Sáng kiến kinh nghiệm

Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006. Phần A: Lý do chọn chuyên đề Hệ phơng trình đối xứng là dạng toán hay trong chơng trình Toán của bậc học Phổ thông. Để giải quyết tốt đợc bài toán dạng này, học sinh cần vận dụng nhiều kiến thức Toán. Điều đó giúp cho học sinh biết huy động các kĩ năng Toán vào việc giải một bài toán cụ thể và còn rèn luyện cho học sinh kỹ năng về t duy. Tính cần cù trong học tập, biết vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải quyết một bài toán cụ thể. Chính vì lí do đó, nên tôi đã su tầm và dạy cho học sinh chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng Phần b: những nội dung cụ thể I. Hệ phơng trình đối xứng loại I: Phần 1- Định nghĩa: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng - Phơng trình n ẩn x 1 , x 2 , ., x n gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay x i bởi x j ; x j bởi x i thì phơng trình không thay đổi. - Khi đó phơng trình luôn biểu diễn đợc dới dạng: x 1 + x 2 + . + x n x 1 x 2 + x 1 x 3 + . + x 1 x n + x 2 x 1 + x 2 x 3 + . + x n-1 x n . x 1 x 2 . x n - Hệ phơng trình đối xứng loại I là hệ mà trong đó gồm các phơng trình đối xứng. - Với học sinh phổ thông ta đa vào hệ đối xứng loại I với 2 ẩn số, với học sinh chuyên ta nên đa vào hệ đối xứng loại I với 3 ẩn số. - Để giải đợc hệ phơng trình đối xứng loại I ta phải có định lý Viet. *) Nếu đa thức F(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + . a n , a 0 0, a i P có nghiệm trên P là c 1 , ., c n thì 1 1 2 n 0 2 1 2 1 3 1 n 2 1 2 3 n-1 n 0 n n 1 1 n 0 -a c + c + . + c = a a c c + c c + . + c c + c c + c c + . + c c = a . a c c . c =(-1) . a phần 2 - Hệ ph ơng trình đối xứng loại I, 2 ẩn: A. Lý thuyết: 1.Định lý Vi-et cho ph ơng trình bậc 2 (lớp 10). Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x 1 , x 2 thì 1 2 1 2 -b S = x + x = a c P = x .x = a Ngợc lại nếu 2 số x 1 , x 2 có 1 2 1 2 x + x = S x .x = P thì x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình X 2 - SX + P = 0. 2.Định nghĩa: Hệ gồm 2 phơng trình đối xứng gọi là hệ đối xứng loại I, 2 ẩn. ======================================================== Doãn Hoài Nam - Chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng 1 Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006. Một phơng trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu đổi vị trí hai ẩn thì phơng trình không đổi VD: 2 2 x + y + xy = 2 x + xy + y = 4 3.Cách giải: + Biểu diễn từng phơng trình của hệ qua x+y và xy + Đặt S = x+y, P = xy, ta có hệ mới chứa ẩn S, P. Giải nó tìm S, P. + Với mỗi cặp S, P ta có x, y là nghiệm của phơng trình X 2 - SX + P = 0. + Tuỳ theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận hệ ẩn S, P và phơng trình X 2 - SX + P = 0. để có kết luận cho bài toán. 4.Bài tập: Loại 1: Giải hệ đơn thuần VD1: Giải hệ 2 2 x + y + xy = 2 x + xy + y = 4 (I) Giải: (I) 2 (x + y) + xy = 2 (x + y) - xy = 4 Đặt S = x+y, P = xy ta có 2 S + P = 2 S - P = 4 2 S + P = 2 S + S - 6 = 0 S + P = 2 S=2 S=-3 S = 2 P = 0 S = - 3 P = 5 Với S = 2, P = 0 có x, y là nghiệm của phơng trình X 2 - 2X = 0 X = 0 X = 2 {(x;y)} = {(0;2); (2;0)} Với S = -3, P = 5 có x, y là nghiệm của phơng trình X 2 + 3X +5 = 0 vô nghiệm Vậy hệ có tập nghiệm {(x;y)} = {(0;2); (2;0)}. Loại 2: Đối xứng giữa các biểu thức của ẩn VD2: Giải hệ 2 x (x + 2)(2x + y) = 9 x + 4x + y = 6 (II) Giải: (II) 2 x (x + 2)(2x + y) = 9 (x + 2x) + (2x + y) = 6 2 2x + y = 3 x + 2x = 3 Giải ra đợc nghiệm của hệ {(x;y)} = {(1;1); (-3;9)}. VD3: Giải hệ 5 5 x + y = 4 xy = - 2 Giải: 5 5 5 5 x + y = 4 x y = - 32 ======================================================== Doãn Hoài Nam - Chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng 2 Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006. Vậy x 5 , y 5 là nghiệm của phơng trình X 2 - 4X -32 = 0 X = 8 X = - 4 Vậy 5 5 5 5 x = 8 y = - 4 x = - 4 y = 8 5 5 5 5 x = 8 y = - 4 x = - 4 y = 8 Chú ý: Với hệ có dạng n n x + y = a (1) xy = b (2) + Nâng hai vế của (2) lên luỹ thừa n và coi x n , y n nh nghiệm của phơng trình X 2 - aX + b n = 0. + Giải và biện luận phơng trình bậc hai, sau đó lấy căn bậc n của nghiệm thu đợc. VD4: Giải hệ 2 2 2 2 2 x + xy + y = 19(x - y) x - xy + y = 7(x - y) (1) Giải : Đặt -y= t ta đợc hệ 2 2 2 2 2 x + t - xt = 19(x + t) x + t + xt = 7(x + t) (2) Đăt S= x+t ,P= xt ta có 2 2 2 S - 3P = 19S S - P = 7S (3) Giải (3) ta đợc S = 0, P = 0 và S = 1 và P = -6 Từ đó suy ra nghiệm của (2) . (1) có nghiệm (x; y) là (0; 0), (3; 2) ,(-2; -3). VD 5: Giải hệ: 2 2 3 3 3 3 2(x + y) = 3( x y + xy ) x + y = 6 (1) Giải: Đặt 3 3 x = u ; y = v ta có hệ 2 3 3 2 2(u + v ) =3(u v + uv ) u + v = 6 (2) Hệ (2) là hệ đối xứng đối với u,v. Giải (2) tìm u, v từ đó suy ra nghiệm của (1). Loại 3: Giải và biện luận hệ theo tham số . VD6: Giải và biện luận hệ: x y + = m y x x + y = 8 Giải: ĐK: x, y 0. Khi đó hệ trên tơng đơng với: 2 2 x + y = m xy x + y = 8 ======================================================== Doãn Hoài Nam - Chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng 3 Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006. 2 (x + y) - 2xy = m xy x + y = 8 64 = (m + 2)xy x + y = 8 Với m = -2: Hệ vô nghiệm Với m -2: Hệ tơng đơng với 64 xy = m+2 x + y = 8 (*) Ta có (*) có nghiệm khác 0 khi 64 - 4. 64 m-2 0 0 m+2 m+2 Vậy với m =2 thì hệ là x + y = 8 x = y = 4. xy = 16 với m >2 hoặc m < -2 thì hệ có hai nghiệm . với -2 < m < 2 thì hệ vô nghiệm. VD7: Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm 2 2 2 (x + y) = 4 x + y = 2(m + 1) Giải: Đặt xy= P ,x+y = S hệ trở thành 2 2 S = 2 P = - m + 1 S - 2P = 2(m + 1) S = - 2 S = 4 P = 1 - m Vậy (x;y) là nghiệm của: 2 2 X - 2X + 1 - m = 0 X - 2X + 1 - m = 0 2 2 (X - 1) = m (X + 1) = m Để hệ có đúng hai nghiệm thì m=0 khi đó 2 nghiệm là {(x;y)} = {(1;1); (-1;-1)}. Loại 4: Một số bài toán giải bằng cách đa về hệ. VD1: Giải hệ phơng trình: 3 3 3 x + 1 - x = 2 (ĐHSP-91) Giải: Đặt 3 3 x = u 1-x = v . Vậy ta có hệ : 3 3 3 u + v = 2 u + v = 1 2 3 u + v = 2 (u + v) (u + v) - 3uv = 1 3 u + v = 2 19 u.v = 36 u, v là nghiệm của phơng trình 2 3 19 X - X + = 0 2 36 ======================================================== Doãn Hoài Nam - Chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng 4 Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006. 6 + 5 u = 8 6 - 5 u = 8 3 3 6 + 5 u = ( ) 8 6 - 5 u = ( ) 8 Vậy phơng trình có 2 nghiệm {x} = { 3 3 6 + 5 6 - 5 ( ) ; ( ) 8 8 }. VD2: Cho x, y, z thoả mãn: x + y + z = 5 xy + yz + xz = 8 (I) CMR: 7 1 x 3 . Giải: (I) y + z = 5 - x x(y + z) + yz = 8 Đặt y + z = S; yz = P y, z là ngiệm của phơng trình X 2 - SX + P = 0 S 2 - 4P 0 Từ hệ có 2 S = 5 - x S = 5 - x Sx + P = 8 P = x - 5x + 8 Vậy (5-x) 2 -4(x 2 -5x+8) 7 0 1 3 x Do vai trò của x,y,z là nh nhau nên ta có 7 7 1 y ,1 z 3 3 . B. Bài tập: I) Giải hệ phơng trình: 1) 3 3 5 5 2 2 1x y x y x y + = + = + (ĐHAN -97) 2) 2 2 4 2 2 4 5 13 x y x x y y + = + = (ĐHNT-98) 3) 30 35 x y y x x x y y + = + = 4) 2 2 4 2 8 2 x y x y xy + = + + = 5) 2 2 18 ( 1)( 1) 72 x x y y xy x y + + + = + + = ======================================================== Doãn Hoài Nam - Chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng 5 Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006. 6) 2 2 2 2 1 ( )(1 ) 5 1 ( )(1 ) 49 x y xy x y x y + + = + + = (ĐHNT_99) 7) 2 2 2 2 1 1 4 1 1 4 x y x y x y x y + + + = + + + = (ĐHAN-99) 8) 7 1 78 x y y x x y x xy y xy + = + + = (ĐH HH-99) 9) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 280 x y x y x y + = + + = 10) 6 6 3 3 x + y = 1 x - 3x = y - 3y 11) 4 4 6 6 1 1 x y x y + = + = II. giải Hệ phơng trình có tham số: 1. Giải và biện luận: a) 2 2 2 4x y x y m + = + = (QHQT-99) b) 4 4 4 x y m x y m + = + = (129-III) c) 1 2 5 2 2 2 x y x y x y m x y + + = + = (ĐHT-96) ======================================================== Doãn Hoài Nam - Chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng 6 Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006. 2. Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình a) ( ) 5 4 4 1 x y xy x y xy m + = + = có nghiệm (ĐHQG-99) b) 2 2 2 1 x y xy m x y xy m + + = + + = + có nghiệm duy nhất (HVQS-00) c) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 1 x y x y m + = + = + có đúng hai nghiệm (19-I) d) 2 2 2 2 1 2 3 x y m x y m m + = + = + có nghiệm (x; y) và x.y đạt nhỏ nhất (4I) 3. 2 2 x xy y m x y m + + = + = (1II) a. Giải hệ khi m = 5 b. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm 4. 2 2 3 8 x xy y m x y xy m + + = + = (7I) a. Giải hệ khi m = 7/2 b. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm 5. 2 2 1x xy y m x y xy m + + = + + = (40II) a. Giải hệ khi m=2 b. Tìm giá trị m đẻ hệ có nghiệm (x,y) với x > 0, y > 0. 6. Cho x,y,z thoả mãn; 2 2 2 2 1 x y z xy yx xz + + = + + = CMR: 4 4 , , 3 3 x y z III. PHƯƠNG TRìNH GIảI BằNG CáCH ĐƯA Về Hệ 1. Giải phơng trình: 4 4 1 18 3x x + = (ĐHKT-95) 2. Tìm m để mỗi ptrình sau có nghiệm a. 1 1x x m + + = (ĐHQG-98) b. m x m x m + + = (ĐHNT-95) c. 3 3 1 - x + 1 + x = m (ĐHNT-98) ======================================================== Doãn Hoài Nam - Chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng 7 Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006. phần 3 - Hệ ph ơng trình đối xứng loại I, 3 ẩn: a. Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các phơng trình trong hệ là đối xứng. b. Định lý Vi-et cho ph ơng trình bậc 3: Cho 3 số x, y, z có: x + y + z = xy + yz + zx = xyz = Thì x, y, z ;à nghiệm của phơng trình X 3 - X 2 + X - = 0. (*) Thậy vậy: (X - x)(X - y)(X - z) = 0 [ X 2 - (x + y)X + xy ](X - z) = 0 X 3 - X 2 z - X 2 (x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0 X 3 - X 2 + X - = 0. (*) có nghiệm là x, y, z phơng trình X 3 - X 2 + X - = 0 có 3 nghiệm là x, y, z. c.Cách giải: + Do các phơng trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết đợc dới dạng , , Khi đó ta đặt x + y + z = xy + yz + zx = xyz = Ta đợc hệ của , , . + Giải phơng trình X 3 - X 2 + X - = 0 (1) tìm đợc nghiệm (x, y, z) của hệ. Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất hệ vô nghiệm. (1) có 1 nghiệm kép duy nhất hệ có nghiệm. (1) có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn hệ có 3 nghiệm. (1) có 3 ngiệm hệ có 6 nghiệm. d. Bài tập: VD1: Giải hệ: 2 2 2 3 3 3 x + y + z = 2 x + y + z = 6 x + y + z = 8 Giải: áp dụng hằng đẳng thức ta có: x 2 + y 2 + z 2 = (x + y + z) 2 - 2(xy + yz + zx). x 3 + y 3 + z 3 = (x + y + z) 3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz. Vậy 6 = 2 2 - 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = -1. 8 = 2 3 - 3.2.(-1) + 3xyz xyz = -2. x, y, z là nghiệm của phơng trình:t 3 - 2t 2 - t + 2 = 0 t = 1 t = - 1 t = 2 Vậy hệ có 6 cặp nghiệm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1). VD2: Giải hệ x + y + z = 9 (1) xy + yz + zx = 27 (2) 1 1 1 + + = 1 (3) x y z ======================================================== Doãn Hoài Nam - Chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng 8 Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006. Giải: ĐK: x, y, z 0. Từ (3) xy + yz + zx = 1 xyz Do (2) xyz = 27 Vậy hệ x + y + z = 9 xy + yz + zx = 27 xyz = 27 Do đó (x; y; z) là nghiệm của phơng trình: X 3 - 9X 2 + 27X - 27 = 0 (X - 3) 3 = 0 X = 3. Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3). VD3: Giải hệ 2 2 2 2 3 3 3 3 x + y + z = a x + y + z = a x + y + z = a Giải: x 2 + y 2 + z 2 = (x + y + z) 2 - 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = 0. x 3 + y 3 + z 3 = (x + y + z) 3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz xyz = 0. Vậy có: x + y + z = 0 xy + yz + zx = 0 0xyz = (x; y; z) là nghiệm của phơng trình: X 3 - aX 2 = 0 X = 0 X = a Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)} e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần lu ý khi giải hệ loại này + Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đa ra đợc x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó là hệ quả của hệ nên khi tìm đợc nghiệm nên thử lại. + Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo phơng trình cộng, thế. VD: x + y + z = 9 (1) xy + yz + zx = 27 (2) 1 1 1 + + = 1 (3) x y z Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = 0 không là nghiệm của hệ Với x 0, y 0, z 0, nhân hai vế của (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4). Từ (2) và (4) xyz = 27 (5) Từ (2) x 2 (y + z) + xyz = 27x (6) Từ (1), (5), (6) ta có: x 2 (9 - x) + 27 - 27x = 0 x 3 - 9x 2 + 27x - 27 = 0 (x - 3) 3 = 0 x = 3 Thay x = 3 vào (1), (5) ta có: y + z =6 yz = 9 y = z = 3. Vậy hệ có nghiệm là x = y = z = 3. ======================================================== Doãn Hoài Nam - Chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng 9 Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006. Ii. Hệ phơng trình đối xứng loại iI: 1.Hệ đối xứng loại 2, 2 ẩn: A. Định nghĩa: - Hệ phơng trình 2 ẩn mà khi đổi vị trí hai ẩn trong hệ ta có phơng trình này trở thành phơng trình kia gọi là hệ đối xứng loại 2, 2ẩn. - Cách giải: Trừ từng vế của hai phơng trình ta có phơng trình tích có mối liên quan giữa x, y rồi thay vào 1 phơng trình của hệ B. Bài tập ví dụ: VD1: Giải hệ 3 3 x = 3x + 8y y = 3y + 8x Giải: (I) 3 2 2 x = 3x + 8y (x - y)(x + xy + y + 5) = 0 3 x = 3x + 8y x = y 3 x = 0 x - 11x = 0 x = 11 x = y x = y Vậy hệ có tập nghiệm: { } { } (x, y) = (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11) VD2: Giải hệ: 4 4 x + y - 1 = 1 y + x - 1 = 1 Giải: Đặt 4 4 x - 1 = u 0; y - 1 = v 0 Hệ trở thành 4 4 4 4 u + 1 + v = 1 u + v = 0 v + 1 + u = 1 v + u = 0 u = 0 v = 0 (Do u, v 0) x = 1 y = 1 Vậy hệ có nghiệm (1,1) VD3: Cho hệ 2 2 x=y -y+m y=x -x+m (I) a.Tìm m để hệ có nghiệm b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Giải:(I) 2 2 2 2 2 2 2 2 x = y x - y = y - y - x + x x = y - y + m x = y - y + m x = y x = y x = y - y + m x - 2x + m = 0 x = - y x = - y x = y - y + m y + m = 0 ======================================================== Doãn Hoài Nam - Chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng 10 [...]...Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006 x ' 0 1 - m 0 m 1 m0 a)Hệ có nghiệm ' y 0 - m 0 m 0 x ' = 0 1 - m = 0 ' y < 0 - m < 0 b) C1: Hệ có nghiệm duy nhất m = 1 1 - m < 0 x ' < 0 ' - m = 0 y = 0 Vậy m = 1 C2: Giả sử hệ có nghiệm (x0, y0) thì hệ cũng có nghiệm (y0, x0) Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x0 = y0 Thay x = y = x0 vào ta có x0 = x02... 3 3 2 -1 -1 -1 2 -1 Làm tơng tự (II) có nghiệm ( ; ; );( ; ; ) 3 3 3 3 3 3 1 1 1 Hệ (III) có nghiệm (0;0;1); ( ; ; ) 3 3 3 Hệ (IV) có nghiệm (0;1;0); (1;0;0) Vậy hệ đã cho có 8 nghiệm kể trên x 2 + y2 + z = 1 2 2 VD2: Giải hệ phơng trình: x + y + z = 1 x 2 + y + z2 = 1 2 2 x + y + z = 1 Giải: Hệ (y - z)(y + z - 1) = 0 (x - z)(x + z - 1) = 0 Vậy (I) có 2 nghiệm (0;0;0); ( x 2 + y2 + z = 1 (I)... hệ với m = 0 b Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 2 2 3 x = y + 7x - mx 3 Tìm m để hệ: có nghiệm duy nhất 3 2 2 y = x + 7y - my 4 Giải phơng trình: a (112III) x2 + x + 5 = 5 b (TH - 94) x 3 - 3 3 3x + 2 = 2 2 Hệ phơng trình đối xứng loại 2, 3 ẩn: A Dùng chủ yếu là phơng pháp biến đổi tơng đơng bằng phép cộng và thế Ngoài ra sử dụng sự đặc biệt trong hệ bằng cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải B Ví... 1 5 Từ đó có nghiệm của hệ (x;y;z) là : 2 ; 2 ; 2 ữ; 2 ; 2 ; 2 ữ ữ ữ Tơng tự y=z, z=x ta cũng đợc nghiệm nh trên TH2 : 3 số x, y, z đôi một khác nhau Giả sử x>y>z ,xét hàm số f(t) = t2 trên D = [ 1; + ) a) z 0 x>y>z 0 f(x)>f(y)>f(z)y+1>z+1>x+1y>x>z(vô lý) b) z z > x mâu thuẫn với (*) Vậy điều giả sử sai Do vai trò x, y, z nh nhau Vậy TH2 - hệ vô nghiệm Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (0; 0; 0) C Bài tập x = y3 + y 2 + y 2 3 2 1 y = z + z + z 2 z = x3 + x 2 + x 2 2 2 3 3(3x 2 4) 2 4 4 = x y = 3x 2 4 Hớng dẫn: Đặt 2 z = 3y 4 y = 3x... giảng dạy, tôi đã làm rõ cho học sinh các dạng bài về Hệ phơng trình đối xứng Tuy nhiên, chuyên đề của tôi còn hạn chế về số lợng các bài tập cũng nh về phơng pháp giảng dạy Tôi rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô trong tổ bộ môn Toán và của các đồng nghiệp Xin trân trọng cám ơn ! Yên Lạc, tháng 01 năm 2006 Ngời viết Doãn Hoài Nam ======================================================== Doãn . đợc nghiệm (x, y, z) của hệ. Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất hệ vô nghiệm. (1) có 1 nghiệm kép duy nhất hệ có nghiệm. (1) có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm. m >2 hoặc m < -2 thì hệ có hai nghiệm . với -2 < m < 2 thì hệ vô nghiệm. VD7: Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm 2 2 2 (x + y) = 4 x + y = 2(m