SKKN chứng minh BĐT có điều kiện

Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn Các tài liệu tham khảo 1) Tạp trí toán học tuổi trẻ tháng 1/2002 (Hội toán học Việt Nam) 2) Một số vấn đề phát triển đại số 8, 9 (Tác giả Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản Giáo dục 2002) 3) 500 bài toán bất đẳng thức (TG. Phan Huy Khải - NXB Giáo dục 1996) 4) Tuyển tập các đề thi đại học cao đẳng (TG. Lê Thống Nhất - NXB Giáo dục 2001) 5) Phơng pháp giảng dạy Toán ( TG. Hoàng Chúng - NXB Giáo dục) ĐặT Vấn đề I)lý do chọn đề tài Khi giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi ,học sinh thờng gặp dạng toán Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện .Tôi thấy học sinh thờng e ngại hoặc làm bài không tốt dạng toán này.Lý do là học sinh không chứng minh đợc các bài toán đó vì không tìm đợc cách chứng minh .Để đáp ứng một phần đòi hỏi thực tế đặt ra tôi đã nghiên cứu và mạnh dạn trình bày Sáng kiến về biến đổi để chứng minh bất đẳng thức có điều kiện . Đây là 3 một trong các cách giải cho bài toán bất đẳng thức có điều kiện và qua thử nghiệm tôi thấy phơng pháp này có hiệu quả nhất định trong quá trình giảng dạy học sinh . II) Điều tra thực trang tr ớc khi nghiên cứu : Để đánh giá đợc khả năng giải toán và có phơng án , phơng pháp truyền đạt đến học sinh.Tôi đã tiến hành kiểm tra 20 em học sinh giỏi lớp 8 ở trờng ra đề cho học sinh làm bài trong 30 phút nh sau: Bài1: (6đ) a) Ch a + b = 2 Chứng minh rằng a 2 + b 2 2 b) Cho a > 2 , b > 2 .Chứng minh rằng ab - 2a - 2b + 4 > 0 Bài 2 : ( 4 đ ) Cho a + b > 1 CMR : a 4 + b 4 > 8 1 Kết quả cụ thể : Điểm dới 5 5 6 7 810 510 SL % SL % SL % SL % SL % 10 50 7 35 2 10 1 5 10 50 Qua kiểm tra tôi thấy đa số học sinh không làm đợc bài 2. Qua kết quả có thể thấy học sinh không có biện pháp giải dạng toán Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện Nên đạt hiệu quả thấp , lời giải thờng dài dòng , phức tạp . Cũng với các bài toán trên nếu dùng phơng pháp đổi biến thì hiệu quả sẽ nhanh chóng hơn trong việc chứng minh . III) Cơ sở ph ơng pháp - Phơng pháp chính của đề tài này là cách đặt ẩn phụ một cách hợp lý trên cơ sở các điều kiện đề bài cho đồng thời vận dụng đúng các đẳng thức đợc học trong sách giáo khoa , các bất đẳng thức đơn giản . Học sinh có thể đa ra lời giải chứng minh ngắn gọn đơn giản cho các bài toán chứng minh bất đẳng thức , hay tìm cực trị của biểu thức đại số IV) Phạm vi áp dụng của đề tài . - Bản kinh nghiệm sáng kiến này đợc áp dụng trong việc giảng dạy các chuyên đề trong trờng học hoặc sử dụng để bồi dỡng nâng cao vốn kiến thức cho các đội tuyển học sinh giỏi môn toán lớp 8 , lớp9 và các lớp bậc trung học phổ thông . - Dạng toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức có điều kiện có thể sử dụng phơng pháp này .Song tuỳ 4 theo từng bài cụ thể . ( Còn có những bài cha áp dụng đợc phơng pháp này ). - Chuyên đề này còn để ngỏ để tiếp tục khai thác nên chuyên đề vẫn còn nhiều vấn đề để mở không đi sâu hết các dạng đề bài. Giải quyết vấn đề A ) Các công thức cơ bản: I)Các hằng đẳng thức: (a b) 2 =a 2 2ab +b 2 ( a b) 2 = a 2 3a 2 b +3ab 2 b 2 (a+b)(a-b) = a 2 - b 2 ( a+ b )( a 2 - ab + b 2 ) = a 3 + b 3 ( a - b ) (a 2 + ab +b 2 ) = a 3 - b 3 (a b) 4 =a4a 3 + 6a 3 b 3 4ab 3 +b 4 II) Các bất đẳng thức : (a b) 2 0 với a ,b a 2 0 với a . B)Các ví dụ minh hoạ : I.) Điều kiện bài toán là đẳng thức: Bài1 Cho a + b = 6 Chứng minh: a 4 + b 4 162 Giải Do a + b = 6 nên có thể đặt 5 = += mb ma 3 3 với m tuỳ ý Ta có : a 4 + b 4 = (3 + m) 4 + (3 - m) 4 = 432234432234 34363433436343 mm.m.m.mm.m.m . +++++++= = 1622108162 42 ++ mm Với mọi m .Đẳng thức xảy ra khi m = 0 Hay a = b = 3 Suy ra ĐPCM Bài 2: Cho a + b = 4 chứng minh: a 4 + b 4 32 Giải: Do a + b = 4 nên có thể đặt = += mb ma 2 2 với m tuỳ ý Ta có : a 4 + b 4 = (2 + m ) 4 + (2- m) 4 = 32 + 48m 2 +2m 4 32 Với mọi m . Đẳng thức xảy ra khi m =0 hay a = b = 2 . Ta suy ra ĐPCM. Nhận xét 1:Nếu giả thiết cho a + b = c ta nên đặt ẩn phụ tơng ứng nh trên với = += m c b m c a 2 2 Với m tuỳ ý Bài 3: Cho x + y + z = 3 Chứng mỉnh rằng: x 2 + y 2 + z 2 +xy +yz +zx 6 Giải: Do x + y + z = 3 nên ta đặt = += += baz by ax 1 1 1 Với a,b tuỳ ý Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có: x 2 + y 2 + z 2 +xy +yz +zx = (1 + a) 2 + (1 + b ) 2 + (1 - a - b) 2 + + (1+ a) (1 + b) + (1+b) (1- a -b) + (1- a - b)(1+ a) = 6 + a 2 + ab + b 2 6 4 3 2 6 2 2 + ++ bb a Với mọi a , b . Dấu = xảy ra khi a = b = 0 hay x =y =z =1 suy ra ĐPCM . 6 Nhận xét 2: Nếu giả thiết cho: x + y + z = k Thì ta nên đặt: = += += nm k z n k y m k x 3 3 3 Hoặc += += += c k z b k y a k x 3 3 3 với a +b +c = 0 Hai cách đặt này đều có thể vận dụng cho bài toán trên . Bài 4: cho a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng : ( a + c) ( b + d ) + 2ac +2bd 2 1 Giải: Do a + b +c + d = 1 nên ta có thể đặt : zyd;zyc;zxb;zxa =+=+=++= 4 1 4 1 4 1 4 1 Với x ,y ,z tuỳ ý. Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có: (a+ c) (b+ d) + 2ac +2bd = ++ + +++ ++= zyzxzyzxyxyx 4 1 4 1 2 4 1 4 1 2 2 1 2 1 ( ) 2 1 4 2 1 2 2 = zyx Vớii mọi x , y . z . Dấu = xảy ra khi x - y = z = 0 hay a = c và b = d suy ra ĐPCM. Nhận xét 3 : Nếu giả thiết cho a + b + c + d = k . Ta có thể đặt theo 2 cách : = += += ++= zy k d zy k c zx k b zx k a 4 4 4 4 Hoặc += += += += q k d p k c n k b m k a 4 4 4 4 với m + n + p + q = 0 Bài 5: Cho a + b = c + d chứng minh rằng. 7 a 2 + d 2 + cd 3ab a 2 + b 2 + ab 3cd Giải Phần a , b tơng tự nhau, ta chứng minh phần a. Giải: Do a +b = c + d nên ta đặt = += xbd xac Với x tuỳ ý Ta có ( ) ( ) ( )( ) =++++=++ xbxaxbxacddc 22 22 abab xx ba 33 4 3 2 2 2 ++ += a,b,x Dấu = xảy ra khi x = a - b + 2 x = 0 hay a = b = c = d Với c 2 + d 2 +cd 3ab với a, b thoả mãn a + b = c + d Bài 6 : Cho a + b + c + d = 2 CMR a 2 + b 2 + c 2 + d 2 1 Vì a + b + c + d = 2 nên đặt td;yb zc;xa +=+= +=+= 2 1 2 1 2 1 2 1 Với : x + y + z + t = 0 Ta có: =+++ 2222 dcba 2222 4 2 4 2 4 2 4 2 ++ ++ ++ += tzyx ttzzyyxx +++++++++++ 2222 4 1 4 1 4 1 4 1 ( ) ( ) tzyxtzyx ++++++++ +++= 2222 4 1 4 1 4 1 4 1 01 2222 ++++= tzyx Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = t Khi đó a = b = c = d = 2 1 8 Nhận xét 4: Nếu cho điều kiện là ka aaaa n =+++++ 4321 CMR: n k a aaaa n 2 22 4 2 3 2 2 2 1 +++++ Ta nên đặt ,x n k a 11 += ,x n k a 22 += ,x n k a 33 += ,x n k a nn += II. Các bài toán có điều kiện là đẳng thức kết hợp bất đẳng thức. Bài 7: Cho x + y =3 và y 2 .Chứng minh rằng: a) x 3 + y 3 9 b) 2x 4 + y 4 18 Giải: Do y 2 nên đặt y =2 + t 0 với t 0 Do x +y = 3 nên đặt y = 2 + t Thì x = 1 - t Thay x = 1 - t và y = 2 + t vào vế trái ta có: x 3 + y 3 = (1 -t ) 3 + ( t + 2) 3 = 9 +9 t +9t 2 9 vì t 0 Dấu = xảy ra khi t = 0 hay x = 1 và y = 2 suy ra ĐPCM b) 2x 4 + y 4 =2 (1 - t) 4 + ( 2 + t) 4 =18 +24t + 36 t 2 + 3t 4 18 vì t 0 Dấu = xảy ra khi t = 0 hay x =1 và y =2 Suy ra ĐPCM Nhận xét 5: Với điều kiện x + y = k và y l (hay x n) thì nên đặt y = 1 + m với m 0 ( hay x = n - m với m 0) Từ đó suy ra x = k - l - m (hay y = k - n - m) suy ra: += = mly mlkx Hay = = mnky mnx Rồi thay các ẩn vào các vế bất đẳng thức cần chứng minh. Bài 8: Cho x < 2 và x + y > 5 . Chứng minh rằng: 5x 2 + 2y 2 + 8y > 62 Giải Do x < 2 và x + y > 5 nên ta đặt 9 +=+ = kyx tx 5 2 Với t ,k > 0 Suy ra ++= = kty tx 3 2 Thay vào vế trái của bất đẳng thức ta có 5x 2 +2y 2 +8y = 5 (2 - t ) 2 + 2(3 + k + t ) 2 +8 (3 + k + t) = = 62 + 2 (k + t ) 2 +5t 2 +20 k > 62 k , t Suy ra ĐPCM . Bài 9 Cho a + b > 8 và b > 3 Chứng minh rằng: 27a 2 +10 b 3 > 945 Giải Do a + b > 8 và b > 3 Nên ta đặt +=+ += kba tb 8 3 Với k,t > 0 += += tb tka 3 5 Thay vào vế trái của BĐT ta có: 27a 2 + 10b 3 = ( ) ( ) =+++= 32 310527 ttk ( ) 945109027027945 32 2 ++++= ttktk Vì ,t,k >0 Suy ra ĐPCM Nhận xét6:Nếu điếu kiện cho là: + vx uyx Ta nên đặt = +=+ mvx nuyx Với m,n > 0 từ đó = ++= mvx nuvmy Thay vào BĐT suy ra ĐPCM Nếu điếu kiện cho là: + lb kba Thì ta đặt 10 += +=+ nlb mkba với n,m > 0 += += nlb nlmka Thay vào BĐT suy ra ĐPCM Bài10: Cho a + b + c 3 .Chứng minh rằng a 4 +b 4 +c 4 a 3 + b 3 + c 3 Giải: Do a + b + c 3 nên ta đặt : += += += zc yb xa 1 1 1 Thoả mãn x + y + z 0 Xét hiệu : =++ 333444 cbacba ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++++++++= 333444 111111 zyxzyx ( ) 0 4 333 2 3 2 3 2 3 222 2 2 22 2 ++ + ++ ++ ++++ + zyxz z y y x xzyx Vậy: 333444 cbacba ++++ Dấu'' = ''xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1 Nhận xét 7 Đây là đề thi học viện bu chính viễn thông.Ta thấy nếu biết cách đặt ẩn phụ hợp lý học sinh vẫn có thể chứng minh đợc đối với học sinh THCS III)các bài toán có điều kiện phức tạp: Bài11: cho : a 3 + b 3 < 2 Chứng minh rằng: a + b < 2 Giải Phơng pháp phản chứng. Giả sử 2 + ba ta đặt += += yb xa 1 1 với 0+ yx Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 3322 33 33 33211 yxyxyxyxba ++++++=+++=+ = ( ) ( ) ( ) ( ) 2332 2222 +++++++ yxyxyxyxyx Vì 0+ yx Suy ra 2 33 + ba Trái giả thiết.Vậy a + b < 2 Bài 12 Cho a 4 + b 4 < a 3 + b 3 Chứng minh rằng: a + b < 2 11 Giải Phơng pháp phản chứng: Giả sử 2+ ba .Đặt += += yb xa 1 1 với 0+ yx Xét hiệu: ( ) ( ) ( ) ( ) 3344 3344 1111 yxyxbaba +++++=+ ( ) ( ) ( ) 3322 33 yxyxyx +++++= ( ) ( ) ( ) ( ) 033 2222 ++++++= yxyxyxyxyx y;x hay + 0 3344 baba với a + b 2 Thì: a 4 + b 4 a 3 + b 3 Trái với giả thiết . Vậy a + b < 2 Bài toán 13 Cho a,b,c là 3 số dơng Chứng minh : 2 3 + + + + + ba c ca b cb a Giải: Đặt x = b + c ; y = c + a ; z = a + b Khi đó: 2 zyx cba ++ =++ 2 2 2 zyx c zyx b zyx a + = + = ++ = Cho nên ( ) 2 3 3222 2 1 3 2 1 111 2 1 222 =++ ++ ++ += ++++++= + + + + ++ = = + + + + + z y y z z x x z y x x y z y z x y z y x x z x y z zyx y zyx x zyx ba c ac b cb a 12 [...]... thực hành '' Sáng kiến đổi biến để chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ''đa số các học sinh khá giỏi không những học sinh nắm vững cách đặt ẩn phụ mà còn biết vận dụng các hằng đẳng thức một cách linh hoạt qua đó giải đợc các dạng toán nh : -Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của một biểu thức biết điều kiện tham số -Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ,đẳng thức có điều kiện -Sáng tao ra bất đảng thức... nh giáo viên có phơng pháp giải mới cho các bất đẳng thức có điều kiện ,đó chính là một dạng toán khó và từ trớc tới nay cha có cách giải tổng quát 2)Kết quả cụ thể: Kiểm tra 20 em học sin khá ,giỏi lớp 8 theo ba đợt có đề bài lần lợt nh sau Đề 1 a)cho a + b + c = 1 Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 1 3 b)cho x + y + z =3 Tìm GTLN của C =xy + yz + zx Đề 2 b) Cho a + b + c + d = 3 Chứng minh rằng a2 +... a)Cho3x + y = 1 chứng minh rằng x2 + y2 b)Cho x + y = 3 và y 2 1 10 Chứng minh rằng2x2 + y2 3x Đề 2: a) Cho x + y = c + d = 1 Chứng minh rằng b)Cho a + b + c + d 2 ac bd < 1 Chứng minh rằng a + b + c + d 1 Đề 3 a) Cho a2 + b2 2 chứng minh rằng a + b 2 b) Cho a + b 2 Chứng minh rằng a 4 + b 4 a 3 + b 3 Kết quả cụ thể nh sau Dới 5 5 -6đ 7đ 8-10 5-10 Điểm Đề SL % SL % SL SL SL % % % 1 9 45 7 35 3... cơ sở điều kiện đề toán có lời giải chứng minh ngắn gọn nhất cho bài toán - Mở rộng phơng pháp cho các dạng toán khác nh các bất đẳng thức khó , các bài giải phơng trình , các bài giải hệ phơng trình có đều kiện kèm theo - Từ kết quả đúc rút kinh nghiệm từ bản thân tôi xin kiến nghị - Đối với hội đồng khoa học cấp trờng , cấp huyện cần xem xét phơng pháp mà tôi trình bầy trong đề tài này để có những... Nh đã trình bày ở phần đặt vấn đề tôi viết đề tài này chỉ nhằm một mục tiêu đơn giản là giúp cho giải toán Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện có thêm một cách giải mới vừa đơn giản dễ nhớ và hiệu quả Qua đề tài giúp cho bản thân tôi cũng nh các thầy co giáo và học sinh thấy đợc mọi vấn đề đều có hớng giải quyết , nếu nh ta biết đơn giản hoá các vấn đề phức tạp B Kiến nghị , đề xuất hớng nghiên cứu... sinh đợc giỏi cấp huyện của trờng sau khi các em đợc làm quen và trực tiếp các em trờng đợc thực hành sáng kiến Đổi biến để chứng minh Bất đẳng thức có điều kiện Sau khi thu đợc kết quả có thể nhận thấy phơng pháp giải toán ử trên không đợc phơng khó đố với học sinh khá giỏi ,mà điều cần lu ý ở đây là cách đặt ẩn phụ một lu cách hợp lý thì lời giải mới ngắn gọn 15 KếT LUậN Và KIếN NGHị A)ý nghĩa ,tác... và x 1 .chứng minh rằng: a)2x2 + y2 6 b) xy 2 c) x3 + y3 - 6x2 - 3y2 + 9 0 Kết quả thực hiện nh sau : Điểm Dới5 7 56 810 510 Đề SL % SL SL SL SL % % % % 1 10 50 6 30 3 15 1 5 10 50 2 4 20 10 50 4 20 2 10 16 80 3 0 0 8 40 5 25 7 35 20 100 Kiểm Tra 20 học sinh khá giỏi lớp 9 theo 3 đợt với đề bài thứ tự nh sau: Đề 1: a)Cho3x + y = 1 chứng minh rằng x2 + y2 b)Cho x + y = 3 và y 2 1 10 Chứng minh rằng2x2...(áp dụng BĐT CÔ SI ) Dấu bằng xảy ra khi x = y = z Hay a = b = c Bài toán 14 Cho u,v là các số dơng và u+v=1 chứng minh rằng 2 2 1 1 25 u + + v + u v 2 Giải 1 1 Đặt a = u + và Ta có a > 0, b > 0 b=v+ u v 2 a + b < a 2 + b2 Và (1) 2 2 a + b a 2 + b 2 a 2 + 2ab + b 2 2a 2 2 b 2 ( a b) Vì = = 2 4 4 2 áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ... đó 4 ) = uv 2 2 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi : u = v = 2 bài toán:15 Cho a.b 0 Chứng minh rằng: a 2 b2 a b + 2 3 + + 4 0 b2 a b a a b Giải : Đặt x = + b a a2 2 + b2 2 ta có : = x2 2 b a Bất đẳng thức trở thành: x 2 2 3x + 4 0 13 2 x = a2 b2 + b2 a2 +2 < 0 2 x 2 3x + 2 0 ( x 1)( x 2 ) 0 Nếu ab< 0 Thì ta có a 2 + 2ab + b 2 0 a 2 + b 2 2ab Chia cả hai vế cho ab ta đợc a 2 + b2 Vậy x . biến để chứng minh Bất đẳng thức có điều kiện thực hành sáng kiến Đổi biến để chứng minh Bất đẳng thức có điều kiện Sau khi thu đ Sau khi thu đ ợc kết quả có thể nhận thấy ph ợc kết quả có thể. : -Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của một biểu thức biết điều kiện tham số. -Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ,đẳng thức có điều kiện . -Sáng tao ra bất đảng thức mới. Qua kết quả của. học sinh vẫn có thể chứng minh đợc đối với học sinh THCS III)các bài toán có điều kiện phức tạp: Bài11: cho : a 3 + b 3 < 2 Chứng minh rằng: a + b < 2 Giải Phơng pháp phản chứng. Giả sử