Thuyết tương đối tổng quát

Khi nói về độ cong trong thế giới 3 chiều phẳng bằng việc xem xét một sinh vật hai chiều

TIỂU LUẬN THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT

Nguyễn Đình Hiên

Trong tiểu luận này tôi trình bày về hai phần, đó là: Các bề mặt hai chiều và

phép đo độ cong của mục Độ Cong Không Gian Trong hai phần này tôi tóm

tắt lại, đưa ra các ý chính và chứng minh, làm rõ tất cả các công thức có liên quan

THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT

4.1 Mở đầu

4.2 Nguyên lý tương đương

4.3 Độ cong không gian

• 4.3.1 Giới thiệu về các khái niệm cơ bản của độ cong dựa vào các thí dụ 2-chiều

• 4.3.2 Giới thiệu về phương pháp để đo độ cong

• 4.3.3 Các vectơ cục bộ (local vectors) và cách để so sánh các vectơ này tại các vị trí khác nhau trong không gian cong

• 4.3.4 Các hệ thức giữa độ cong và phương trình metric

• 4.3.5 Nói về không gian đối xứng cầu 3 chiều, nó chuẩn bị cho phương thức khảo sát sau này về độ cong không-thời gian trong các mẫu vũ trụ đồng nhất

4.3.1 Các bề mặt hai chiều

Khi nói về độ cong trong thế giới 3 chiều bằng việc xem xét một sinh vật hai chiều đang sống trong một bề mặt cong hai chiều Một sinh vật hai chiều, về thực tế là chỉ quan sát được các hướng chứa trong bề mặt hai chiều Nhưng sinh vật này tin rằng nó có thể quan sát và đo được theo tất cả các hướng Sinh vật này sẽ nhận được các tín hiệu sáng hai chiều nhưng không nhận biết được bất kỳ độ cong nào Trong ba chiều, chúng ta có thể nhận biết rất rõ độ cong mà sinh vật đó không nhận biết được

Các không gian hai chiều thì dễ hình dung Vì vậy người ta dùng nó để giới thiệu các khái niệm về độ cong không - thời gian (ba chiều không gian và một chiều thời gian)

Hình 4.6 biểu diễn một bề mặt hai chiều là mặt cầu

Hình 4.7 biểu diễn một bề mặt hai chiều là mặt trụ

Mặc dù cả hai đều là cong nhưng có sự khác nhau giữa chúng Bề mặt trụ có thể được xẻ dọc theo chiều dài của nó (AA’) và được trải ra trên một mặt phẳng, nhưng mặt cầu thì không thể

Một tính chất của mặt trụ là nếu các đường ngắn nhất giữa các cặp điểm, ví dụ như

BC, được vẽ trên bề mặt thì chúng sẽ trở thành đường thẳng khi mặt trụ bị rọc và trải ra trên mặt phẳng Do đó mặt trụ được gọi là thực sự phẳng, mặc dù không phải phẳng hai chiều, và mặt cầu thì thực sự cong

Giả thiết rằng các tọa độ trực giao Descartes được vẽ trên một tờ giấy hình chữ nhật

và rồi nó được cuộn lại thành một mặt trụ Các khoảng cách s đo được trên bề mặt giữa một cặp điểm mà hiệu tọa độ của chúng là x và y được tính theo định lý Pythagore

s2 = x2+ y2.

Nhưng, việc xây dựng một hệ tọa độ trực giao Descartes để có thể bao phủ hết mặt cầu thì không thể được (xem thêm ví dụ trong sách) Mặc dù vậy, hệ tọa độ Descartes vẫn

có thể bao phủ tốt nếu ta chia mặt cầu thành các miền có kích thước đủ nhỏ so với bán kính thì ta có thể xem như là phẳng Khi đó ta nói một cách cục bộ rằng bề mặt đã được Euclid hóa và các khoảng cách được cho bởi phương trình Pythagore dạng vi phân:

ds2 = dx2+ dy2,

trong đó dx, và dy là khoảng cách tọa độ của hai điểm gần kề nhau trên bề mặt.

Một hệ tọa độ có thể được dùng để bao phủ toàn bộ mặt cầu là các góc cực (θ, ϕ) Với gốc tọa độ tại tâm Trái Đất, góc θ biến thiên từ 00 ở Cực Bắc đến 1800 ở Cực Nam,

và có liên hệ với vĩ độ ϕ liên quan với kinh độ và chạy từ −1800 đến +1800 Một cách cục

bộ, nghĩa là nói đến thang đo nhỏ so với bán kính cong r của bề mặt, khoảng cách giữa hai điểm ở (θ, ϕ) và (θ + dθ, ϕ + dϕ) là r dθ theo vĩ độ và r sinθ dϕ theo kinh độ Khi đó khoảng

cách toàn phần được cho bởi phương trình bậc hai

ds2 = r2dθ2+ r2sin2θdϕ2.

Phương trình này được gọi là phương trình metric.Phương trình metric là một tính chất cơ bản của một bề mặt

Vì vậy, để bao phủ toàn bộ bề mặt cong hay không gian cong thì cần phải dùng hệ tọa độ Gauss ( hệ tọa độ đã được tổng quát hóa ) Các khoảng cách cục bộ được cho bởi một phương trình metric theo các khoảng cách của tọa độ Gauss

Các không gian mà chúng ta quan tâm ở đây đều thuộc không gian Riemann, chúng được phân biệt với các không gian khác bởi các phương trình metric toàn phương theo khoảng cách tọa độ

Tính chất chủ chốt của các không gian Riemann: Luôn luôn có thể làm trùng khớp một miền bất kỳ của không gian Riemann với một không gian phẳng được lấy trong một miền đủ nhỏ Hay ta có thể nói rằng, ta luôn có thể vẽ được một đường tiếp tuyến, tiếp xúc với một đường cong tại một điểm bất kỳ

Ta xét một bề mặt Riemann hai chiều với phương trình metric

ds2 = g11dv2+ 2g12dv dw + g22dw2 (4.1)

trong đó (v, w) là các tọa độ Gauss nào đó, g11, g12 và g22 là các hàm của vị trí Chọn một điểm P với tọa độ (x, y) trên bề mặt và Euclide hóa phương trình metric một cách cục bộ bao quanh điểm P

Lúc này ta có thể định nghĩa lại các tọa độ mới (v, w) như sau: Ta có:

dv = ∂v

∂x dx +

∂v

dw = ∂w

∂x dx +

∂w

Chứng minh công thức ds2 = dx2+ dy2

Đặt

A(x, y) = ∂v

∂x , B(x, y) =

∂v

∂y , C(x, y) =

∂w

∂x , D(x, y) =

∂w

Thay (4.4) vào (4.2) và (4.3) ta được

dv = A(x, y)dx + B(x, y)dy

dw = C(x, y)dx + D(x, y)dy, (4.5)

Tiếp tục ta tính dv2 và dw2 từ (4.5) rồi thay vào (4.1), nhóm các số hạng lại và đặt

g011 = A2g11 + 2ACg12+ C2g22,

g012 = ABg11+ ADg12+ BCg12+ CDg22,

g0

22 = B2g11 + 2BDg12+ D2g22.

ta thu được

ds2 = g011dx2 + 2g120 dx dy + g220 dy2 (4.6)

Chúng ta có thể chọn những giá trị của A, B, C, D và các giá trị đạo hàm của chúng

tại P sao cho:

g110 = g022= +1, g120 = 0;

và thêm vào đó các đạo hàm bậc nhất của các thành phần triệt tiêu

∂g0 11

∂x =

∂g0 12

∂x =

∂g0 22

∂x =

∂g0 11

∂y =

∂g0 12

∂y =

∂g0 22

∂y = 0.

Từ đây ta có được một bề mặt Euclide với phương trình metric

ds2 = dx2+ dy2

Vì vậy, một mặt phẳng luôn có thể được vẽ tại một điểm bất kỳ trên bề mặt hai chiều Riemann sao cho nó tiếp xúc cục bộ với bề mặt tại điểm đó Ta có thể làm tương tự như trên để suy ra cho các không gian nhiều chiều hơn Bằng phép biến đổi tọa độ ta có thể chuyển các phương trình metric về phương trình có dạng tổng của các bình phương

Các tọa độ Descartes rút ra từ phép biến đổi này mô tả một không gian tiếp tuyến với không gian cong tại điểm quan sát Vì một không gian tiếp tuyến phẳng luôn luôn có thể được rút ra một cách cục bộ đối với mọi điểm bất kỳ trong không gian Riemann, các không gian Riemann được gọi là phẳng cục bộ (hay Euclide hóa cục bộ)

Ta có thể biến đổi phương trình metric (4.1) như sau:

ds2 = g1/211 dv + g12dw

g1/211

!2

+



g22−g2

12

g11



dw2

Đặt

dx = g111/2dv + g12dw

g1/2 và dy =



g22− g122 g11

1/2

dw

Ta được

ds2 = dx2+ dy2,

với giả thiết rằng (g11g22− g2

12) > 0 Nếu (g11g22− g2

12) < 0 thì phương trình metric có dạng

ds2 = dx2− dy2.

Đây là phương trình metric rút về dạng hiệu các bình phương Vì vậy không gian này vẫn còn phẳng cục bộ Không gian tiếp tuyến của nó được gọi là giả-Riemann (pseudo-Riemann)

Sự phân biệt giữa không gian giả-Riemann và không gian Riemann thường được bỏ qua và được qui chung về không gian Riemann Nhìn lại thuyết tương đối hẹp (SR), ta thấy rằng không gian của SR là không gian giả-Euclide Đây là một trong những lý do mà chúng

ta quan tâm đến những không gian này

Hình 4.8 Hình 4.8 a: Một đường vĩ tuyến và một đường trắc địa (vòng tròn lớn) tiếp tuyến với nhau

trên một mặt cầu tại điểm P

Hình 4.8 b: Một tiết diện đi qua tâm O và đi qua cực Bắc N của mặt cầu (D là tâm cong

của một đường vĩ tuyến tại P)

• Định nghĩa đường trắc địa: Đường trắc địa (geodesics) là các đường ngắn nhất nối liền các điểm cách nhau một khoảng hữu hạn trên mặt cong

Tất nhiên là trên một mặt phẳng, đường trắc địa là một đường thẳng

Các đường trắc địa trên một mặt cầu là các đường tròn lớn

Phép đo độ cong Gauss

Đây là một phép đo đơn giản, để xác định một cách định lượng độ cong cục bộ của

bề mặt hai chiều bất kỳ và từ đó có thể tổng quát hóa cho các trường hợp nhiều chiều hơn Phép đo này ngoài việc phát hiện bề mặt hai chiều có bị cong hay không còn giúp ta xác định dấu của độ cong

• Cách đo:

Một quan sát viên gắn một đầu sợi dây có chiều dài r vào một điểm O rồi vẽ một

vòng tròn tâm O sao cho toàn bộ sợi dây luôn được kéo căng trong suốt quá trình vẽ, rồi đo

chu vi C của vòng tròn đó.

Hình 4.9: Ba bề mặt hai chiều: P có dạng mái vòm, N có dạng yên ngựa và F là mặt phẳng Trong mỗi trường hợp, đường đứt nét đánh dấu ranh giới vị trí mà một đường cong vẫn còn đúng là khoảng cách r từ O.

• Kết quả:

+ Trên bề mặt phẳng F là CF = 2πr.

+ Trên bề mặt có dạng mái vòm như bề mặt P là CP < 2πr.

+ Trên bề mặt có dạng yên ngựa như bề mặt N là CN > 2πr.

+ Đại lượng 2πr − C cho phép xác định dấu của độ cong.

• Xét một mặt cầu mà tiết diện của nó được vẽ trong hình 4.10 với C là tâm và R

là bán kính của mặt cong

Hình 4.10: Một tiết diện cắt ngang mặt cầu có chứa tâm C, bán kính R.

Góc của cung tròn có chiều dài r nhìn từ tâm của mặt cầu là θ

θ = r

R .

Mặt khác ta có CP = 2πRsinθ

Hay

CP = 2πr



1 − r

2

6R2 +



.

Khi r → 0 ta tó

1

R2 = 3

π limr→0



2πr − CP

r3



.

Điều này giúp ta xác định bán kính của bề mặt cầu Từ đó xác định được độ cong

K của bất kỳ bề mặt hai chiều nào.

+ Đối với mặt cầu thì K = 1/R2

+ Xây dựng công thức tính độ cong tổng quát cho bất kỳ một bề mặt hai chiều nào

Hình 4.11: G 1 OG 1 và G 2 OG 2 là các đường trắc địa trên bề mặt hai chiều giao nhau ở phía các góc phải.

ON là pháp tuyến cục bộ với bề mặt này tại O.

• Xét một phần của bề mặt hai chiều tổng quát như ở hình 3.11 G1OG1 và G2OG2

là các đường trắc địa đi ngang qua bề mặt cắt ở phía các góc phải; ON là pháp tuyến cục

bộ với bề mặt này

Các tọa độ Descartes có thể được vẽ tại O có các trục là các đường tiếp tuyến với

G1OG1 và G2OG2 và cả trục ON nữa.

Các trục này theo thứ tự được gọi là các trục v, w và z Đối với điểm (w, v, z) trên

bề mặt lân cận điểm O , ở đó cả hai tọa độ w và z là bé, thì một biểu thức cho z có thể thu

được bởi phép khai triển chuỗi Taylor:

z = ∂z

∂v v +

∂z

∂w w +

1 2



∂2z

∂v2v2+ 2 ∂

2z

∂v∂w vw +

∂2z

∂w2w2



Vì mặt phẳng v, w song song với bề mặt ở O nên hai số hạng đầu ở (4.7) triệt tiêu Vì vậy

ta thu được

z = 1

2 Lv

2

+ 2M vw + N w2

Ta thực hiện phép quay hệ tọa độ Descartes quanh trục ON một góc

1

2tan

−1



2M

L − N



.

để biến đổi (4.8) thành tổng các bình phương

Trong hệ tọa độ Descartes mới với các tọa độ (x, y, z), bề mặt có phương trình

z = 1

2 K1x

2

+ K2y2

Bây giờ, xét dọc theo đường giao tuyến của mặt này với mặt phẳng xOz, ta có phương trình

z = K1 x

2

Ngoài ra bán kính congR1 của nó được cho bởi công thức liên kết đường tên của cung với

chiều dài dây cung 2x cho một cung tròn:

2R1z = x2. (4.11)

Từ (4.10) và (4.11) ta thu được độ cong của giao tuyến là

1

Tương tự, dọc theo đường giao tuyến của mặt này với mặt phẳng yOz thì độ cong của giao tuyến là K2

K1 và K2 được gọi là các độ cong chính của bề mặt tại O Tích của chúng là một bất biến đối với bề mặt ở O và được gọi là độ cong Gauss K

+ Như ta đã tính ở trên, một mặt cầu có độ cong Gauss K = R−2 tại một điểm bất

kỳ trên bề mặt của nó

+ Đối với trường hợp của một mặt trụ, một mặt phẳng chính cắt đôi chiều dài của

nó dọc theo một đường thẳng; do đó độ cong chính bằng không và độ cong Gauss cũng bằng không

+ Đối với bề mặt dạng yên ngựa, một trong các mặt phẳng chính nằm dọc theo chiều dài của yên ngựa theo hướng của gáy ngựa, và các mặt phẳng chính khác nằm ngang theo hướng các xương sườn ngựa Độ cong của mặt cắt thứ nhất nằm trên yên ngựa và độ cong

của mặt cắt thứ hai nằm dưới yên ngựa Do đó, K1 và K2trái dấu nhau Vì vậy độ cong Gauss âm

Phương pháp đã được mô tả để đo độ cong của mặt cầu được khái quát hóa lên cho bất kỳ một bề mặt hai chiều nào được cho bởi

K = 3

π limr→0



2πr − C

r3



======================= The end ========================