Các phương pháp chứng minh hệ dao động điều hòa

MỞ ĐẦU 1. TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU THUỘC LĨNH VỰC ĐỀ TÀI Các quá trình chuyển động hoặc biến đổi trạng thái được lặp đi lặp lại ở mức độ này hay mức độ khác được gọi là quá trình dao động. Dựa vào bản chất vật lí của quá trình dao động ta có hai loại dao động như sau: Dao động cơ học (dao động của con lắc, sợi dây, máy móc, các bộ phận của đồng hồ, áp suất không khí khi âm lan truyền trong không khí, sự lắc của tàu thủy, sóng biển…). Dao động điện từ (dao động của mạch dao động điện, dao động của các véctơ cường độ điện trường và cảm ứng từ trong trường điện từ biến thiên, …). Nói một cách tổng quát, dao động là một chuyển động được lặp đi lặp lại nhiều lần theo thời gian. Hiện tại, trong các sách giáo trình đại học, cao đẳng hay trong chương trình phổ thông, lớp 12 [1] dao động điều hòa đã được tách riêng ra thành một phần riêng. Trong sách giáo khoa phổ thông chỉ mới đi chứng minh những dao động điều hòa đơn giản như dao động điều hòa ở con lắc đơn, con lắc lò xo nằm ngang, các trường hợp khác hầu như thừa nhận kết quả chứ không đi sâu vào chứng minh. Các bài tập chủ yếu đưa ra khảo sát các đại lượng đặc trưng cho dao động như biên độ, tần số góc, pha dao động, li độ, vận tốc, gia tốc… Trong giáo trình cao đẳng và đại học như trong [5-7], hệ dao động điều hòa được chứng minh bằng phương pháp động lực học ra trên một vài trường hợp như: Con lắc đơn dao động với tần số góc nhỏ, con lắc lò xo nằm ngang, mà không đi sâu nghiên cứu trường hợp khác. Một số tài liệu khác như [9], có đưa ra bài tập chứng minh như con lắc lò xo nằm nghiêng và thẳng đứng, con lắc lò xo có ròng rọc, con lắc lò xo mắc kép … mức độ khó được nâng lên nhưng không có lời giải chi tiết, các bước không cụ thể, chưa rõ ràng vắn tắt làm cho người đọc khó hiểu, khó vận dụng. Trong một số tài liệu như [4] có giới thiệu hai phương pháp chứng 1 minh dao động cơ học điều hòa là phương pháp động lực học và phương pháp bảo toàn năng lượng nhưng bài tập ở mức độ đơn giản, chưa đưa ra các định hướng cụ thể về phương pháp. Sử dụng định luật bảo toàn năng lượng mới chỉ đưa ra để chứng minh dao động điều hòa của con lắc đơn mà chưa đề cập tới các trường hợp cụ thể khác. Chính vì vậy nhóm chúng tôi chọn nghiên cứu các phương pháp khác nhau chứng minh hệ dao động cơ học điều hòa để giúp chúng ta hiểu đầy đủ và sâu sắc về dao động cơ học điều hòa. Chúng tôi mong rằng nghiên cứu này sẽ giúp bổ sung kiến thức phục vụ cho các kỳ thi đại học, cao đẳng và công việc học tập trên các giảng đường đại học. 2. TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI Do ý nghĩa khoa học dao động điều hòa đối với vật lý hiện đại và mong muốn hiểu đầy đủ và sâu sắc về dao động điều hòa, mà những giáo trình cao đẳng, đại học, chương trình phổ thông chỉ trình bày ở mức độ đại cương chưa chuyên sâu, chúng tôi đã chọn “Các phương pháp chứng minh hệ dao động điều hòa” làm đề tài nguyên cứu. 3. MỤC TIÊU ĐỀ TÀI Trình bày hai phương pháp để chứng minh hệ dao động điều hòa là phương pháp động lực học và bảo toàn năng lượng. 4. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU *Đối tượng nghiên cứu: Dao động cơ học điều hòa * Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu các phương pháp chứng minh hệ dao động cơ học điều hòa. 5. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Nội dung nghiên cứu gồm 3 chương Chương 1Tổng quan về dao động điều hòa 1.1 Định nghĩa dao động điều hòa 1.2 Đặc trưng của dao động cơ học điều hòa 2 Chương 2 Phương pháp động lực học chứng minh hệ dao động điều hòa 2.1 Cơ sở lí thuyết 2.2 Phương pháp giải và một số ví dụ cụ thể 2.3 Các bài tập vận dụng Chương 3 Phương pháp bảo toàn năng lượng chứng minh hệ dao động điều hòa 3.1 Cơ sở lí thuyết 3.2 Phương pháp giải và một số ví dụ cụ thể 3.3 Các bài tập vận dụng 6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: * Nghiên cứu lý luận: Tập hợp, đọc, phân tích, tổng hợp, hệ thống nguồn tài liệu các đề tài, các trang web, diễn đàn vật lý của ngành giáo dục, của nhà nước. *Lấy ý kiến chuyên gia: Thu thập ý kiến của thầy cô bộ môn và giảng viên hướng dẫn. *Tổng kết kinh nghiệm của các thầy cô, sinh viên khóa trước trong quá trình học tập, rèn luyện và nghiên cứu liên quan đến các đề tài. 3 CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ DAO DỘNG ĐIỀU HÒA 1.1. Định nghĩa dao động điều hòa Dao động điều hòa là quá trình trong đó những đại lượng vật lí biến đổi theo thời gian theo định luật dạng sin hoặc cosin. Có hai loại dao động đặc trưng là dao động cơ điều hòa và dao động điện điều hòa. Chuyển động của một vật mà li độ x biến đổi theo thời gian theo quy luật dạng sin hoặc cosin có dạng: ; gọi là dao động (cơ học) điều hòa. Dao động điện điều hòa là dao động được tạo ra trong một mạch điện kín có điện dung C và một cuộn dây có độ tự cảm L, điện trở thuần của mạch bằng không, có cường độ biến đổi theo thời gian theo định luật dạng sin hoặc cosin. * Ta có thể xét một số ví dụ về dao động điều hòa: Bài toán 1 : Con lắc lò xo gồm một vật nặng khối lượng m, gắn vào đầu một lò xo có độ cứng k, đầu kia của lò xo treo cố định (hình 1.1). Hình 1.1: Con lắc lò xo treo thẳng đứng Quả cầu chịu tác dụng của hai lực: trọng lực và lực đàn hồi . 4 Ở vị trí cân bằng, lò xo giãn ra Δl, khi đó lực đàn hồi tác dụng lên vật nặng có độ lớn là: (1.1) Với hệ số tỉ lệ k gọi là độ cứng của lò xo. Và tổng hợp lực tác dụng lên vật: + = (1.2) Chọn chiều dương của vật trùng với trục tọa độ Ox như hình vẽ, gốc O là vị trí cân bằng. Suy ra: (1.3) Hình 1.2: Phân tích lực con lắc lò xo treo thẳng đứng Khi vật nặng có li độ x (độ dời tính từ vị trí cân bằng ), Theo định luật II Newton ta có: = (1.4) Lực đàn hồi F của lò xo trên trục x: l) (1.5) Chiếu (1.4) lên trục Ox: (1.6) Mà từ (1.3) ta có: Nên suy ra (1.7) Với mà Ta được phương trình vi phân cho dao động của vật: (1.8) Vậy phương trình (1.8) có nghiệm hoặc . 5 Trong đó : A là biên độ dao động (li độ dao động cực đại cũng là vị trí lớn nhất của vật trong dao động); (ωt + φ) là pha dao động; tần số góc là ω = . Vậy vật m dao động điều hòa với li độ x là dạng hình sin hoặc cosin. Bài toán 2: Một vật có khối lượng m, vật có dạng hình trụ đường kính d, được đặt vào một bình chất lỏng, từ vị trí cân bằng người ta tác dụng cho nó một lực đẩy nhẹ theo phương thẳng đứng. Hình 1.3: Vật chịu lực đẩy Archimede Khi vật được đặt trong chất lỏng vật đã chịu tác dụng của lực đẩy Archimede là luôn ngược hướng với trọng lực, có xu hướng đẩy vật lên khỏi mặt nước và có độ lớn được xác định bằng công thức: = D (1.9) Trong đó: V: Thể tích của chất lỏng. d: Đường kính của vật trụ. D: Khối lượng riêng của chất lỏng. g: Gia tốc trọng trường. + Khi vật ở vị trí cân bằng có hai lực tác dụng lên vật là trọng lực và lực đẩy Archimede . Tại đây tổng hợp lực tác dụng lên vật là: + = (1.10) Chọn trục Ox hướng xuống , gốc O là vị trí cân bằng của đáy vật. 6 (1.11) + Khi vật có li độ x (vật chìm sâu thêm một đoạn x) Theo định luật II Newton ta có: + = (1.12) Chiếu (1.12) lên trục ox ta có: (1.13) (1.14) (1.15) Tổng các lực tác dụng lên vật luôn có xu hướng kéo vật về vị trí cân bằng, được gọi là lực hồi phục hay lực kéo về. Đặt k = D Suy ra (1.16) Suy ra ta có phương trình vi phân chuyển động của vật : + = 0. (1.17) Với ω = = ω = Phương trình (1.17) có nghiệm hoặc . Vậy vật dao động điều hòa. Từ hai ví dụ trên có thể cho ta thấy hiện tượng dao động điều hòa có thể gặp nhiều trong tự nhiên dưới dạng những bài toán khác nhau. Đó là một hiện tượng vật lý cơ bản thường gặp trong tự nhiên. 1.2 Đặc trưng về dao động cơ điều hòa 1.2.1 Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa * Phương trình dao động Vật dao động điều hòa có phương trình dao động dạng : Ta có thể biểu diễn phương trình dưới dạng hàm cosin như sau: Phương trình này cho biết sự phụ thuộc của li độ x của vật nặng vào thời gian. Các thông số đặc trưng của phương trình dao động điều hòa : x : li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng. A : Biên độ dao động hay li độ cực đại. 7 : tần số góc của dao động , đại lượng trung gian cho phép xác định chu kỳ và tần số dao động. : pha ban đầu của dao động (t = 0), giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm ban đầu. : pha dao động tại thời điểm t, giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm bất kỳ t. Chú ý : Biên độ dao động A luôn là hằng số dương. * Vị trí cân bằng: Trong dao động điều hòa vị trí cân bằng là vị trí có tổng hợp lực tác dụng lên vật bằng và vật chuyển động theo quán tính: = ↔ = 0. Ta có hệ thức liên hệ: = (.vì vậy khi a = 0 thì = ωA Vậy khi vật qua vị trí cân bằng: (1.18) * Vận tốc: Vận tốc trong dao động điều hòa là đạo hàm của li độ x theo t : (1.19) Nếu li độ của vật dao động điều hòa có phương trình: thì vận tốc có phương trình: = (1.20) Như vậy vận tốc cũng là một đại lượng biến đổi điều hòa theo thời gian. Vận tốc của vật dao động điều hòa cũng biến thiên điều hòa cùng tần số , có biên độ , lớn hơn pha của li độ một lượng , do đó người ta nói vận tốc sớm pha so với li độ. (a) (b) 8 Hình 1.4: Đồ thị vận tốc a: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vận tốc vào thời gian. b: Đồ thị biểu diễn diễn sự phụ thuộc giữa vận tốc và li độ. Vận tốc của vật dao động điều hòa qua vị trí cân bằng có độ lớn cực đại = A . Vận tốc của vật ở vị trí biên có độ lớn cực tiểu . * Gia tốc trong dao động điều hòa: Gia tốc trong dao động điều hòa là đạo hàm bậc 2 của li độ x theo t: (1.21) Nếu li độ của vật dao động điều hòa có phương trình: thì gia tốc có phương trình: (1.22) Gia tốc trong dao động điều hòa cũng biến thiên điều hòa cùng tần số , có biên độ , ngược pha (đối pha) với li độ. (a) (b) (c) Hình 1.5: Đồ thị gia tốc a: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc gia tốc vào thời gian b: Đồ thị biểu diễn diễn sự phụ thuộc giữa gia tốc và vận tốc c: Đồ thị biểu diễn diễn sự phụ thuộc giữa gia tốc và li độ Gia tốc của vật dao động điều hòa qua vị trí cân bằng có độ lớn cực tiểu Gia tốc của vật dao động điều hòa khi ở vị trí biên có độ lớn cực đại Chú ý: Vì gia tốc a cũng vuông pha với vận tốc v nên giữa a và v cũng có hệ thức độc lập 9 ( hay ( (1.22) * Chu kì: Chu kì là khoảng thời gian ngắn nhất để một trạng thái dao động được lặp lại như cũ (cũng chính là khoảng thời gian mà vật thực hiện được một dao động), ký hiệu là T, đơn vị là giây (s). Công thức liên hệ giữa chu kỳ với tần số góc là T = * Tần số: Tần số là số dao động mà vật thực hiện được trong một giây, ký hiệu là f, đơn vị là Hz. Công thức liên hệ giữa tần số và chu kỳ là (1.23) Công thức liên hệ giữa tần số và tần số góc là (1.24) * Hệ thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa: Vì vận tốc v và li độ x của dao động điều hòa vuông pha nhau nên giữa v và x có hệ thức độc lập (chứng minh được bằng cách bình phương tỉ số rồi cộng với bình phương của tỉ số ) (1.25) * Liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều Một vật P dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ A và tần số góc ω luôn có thể được coi là hình chiếu trên trục Ox của một điểm M chuyển động tròn đều với tốc độ góc ω và bán kính quỹ đạo A. Giải thích: Xét một điểm M chuyển động tròn đều với tốc độ góc ω trên vòng tròn tâm O, bán kính bằng A theo chiều dương lượng giác (ngược chiều kim đồng hồ). 10 [...]... quay biểu diễn dao động điều hòa chính là li độ x của dao động + Tổng hợp 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số (1.26) 11 Ta dùng phương pháp giản đồ vector quay: Vẽ các vector quay và biểu diễn các dao động và Dao động tổng hợp là một dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, với (1.27) (1.28) 1.2.2 Lực trong dao động cơ điều hòa Một vật có khối lương m dao động điều hòa với phương trình Gia... sang động năng của hòn bi và ngược năng sang động năng và ngược lại lại 14 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG LỰC HỌC CHỨNG MINH HỆ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 2.1 Cơ sở lý thuyết Dao động cơ học điều hòa tuân theo các định luật Newton nên quy luật của dao động cơ học điều hòa có thể tìm được từ việc giải các định luật Newton, nhất là định luật II Newton, cùng với sử dụng các lực cơ học đã biết tác dụng lên vật hoặc hệ. .. hướng chuyển động của điểm P dao động điều hòa lúc t đang xét Nhận xét: Trong thời gian t giây, điểm M chuyển động tròn đều (gắn liền với điểm P dao động điều hòa đang xét) đi được một cung bằng theo chiều dương lượng giác, nghĩa là bán kính OM quay được một góc là ωt cũng theo chiều dương lượng giác * Tổng hợp dao động điều hòa + Biểu diễn dao động điều hòa bằng vector quay Mỗi dao động điều hòa được...Hình 1.6: Dao động điều hòa và chuyển động tròn đều Lúc t = 0: M ở vị trí Mo ứng với đỉnh cung bằng pha ban đầu φ của dao động điều hòa Hình chiếu của điểm Mo lên đường kính mang trục Ox cho ta biết vị trí và hướng chuyển động của điểm P dao động điều hòa Tại thời điểm t: M ở vị trí ứng với đỉnh cung bằng pha dao động tại thời điểm này Do vậy ta có phương trình: suy ra hình chiếu... = 10) Chứng minh vật dao động điều hoà, viết phương trình dao động? Đáp số: x; ) k k F0 F0 m O P + Hình 2.24 :Hệ hai lò xo song song treo thẳng đứng Bài 2: Hệ dao động có cấu tạo như hình 2.25 Chiều dài tự nhiên và độ cứng của các lò xo lần lượt là , ,, Vật nặng có khối lượng m, kích thước không đáng kể.Từ vị trí cân bằng, kéo vật xuống khỏi vị trí cân bằng theo phương thẳng đứng rồi thả nhẹ Chứng tỏ... (2.54) Hay (2.55) 28 Suy ra: → với +Vậy nghiệm của phương trình trên là: → vật dao động điều hòa * Chu kì dao động của vật : Ví dụ 5: Lò xo có độ cứng k chiều dài tự nhiên Vật khối lượng m có thể trượt không ma sát dọc theo thanh ngang Quay thanh với vận tốc đều Chứng minh rằng nếu vật dịch khỏi vị trí cân bằng một đoạn thì sau đó nó sẽ dao động điều hòa thanh vẫn quay đều Hình 2.14: Con lắc lò xo quay... năng của con lắc lò xo là không đổi và tỉ lắc đơn dao động điều hòa Cơ năng lệ với bình phương biên độ dao động của con lắc đơn không đổi và nó tỉ lệ Động năng và thế năng biến thiên điều với bình phương của biên độ dao hòa theo thời gian Động năng của hòn động. Thế năng của con lắc giảm đi bi tăng lên bao nhiêu thì thế năng của bao nhiêu thì động năng của nó tăng lò xo giảm bấy nhiêu và ngược lại, tức... lực pháp tuyến hướng lên trên Độ lớn: xác định từ phương trình động lực học: (2.18) 2.1.7 Lực căng Hình 2.5: Vật được nối với sợi dây vắt qua ròng rọc Khi vật được nối với sợi dây mắc qua dòng dọc Nếu ta kéo dây bằng 1 lực, sợi dây sẽ kéo vật với một lực T có hướng dọc theo sợi dây, lực T được gọi là lực căng 2.2 Phương pháp giải và một số ví dụ cụ thể 2.2.1 Phương pháp chứng minh Phương pháp động. .. Nghiệm của phương trình (2.30) này có dạng: giống như phương trình hoặc giống như phương trình với s giữa vai trò của x Vậy với biên độ dao động nhỏ (α ≤ 10 0), dao động của một con lắc đơn là dao động điều hòa với tần số góc Ví dụ 2: Con lắc lò xo như hình vẽ (Hình 2.8) Vật nhỏ khối lượng m, lò xo có độ cứng k, mặt phẳng nghiêng một góc α, bỏ qua ma sát và khối lượng của lò xo Kéo vật xuống theo phương. .. của phương trình dao động x Ta có: (1.29) Theo định luật II Newton : (1.30) Độ lớn: với (1.31) Do đó (1.32) Hướng của mà luôn hướng về vị trí cân bằng ( lực kéo về ) suy ra (1.33) ( giống như con lắc lò xo nằn ngang có trong đó K là độ cứng của lò xo) x là tọa độ của vật được đo từ vị trí lò xo ở trạng thái tự nhiên tức là không co giãn 1.2.3 Năng lượng trong dao động cơ điều hòa Dao động cơ điều hòa