dùng LG Chứng minh BDT

Đào Huy Nam II. giải quyết vấn đề Biểu thức đại số Biểu thức lợng giác tơng tự Công thức lợng giác 1 + x 2 1 + tg 2 t 1+tg 2 t = tcos 1 2 4x 3 - 3x 4cos 3 t - 3cost 4cos 3 t - 3cost = cos3t 2x 2 - 1 2cos 2 t - 1 2cos 2 t - 1 = cos2t 2 x1 x2 ttg1 tgt2 2 ttg1 tgt2 2 = tg2t 2 x1 x2 + ttg1 tgt2 2 + ttg1 tgt2 2 + = sin2t xy1 yx + + tgtg1 tgtg + tgtg1 tgtg = tg(+) x 2 - 1 1 cos 1 2 1 cos 1 2 = tg 2 một số phơng pháp lợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin 2 + cos 2 = 1 1) Ph ơng pháp: a) Nếu thấy x 2 + y 2 = 1 thì đặt = = cosy sinx với [0, 2] b) Nếu thấy x 2 + y 2 = a 2 (a > 0) thì đặt = = cosay sinax với [0, 2] 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 1 Chứng minh rằng: 2 S = a(c+d) + b(c-d) 2 Giải: Đặt = = ucosb usina và = = vcosd vsinc S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v) 2)dc(b)dc(aS2]2,2[ 4 )vu(sin2S ++= += (đpcm) VD2: Cho a 2 + b 2 = 1. Chứng minh rằng: 2 25 b 1 b a 1 a 2 2 2 2 2 2 ++ + Giải: Đặt a = cos và b = sin với 0 2. Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin cos 1 cos b 1 b a 1 a ++ += ++ + 1 Đào Huy Nam = cos 4 + sin 4 + 4 sin.cos sincos sincos4 sin 1 cos 1 44 44 44 44 + + ++=+ + = ( ) 4 sin.cos 1 1sincos 44 44 + ++ = ( ) [ ] 4 sin.cos 1 1sincos2sincos 44 2222 + ++ = 2 25 4 2 17 4)161( 2 1 14 2sin 16 12sin 2 1 1 4 2 =+=++ + + (đpcm) Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bớc nữa để xuất hiện a 2 +b 2 =1 VD3: Cho a 2 + b 2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng: A = 2334b)324(a)321(2ab32ba 22 ++++ Giải:Biến đổi điều kiện: a 2 + b 2 - 2a - 4b + 4 = 0 (a-1) 2 + (b-2) 2 = 1 Đặt += += += = = cossin32cossinA cos2b sin1a cos2b sin1a 22 A 2) 6 2sin(22cos 2 1 2sin 2 3 22cos2sin3 === (đpcm) VD4: Cho a, b thoả mãn : 7 12b 5a ++ = 13Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + 2(b-a) - 1 Giải:Biến đổi bất đẳng thức: a 2 + b 2 + 2(b-a) - 1 (a-1) 2 + (b + 1) 2 1 Đặt =+ = cosR1b sinR1a với R 0 222 R)1b()1a( 1cosRb 1sinRa =++ = += Ta có: 137)1cosR(12)1sinR(5137b12a5 =+++=++ R 13 5 arccossinRcos 13 12 sin 13 5 R113cosR12sinR5 +=+==+ Từ đó (a-1) 2 + (b+1) 2 = R 2 1 a 2 + b 2 + 2(b - a) - 1 (đpcm) II. Dạng 2: Sử dụng tập giá trị 1|cos|;1|sin| 1. Ph ơng pháp : a) Nếu thấy |x| 1 thì đặt [ ] sin ; 2 2 cos 0; x khi x khi = = b) Nếu thấy |x| m ( 0m ) thì đặt [ ] sin ; 2 2 cos 0; x m khi x m khi = = 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: (1+x) p + (1-x) p 2 p |x| 1 ; P 1. Giải: Đặt x = cos với [0, ], khi đó (1 + x) p + (1 - x) p = (1+cos) p + (1-cos) p = p22pp2p2p p 2 p 2 2 2 sin 2 cos2 2 sin 2 cos2 2 sin2 2 cos2 = + + = + 2 §µo Huy Nam VD2: Chøng minh r»ng: 23123223 22 +≤−+=≤− aaaA Gi¶i:Tõ ®k 1 - a 2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 nªn §Æt a = cosα víi 0 ≤ α ≤ π ⇒ 2 a1− = sinα. Khi ®ã ta cã: A= α+α+=αα+α=−+ 2sin)2cos1(3sincos2cos32a1a2a32 222 = 3 3 2sin232sin 2 1 2cos 2 3 2 +       π +α=+       α+α 2323 +≤≤−⇒ A (®pcm) VD3: Chøng minh r»ng: [ ] )(a)a()a(a 122221111 2332 −+≤−−+−+ Gi¶i:Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn §Æt a=cosα víi α∈[0,π] ⇒ α=− α =+ α =− sina1; 2 cos2a1; 2 sin2a1 2 (1)⇔ 2 cos 2 sin2222 2 sin 2 cos22. 2 cos 2 sin21 33 αα +≤       α − ααα + ⇔ 2 cos 2 sin1 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 22 αα +≤       α + αα + α       α − α       α + α ⇔ 1cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 22 ≤α= α − α =       α − α       α + α ®óng ⇒ (®pcm) VD4: Chøng minh r»ng: S = ( ) ( ) 21314 2332 ≤−−+−− aaa)a( Gi¶i:Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn: §Æt a = cosα víi α ∈ [0, π] ⇒ 2 a1− = sinα. Khi ®ã biÕn ®æi S ta cã: S= )cos3cos4()sin4sin3()sin(cos3)cos(sin4 3333 α−α+α−α=α−α+α−α = 2 4 3sin23cos3sin ≤       π +α=α+α ⇒ (®pcm) VD5: Chøng minh r»ng A = ( ) 211311 2222 ≤−−−+−+− )b)(a(ababba Gi¶i:Tõ ®iÒu kiÖn: 1 - a 2 ≥ 0 ; 1 - b 2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 ; |b| ≤ 1 nªn. §Æt a = sinα, b = sin β víi α, β ∈       ππ − 2 ; 2 Khi ®ã A = )cos(3sincoscossin β+α−βα+βα = = 2 3 )(sin2)cos( 2 3 )sin( 2 1 2)cos(3)sin( ≤       π −β+α=β+α−β+α=β+α−β+α VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a 3 - 24a 2 + 45a - 26| ≤ 1 ∀a ∈ [1; 3] Gi¶i: Do a ∈ [1, 3] nªn |a-2| ≤ 1 nªn ta ®Æt a - 2 = cosα ⇔ a = 2 + cosα. Ta cã: A = 13342624522424 323 ≤α=α−α=−α++α+−α+ coscoscos)cos()cos()cos( VD7: Chøng minh r»ng: A = 2 2 3 3 2 [0, 2]a a a a− − + ≤ ∀ ∈ 3 Đào Huy Nam Giải:Do a [0, 2] nên |a-1| 1 nên ta đặt a - 1 = cos với [0, ]. Ta có: A = =+++ coscos)cos()cos()cos( 31313112 22 = 2 3 sin2cos 2 3 sin 2 1 2cos3sin += = (đpcm) III. Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg 2 = 1 cos 1 tg cos 1 2 2 2 = )k( + 2 1) Ph ơng pháp: a) Nếu |x| 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức 1x 2 thì đặt x = cos 1 với 2 3 , 2 ;0 b) Nếu |x| m hoặc bài toán có chứa biểu thức 22 mx thì đặt x = cos m với 2 3 , 2 ;0 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng A = 2 1 3 2 1 a a a + Giải:Do |a| 1 nên : Đặt a = cos 1 với 2 3 , 2 ;0 == tgtg1a 22 . Khi đó: A = 2 3 sin2cos3sincos)3tg( a 31a 2 +=+=+= + (đpcm) VD2: Chứng minh rằng: - 4 A = 2 2 a 1a125 9 1a Giải:Do |a| 1 nên: Đặt a = cos 1 với 2 3 , 2 ;0 == tgtg1a 22 . Khi đó: A = 2 2 a 1a125 = (5-12tg)cos 2 = 5cos 2 -12sincos= + 2sin6 2 )2cos1(5 = ++= + 13 5 arccos2cos 2 13 2 5 2sin 13 12 2cos 13 5 2 13 2 5 - 4 = 91. 2 13 2 5 13 5 arccos2cos 2 13 2 5 A)1( 2 13 2 5 =+ ++=+ (đpcm) VD3: Chứng minh rằng: A = ab 1b1a 22 + 1 ; 1a b 4 Đào Huy Nam Giải:Do |a| 1; |b| 1 nên .Đặt a = cos 1 ; b = cos 1 với 2 3 , 2 ;0 . Khi đó ta có:A = 1)sin(cossincossincoscos)tgtg( +=+=+ (đpcm) VD4: Chứng minh rằng: a + 22 1a a 2 1a > Giải:Do |a| > 1 nên:Đặt a = cos 1 với = = sin 1 tg 1 . cos 1 1a a 2 ;0 22 . Khi đó: a+ 22 2sin 22 sin 1 . cos 1 .2 sin 1 cos 1 1a a 2 = + = (đpcm) VD5: Chứng minh rằng 26xy31y41xy 22 ++ ; 1x y Giải:Bất đẳng thức )( yy y xx x 126 3 14 1 1 2 2 + + Do |x|; |y| 1 nên Đặt x = cos 1 ; y= cos 1 với , 2 ,0 . Khi đó: (1) S = sin + cos(4sin + 3cos) 26 Ta có: S sin + cos +=++ cos5sin)cos)(sin34( 2222 2 2 2 2 (1 5 )(sin cos ) 26 + + = (đpcm) IV. Dạng 4: Sử dụng công thức 1+ tg 2 = 2 cos 1 1. Ph ơng pháp: a) Nếu x R và bài toán chứa (1+x 2 ) thì đặt x = tg với 2 , 2 b) Nếu x R và bài toán chứa (x 2 +m 2 ) thì đặt x = mtg với 2 , 2 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: S = 1 1 4 1 3 32 3 2 + + )x( x x x Giải:Đặt x = tg với 2 , 2 =+ cos x 1 1 2 , khi đó biến đổi S ta có: S = |3tg.cos - 4tg 3 .cos 3 | = |3sin - 4sin 3 | = |sin3| 1 (đpcm) VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 22 42 )a21( a12a83 + ++ Giải: Đặt a 2 = tg với 22 , thì ta có: A = 22 42 )tg1( tg3tg43 + ++ 5 Đào Huy Nam = += + ++ 22222 222 4224 cossin2)cos(sin3 )sin(cos sin3cossin4cos3 = 3 - 3 2 0 2 2 2sin 3A 2 1 3 2 5 2 2sin 22 = == Với = 0 a = 0 thì MaxA = 3 ; Với = 4 a = 2 1 thì MinA = 2 5 VD3: Chứng minh rằng: 2 1 )b1)(a1( )ab1)(ba( 22 ++ + a, b R Giải:Đặt a = tg, b = tg. Khi đó )tg)(tg( )tgtg)(tgtg( )b)(a( )ab)(ba( ++ + = ++ + 2222 11 1 11 1 = + cos.cos sin.sincos.cos . cos.cos )sin( .coscos 22 = [ ] 2 1 2 2 1 +=++ )(sin)cos()sin( VD4: Chứng minh rằng: c,b,a )a1)(c1( |ac| )c1)(b1( |cb| )b1)(a1( |ba| 222222 ++ ++ + ++ Giải:Đặt a = tg, b = tg, c = tg. Khi đó bất đẳng thức )tg1)(tg1( |tgtg| )tg1)(tg1( |tgtg| )tg1)(tg1( |tgtg| 222222 ++ ++ + ++ + cos.cos )sin( .coscos cos.cos )sin( .coscos cos.cos )sin( .coscos |sin(-)|+|sin(-)| |sin(-)|. Biến đổi biểu thức vế phải ta có: |sin(-)|= |sin[(-)+(-)]| = |sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)| |sin(-)cos(-)|+|sin(-)cos(-)|=|sin(-)||cos(-)|+|sin(-)||cos(-)| |sin(-)|.1 + |sin(-)|.1 = |sin(-)| + |sin(-)| (đpcm) VD5: Chứng minh rằng: 0d,c,b,a)1()db)(ca(cdab >+++ Giải:(1) 1 d b 1 a c 1 ab cd d b 1 a c 1 1 1 )db)(ca( cd )db)(ca( ab + + + + + ++ + ++ Đặt tg 2 = a c , tg 2 = b d với , 2 ,0 Biến đổi bất đẳng thức 1sinsincoscos )tg1)(tg1( tg.tg )tg1)(tg1( 1 2222 22 22 22 += ++ + ++ cos cos + sin sin = cos(-) 1 đúng (đpcm) VD6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 1a |1a|4a6 2 2 + + 6 Đào Huy Nam Giải:Đặt a = tg 2 . Khi đó A = 1 2 tg 1 2 tg .4 2 tg1 2 tg2 .3 1 2 tg |1 2 tg |4 2 tg6 2 2 22 2 + + + = + + A = 3sin + 4 |cos| 3 sin + 4.0 = 3sin 3.(-1) = -3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có: A 2 = (3sin + 4 |cos|) 2 (3 2 + 4 2 )(sin 2 + cos 2 ) = 25 A 5 Với sin = 1 a = 1 thì MinA = - 3 ; với 4 |cos| 3 sin = thì MaxA = 5 V. Dạng 5: Đổi biến số đa về bất đẳng thức tam giác 1) Ph ơng pháp: a) Nếu =+++ > 12 0 222 xyzzyx z;y;x thì === Ccosz;Bcosy;Acosx ) 2 ;0(C;B;A :ABC b) Nếu =++ > xyzzyx z;y;x 0 thì === tgCz;tgBy;tgAx ) 2 ;0(C;B;A :ABC c) Nếu =++ > 1zxyzxy 0z,y;x thì === === 2 C tgz; 2 B tgy; 2 A tgx );0(C;B;A gCcotz;gBcoty;gAcotx ) 2 ;0(C;B;A :ABC 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. S = )zyx(3 z 1 y 1 x 1 ++++ Giải:Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg 2 ; y = tg 2 ; z = tg 2 với , , 2 ,0 Do xy + yz + zx = 1 nên tg 2 tg 2 + tg 2 tg 2 + tg 2 tg 2 = 1 tg 2 + 2 tg 2 tg = 1 - 2 tg tg 2 2 gcot 22 tg 2 tg 1 2 tg 2 tg1 2 tg 2 tg = + = + =++ = ++ = + + = + 2222222222 tgtg S = )zyx(3 z 1 y 1 x 1 ++++ = cotg 2 + cotg 2 + cotg 2 -3 + + 2 tg 2 tg 2 tg S = + + + + 222 2 222222 tgtgtgtggcottggcottggcot 7 Đào Huy Nam S = 2(cotg+cotg+cotg) - + + 222 2 tgtgtg S = (cotg+cotg-2tg 2 ) + (cotg+cotg-2tg 2 ) +(cotg+cotg-2tg 2 ) Để ý rằng: cotg + cotg = )cos()cos( sin sin.sin sin sin.sin )sin( + = = + 2 2 2 0 2 tg2gcotgcot 2 tg2 2 cos2 2 cos 2 sin4 cos1 sin2 )cos(1 sin2 2 + = = + = + T đó suy ra S 0. Với x = y = z = 3 1 thì MinS = 0 VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 và )z1)(y1()x1( xyz4 z1 z y1 y x1 x 222222 = + + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x 2 + y 2 + z 2 Giải: Do 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg 2 ; y = tg 2 ; z = tg 2 với , , 2 ,0 Khi đó tg = 2 x1 x2 ; tg = 2 y1 y2 ; tg = 2 z1 z2 và đẳng thức ở giả thiết 2 x1 x2 + 2 y1 y2 + 2 z1 z2 = )z1)(y1()x1( xyz8 222 tg+tg+tg = tg.tg.tg tg + tg = - tg(1-tg.tg) + tg.tg1 tgtg = - tg tg(+) = tg(-) Do , , 2 ,0 nên + = - + + = . Khi đó ta có: tg 2 tg 2 + tg 2 tg 2 + tg 2 tg 2 = 1 xy + yz + zx = 1. Mặt khác: (x 2 + y 2 + z 2 ) - (xy + yz + zx) = 2 1 [ ] 0)xz()zy()yx( 222 ++ S = x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx = 1. Với x = y = z = 3 1 thì MinS = 1 VD3: Cho =++ > 1zyx 0z,y,x . Chứng minh rằng: S = 4 9 xyz z zxy y yzx x + + + + + Giải: 8 Đào Huy Nam Đặt 2 tg x yz = ; 2 tg y xz = ; 2 tg z xy = với , , 2 ,0 Do x yz . z xy . z xy . y zx y zx . x yz ++ = x + y + z = 1 nên tg 2 tg 2 + tg 2 tg 2 + tg 2 tg 2 = 1 tg + 22 = cotg 2 tg + 22 = tg 22 2 + 2 = 2 - 2 =++ = ++ 22 S = 2 3 1 xyz z2 1 zxy y2 1 yzx x2 2 1 xyz z zxy y yzx x + + + + + + = + + + + + = 2 3 z xy 1 z xy 1 y zx 1 y zx 1 x yz 1 x yz 1 2 1 2 3 xyz xyz zxy zxy yzx yzx 2 1 + + + + + + =+ + + + + = 2 1 (cos + cos + cos) + 2 3 = ( ) [ ] 2 3 1 2 1 +++ )sinsincos(cos.coscos ( ) 4 9 2 3 4 3 2 3 coscos)sin(sin 2 1 )1cos(cos 2 1 2 1 22 2 =+=+ ++++ (đpcm) 3. Các bài toán đ a ra trắc nghiệm Trớc khi tôi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến của tôi cho học sinh của 2 lớp 11A1 và 11A2 ở trờng tôi, tôi đã ra bài về nhà cho các em, cho các em chuẩn bị trớc trong thời gian 2 tuần. Với các bài tập sau: Bài 1: Cho a 2 + b 2 = 1. CMR: | 20a 3 - 15a + 36b - 48b 3 | 13. Bài 2: Cho (a-2) 2 + (b-1) 2 = 5. CMR: 2a + b 10. Bài 3: Cho =+ 2ba 0b;a CMR: a 4 + b 4 a 3 + b 3 Bài 4: Cho a; b ; c 1 CMR: c 1 c b 1 b a 1 a a 1 c c 1 b b 1 a Bài 5: Cho =+++ > 1xyz2zyx 0z;y;x 222 CMR: a) xyz 8 1 b) xy + yz + zx 4 3 9 Đào Huy Nam c) x 2 + y 2 + z 2 4 3 d) xy + yz + zx 2xyz + 2 1 e) 3 z1 z1 y1 y1 x1 x1 + + + + + Bài 6: CMR: ab1 2 b1 1 a1 1 22 + + + + a, b (0, 1] Bài 7: CMR: (a 2 + 2)(b 2 + 2)(c 2 + 2) 9 (ab + bc + ca) a, b, c > 0 Bài 8: Cho 2 33 z1 z y1 y x1 x :CMR 1zxyzxy 0z,y,x 222 + + =++ > Bài 9: Cho 2 3 z1 z y1 y x1 x :CMR xyzzyx 0z,y,x 222 + + + + + =++ > Bài 10: Cho 222222 z1 z2 y1 y2 x1 x2 z1 1 y1 1 x1 1 :CMR 1zxyzxy 0z,y,x + + + + + + + + + + =++ > Sau 2 tuần các em hầu nh không làm đợc các bài tập này mặc dù tôi đã gợi ý là dùng ph- ơng pháp lợng giác hoá. Sau đó tôi đã dạy cho các em sáng kiến của tôi trong một buổi sinh hoạt chuyên đề (3 tiết) thì thu đợc kết quả rất tốt. 10 . thì đặt = = cosay sinax với [0, 2] 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 1 Chứng minh rằng: 2 S = a(c+d) + b(c-d) 2 Giải: Đặt = = ucosb usina . 0m ) thì đặt [ ] sin ; 2 2 cos 0; x m khi x m khi = = 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: (1+x) p + (1-x) p 2 p |x| 1 ; P 1. Giải: Đặt x = cos với [0, ],. chứa biểu thức 22 mx thì đặt x = cos m với 2 3 , 2 ;0 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng A = 2 1 3 2 1 a a a + Giải:Do |a| 1 nên : Đặt a = cos 1 với 2 3 , 2 ;0