sáng kiến kinh nghiệm chứng minh vật dao động điều hòa bằng phương pháp năng lượng

Trong phần cơ học, đã có nhiều tài liệu tham khảo viết về việc giải bài toán chứng minh một vật dao động điều hòa, nhưng hầu hết các tài liệu đó đều vận dụng các định luật Newton tức là

A MỞ ĐẦU

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

Trong quá trình học tập vật lí, việc giải bài tập là một khâu quan trọng không thể thiếu Tuy nhiên khi đứng trước mỗi bài tập, thì việc lựa chọn cách giải nào cho phù hợp để đi tới kết quả đúng, nhanh và dựa trên cơ sở nào để lựa chọn phương pháp giải này, là điều vô cùng khó khăn đối với người học

Trong phần cơ học, đã có nhiều tài liệu tham khảo viết về việc giải bài toán chứng minh một vật dao động điều hòa, nhưng hầu hết các tài liệu đó đều vận dụng các định luật Newton (tức là dùng phương pháp động lực học) để giải, cách giải này hay, tuy nhiên trong nhiều bài toán cụ thể thì phương pháp năng lượng tỏa ra hiệu quả hơn Định luật bảo toàn năng lượng luôn tồn tại trong mọi hiện tượng vật lí, trong trường hợp này là trong các dao động cơ học Ta có thể nói rằng: Khi không có tác nhân làm tiêu hao năng lượng của hệ dao dộng, hệ chỉ chịu tác dụng của lực thế, thì dao động này mang tính chất dao động điều hòa, và năng lượng toàn phần là cơ năng được bảo toàn; Khi xuất hiện các yếu tố làm tắt dần dao động (ma sát) thì dao động không còn là điều hòa mà trở thành dao động tắt dần, năng lượng toàn phần giảm, và phần năng lượng tiêu hao được chuyển hóa sang dạng năng lượng khác (nhiệt) Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài này tôi xin trình bày cách giải bài toán chứng minh một vật dao động điều hòa bằng phương pháp năng lượng

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

- Đưa ra được phương pháp giải bài toán chứng minh vật dao động điều hòa bằng phương pháp năng lượng

- Vận dụng vào giải một số bài toán cụ thể

III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

1 Đối tượng :

-Nghiên cứu các tài liệu, sách tham khảo, có liên quan đến “Dao động điều hòa”

-Nghiên cứu chương trình vật lý phổ thông chủ yếu vật lý 12 và vật lý chuyên

-Học sinh lớp 12, đặc biệt là đối tượng HSG, HS chuyên lý

2 Phạm vi :

- Bài tập vật lý sơ cấp trong chương trình THPT hiện hành, bài tập chuyên vật lý bồi dưỡng HSG

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- phương pháp nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo ,tạp chí ……

- phương pháp hỗ trợ trao đổi kinh nghiệm từ các giáo viên

B NỘI DUNG

1 Phương pháp động lực học:

+ Chọn HQC sao cho việc giải bài toán là đơn giản nhất.( Thường chọn trục tọa độ Ox, O trùng với VTCB của vật, chiều dương trùng với chiều chuyển động)

+ Xét vật ở VTCB : Fhl  0  F1F2  Fn 0

Chiếu lên HQC để thu được phương trinh đại số:

F1F2F3  F n 0 (1)

+ Xét vật ở thời điểm t, có li độ là x : Áp dụng định luật 2 Newton, ta có:

Fhl m a.F 1F2  Fn m a.

+ Chiếu lên HQC và kết hợp với (1), nếu thu được hợp lực có dạng đại số: Fhl = -kx (2) trong đó k là hệ số tỉ lệ, thì vật dao động điều hòa

+ Phương trình (2) được viết lại : " 2

0

x  x + Phương trình này có nghiệm dạng: xA cos ( t)hoặcx A sin( t)

vật dao động điều hoà, với tần số góc là

m

k





2 Phương pháp năng lượng:

+ Chọn đối tượng khảo sát là hệ dao động Xác định các lực tác dụng lên vật m của hệ

+ Chọn vị trí cân bằng làm mốc để tính thế năng của hệ Thế năng của hệ bằng tổng các thế năng tương ứng với những lực thế tác dụng vào vật và thực hiện công lên vật Nói cách khác thế năng của hệ tương ứng với hợp lực của các lực thế tác dụng lên vật

Ví dụ: để tìm thế năng của hệ tương ứng với hợp lực F = -kx ta sử dụng mối liên hệ sau đây:

2

1 2

0

kx kxdx W

dW Fdx

dA

x t





+ Cơ năng của hệ dao động là : W = Wđ + Wt

2

1 2

const kx

mv

W   

+ Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t , ta được : 1 ' 1 ' ' '

0 2 .2 0

2 m v v 2 k x x m v v k x x

Mặt khác ta có : x’ = v ; v’ = a = x”, thay lên ta được : 0 = m.v.a + k.x.v

" "

0 m x k x x k x 0

m

m

  Vậy ta có : " 2

0

x  x Phương trình này có nghiệm dạng: xA cos ( t)hoặcx A sin( t)

 Vật dao động điều hoà, với tần số góc là

m

k





3 Bài tập vận dụng:

Câu 1: Một quả cầu nhỏ khối lượng m được treo vào đầu của một thanh kim loại mảnh có khối lượng

không đáng kể và chiều dài l, đầu kia của thanh kim loại được treo vào điểm O và có thể quay dễ dàng quanh trục nằm ngang qua O Trong quá trình chuyển động quả cầu luôn tiêp xúc với vành tròn kim loại Một từ trường đều có cảm ứng từ B vuông góc với mặt phẳng chuyển động của thanh kim loại Bỏ qua mọi ma sát và mọi điện trở Kích thích cho m dao động nhỏ Chứng tỏ m dao động điều hòa và tìm chu

kì dao động trong hai trường hợp sau:

a Nối vào O và vành tròn một tụ điện có điện dung C.

b Thay C ở câu a bằng một cuộn dây có độ tự cảm L.

Giải:

a Trong quá trình chuyển động, thanh kim loại cắt các đừng cảm ứng từ gây ra suất điện động cảm ứng

trên thanh và tụ tích điện Tại thời điểm bất kì, góc lệch của thanh là  vận tốc góc của nó là  , tụ được tích điện đến hiệu điện thế U Chọn gốc thế năng của m ở vị trí thấp nhất Ta có năng lượng của hệ thống:

mgl

2 cos

1 2

2

1

d Bl dt

dS B dt

d E

v2  l 2

2 2 sin 2 cos 1

2

2  



Thay vào trên ta được:

E mgl

l CB ml

E mgl

l CB l

m

























2 2

4 2 2

2 2

4 2 2

2

2

1 2 4

2

1 8

2 1











Năng lượng được bảo toàn lấy vi phân hai vế theo t:

0

0 4

2 0

4 2 2





































l CB ml

Với

4

3 2

2 0

l CB ml

mg







Vậy m dao động điều hòa với chu kì:

mg

l CB g

l T

4 2

0









b Tương tự như trên ta có phương trình năng lượng:

mgl

2 cos

1 2

Ta có:  L c trong đó  là suất điện động tự cảm trên L; L  là suất điện động cảm ứng trên thanh.c

C L

Bl i dt

d Bl dt

di

2 2

2 2

(C là hằng số tích phân)

B

O l m

C

B

O

l m

L

Ta có thể chọn cách kích thích sao cho C = 0.

L

Bl i

2

2



Thay vào trên:

E ml

L

l B mgl

E L

l B mgl

l m

























2 2 2

4 2

2 4 2 2 2

2

2

1 2 4

8 2

1 2

1











Năng lượng được bảo toàn lấy vi phân hai vế theo t:

0

0 4

2 0

2 4

2





































 ml L

l B mgl

4 2

2

ml L

l B mgl



 Vậy m dao động điều hòa với chu kì:

mL

l B g

l T

4

2

2

3 2







Câu 2: Một mạch điện gồm hai thanh kim loại đặt song song trong mặt phẳng nằm ngang, cuộn cảm có

độ tự cảm L, dây dẫn AB có khối lượng m trượt không ma sát trên hai thanh, khoảng cách giữa hai thanh

là l, mạch điện đặt trong từ trường đều có B hướng thẳng đứng Truyền cho AB vận tốc đầu v0 sang phải Cho điện trở mạch không đáng kể Viết phương trình chuyển động của thanh AB

Giải:

Ở thời điềm t:

Bl

i L v Bl

i L v i

L Bvl

RI

tc c





























0

0





Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:

2

2 2

2 0 2

2

const mv

Li

0

0 0

2

2 2























i i

i Lm

l B i i

Li v mv

 Với

Lm

Bl





 



i I0sin t

t I

i t I

i i

t 0 00  0sin   0cos

t I

m

L t Bl

LI i Bl

L

v  0cos  0cos

L

m v I v v

t 0  0  0  0

B

v0

L

A

B

t Lm

Bl Bl

Lm v t

v x t v



Câu 3: Một thanh OM dẫn điện, có khối lượng m, chiều dài r có thể quay trong mặt phẳng nằm ngang

quanh đầu O cố định Đầu M của thanh có thể trượt không ma sát trên một dây dẫn uốn thành một cung tròn AB tâm O bán kính r, mặt phẳng của cung tròn AB nằm ngang, I là điểm chính giữa của cung Tâm

O và đầu A của cung dây dẫn nối với nhau qua một cuộn dây có độ tự cảm L, ta có một mạch diện kín OMALO mà điện trở bằng không Tạo một từ trường đều có vectơ cảm ứng từ B thẳng đứng trong vòng tròn tâm O bán kính r Ban đầu, đầu M của thanh đứng yên ở vị trí I Váo thời điểm t = 0, ta truyền cho M vận tốc v theo hướng tiếp tuyến với cung tròn AB tại I

a Thanh M sẽ chuyển động như thế nào? Viết phương trình chuyển động của thanh ấy.

b Vận tốc v có giá trị như thế nào thì thanh OM không quay quá 900 so với OI

Giải:

a Xét ở thời điểm t: c tc RI 0 trong đó  là suất điện động tự cảm trên L; tc  là suất điện c động cảm ứng trên thanh

Phương trình trên tương đương:

2

2



 Br i L

Kết hợp với điều kiện ban đầu  0  i0,  0 0 ta được:



L

Br i

2

2



Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có:

E

mr L

r B

E I

Li









2

2 2 4 2

2 2

6 8

2

1 2

1







Lấy vi phân theo thời gian ta được:

0 0

4

0

2 2















mL

r B

Với

Lm

Br

2

3

0 



Vậy thanh dao động điều hòa với chu kì:

Br

Lm T

3

4 2 0





 

 Nghiệm của phương trình:

 

  Asin 0t

Từ điều kiện đầu:

 

2 0

0 0

0

Br

Lm v r

v A r



















t r

v

0 0

sin



 



b Muốn cho

2



  thì phải có:

Lm

Br r

v r

v

4

3 2

2

2 0

0









Câu 4: Một lò xo có khối lượng m, độ cứng k, được đặt trên một bàn nằm ngang nhẫn Một đầu lò xo

được giữ cố định, đầu kia gắn một quả cầu nhỏ có khối lượng m0 Kéo quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng

O

B

B

A L

M I

một đoạn nhỏ dọc theo trục của lò xo rồi thả ra Chứng tỏ quả cầu dao động điều hòa, tính chu kì dao động Suy ra biểu thức tính chu kì của con lắc đó nếu bỏ qua khối lượng của lò xo

Giải:

Xét tại thời điểm t, chiều dài của lò xo là L, x là độ biến dạng của toàn bộ lò xo cũng là li độ của quả cầu

so với vị trí cân bằng, v là vận tốc của quả cầu:

Xét một phần tử dl của lò xo, khối lượng dm, cách đầu O một đoạn l, ta có:

Vận tốc của phần tử: v

L

l

u 

Khối lượng: dl

L

m

dm

Động năng của nó là:

6 2

2

0 3

2 2

dW W

dl L

l mv dmu

dW

L đ đ

Cơ năng toàn phần của hệ:E  m v mv kx const

2 6 2

2 2 2

0

Đạo hàm hai vế theo thời gian, ta sẽ tìm được: 0

3

3 0







m m

k x

Vậy hệ dao động với chu kì:

k

m m T

3

3

 

Khi bỏ qua khối lượng của lò xo (m = 0) thì:

k

m

T2 0

Câu 5: Treo quả cầu nhỏ có khối lượng m lên thanh nhẹ có chiều dài l Lò xo nhẹ có độ cứng k được bắt

chât vào thanh ở một điểm cách điểm treo một khoảng bằng 2l/3 Đầu khác của lò xo được bắt chặt vào tường Hệ có thể quay không ma sát xung quanh trục nằm ngang O Ở vị trí cân bằng thanh thẳng đứng,

lò xo nằm ngang và không bị biến dạng Tìm chu kì dao động nhỏ của hệ trong mặt phẳng hình vẽ

Giải:

2

1 2

1 2  22

W đ

Thế năng của quả cầu nhỏ trong trường trọng lực:

2 cos

1

2 1



mgl

Thế năng đàn hồi của lò xo:

9

2 sin

3

2 2

1 2

2 2



l k kx















Cơ năng của hệ được bảo toàn:

const kl

mgl ml

9

2 2 2

2 2 2

2

Lấy đạo hàm đẳng thức trên theo thời gian ta thu được: 0

9

4













 





m

k l g

Vậy hệ dao động điều hòa với chu kì:

m

k l g T

9 4

2



O

L

l

0

m

3

2l

O

Câu 6 : Một con lắc lò xo khối lượng m độ cứng k treo thằng đứng Người ta gắn thanh dẫn với vật m

và cho thanh dẫn trượt không ma sát trên hai thanh kim loại song song thẳng đứng cách nhau một

khoảng L Dùng dây dẫn nối tụ điện C với hai thanh ray để tạo thành mạch kín Toàn bộ hệ thống đặt trong từ trường đều B như hình vẽ Tìm chu kì dao động của hệ, bỏ qua điện trở các thanh dẫn, kim loại, dây nối và khối lượng thanh dẫn

Giải :

Khi vật ở vị trí cân bằng : mg kl

Ở độ lệch x, vật có vận tốc là v Suất điện động cảm ứng trong mạch là BLv

Điện tích của tụ điện : q = CBLv

Cường độ dòng điện trong mạch :

dt

dv CBL dt

dq

I   Khi thanh đi xuống, lực từ tác dụng lên thanh dẫn hướng lên và có độ lớn :

dt

dv L CB

BIL

F t   2 2

Theo định luật II Niutơn :

) (

2 2

2

2 2

2





















kx x L

CB

m

dt

x d m dt

dv L CB l

x

k

mg

0 2

2 





L

CB

m

k

x

Vậy vật dao động diều hòa với chu kì :

k

L CB m T

2 2

 

* Ta có thể giải theo phương pháp năng lượng như sau :

Ta có hiệu điện thế hai đầu tụ : U = Ec = BLv

Năng lượng của hệ được bảo toàn, chọn gốc thế năng ở vị trí cân bằng :

2 2

2

2

2

2 2 2

2

2 2

2

const E

kx v m

L

CB

const E

kx mv

CU



















Lấy đạo hàm theo thời gian ta được:

CB2L2 mxkx0

0 2

2 





L

CB

m

k

x

Vậy vật dao động diều hòa với chu kì :

k

L CB m T

2 2

 

Câu 7 : Tính chu kì dao động thẳng đứng của tâm C của hình trụ đồng chất (khối lượng m, bán kính R,

momen quán tính đối với trục của hình trụ là I = mR2/2) như hình vẽ Sợi dây không bị dãn, không khối lượng, không trượt lên ròng rọc Lò xo có hệ số đàn hồi là k

Giải :

Gọi y là độ dịch chuyển của tâm C đối với vị trí cân bằng của hệ và x là độ dãn của lò xo với vị trí cân bằng

Tại vị trí cân bằng : mg 2 l k 0

Khi lò xo dãn một đoạn x thì :

C

B

L x

g

k

 

m

l x k T mg

a   0

Gọi vận tốc quay của hình trụ là  , gia tốc góc là  thì :

0

2

) (

l x k T ma

R l x k T I





















(2)

Do dây không dãn nên vA = 0 ; v C R;v B 2R;x2y

Từ (1) và (2) ta có :

ky kx

ma

mg l

x k ma

4 2

2 3

2 2

3

0





















Do a ynên phương trình trên được viết lại : 0

3

8





 y m

k y

Vậy tâm C hình trụ dao động điều hòa với chu kì

8

3 2

k

m

T  

* Ta có thể giải bằng phương pháp năng lượng như sau :

Khi khối tâm C ở li độ x lò xo dãn thêm 2x Chọn gốc thế năng ở VTCB :

 

0 3

8 0

4 2

3

2 4

3 2

4

1 2

1 2

2

1 2

1 2









































x m

k x kx

x

m

dt

dW

const kx

x m kx

x m x

m x

k I

mv

Vậy tâm C hình trụ dao động điều hòa với chu kì

8

3 2

k

m

T  

Câu 8: Một thanh đồng chất AB = 2l Momen quán tính

3

2

ml

I  đối với trục vuông góc với thanh và

qua tâm G của thanh Thanh trượt không ma sát bên trong một nữa vòng tròn tâm O bán kính

3

2l

R Chứng minh thanh dao động điều hòa, tìm chu kì

Giải :

Ta có OG = R/2

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:

cos

2 2

1

2

const

R mg I

mv     

Mà  

2

R

v

2 4

1 2 2

const

R mg

mR    

Lấy đạo hàm hai vế và xét góc nhỏ:   0

R g

Vậy thanh AB dao động điều hòa với chu kì: 2

g

R

T  

y

P

B A

G



Câu 9 : Cho cơ hệ như hình vẽ : lò xo nhẹ có độ cứng k, khối trụ có khối lượng là M, vật treo có khối

lượng là m, dây nhẹ, không co dãn và không trượt trên khối trụ Kéo vật m xuống theo phương thẳng đứng một đoạn nhỏ rồi thả nhẹ Tìm chu kì dao động của vật m

Giải :

Khi hệ cân bằng : Mg 2mg kl

Ở li độ x :

Đối với m : mgT1 ma

Đối với khối trụ :

2 1

2 1

2

1

MR R

T T

MA x

l k T T

















Điều kiện ràng buộc về mặt động lực học :

2

; 2 2

R A R

v C     m  C      C 

Kết hợp các điều kiện trên với các phương trình ta được :

ma T

mg

Ma T

T

a M

x l k T T Mg

2 2 2

4

2 2

1

2 1

2 1





















 







Cuối cùng ta nhận được phương trình : 0

8 3

2







m M

k x

Vậy vật m dao động điều hòa với chu kì :

2

8 3 2

k

m M

 

* Ta có thể giải bằng phương pháp năng lượng như sau :

Ta có động năng của hệ :

2 8

3 8

4 2

1 4

) 2

1 ( 2

1 2

1

2

1 2

1 2

1

2

2 2

2 2 2

2 2

2

v M m

v M R

v MR mv

Mv I

mv



































Thế năng của hệ, gốc thế năng ở vị trí cân bằng :

4 2

1 2

k kx

Cơ năng của hệ được bảo toàn : W W đ W t const

0 4

8

3









 m M v v kx x dt

dW

0 4 8

3 8





























kx x M m

kx x M m

Vậy vật m dao động điều hòa với chu kì :

2

8 3 2

k

m M

 

m

k

Câu 10 : Cho cơ hệ như hình vẽ, biết bán kính ròng rọc là R, momen quán tính của nó đối với trục quay

là I, khối lượng của trọng vật là m, độ cứng lò xo là k Sợi dây lí tưởng không trượt trên ròng rọc, ma sát

ở trục ròng rọc có thể bỏ qua Tìm chu kì dao động bé của vật

Giải :

Khi hệ ở vị trí cân bằng :

0

0

l k mg I

R T T

F T

T mg





























 Khi vật có tọa độ x, lò xo dãn lx































2

R

x I F T R

a I I R F T

x m ma T mg

đ

0 2

2 2

















 















 























kx x R

I m

x R

I m x l k mg

x m F R

x I

mg đ

Vật dao động điều hòa với chu kì : 2 2

k R

I m T



 

* Ta có thể giải bằng phương pháp năng lượng như sau :

Động năng của hệ :

2 2

1 2

1 2

1 2

2 2

2 2

2

R

I m R

v I mv I

mv









 









Thế năng của hệ, gốc thế năng ở vị trí cân bằng : 2

2

1

kx

W t 

Cơ năng của hệ được bảo toàn : W W đ W t const

0 0

2



























 

R

I m

k x

x kx v v R

I m dt dW

Vật dao động điều hòa với chu kì : 2 2

k R

I m T



 

Câu 11: Cho cơ hệ như hình bên, thanh đồng chất OC khối lượng m, chiều dài 2R có thể quay quanh

trục Oz nằm ngang của một khối hình trụ cố định Bán kính R Đầu C của thanh gắn với trục của đĩa mỏng đồng chất khối lượng 2m, bán kính R ; đĩa tiếp xúc với khối trụ Khi cơ hệ chuyển động trong mặt phẳng xOy vuông góc với Oz, đĩa lăn không trượt trên khối trụ Kéo thanh OC lệch một góc nhỏ  so 0 với phương thẳng đứng rồi buông nhẹ Tính chu kì dao động của cơ hệ Bỏ qua ma sát ở các ổ trục và

ma sát lăn giữa đĩa mỏng và khối trụ

Giải :

R

k m

 H O

C y

x