Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r)

Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r) Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Đào Thị Kiều Vân SỰ GIÃN NỞ NHANH CỦA VŨ TRỤ THỜI KÌ ĐẦU TRONG LÝ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT MỞ RỘNG f(R) Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 60 44 01 03 Người hướng dẫn: TS. Đỗ Thị Hương LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Hà Nội - 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS. Đỗ Thị Hương. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Đỗ Thị Hương, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Vật lý lý thuyết Vật lí toán tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu. Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè động viên tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Đào Thị Kiều Vân LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu hướng dẫn TS. Đỗ Thị Hương. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Các thông tin trích dẫn tài liệu tham khảo rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Đào Thị Kiều Vân Mục lục Mở đầu Lý thuyết tương đối tổng quát mô hình vũ trụ chuẩn 1.1 Lý thuyết tương đối tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Mối tương quan tính chất hình học Riemann metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương trình Einstein . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Mô hình vũ trụ chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.2 1.2.1 1.2.2 Các giả thuyết khoa học không thời gian mô tả vũ trụ metric Robertson Walker . . . . . . . . 18 Lời giải tiến hóa vũ trụ . . . . . . . . . 21 Lý thuyết hấp dẫn dựa Lagrangian L = f (R) 35 2.1 Các điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 35 Hình thức luận lý thuyết hấp dẫn f (R) . . . . . . . 2.3 Phương trình trường hấp dẫn dựa lý thuyết L = f (R) 36 2.4 Động học trình lạm phát dựa lý thuyết f (R) 44 Kết luận 54 Mở đầu 1. Lí chọn đề tài Lý thuyết tương đối tổng quát mô tả mối liên hệ tính chất hình học không gian vật chất. Mối liên hệ thể thông qua phương trình Einstein. Robertson Walker áp dụng phương trình Einstein tìm lời giải metric mô tả tính chất hình học không gian đồng đẳng hướng, giãn nở đồng đều. Dựa metric Robertson Walker, Friedmann tính toán tensor độ cong không gian tìm lời giải mô tả tiến hóa Vũ trụ. Mô hình vũ trụ dựa điều kiện không thời gian gọi mô hình Vũ trụ chuẩn. Các tiên đoán mô hình hoàn toàn phù hợp với thời kỳ mà mật độ vật chất mật độ xạ chiếm ưu thế. Tuy nhiên, mô hình Vũ trụ chuẩn gặp phải vấn đề khó khăn giải vấn đề: - Vũ trụ phẳng. - Vấn đề đường chân trời. - Vấn đề đơn cực từ. Để giải vấn đề này, phải giả thiết Vũ trụ giãn nở nhanh thời kỳ đầu, trước thời kỳ xạ. Người ta gọi thời kì thời kì lạm phát Vũ trụ. Dựa kịch lạm phát Vũ trụ, không giải khó khăn mà tiên đoán tượng xạ Vũ trụ quan sát thực nghiệm nay. Chính lý trên, cần phải mở rộng mô hình Vũ trụ học chuẩn. Chúng tiếp cận cách mở rộng mô hình dựa cách mở rộng Lagrangian trường hấp dẫn. Tức phương trình Einstien thay đổi. Lý thuyết gọi lý thuyết f(R) 2. Mục đích nghiên cứu Tìm lời giải Vũ trụ giãn nở theo quy luật hàm mũ thời gian dựa lý thuyết hấp dẫn f (R). 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu lý thuyết tương đối rộng Einstein. - Tìm hiểu hình thức luận f (R). - Giải toán lạm phát lý thuyết f (R). 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tính chất hình học không thời gian hấp dẫn ảnh hưởng đến tiến hóa Vũ trụ. 5. Phương pháp nghiên cứu Hình thức luận metric lý thuyết tương đối tổng quát. 6. Giả thuyết khoa học Trong lý thuyết tương đối rộng, Lagrangian mô tả hấp dẫn hàm bậc độ cong vô hướng. Dựa nguyên lý tác dụng tối thiểu, thu phương trình Einstein. Tuy nhiên, luận văn này, dựa giả thiết Lagrangian mô tả hấp dẫn hàm độ cong vô hướng từ nghiên cứu dạng tổng quát phương trình trường hấp dẫn. Chúng nghiên cứu động học thời kỳ lạm phát Vũ trụ dựa giả thiết này. Luận văn trình bày gồm chương nội dung: • Trong chương 1, trình bày hình thức luận lý thuyết GR. Dựa lý thuyết GR, tìm kiếm metric thỏa mãn điều kiện vũ trụ đồng nhất, đẳng hướng giãn nở. Các lời giải giãn nở Vũ trụ mô hình Vũ trụ chuẩn học trình bày. • Trong chương 2, nghiên cứu phương trình hấp dẫn dựa hình thức luận metric. Tôi nghiên cứu điều kiện biên để rút phương trình trường hấp dẫn lý thuyết f (R) tổng quát. Dựa Lagrangian L = R + λR2 , chứng minh lời giải vũ trụ biến đổi thỏa mãn điều kiện giãn nở tăng tốc. • Chương cuối kết luận luận văn. Chương Lý thuyết tương đối tổng quát mô hình vũ trụ chuẩn 1.1 1.1.1 Lý thuyết tương đối tổng quát Mối tương quan tính chất hình học Riemann metric a. Sự khác thuyết tương đối rộng thuyết tương đối hẹp Theo lý thuyết tương đối hẹp, tất tượng vật lí diễn hệ quy chiếu quán tính. Hay, phương trình mô tả tượng vật lí bất biến phép biến đổi Lorentz. Lý thuyết tương đối rộng cho rằng, tượng diễn hệ quy chiếu. Tức là, phương trình mô tả trình Vật lí bất biến phép biến đổi tổng quát. Lý thuyết tương đối hẹp đưa phương trình chuyển động vật thể chuyển động khác sở số tốc độ ánh sáng, bất biến hệ quy chiếu chuyển động thẳng tương nhau. Hệ điều vật lí tách rời không gian thời gian khỏi mà phải xét chúng hệ không - thời gian bốn chiều, phụ thuộc vào chuyển động người quan sát. Lý thuyết tương đối rộng bổ sung thêm không thời gian cục bị bẻ cong khối lượng vật chất đó. Do đó, đường thẳng không - thời gian cảm nhận đường cong không gian mà trải nghiệm. b. Mối liên hệ hình học Riemann thuyết tương đối rộng Như ta biết, trường hấp dẫn thực tế không đồng đều, gần hành tinh trường hấp dẫn mạnh. Do không gian mô tả trường hấp dẫn không gian cong. Tuy nhiên, không gian cong mô tả hấp dẫn phải thỏa mãn tính chất: Khi vùng không gian khảo sát gần không gian lại coi không gian phẳng. Hình học mô tả tốt tính chất không gian cong trường hấp dẫn hình học Riemann. Chính vậy, lý thuyết tương đối rộng Einstein chủ yếu sử dụng hình học Riemann để mô tả không gian. Tính chất không thời gian hấp dẫn thể qua metric gµν . c. Hình học Riemann Trong phần này, xin trình bày vài khác biệt tensor không gian phẳng không gian cong. Trong không gian phẳng, đạo hàm trường vô hướng tensor hạng nhất, đạo hàm tensor hạng tensor hạng hai. Tổng quát: tensor hạng n + xây dựng từ tensor hạng n. 10 Tuy nhiên, không gian cong điều không đúng. Cụ thể giải tích vector, ta chứng minh đạo hàm thông thường theo thời gian bốn chiều vector bốn chiều biến thiên theo quy luật: ∂xα ∂A′ν = ∂x′µ ∂x′µ ∂xβ ∂Aβ ∂ xβ A + β ∂xα ∂x′ν ∂x′ν ∂xα (1.1) So sánh với quy luật biến đổi tensor hạng hai: Γ′µν = ∂xα ∂xβ Γαβ ∂x′µ ∂x′µ ta thấy đạo hàm vector không biến đổi tensor hạng hai. Để tìm hiểu điều xét hai vector Aµ (x) Aµ (x + dx) = Aµ (x) + dAµ(x) vector định xứ hai vị trí xµ , xµ + dxµ . Vì hai vector định xứ hai điểm khác nên biến đổi hai vector hai điểm khác khác nhau. Nghĩa dAµ (x) vector. Tuy nhiên dAµ(x) viết dạng: dAµ(x) = ∂Aµ ν dx ∂xν Vì dxµ vector dAµ phải vector nên (1.2) ∂Aµ ∂xν tensor. Như vậy, đại lượng đặc trưng cho khác vector định xứ hai điểm khác tensor hạng hai. Chính vậy, không gian cong, người ta mong muốn tìm đại lượng đặc trưng cho thay đổi vector hai điểm mà biến đổi tensor. Như ta biết, tính đạo hàm vector ta phải quy tọa độ không gian. Tuy nhiên, không gian phẳng, dịch chuyển song song vector điểm vector không 42 δK = −hµν δΓγνµ nγ = hµν ∂σ (δgνµ nσ (2.26) Do đó: δSGY H = d3yε |h|(f ”RδRK + fR′ hµν ∂σ (δgνµ nσ )) d3yε |h|(f ”RδRK ∂V = ∂V + ∂V d3 yε |h|fR′ hµν ∂σ (δgνµ nσ ) (2.27) √ d4 x −gTµν δg µν (2.28) • Tính δSM : δSM = − V Suy ra: δS = = 2K − √ d4 x −g(fR′ Rµν + gµν ✷fR′ − ∇µ ∇ν fR′ − Lgµν )δg µν V √ d4x −gTµν δg µν V √ 1 d4 x −gδg µν [ (fR′ Rµν + gµν ✷fR′ − ∇µ ∇ν fR′ K V − Lgµν ) − Tµν ] (2.29) Sử dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu δS = với δg µν bất kỳ, ta có: ⇒ 1 ′ (fR Rµν + gµν ✷fR′ − ∇µ∇ν fR′ − f gµν ) − Tµν = K (2.30) fR′ Rµν + gµν ✷fR′ − ∇µ ∇ν fR′ − f gµν = KTµν 43 Đây phương trình Einstein cho trường hợp tổng quát với Lagrangian L = f (R) bất kỳ. *Nhận xét: Từ phương trình Einstein cho Lagrangian L = f (R) tổng quát: fR′ Rµν + gµν ✷fR′ − ∇µ ∇ν fR′ − f gµν = KTµν Để đơn giản, ta đặt f ′(R) = F , F Rµν − f (R)gµν − ∇µ ∇ν F + gµν ✷F = KTµν (2.31) Nhân gµν với hai vế phương trình, ta được: 3✷F + F R − 2f (R) = KT (2.32) Xét bên vật thể tensor xung lượng T = 0. Nếu ✷F = (2.32) trở thành F R − 2f (R) = (2.33) Xét không gian phẳng, metric phụ thuộc hệ số giãn nở a(t) sau: ds2 = gµν dxµ dxν = −dt2 + a(t)2dx2 Phương trình Einstein thỏa mãn metric viết lại: 3F H = F R − f (R) − 3H F˙ + KρM −2F H˙ = F¨ − H F˙ + K(ρM + PM ) (2.34) (2.35) Trong đó: ρM mật độ lượng, PM áp suất vật chất. H số Hubble liên hệ với vô hướng Ricci biểu thức: ˙ R = 6(2H + H) (2.36) 44 2.4 Động học trình lạm phát dựa lý thuyết f (R) Chúng ta xét mô hình có dạng: f (R) = R + αRn (α > 0, n > 0). Trong mô hình Starobinsky trường hợp cụ thể (n = 2). Khi bỏ qua mật độ lượng (ρM = 0) phương trình (2.31) có dạng: 3(1 + nαRn−1 )H = (n − 1)αRn − 3n(n − 1)αHRn−2R˙ Sự tăng tốc vũ trụ thực với F = + nαRn−1 ≫ 1. Khi đó, ta lấy F ≃ nαRn−1, chia vế phương trình cho 3nαRn−1 ta được: H2 ≃ n−1 R˙ (R − 6nH ) 6n R (2.37) Trong lạm phát Hubble, tham số H biến đổi ít. Chúng ta sử ˙ ¨ dụng điều kiện biên H/H ≪ H/H H˙ ≪ 1. Ta có: H ¨ 6(4H H˙ + H) n−1 ˙ ] [6(2H + H) − 6nH = ˙ 6n 6(2H + H) ¨ n−1 4H H˙ + H = ) (2H + H˙ − nH n 2H + H˙ (2.38) Chia hai vế phương trình (2.38) cho H , ta được: ¨ H n−1 n + H H˙ H˙ 1= (2 + − ) n H H H˙ + H1 H (2.39) 45 Sử dụng điều kiện biên (2.39) trở thành: = 4n n−1 ) (2 − H n H˙ + H2 n − 4H 2 +1 = + − 4n) ( n H˙ H˙ 4(n − 1) 2n ≃ + 2(1 − 2n)(n − 1) ˙ ˙ H H2 2−n H˙ H2 Đặt: H H2 ≃ (1 − 2n)(n − 1) H˙ 2−n ⇒ = H (1 − 2n)(n − 1) 2−n (2n − 1)(n − 1) Phương trình (2.40) trở thành: H˙ ⇒ = −ǫ1 H ǫ1 = (2.40) (2.41) (2.42) Mà: a˙ a a¨a − a˙ ⇒ H˙ = a2 a¨ − H2 = a H = Chia hai vế phương trình (2.43) cho H , ta được: H˙ a ¨ = −1 H2 aH a¨ = (1 − ǫ1 ) aH (2.43) (2.44) Từ phương trình (2.44), ta biểu diễn giá trị tham số − ǫ1 cho n thay đổi đồ thị hình 2.1, hình 2.2 hình 2.3. Nhìn vào đồ thị ta thấy: 46 Ε 1.10 1.08 1.06 1.04 1.02 n 20 30 40 50 Hình 2.1: Giá trị tham số − ǫ1 biểu diễn theo n n thay đổi từ đến 50. Ε 30 20 10 n 0.5 1.0 1.5 2.0 10 20 30 Hình 2.2: Giá trị tham số (1 − ǫ1 ) biểu diễn theo n n nhận giá trị từ đến 2. • Khi < n < 0.5 < n < (1 + √ 3)/2 (1 − ǫ1 ) < 0, tức gia tốc Vũ trụ a ¨ âm không xảy trình lạm phát. • Khi n < 0; 0.5 < n < n > (1 + √ 3)/2 (1 − ǫ1 ) > 0, gia tốc Vũ trụ a ¨ dương, vũ trụ tăng tốc trình lạm phát xảy ra. Trong phần xét mô hình Starobinsky có dạng: f (R) = R + λR2 (2.45) Thay vào phương trình (2.34), bỏ qua thành phần mật độ lượng, 47 Ε 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 n 100 80 60 40 20 Hình 2.3: Giá trị tham số − ǫ1 biểu diễn theo n n giá trị âm. ta được: 6(1 + 2λR)H = (1 + 2λR)R − R − λR2 − 12λR˙ ¨ 6H + 12λH 2R = λR2 − 12λH(24H H˙ + 6H) (2.46) Kết hợp (2.36) với (2.44) ta được: ˙ = λ(12H + 6H) ˙ − 12λH(24H H˙ + 6H) ¨ 6H + 12λH 2(12H + 6H) ˙ = 144λH + 144λHH ˙ + 36λH˙ 6H + 144λH + 72λHH ˙ − 72λH H ¨ −288λHH (2.47) Chia hai vế phương trình (2.45 )cho 72λH ta được: Với λ = 6M ˙2 ¨ − H − H = −3H H˙ H 2H 12λ (2.48) ˙2 ¨ − H − M H = −3H H˙ H 2H (2.49) ta có: Chia vế phương trình (2.37) sử dụng điều kiện biên 48 ¨ ˙ ≪ H/H H˙ ≪ 1, ta có: H/H M2 = −3 2H˙ M2 ˙ H = − M2 (t − ti ) H ≃ Hi − M2 da = Hi − (t − ti ) a a ≃ exp[Hi(t − ti ) − M2 (t − ti )2] 12 (2.50) Trong đó: , Hi hệ số giãn nở tham số Huble khảo sát thời kì đầu lạm phát. Kết đưa từ phương trình (2.50) cho thấy, hệ số giãn nở theo thời gian phụ thuộc vào thời gian theo hàm số mũ. Chứng tỏ Vũ trụ giãn nở tăng tốc nhanh. Thay n = vào phương trình (2.37) thì: H2 = R˙ (R − 12H ) 12 R (2.51) Từ (2.36) ta có: R H˙ = − 2H (2.52) Từ (2.34) ta có: 6(1 + 2λR)H = (1 + 2λR)R − (R + λR2 ) − 12HλR˙ 6H + 12λRH = λR2 − 12λRH˙ (2.53) 49 Chia hai vế cho R2 kết hợp với (2.48) ta được: R R˙ R˙ R˙ R ( − H ) + 12λ( − H ) = λR − 12λH R 12 R 12 R R R˙ − 6H = R R R˙ = R 12H (2.54) Từ (2.35) ta có: ¨ − 2λH R˙ −2(1 + λR)H˙ = 2λH (2.55) Chia hai vế cho λ ta được: R˙ ¨ − H R˙ = R (− − 2R)2H λ R ˙ ¨ + 3H R˙ + 2H R = R λ R (2.56) Kết hợp (2.54) với (2.56) ta được: ¨ + 3H R˙ + M R = R (2.57) Từ phương trình (2.57) ta thu được: R ≃ 12H − M (2.58) Tham số cuộn chậm định nghĩa: M2 H˙ ǫ1 = − ≃ H 6H Trong thời gian diễn lạm phát, tham số Huble coi thay đổi nhỏ. Nghĩa là, tham số ǫ1 nhỏ nhiều so với gọi tham số cuộn chậm. Tức H ≫ M . 50 Khi lạm phát kết thúc, ta giả thiết ǫ1 ≃ 1. Với giả thiết tham số Huble thời kì kết thúc lạm phát có giá trị Hf ≃ M √ . Thay vào phương trình (2.58), ta có biểu thức tensor Ricci vô hướng thời điểm kết thúc lạm phát là: R = M2 Chúng muốn nhấn mạnh so sánh với thực nghiệm WMAP thăng giáng nhiệt độ Vũ trụ M ≃ 1013GeV . Một yếu tố cần phải xây dựng mô hình lạm phát Vũ trụ giải vấn đề đường chân trời, vấn đề Vũ trụ phẳng. Cơ sở giải khó khăn dựa tham số dạng hàm mũ (e - folding number N) định nghĩa sau: tf N= ti af a˙ dt = ln a (2.59) Mặt khác, biểu diễn thông qua tham số Huble ta có: tf N= ti M2 Hdt ≃ Hi (tf − ti ) − ((tf − ti ))2 12 Tại thời kì kếtt thúc lạm phát tf = ti + N≃ 6Hi . M2 3Hi2 ≃ M2 2ǫ1 (ti) (2.60) Do ta có: (2.61) Để giải vấn đề đường chân trời vấn đề Vũ trụ phẳng af ≃ e70. Nghĩa N 70 ⇒ ǫ1 (t) < 7.10−3. Để giải vấn đề đồng đẳng hướng Vũ trụ đòi hỏi thời điểm mà bước sóng gần với bán kính Huble N ≃ 55 − 60. 51 Bên cạnh điều kiện ràng buộc nêu mô hình lạm phát, mô hình lạm phát đưa cần phải có tiên đoán phù hợp với kết thực nghiệm. Cụ thể, với mô hình lạm phát Vũ trụ tiên đoán tồn sóng hấp dẫn, nhiễu loạn tensor vô hướng. Trong luận văn này, không khảo sát sóng hấp dẫn mà sâu vào khảo sát nhiễu loạn vô hướng tensor gây lên từ lạm phát. Để khảo sát phổ nhiễu loạn độ cong sinh trình lạm phát, giới thiệu thêm tham số: ǫ2 = ¨ Φ H Φ˙ F˙ 2HF E˙ ǫ4 = 2HE ǫ3 = Với: E=F ω + 3F 2K 2Φ˙ 2F (2.62) Trong đó: Φ trường vô hướng, δΦ nhiễu loạn trường vô hướng ω hàm Φ. Trong nội dung luận văn này, bỏ qua vai trò trường vật chất Φ. Do ta có: ǫ1 = 2−n (n − 1)(2n − 1) ǫ3 = −(n − 1)ǫ1 ǫ4 = n−2 n−1 52 Như vậy, tham số thực nghiệm số R lạm phát định nghĩa thông qua ǫi sau: nR − ≃ −4ǫ1 − 2ǫ2 + 2ǫ3 − 2ǫ4 −2(n − 2)2 nR − = nT = 2n − 2n − (2.63) Từ (2.63), ta biểu diễn giá trị nR theo n đồ thị hình 2.4, hình 2.5 hình 2.6. n_R n 50 40 30 20 10 Hình 2.4: Tham số phổ nR biểu diễn theo n âm. Hai đường nằm ngang đường thực nghiệm WMAP. n_R n 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Hình 2.5: Tham số phổ nR biểu diễn theo n n thay đổi từ đến 0.5. Hai đường nằm ngang đường thực nghiệm WMAP. Nhận xét: 53 n_R 1.00 0.98 0.96 0.94 0.92 0.90 0.88 n 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 Hình 2.6: Tham số phổ nR biểu diễn theo n n thay đổi từ 1.5 đến 3. Hai đường nằm ngang đường thực nghiệm WMAP. - Từ đồ thị hình 2.4 ta thấy, mô hình lý thuyết tiên đoán nR nhận giá trị âm ta cho giá trị n nhận giá trị nhỏ 0. Điều mâu thuẫn với thực nghiệm WMAP tiên đoán. - Đồ thị hình 2.5 biểu diễn phụ thuộc nR vào giá trị n miền giá trị n biến đổi từ < n < 0.5. Kết tiên đoán cho thấy nR có giá trị lớn miền tiên đoán thực nghiệm WMAP. - Kết tiên đoán phụ thuộc tham số nR vào n n biến đổi khoảng từ 1.5 < n < 3. Kết đồ thị cho thấy, để phù hợp với kết tiên đoán WMAP n có giá trị hai miền hình vẽ. So sánh với số hiệu thực nghiệm năm năm xạ Vũ trụ: nR = 0.960 ± 0.013 ta thấy kết phù hợp. 54 Chương Kết luận Luận văn nghiên cứu vấn đề sau: 1. Trình bày mối liên hệ hình học Riemann lý thuyết hấp dẫn. Cụ thể, trình bày tính chất metric, mối liên hệ số liên kết không gian (chỉ số Christoffel) metric. Tensor độ cong xây dựng dựa liên thông không gian. 2. Dựa vào nguyên lý tác dụng tối thiểu, rút phương trình Einstein. 3. Khảo sát mô hình Vũ trụ chuẩn, xem xét lời giải Vũ trụ từ rút kết luận Vũ trụ có độ cong âm. 4. Dựa điều kiện biên, thiết lập phương trình Einstein với Lagrangian L = f (R), sau trình bày mô hình với f (R) = R + λR2 đưa lời giải Vũ trụ giãn nở theo quy luật hàm số mũ. Tức là, Vũ trụ thỏa mãn điều kiện giãn nở tăng tốc nhanh. 5. Dựa biểu thức gia tốc giãn nở Vũ trụ, khảo 55 sát số kết cho thấy để có lời giải Vũ trụ giãn nở tăng tốc bậc R lý thuyết f (R) nằm khoảng < n < 0.5. Tiếp theo, khảo sát số để tìm lý thuyết phù hợp với kết tiên đoán với thực nghiệm WMAP. Chúng muốn nhấn mạnh, kết tiên đoán giả thiết thăng giáng lượng tử trường vật chất ảnh hưởng đến số phổ bỏ qua, cụ thể bỏ qua ǫ2 . Tuy nhiên, thực tế khảo sát xác cần phải khảo sát đến thăng giáng lượng tử trường vật chất ảnh hưởng đến tiên đoán số phổ nR . Trong nghiên cứu tiếp theo, khảo sát đến vai trò thăng giáng lượng tử trường vật chất ảnh hưởng đến tiên đoán lý thuyết lạm phát Vũ trụ. 56 Tài liệu tham khảo [1] Einstein, A., "Die Feldgleichungen der Gravitation", Sitzungsber. K. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., 1915, 844-847, (1915). [2] Einstein, A., "Die Grundlage der allgemeinen Relativitatstheorie", Ann. Phys. (Leipzig), 49, 769-822, (1916). [3] Song, Y.-S., "Looking for an extra dimension with tomographic cosmic shear", Phys. Rev. D, 71, 024026, (2005). [4] Antonio De Felice, Shinji Tsujikawa, arXiv:1002.4928. [5] Spergel, D.N., et al. (WMAP Collaboration), "First-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Determination of Cosmological Parameters", Astrophys. J. Suppl. Ser., 148, 175Ọ194, (2003). [6] Spergel, D.N., et al. (WMAP Collaboration), "Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) three year results: Implications for cosmology", Astrophys. J. Suppl. Ser., 170, 377Ọ408, (2007). [7] Komatsu, E., et al. (WMAP Collaboration), "Five-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations:Cosmological Interpretation", Astrophys. J. Suppl. Ser., 180, 330Ọ376, (2009). 57 [8] Palatini, A., "Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principio di Hamilton", Rend. Circ. Mat. Palermo, 43, 203, (1919). [9] Weinberg, S., "The cosmological constant problem", Rev. Mod. Phys., 61, 1Ọ23, (1989). [10] Bài giảng "Lý thuyết tương đối rộng Vũ trụ học", phòng sau Đại học, Viện Vật lý, Viện hàn Lâm khoa học Công nghệ Việt Nam. [...]... ban đầu của nó cũng phải bằng 1, Ω không còn là tham số nữa mà là hằng số Một trong những cách giải quyết vấn đề này là người ta đã đưa ra mô hình lạm phát Trong quá trình lạm phát, ở thời kì đầu của vũ trụ, không thời gian giãn nở rất nhanh, bán kính cong của vũ trụ tăng theo hệ số cực lớn làm trơn phẳng độ cong của không gian, vì vậy ngày nay vũ trụ của chúng ta gần như là phẳng • Vấn đề về sự trơn... nhất, đẳng hướng và giãn nở ra theo thời gian Bỏ qua sự khác biệt ở khoảng cách nhỏ, ta coi vũ trụ ở khoảng cách lớn như là chất lỏng với mật độ khối lượng không đổi ở mọi nơi Trong hệ tọa độ đồng chuyển động, ta có khoảng không thời gian giữa hai thiên hà bất kì luôn không đổi và sự nở của vũ trụ kết quả là sự thay đổi của metric không thời gian Với tọa độ thời gian x0, ta sử dụng thời gian riêng đo... xét: Mô hình chuẩn của vũ trụ sớm làm việc rất thành công với sự phát triển của vũ trụ từ tuổi 10−5s trở đi, như vậy mô hình cho ta đánh giá về lịch sử của vũ trụ trong khoảng thời gian 1023s Thành công ấn tượng của nó nằm trong tính toán dư thừa Helium và các yếu tố nhẹ khác Tuy nhiên, khi xác định cho thời gian sớm hơn, ta gặp ba vấn đề sau: • Vấn đề về sự phẳng: Đây là vấn đề về sự không phù hợp giữa... ở trên ta thấy, lời giải vũ trụ với độ cong dương thì vũ trụ giãn nở và co lại theo chu kì nhất định Người ta đã tính được rằng chu kì này nhỏ hơn rất nhiều so với tuổi của vũ trụ ngày nay Tuy nhiên, vũ trụ của chúng ta chưa bao giờ co lại Do đó, lời giải đúng phải ứng với độ cong âm hoặc bằng không Từ những bằng chứng thực nghiệm, các nhà khoa học đã chứng minh rằng vũ trụ của chúng ta ứng với độ cong... được cho thấy các nhiệt độ này gần như là y như nhau Sự bất hợp lí này có thể được giải thích dựa vào mô hình lạm phát Trong lí thuyết về mô hình lạm phát, người ta cho rằng có một trường năng lượng đồng nhất và đẳng hướng thống trị vũ trụ tại 34 thời điểm sớm Trong giai đoạn này, vũ trụ của chúng ta giãn nở theo hàm mũ và chân trời hạt mở rộng nhanh hơn so với giải thiết trước đây Do đó, những vùng... nào cũng sẽ làm cho tham số mật độ lệch khỏi giá trị mà ở đó vũ trụ gần như là phẳng, và sự lệch này có thể xuất hiện từ thời điểm 10−43s, thế nhưng trong thực tế, vũ trụ của chúng ta không tuân theo một trong hai kịch 33 bản là hoặc là bị co cụm lại rất nhanh, hoặc nở ra rất nhanh và phân tán, hiện nay vũ trụ gần như phẳng và đang giãn nở Để phù hợp với điều này thì tham số mật độ phải rất gần với... mô tả mối tương quan giữa hình học và vật chất Vế trái của phương trình là sự mô tả hình học và vế phải của phương trình là mô tả vật chất (Vật chất quyết định độ cong của không gian hay độ cong của không gian mô tả vật chất) 18 1.2 1.2.1 Mô hình vũ trụ chuẩn Các giả thuyết khoa học về không thời gian mô tả vũ trụ và metric Robertson Walker Để mô tả thế giới thực, ta đưa ra các tiên đề: Vũ trụ là đồng... Lagrangian mô tả hấp dẫn thì tương tự như hình thức luận metric Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ áp dụng hình thức luận metric để nghiên cứu lý thuyết hấp dẫn Cụ thể, chúng tôi sẽ áp dụng một số điều kiện biên để thu được phương trình hấp dẫn tổng quát của Einstein và của lý thuyết hấp dẫn f (R), ta có thể chứng minh vũ trụ giãn nở theo hàm mũ 2.3 Phương trình trường hấp dẫn dựa trên lý thuyết L = f (R) Xét... nằm trong chân trời hạt của nhau • Vấn đề đơn cực từ: Tại năng lượng cỡ 1014GeV , tương tác mạnh sẽ thống nhất với tương tác điện yếu Trong pha thống nhất này, tại năng lượng cao nhất thì các trạng thái hạt có đối xứng cao nhất, năng lượng càng thấp thì đối xứng sẽ giảm dần và sự thống nhất giữa các tương tác bị phá vỡ Tuy nhiên, sự phá vỡ này không đồng đều do các đường chân trời Nói một cách khác, sự. .. −Rλµν • Tính chất hoán vị vòng σ σ σ Rλνµ + Rµλν + Rνµλ = 0 (1.8) 13 • Tính chất đối xứng và phản đối xứng của Rρλνµ σ Rλνµ = g ρσ Rρλνµ σ ⇒ Rρλνµ = gρσ Rλνµ (1.9) – Tính chất đối xứng: Rρλνµ = Rµνρλ (1.10) – Tính chất phản đối xứng: Rρλνµ = −Rρλµν ; Rρλνµ = −Rλρνµ (1.11) Hình thức luận metric trong lý thuyết tương đối tổng quát Xét khoảng không gian vô cùng nhỏ thì không gian được coi gần như phẳng (Không . ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 Đào Thị Kiều Vân SỰ GIÃN NỞ NHANH CỦA VŨ TRỤ THỜI KÌ ĐẦU TRONG LÝ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT MỞ RỘNG f(R) Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60 44 01 03 Người. 1 Lý thuyết tương đối tổng quát và mô hình vũ trụ chuẩn 1.1 Lý thuyết tương đối tổn g quát 1.1.1 Mối tương quan giữa tính chất của hình học Riemann và metric a. Sự khác nhau giữa thuyết tương đối. phải giả thiết là Vũ trụ g iãn nở nhanh ở thời kỳ đầu, trước thời kỳ bức x ạ. Người ta gọi thờ i kì này 6 là thời kì lạm phá t của Vũ trụ. Dựa trên kịch bản lạm phát của Vũ trụ, chúng ta không