + 2(m - 2)x + m – 3 = 0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x12 + x22

Bài 21: Cho các phương trình:

x2 + ax + bc = 0

x2 + bx + ca = 0Trong đó bc  ca

Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1)

x2, x3 là các nghiệm của phương trình (2)

Hãy viết một phương trình bậc hai có nghiệm là x1, x3

Bài 22: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

3x2 – 4x + 2.(m - 1) = 0

Bài 23: Cho phương trình : x2 – 3x + m + 2 = 0

Tìm m để phương trình có một nghiệm lớn hơn 3, nghiệm còn lại nhỏ hơn 3

Bài 24: Cho phương trình : x2 – (2m + 1)x – m2 +m – 1 = 0

a)CMR phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m

b)Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài 25: Cho phương trình : x2 – 2mx – m2 – 1 = 0

a)CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b)Tìm một biểu thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc và m

c)Tìm các giá trị của m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình thoả mãn hệ thức

2

5

1

2 2

- Hàm số nghịch biến nếu x > 0

2 Đồ thị : Là một đường cong (Parabol) nhận trục tung là trục đối xứng, tiếp xúc với trục hoành tại gốc toạ độ

+ Nằm phía trên trục hoành nếu a > 0

+ Nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0

3 Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (d) với đồ thị hàm số y = a’x2

(P):

Đề cơng ôn tập vào 10 Tổ KHTN trờng THCS Đại Đồng

+Nếu (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt pt hoành độ giao điểm của (d) và (P) a’x2 = ax+b cú hai nghiệm phõn biệt

+ Nếu (d) Tiếp xỳc (P)  pt hoành độ giao điểm của (d) và (P) a’x2 = ax + b cú nghiệm kộp

+ Nếu (d) và (P) khụng cú điểm chung  a pt hoành độ giao điểm của (d) và (P)

’x2 = ax+b vụ nghiệm

III Cỏc bài toỏn về lập phương trỡnh đường thẳng:

1 Bài toỏn 1: Lập phương trỡnh đường thẳng cú hệ số gúc k cho trước và đi qua điểm

M (x 0 ; y 0 ):

 Cỏch giải:

- Nờu dạng phương trỡnh đường thẳng : y = ax + b

- Thay a = k và toạ độ điểm M (x0; y0) vào phương trỡnh đường thẳng để tỡm b

 Phương trỡnh đường thẳng cần lập

Vớ dụ1: Lập phương trỡnh đường thẳng đi qua M (2;-3) và song song với đường thẳng y = 4x

Giả sử phương trỡnh đường thẳng cần lập cú dạng

y = ax + b(a0)

song song với đường thẳng y = 4x  a = 4

Đi qua M( 2;-3) nờn ta cú : -3 = 4.2 + b  b = -11

Vậy phương trỡnh đường thẳng cần lập là y = 4x – 11

2 Bài toỏn 2: Lập phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm A(x 1 ;y 1 )và B (x 2 ; y 2 ):

 Cỏch giải:

+ Nờu dạng phương trỡnh đường thẳng : y = ax + b

+ Thay toạ độ điểm A và B vào phương trỡnh đường thẳng ta đợc hệ pt :

b ax y

2 2

1 1

+ Giải hệ phương trỡnh tỡm a và b

 Phương trỡnh đường thẳng cần lập

Vớ dụ 2 : Lập phương trỡnh đường thảng đi qua A (2; 1) và B(-3; - 4)

- Giả sử phương trỡnh đường thẳng cần lập cú dạng:

Giải-y = ax + b

Đi qua A (2; 1) nờn : 1 = a.2 + b (1)

Đi qua B (-3; -4) nờn : -4 = a.(-3) + b (2)

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với đường cong

Thay vào (d) ta được phương trình đường thẳng cần lập

Ví dụ 3: Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + 1 và tiếp xúcvới parabol y = -x2

- Giải –Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:

y = ax + b song song với đường thẳng y = 2x + 1  a = 2

Tiếp xúc với parabol y = -x2 nên phương trình :

-x2 = 2x + b có nghiệm kép

 x2 + 2x +b = 0 có nghiệm kép

 Δ’ = 1 – b ; Δ = 0  1 – b = 0  b = 1Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 2x + 1

4 Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x 0 ; y 0 ) và tiếp xúc với đường cong y = a’x 2 (P)

 Cách giải:

+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)

+ Đi qua M (x0; y0) nên  y0 = a.x0 + b (1)

+ Tiếp xúc với y = a’x2 nên phương trình :

a’x2 = ax + b có nghiệm kép  Δ = 0 (2)Giải hệ hai phương trình (1) và (2) tìm a, b

 phương trình đường thẳng cần lập

Ví dụ 4 : Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-1; 2) và tiếp xúc với parabol y = 2x2

-Giải-

Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:

y = ax + b Đi qua M (-1; 2) nên ta có: 2 = -a + b (1)

Tiếp xúc với đường cong y = 2x2 nên phương trình :

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

Thay a = -4 vào (*) ta được b = -2

Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = -4x – 2

Phần II: Các bài tập về hàm số

Bài tập 1 : Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2

a) CMR hàm số nghịch biến trong (-∞; 0), đồng biến (0; +∞) với mọi m

b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua (1; 5)

Bài tập 2: Cho hàm số y = ax2 (P)

a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua (-4; 8) Vẽ đồ thị trong trường hợp đó

b) Xác định a để đường thẳng y = 2x + 3 cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Bài 3: Cho hàm số y = 2x2 (P)

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ

c) Tuỳ theo m, hãy xác định số giao điểm của (P) với đường thẳn (d) có phương trình:

y = mx – 1

d) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc (P) và đi qua A(0; -2)

Bài 4: Cho parabol y =

2

1

x2 (P)a)Viết phương trình đường thẳng đi qua A(-1; 3) và B(2; 6)

b)Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với (P)

Bài 5: Cho đường thẳng có phương trình :

2(m - 1)x + (m - 2)y = 2 (d)b) Xác định m để đường thẳng cắt parabol y = x2 tại hai điểm phân biệt

c) CMR đường thẳng đã cho luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

Bài 6: Cho parabol y = 21 x2 (P)

Bài 8: Cho parabol y = ax2 (P)

a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua A(-2; 8)

b) Tìm các giá trị của a để đường thẳng y = -x + 2 tiếp xúc với (P)

Bài 9: Cho parabol y = x2 – 4x + 3 (P)

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A (2; 1) và có hệ số góc k

b) CMR đường thẳng vừa lập luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của k

Bài 10: Cho parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = mx -1 d)

Hãy tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) Khi đó hãy tìm toạ độ tiếp điểm

Bài 11: Cho hàm số y = (m2 + 1)x – 1

a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến? vì sao?

b) Chứng tỏ rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố đinh với mọi giá trị của m

c) Biết rằng điểm (1; 1) thuộc đồ thị hàm số Xác định m và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m vừa tìm được

Bài 12: Cho hàm số y =

2

1

x2 và y = 2x – 2

a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng mặt phẳng toạ độ

b) Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị

c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và đi qua A (1; -4) Tìm toạ độ tiếp điểm

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

 12

1 4 1

x x x

3x2x-1

2x33x2x

11x15

2 3 2

3 11 15

x x

x x

x

3 3 2 2 6 2 9 3 11 15

x x x x

x x x

P =      1  3 

5 2 1 3

1

2 7 5

x x

x x

x x

=

3

5 2





x x

Vậy P =

3

5 2

5 2

121

1 1

17 15 5

x

3

17 5 3

1 a 2 a a

3 9a 3a

-G-§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

 2 1

1 2

1 1

3 3 3

a a

a a

a a

P =          2

2 2

1

2 1

2 1

2 3

a

a a

a a

a a

Bài 6: Cho biểu thức

1

1 1

) 1

x x x

1 : a a

1 1

a a

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2

c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0

a) Đk: a 0 ;a 1

1

1

a

a a





a a a

=aa1

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

Vậy với a  0 ;a  1 thì P = aa1

b)Khi a = 3 + 2 2  a  2  1

1 2

) 2 1 ( 2 1 2

1 2 2 3

c) Để P < 0  1 0  a 1  0  a 1

a

a

Vậy với 0 < a < 1 thì P< 0

Bài 8: Cho biểu thức

1 x : x 4

8x x

2

x 4

3

0 ) 3 4 )(

1 (

x x

Vậy với x = 169 thì P = -1

c)Với x > 9 để m( x - 3)P > x + 1

18

5 10

36

9 36 1 9 1 4 1

1 4

1 4

1 3

4 ) 3 (

m m

x

x mx x

mx

x x

x x

y y

xy

x : y x

xy

y x

a) Tìm x, y để P có nghĩa

b) Rút gọn P

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10 Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 - 2 3

y x

xy

x xy

y xy y x

Vậy với x > 0; y > 0 thì P có nghĩa

b)P = 

y x

y x y x

y y x x

) (

= ( x  y) : (-1)Vậy P = - ( x  y )

c)Với x = 3  x  3; y = 4 -2 3  y  3  1

Thay vào ta được P = 1 - 2 3

Bài 11: Cho biểu thức

x x

x

x x

x x x

x x

x x

x x x

x với x 0 ;x  1

b)Ta có : x 2 x 1  0 với x  0 ;x  1

1 3

1

3 1

x x

2 x 1

x

2 x