Trường fermion trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI TRẦN QUANG HOÀN TRƢỜNG FERMION TRONG LÝ THUYẾT TƢƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT NHIỀU CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT HÀ NỘI, 2013 LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Đào Vọng Đức, người tận tình dạy, cung cấp cho kiến thức tảng, trực tiếp để hoàn thành luận văn Thầy người giúp ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc thầy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô phòng Sau Đại Học, Khoa Vật Lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội Giáo sư, Tiến sĩ trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho kiến thức quí báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Cuối cùng, xin chân thành gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Hà Nội, ngày 25 tháng 06 năm 2013 Tác giả Trần Quang Hoàn LỜI CAM ĐOAN Tên là: Trần Quang Hoàn, học viên cao học khóa 2011 – 2013 chuyên nghành Vật lí lý thuyết & vật lí toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan đề tài: “Trường Fermion lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều”, kết nghiên cứu, thu thập riêng Các luận cứ, kết thu đề tài trung thực, không trùng với tác giả khác Nếu có không trung thực luận văn xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học Hà Nội, ngày 26 tháng 06 năm 2013 Tác giả Trần Quang Hoàn MỤC LỤC Mở đầu Chƣơng Biến đổi tensor lí thuyết tƣơng đối rộng 1.1 Biến đổi tổng quát không thời gian - Tenson Rieman 1.2 Metric rienmain liên thông affine 10 1.3 Tensor độ cong …………………………………… 12 1.4 Tác dụng bất biến tương đối rộng ………………… 13 1.5 Phương trình Einstein ……………………………… 15 Trƣờng spinor hiệp biến tổng quát 19 2.1 Metric vierbein …………………………………… 19 2.1.1 Vierbein ……………………………………………… 19 2.1.2 Vierbein metric …………………………………… 20 2.1.3 Biểu thức vierbein 21 2.2 Ma trận Dirac 26 2.3 Ma trận Dirac không - thời gian D > chiều … 29 Chƣơng Tƣơng tác trƣờng spinor - gause hấp dẫn …… 35 3.1 Lagiangian tương tác ………………………………… 35 3.2 Tương tác spinor trường gause U(1) ……………… 37 3.3 Tương tác mô hình Kluza-klein ……………… 38 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Chƣơng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các hạt cấu tạo nên hạt thể loại Fermion thực biểu diễn sở nhóm đối xứng nội Chẳng hạn, quark lepton ba hệ (u, d) ; (c, s) ; (t, b) ( e , e );( , );( , ) Lagrangian mô tả hệ hạt Fermion phương trình chuyển động tương ứng nghiên cứu nhiều khuôn khổ lý thuyết tương đối hẹp xét đến khuôn khổ lý thuyết tương đối tổng quát không - thời gian chiều thông thường, sử dụng hình thức luận Vierbein Trường Fermion có ý nghĩa đặc biệt xây dựng mô hình lý thuyết Đại thống tương tác sở mở rộng lý thuyết tương đối tổng quát không - thời gian có chiều phụ trội Lúc Vierbein tương ứng với chiều phụ trội gắn với trường gauge dẫn xuất tương tác Vì chọn đề tài “Trường Fermion lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn tìm hiểu nghiên cứu trường Spinor lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều (D > 4), sử dụng hình thức luận Vierbein, trọng đặc biệt đến tương tác trường với trường gauge Nhiệm vụ nghiên cứu - Tổng quan nguyên lí lý thuyết tương đối tổng quát, metric Riemann, liên thông affine tensor độ cong - Triển khai tính toán hình thức luận Vierbein cho trường Spinor, ma trận Dirac - Sommerfeld cho không - thời gian nhiều chiều - Nghiên cứu tương tác trường Spinor với trường Gauge không - thời gian với chiều phụ trội Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Trường Fermion lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp vật lí lý thuyết vật lí toán để khai triển tính toán Cấu trúc luận văn Chương 1: Biến đổi tensor lý thuyết tương đối rộng Chương 2: Trường spinor hiệp biến tổng quát Chương 3: Tương tác trường spinor - gauge hấp dẫn NỘI DUNG CHƢƠNG BIẾN ĐỔI TENSOR TRONG LÝ THUYẾT TƢƠNG ĐỐI RỘNG 1.1 Biến đổi tổng quát không thời gian- Tenson Rieman Nguyên lí bất biến tương đối rộng khẳng định trình điễn hệ quy chiếu Có nghĩa hệ quy chiếu bình đẳng, phương trình phải bất biến phép biến đổi tổng quát: x x' (1.1) f (x) f (x) hàm thực Biến đổi Lorentz trường hợp đặc biệt (1.1) khi: f (x) x a Với phép biến đổi (1.1) ta định nghĩa: Tensor đối biến hạng r tập hợp thành phần T r (x) biến đổi theo quy luật: T' s (x ') x' x' x' s T x1 x xs Tensor hiệp biến tập hợp thành phần T T' r (x ') s r x1 x2 xr T x' x' x' r (x) (1.2) (x) biến đổi theo quy luật: r (x) (1.3) Tensor hỗn hợp (s,r) biến đổi theo quy luật: s T' r (x ') x' x' x' s x x x r T 11 sr (x) s 2 r x x x x' x' x' (1.4) Đặc biệt, với vô hướng ta có: T'(x ') T(x) (1.5) Với vector đối biến ta có: T ' (x ') x' T (x) x (1.6) x T (x) x' (1.7) Với vector hiệp biến ta có: T ' (x ') Công thức biến đổi ngược với (1.4) T 11 22 rs (x) x1 x x s x' x' x' r T ' 11 s 2 r x' x' x' x x x s r (x ') (1.8) Công thức suy từ tính bình đẳng x x’, sử dụng hệ thức có dạng x x' x' x x' x x x' , Chú ý rằng: x vector vì: x' x' x , x dx ' x' dx x Nhưng dx vector vì: Metric minkowski , ' tensor, x' x x x' x' x x x' tensor, vì: * Ta có nhận xét sau: Nếu A s r B 11 22 q p (s,r), (p,q )-tensor, thì: S(x) A 11 22 r s (x) B 11 22 q p (x) (1.9) 10 Là (s+p,r+q) - tensor Với tensor (r,s), (s,r) , Có thể lập đại lượng bất biến sau: S(x) A 11 22 s r (x).B 11 22 s r (x) (1.10) 1.2 Metric Riemann liên thông affine Xét vecter F(x ) G (x) , đạo hàm bình thường viết: F x F (x) G G (x) không biến đổi theo quy luật x vecter tức chưa phải tensor Để tạo lên tensor từ chúng, ta phải lập đạo hàm hiệp biến F (x) , với F (x) ta đặt F (x) (1.11) (x)F (x) (x) gọi liên thông affine, chọn cho F tensor, tức ' ' ' F (x ) ' ' ' ' F (x ) ' ' x' x ' x x ' (x )F (x ) F (x) (1.12) từ cho thấy liên thông affine biến đổi theo quy luật ' ' (x ) x' x x ' ' x x x x' x x ' ' x x x x (x) (1.13) với quy luật biến đổi (1.13) ta có: G (x) G (x) (1.14) (x)G (x) Tổng quát hóa (1.11) (1.14) đạo hàm hiệp biến tensor hỗn hợp hạng (s,r) có dạng T 11 22 rs (x) T 11 sr T 11 r s T 11 22 rs (x) s T 11 22 r r T 11 22 T1 s T s r s r (1.15) 11 Quy luật (1.13) chưa xác định liên thông affine cách đơn trị Đặc biệt (1) (2) (x) (x) = C1 (1) (x) hai liên thông affine (2) (x) + C2 (x) , C1 + C2 = (1.16) thỏa mãn điều kiện (1.13) liên thông affine Trong mục ta tính liên thông affine thỏa mãn điều kiện: Điều kiện đối xứng (x) = (1.17) (x) Điều kiện tương thích metric g (1.18) Từ quy luật biến đổi (1.13) ta thấy đại lượng - T (1.19) tensor hạng (1,2) Tensor gọi tensor độ xoắn Trong trường hợp liên thông affine đối xứng (1.17) T = ta nói không – thời gian không xoắn Từ (1.18) ta suy g (1.20) Bây ta tính liên thông affine thỏa mãn điều kiện không xoắn (1.17) điều kiện tương thích metric (1.18) Viết phương trình điều kiện tương thích metric với số ( , , ) hoán vị vòng sau: g g g g (1.21) g g g g (1.22) g g g g (1.23) Cộng (1.21) với (1.22) trừ (1.23) vế với vế đồng thời sử dụng tính đối xứng metric ta có: g tức g g ( g g g g g ) (1.24) (1.25) 31 1( i 5 0 i 5 i D J 5 1( i ) 0 0 0 i =4 , 0 0 0 0 i 0 i i i 0 5 0 0 5 5 D (2.49) cho: = 16, qua ma trận Dirac chiều, 5 i D = 8, : Đặt (2.53) i ) 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 i , i , , 32 i i 5 D = 10, 11 : Đặt (6) i (6) i i D 0 0 i = 32, 0 0 i 0 5 0 0 D 0 (2.54) 5 0 0 =8 , A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, (6) ma trận Dirac (2.53) cho trường hợp D = 6, Các hệ thức (2.49) cho: 1( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 i (6) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (2.55) 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 33 0 i (6) i 5 (6) 0 0 i i (6) 0 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5 0 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 34 10 5 i i 5 (6) 0 0 i 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 (6) 0 0 0 11 i (6) i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 Ở phần tử hiểu ma trận x với tất phần tử Tiếp tục ta tính ma trận Dirac cho trường hợp D = 12, 13, … 35 CHƢƠNG TƢƠNG TÁC TRƢỜNG SPINOR – GAUGE VÀ HẤP DẪN 3.1 Lagiangian tƣơng tác Để đưa Lagrangian tương tác trường (spinor – gauge, spinor – trường hấp dẫn, …) ta xuất phát từ dạng Lagrangian đầy đủ: L ,A F L0 x Fx Lint ,A Ví dụ, ta tìm biểu thức Lagrangian tương tác trường hấp dẫn trường khác khuôn khổ lý thuyết trường với không – thời gian phẳng, ta xuất phát từ tác dụng bất biến (1.40) (1.42): d4x S L gL( , (3.1) ) thu từ Lagrangian tự trường , – thời gian phẳng với thay (x) (x) Để minh họa, ta lấy ví dụ trường vô hướng trung tính Vì: L0 ( ) g ( m không với: (3.2) , g h ) h nên L , Tiếp theo ta tính g h 00 h 01 h 02 h 03 2 m L0 ( ) g Ta có: h 01 h11 h12 h13 h 02 h12 h 22 h 23 h 03 h13 h 23 h 33 h (3.3) 36 h 00 1 h11 h 22 h 33 h đó: g 1 h (3.4) Vậy ta viết: d x L0 S với h Lint h, h h m2 (3.5) Lint h, h 2 (3.6) h Ta thêm ví dụ trường điện từ A với L0 (A) Trong F A F F (3.7) A Trương ứng với (3.7), tác dụng (3.1) là: SA d4x g g g d4x g g g F F A A A A (3.8) ta sử dụng tính chất đối xứng liên thông affine Thay vào (3.8) giá trị gần g , g g , ta kết là: d x L0 (A) Lint (h,A) SA với Lint (h,A) h h F F (3.9) 37 Các trường hợp khác làm tương tự Lúc nói chung cần tính liên thông affine xuất đạo hàm hiệp biến Trong gần bậc theo h ta có: h h h (3.10) 3.2 Tƣơng tác spinor trƣờng gauge U(1) Trường spinor tương ứng với hạt spin Lagrangian mô tả trường spinor tự có dạng: L i t m (3.11) Xét phép biến đổi gauge đơn giản – tương ứng với nhóm gauge thông số U(1), chẳng hạn phép biến đổi điện tích Dưới tác dụng phép biến đổi điện tích trường (x) ứng với hạt mang điện tích q biến đổi theo quy luật: (x) ' (x) e iq (x) (3.12) thông số phép biến đổi Trong trường hợp (x) (x) , ta có phép biến đổi ' (x) e iq (x) (x) (3.13) gọi U(1) gauge Đưa vào trường A (x) , gọi trường gauge, lập đạo hàm hiệp biến theo công thức: D (x) ( iqA ) (x) (3.14) A (x) biến đổi theo quy luật: A' (x) A (x) D (x) biến đổi giống (x) , (x) (3.15) 38 D (x) sau thay ' ' (x) iqA ' (x) ' (x) e iq (x) D (x) (3.16) (x) Lagrangian tự D (x) Kết cho ta Lagrangian trường (x) tự với Lagrangian mô tả tương tác trường (x) trường gauge A (x) Như vậy, từ (3.11) ta có: L D D L0 ( ) i m L0 ( ) Lint ( ,A ) (3.17) Với t Lint ( ,A ) q m A (3.18) 3.3 Tƣơng tác mô hình Kluza-klein Mô hình Kaluza-Klenin xây dựng sở lý thuyết tương đối tổng quát không- thời gian mở rộng năm chiều, bao gồm bốn chiều khôngthời gian thông thường chiều không gian phụ trội Ta quy ước dùng chữ A,B,…làm số Lorentz mở rộng nhận giá trị 0,1,2,3,5 để phân biệt với số Lorentz thông thường , , … nhận giá trị 0,1,2,3 Ta kí hiệu metric G AB (x) để phân biệt với metric g (x) không thời gian bốn chiều thông thường Ý tưởng chủ đạo gắn trường điện từ A (x) ( với trường hấp dẫn h (x) ) vào thành phần metric G AB (x), cụ thể đặt là: = W( )( g (x) + A (x) A (x) G G = G = W( ) A (x) (x) G55 = W( ) (x) (x)) (3.19) 39 Trong (x) trường vô hướng đó, W( ) gọi thừa số kích cỡ loại Weyl Các biểu thức (3.19) viết gộp dạng ma trận g A A | | | (GAB ) W( ) A sau: A (3.20) Biểu thức khoảng tương ứng là: ds2 W( ) g dx dx dx )(A dx (A dx dx ) (3.21) Metric đối biến G AB tính cách sau: Xét phép biến đổi x A x 'A với dx ' dx , dx '5 A dx dx (3.22) Lúc ta có: G 'AB (x ' ) xC xD G CD (x) x 'A x 'B g | | | W( ) (3.23) Từ suy g G 'AB (x ' ) W ( ) | | | (3.24) 40 Trong g (x) metric không – thời gian bốn chiều thỏa mãn điều kiện g (x)g (x) Từ (3.24) ta tính G AB (x) theo công thức biến đổi: G AB (x) x A x B 'CD ' G (x ) x 'C x 'D Kết là: G (x) W ( ).g (x) G (x) G (x) W ( ).g A G 55 (x) W ( ).( (3.25) g A A ) Hoặc viết ma trận 5 g G AB | | | W ( ) g A g A (3.26) Để tính G det(GAB ) trước hết ta tính G' G' W5 ( ).g , Tiếp theo ta dùng công thức G ' g A A det(G'AB ) theo (3.23): g det(g ) J 2G , J định thức ma xB trận với phần tử hạng A cột B 'A tính theo (3.22): x J Tức là: (J BA 0000 | | | J5 , A A , J5 0, J 55 41 đó: J=1, G W5 ( ).g (3.27) Bây ta chứng tỏ phép biến đổi gauge trường A (x) tương ứng với phép biến đổi sau không – thời gian: x' x , x '5 x5 (3.28) (x) Quả vậy, áp dụng công thức G AB (x) x 'C x 'D ' G CD (x) xA xB Với phép biến đổi (3.28), ta có: ' G 55 (x) G 55 (x), G (x) G ' (x ' ) ' (x).G 55 (x ' ), Tức là: W( (x)) (x) W( ' (x ' )) ' (x ' ), W( (x))A (x) (x) W( ' (x ' ))A ' (x ' ) Từ suy ra: A' A (x)W( (x)) (x) (x) Trong mô hình Kaluza-Klein, chiều không gian phụ trội x5 giả thiết co gọn lại thành vòng tròn bé đến mức trở thành không quan sát với thang lượng Mọi số liệu thực nghiệm vùng lượng không đủ lớn xem trung bình hóa theo chiều phụ trội Mọi hàm vật lí xác định vòng tròn co gọn phải thỏa mãn điều kiện tuần hoàn: f (x5 R ) f (x ), x5 R5 (3.29) 42 R bán kính vòng tròn co gọn Do hàm vật lí xác định không-gian chiều triển khai dạng f (x , x ) f (n) (x ).e in x5 R5 (3.30) n Lý thuyết hiệu dụng miền lượng thấp xây dựng sở xem tensor metric G AB không phụ thuộc x5 , tức bỏ qua số hạng với n biểu thức khai triển G AB (x , x ) G AB(n) (x ).e n in x5 R5 (3.31) Kích thước chiều không gian co gọn liên quan trực tiếp đến điện tích trường Ta chứng tỏ điều qua ví dụ sau Xét trường vô hướng phức L( ) GG AB A g.W ( ) (x) mô tả Lgarangian: B G (3.32) G ( Tương ứng với tác dụng chiều thông thường là: d 4x L( , x ) S (3.33) R5 Trong dx 5L( ) L( , x ) (3.34) Thay vào biểu thức ( 3.32) L( ) với biểu thức khai triển: (x , x ) R5 (n) n in (x )e x5 R5 43 L( , x ) Ta có: g D gW ( (n) D ) (n) n n2 R 52 (n) (n) (3.35) n m Trong D (n) Như thành phần (n) lượng : in A R5 (n) (x ) tương ứng với hạt có điện tích khối n R5 Tổng quát: Trong trường hợp số chiều không - thời gian D (với D - chiều không gian ngoại phụ), chiều ngoại phụ co gọn đơn giản thành hình xuyến D - chiều với bán kính R K, k 5,6, ,D Ta có công thức triển khai sau: D i , ,n D ) G (n e k AB(x ) G AB (x , x , , x D ) nk xK RK nK D (x , x , , x D ) (2 R K ) K i (n , ,n D ) x nK e k nk xK RK 44 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề liên quan đến trường tensor spinor, tác dụng bất biến tương đối rộng, phương trình Einstein, tương tác spinor - gauge mô hình Kaluza – Klein thống trường hấp dẫn trường điện từ không - thời gian chiều Những kết luận văn tóm tắt sau: - Trình bày tổng quan phép biến đổi tensor lý thuyết tương đối rộng, trường spinor hiệp biến tổng quát, quan tâm đặc biệt đến tương tác trường spinor – gauge - Triển khai tính toán tương tác spinor – gause - Nghiên cứu tổng quát hóa mô hình thống kiểu Kaluza – Klein cho trường hợp tương tác trường hấp dẫn trường điện từ Những kết sử dụng để bước đầu tìm hiểu nghiên cứu mô hình lý thuyết thống tương tác, bao gồm tương tác hấp dẫn không – thời gian với chiều phụ trội 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Vọng Đức, (2011 – 2012), “Các giảng Vật Lý Lý Thuyết lớp cao học ĐHSP Hà Nội 2” [2] Đào Vọng Đức, (2007), Các nguyên lý lý thuyết Siêu Dây lượng tử, NXB khoa học tự nhiên công nghệ [3] Đào Vọng Đức, Phù Chí Hòa, (2011), Lý thuyết hạt bản, NXB khoa học kỹ thuật [4] S.M.Carroll, (1997), Lecture Notes on General Relativity, University of California [5] H.C.Lee, (1983), An Introduction to Kaluza – Klein Theories, World Scientific [6] S.Weinberg, (1995), The quantum theory of fields, Cambridge University Press, New York [7] NV.Mitzkevich, (1969), Physical fields in Genenral Theory of Relativity, Science Publishing House, Moscow [8] B.Dewitt, P.Fayet, P.Van Niewenhuizen, (1984), Suprsymmetry and Supergravity, World Scientific [9] J Yepez, (2011), Einstein’s vierbein field theory of curwed space