Trường fermion trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 TRÀN QUANG HOÀN TRƯỜNG FERMION TRONG LỶ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT NHIÈU CHIÈU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT HÀ NỘI, 2013 Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH. Đào Vọng Đức, người đã tận tình chỉ dạy, cung cấp cho tôi nhũng kiến thức nền tảng, trục tiếp đế tôi hoàn thành bài luận văn này. Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tói các thầy, các cô ở phòng Sau Đại Học, trong Khoa Vật Lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quí báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cún khoa học trong thời gian qua. Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Hà Nội, ngày 25 tháng 06 năm 2013 rri f • Tác già Trần Quang Hoàn Tên tôi là: Trần Quang Hoàn, học viên cao học khóa 2011 - 2013 chuyên nghành Vật lí lý thuyết & vật lí toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tôi xin cam đoan đề tài: “Trường Fermion trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác. Neu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học. Hà Nội, ngày 26 tháng 06 năm 2013 rrĩ f Tác giả Trần Quang Hoàn MỤC LỤC Biến đổi tensor trong lí thuyết tương đối rộng Biến đổi tống quát không thời gian - Tenson Rieman Metric rienmain và liên thông affine Tensor độ cong Tác dụng bất biến tương đối rộng LỜI CẢM ƠN Phương trình Einstein Trường spinor hiệp biến tổng quát Metric và vierbein Vierbein Vierbein và metric Biểu thức của vierbein Ma trận Dirac Ma trận Dirac trong không - thời gian D > 4 chiều Tương tác trường spỉnor - gause và hấp dẫn Lagiangian tương tác Tương tác spinor và trường gause U(l) Tương tác trong mô hình Kluza-klein Kết luận Tàỉ liệu tham khảo MỞ ĐÀU 1. Lý do chọn đề tài Các hạt cơ bản nhất cấu tạo nên các hạt mọi thể loại là các Fermion thực hiện các biểu diễn cơ sở của nhóm đối xứng nội tại. Chắng hạn, đó là các quark và lepton ba thế hệ. (u, d); (c, s) ; (t, b) (v e , e") ; (v M , ụ ) ; (v t , X“) Lagrangian mô tả hệ các hạt Fermion và các phương trình chuyên động tương ứng đã được nghiên cứu nhiều trong khuôn khổ lý thuyết tương đối hẹp và cũng đã được xét đến trong khuôn khổ lý thuyết tương đối tổng quát trong không - thời gian 4 chiều thông thường, sử dụng hình thức luận Vierbein. Trường Fermion có ý nghĩa đặc biệt khi xây dựng các mô hình lý thuyết Đại thống nhất tương tác trên cơ sở mở rộng lý thuyết tương đối tổng quát trong không - thời gian có các chiều phụ trội. Lúc này các Vierbein tương ứng với các chiều phụ trội được gắn với các trường gauge dẫn xuất tương tác. Vì vậy tôi chọn đề tài ‘ Trường Fermion trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều ” 2. Mục đích nghiên cửu LỜI CAM ĐOAN Mục đích của luận văn là tìm hiểu nghiên cứu về trường Spinor trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều (D > 4), sử dụng hình thức luận Vierbein, chú trọng đặc biệt đến tương tác giữa trường này với trường gauge. 3. Nhiệm vụ nghiên c ử a - Tống quan những nguyên lí cơ bản của lý thuyết tương đối tống quát, metric Riemann, liên thông affine và tensor độ cong. - Triến khai các tính toán về hình thức luận Vierbein cho trường Spinor, ma trận Dirac - Sommerfeld cho không - thời gian nhiều chiều. - Nghiên cứu về tương tác giữa trường Spinor với trường Gauge trong không - thời gian với chiều phụ trội. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên eứu Trường Fermion trong lý thuyết tương đối tống quát nhiều chiều 5. Phương pháp nghiên cửu Sử dụng phương pháp vật lí lý thuyết và vật lí toán để khai triến tính toán. 6. Cấu trúc luận văn. Chương 1: Biến đổi tensor trong lý thuyết tương đối rộng Chương 2: Trường spinor hiệp biến tổng quát Chương 3: Tương tác trường spinor - gauge và hấp dẫn NỘI DUNG CHƯƠNG 1 BIẾN ĐỐI TENSOR TRONG LÝ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG 1.1. Biến đổi tổng quát không thòi gian- Tenson Rieman Nguyên lí bất biến tương đối rộng khẳng định rằng mọi quá trình đều điễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu. Có nghĩa là mọi hệ quy chiếu đều bình đẳng, mọi phương trình phải bất biến đối với phép biến đổi tổng quát: x M ->x 41 =f ỉl (x) (1.1) f ^ (x) là hàm thực bất kì. Biến đổi Lorentz chỉ là một trường họp đặc biệt của (1.1) khi: P(x) = A> v + a" Với phép biến đổi (1.1) ta định nghĩa: Tensor đối biến hạng r là tập họp các thành phần T^ 2 Mr (x) biến đổi theo quy luật: LỜI CẢM ƠN Với vector đối biến ta có: T'^x’) = ^yr(x) (1.6) ỡx Với vector hiệp biến ta có: ^ V Í7X TV(x')~T v (x) (1.7) Công thức biến đổi ngược với (1.4) dx ' a ' dx '° 2 dx ,ơf , , , W2-^s ( x \ = o x o x o x Eù x _ ( x ( ] Q\ v,v 2 v r w ỡx * ( ’ổx* 2 '”dx' x * ’ dx v ' * dx v > dx v ' ■ 1 2 "- r Công thức được suy ra từ tính bình đắng giữa X và x’, hoặc sử dụng các hệ thức có dạng Õx x Õx' ụ _gX. ổx* ổx^ 1 ỡx' M ổx ơ R ’ ỡx^ ổx^ Chú ý rằng: 1. X u không phải là vector vì: rW ,|a !|X , v x *i^ x ’ Nhung dx^ 1 là vector vì: ổx dx“=— .dx' ổx c V 2. Metric minkowski TỊ ,TỊ không phải là tensor, nhưng 0* là tensor, vì: Là (s+p,r+q) - tensor 1. Với 2 tensor (r,s), (s,r), Có thể lập được đại lượng bất biến như sau: S(x) = A“(x).B^ r (x) (1.10) 1.2. Metric Riemann và liên thông affine Xét các vecter F^ } và G ( t x) , đạo hàm bình thưÒTLg được viết: 5 v F^(x) = ^^- và Ổ V G (x) = —— khôngbiến đổi theo quy luâtcủa ỡx F ổx v LỜI CAM ĐOAN một vecter tức là chưa phải là các tensor. Đe tạo lêncáctensor từ chúng, ta phải lập các đạo hàm hiệp biến V v , với p (x) ta đặt V v F (X) - õỵ (x) + r^(x)F(x) (1.11) trong đó rjj ơ (x) được gọi là liên thông affine, được chọn sao cho V v P là tensor, tức là , , , _ ,______ ,______, , f)Y ^ V:F'(X )^a^(x ) + C(x )F°(x ) = “ “ V,F(X) (1.12) ơx ơx từ đó cho thấy liên thông affine biến đổi theo quy luật '-,_dx v õ\ dx p rơ , 8V* ôx' dx p ô x ° ' õ x v ' ô x ' H ổx\ax p 'ổx' v 'ổx'' cũng với quy luật biến đổi (1.13) ta có: V v G ,,( X ) = 0 v G „( X ) _r v ( ,( X ) G a( X ) (1-14) Tổng quát hóa (1.11) và (1.14) đạo hàm hiệp biến của tensor hỗn họp hạng (s,r) có dạng w, 1 :? (X)=dXĩỉ£ 00+ pn 2 rp^,a n pi s T^2- ơ _r ơ /1 per VjV, V r ••• po V|V, V r pVị CTV, V r _pơ rpH|H 2 H s _ _ Y a •T , M-lJ J '2—M-s pv% VJCT V •*" p\' r V|V 2 CĨ LỜI CẢM ƠN Quy luật (1.13) chưa xác định liên thông affine một cách đơn trị. Đặc biệt nếu r^(x) và r^ )M (x) là hai liên thông affine thì r: T (x)=C 1 r^(x)+C 2 r[f(x), c,+c 2 =l (1.16) cũng thỏa mãn điều kiện (1.13) và do đó cũng là một liên thông affine. Trong mục này ta tính liên thông affine khi thỏa mãn các điều kiện: 1. Điều kiện đối xứng rj! T (x) = P T L V (x) (1.17) 2. Điều kiện tương thích metric V g =0 (1.18) Từ quy luật biến đổi (1.13) ta thấy rằng đại lượng Tv< = rs, - r: v (1.19) là một tensor hạng (1,2). Tensor này được gọi là tensor độ xoắn. Trong trường hợp liên thông affine là đối xứng (1.17) thì = 0 và ta nói rằng không - thời gian không xoắn. Từ (1.18) ta cũng suy ra V p g MV =0 (1.20) Bây giờ ta tính liên thông affine thỏa mãn điều kiện không xoắn (1.17) và điều kiện tương thích metric (1.18). Viết 3 phương trình điều kiện tương thích metric với các chỉ số (|i, V, p) hoán vị vòng như sau: V „gvp = ổ^gvp - r; gop - r; gvơ = 0 (1.21) v „gp„ = ổ v g p „ - r;^, - r;,g po = 0 (1.22) V pg„v= ỡ pg„v - r p„g„v - r pvg„„ = 0 (1.23) Cộng (1.21) với (1.22) và trừ (1.23) vế với vế đồng thời sử dụng tính đối xứng của metric ta có: dụgvọ + d vẽ № - ỡ pg„v - 2r^-gap = 0 0 - 24 ) LỜI CAM ĐOAN tức là g<,p- r ^=^(ổ„g V p+ổ v g p( ,-ổ p g MV ) (1.25)r = —2^(5 g +ổ g -ở g ) Ị.1V ~ o V |[èpv vfepfl popv / Điều kiện tương thích metric (1.18) và (1.20) dẫn đến một hệ quả trực tiếp là phép lấy đạo hàm hiệp biến và phép nâng hạ chỉ số là giao hoán với nhau. 1.3. Tensor độ cong Khác với đạo hàm bình thường, đạo hàm hiệp biến không giao hoán với nhau, tức là [V M ,V v ] = V M V v - V v V M * 0 Ta tính giao hoán tủ’ này khi tác dụng lên G ? [v,, V v ] G, (X) = V„V v G x (X) - V v V M G, (x) Ta có: v„ (V v G,) = ổ„ (V v G x ) - r; (V 0 G,_) - r" x (V v G 0 ) = ô, (Ỡ„G, - r^G„) - r;, (ỡ a G, - r^Gp) - r’. (a v G„ - r w G p ) = 3,3,0, - ổ,r^G 0 - n^G ơ - r^„G, + r;r>,G p -r^S > G 0 + r^re B G p Từ đây suy ra: [v,,V v ]G,.(X) = (-3/:, + 0 v r”, )G„ + )G P (1.27) (1.28) Trong đó R%.V M - ổ v r; - ỡ M r ^ + r ; - r^r được gọi là tensor độ cong Riemann. Có thể thử trực tiếp các tính chất đối xứng của R ơ . Xv p r ơ MP Ị? ơ — -R ơ 'Xvịi *>.|ÌV R\ w + RVv + R",, =0 LỜI CẢM ƠN (1.26) nhân 2 vế (1.25) với g'" p ta có: = R\v,G c (1.29) (1.30) Bên cạnh R% vụ cũng thường dùng R p -_ V , M liên hệ với nhau bởi metric tensor (1.31) (1.32) Công thức (1.27) viết cho covariant vector, với contravariant vector ta có: [V (l ,V v ]p=[V M ,V v ](g^) được gọi là độ cong vô hướng. 1.4. Tác dụng bất biến tương đối rộng Trong lý thuyết tương đối hẹp, khi Lagrangian bất biến L(x) thì tác dụng định nghĩa bởi A = Jd 4 xL(x) cũng bất biến. Trong lý thuyết tương đối tổng quát thì không như vậy. Đe xây dựng tác dụng bất biến thay vì d 4 x ta phải tìm phần tử bất biến tương ứng. Từ quy luật biến đổi của metric g^v (x) (1.36) LỜI CAM ĐOAN (1.33) (1.34) (1.35) Từ R% up lập đại lượng R iv = R\„ = g op R p) . vo được gọi là Ricci tensor. Có thể thử trực tiếp tính chất đối xứng R, v = R v , Từ Ricci tensor R (1V lập đại lượng R = g' lv R uv = ta tìm quy luật biến đổi của định thức Kí hiệu: (g) ma trận có phần tử hàng |LI cột V là g Mặt khác ta có: d 4 x = D| A .d 4 x = J.d 4 x = 4 /—d 4 x V x ) tức là -v/-gd 4 x = sf-g d 4 x Vậy tò Lagrangian bất biến L ta có thể lập tác dụng bất biến dạng S=|d 4 x/^L(x) Lagrangian bất biến của hệ trường vật chất cp(x) và trường hấp dẫn (thể hiện trong metric tensor g^vCx)) Einstein đã chọn là L(x) = L(<p,g) = R+L(<p,V (l (p) trong đó L(cp,v cp) mô tả hệ trường vật chất (p tương tác với trường hấp dẫn thu được tò Lagrangian tự do của trường (p như trong lý thuyết bất biến Lorentz trước đây với sự thay thế ổ (p(x) bang V <p(x). ổx v ma trận có phần tử hàng ịi cột V là r e x ' ) õ x N ' T \ Ô \ J ta viết lại (1.36) thành (g ) = í d x ^ ị từ đây suy ra g = det vỡx Ị trong đó J = det ô x ) d x 'dì' v ổx'y = J 2 -g ■g.det (1.38) ởx (1.39) [...]... (x) Ma trận Dirac 1 Trường Fermion tương ứng với hạt có spin — Lý thuyết về trường spinor trong không - thời gian cong phức tạp hơn nhiều so với các trường tensor Trường Fermion mô tả bởi hàm sóng M;ra(x) bốn thành phần đánh dấu bởi bốn chỉ số Dirac a = 1, 2, 3, 4, có thể viết dưới dạng ma trận 4X 1 ^M/,(x)N v2(x) V|/(x) M'3(x) (2.34) lv4(x) Nhắc lại rằng trong lý thuyết tương đối hẹp với không - thời... r „ = y 0 , Y-=-Ỵ;, YỈ = U yf = — ], i= 1,2,3 Các ma trận Dirac không phụ X và hệ thức (2.36) chứa metric Minkowski đặc trưng cho không thời gian phắng Trong lý thuyết tương đối tổng quát thay vì metric T| ta phải dùng metric Riemann gMV (x), và đế tương ứng ta phải dùng các ma trận y^(x) phụ thuộc X 0 , 0 " 0 0 10 với các tính chất: y,* = n,IMy„ ; Yi=TU thuộc n 0 0 1 0 1 0 v 0 0 , 0 1 0 và thỏa mãn...1.5 Phương trình Einstein Phương trình trường hấp dẫn thu được từ nguyên lí tác dụng tối thiểu áp dụng (1.40) và (1.41) dụng cho tác ÔS = 0 (1.42) s* - Jd4x,/-gL(q>,V^(p) Sg mô tả bản thân trường hấp dẫn, s mô tả trường vật chất tương tác với trường hấp dẫn Phương trình chuyển động thu được từ nguyên lí biến phân đối vói tác dụng (1.42): 5S = ÔSg+ ôScp = 0 Tính lần lượt 6S„ và... (x).vj,b>(x) (và lấy tổng theo a, b) ta có ngay (2.39), trong đó: Yii( x )- v , l , a, ( x )Y(a) > g 11v( x ) b, (x)vt (x) = n» b v, , 1 a) Chú ý rằng vì là các vectornên v0 dưới tác dụng của phép biến đối tọa độ tổng quát Đạo hàm hiệp biến của Ỵ(X(x) và /l(x) = gl'LV(x)yv(x) được định nghĩa như đối với các... v được gọi là phương trình Einstein cho trường hấp dẫn Từ (1.52) ta có: R = 87iy.gMVTf;;p) = 87iyT((p) thay ngược lại vào (1.52), ta có: g,vT№) T( 'MYUV о Та biến đối số hạng cuối như sau: 5L fd4xJ=i 0LM„ 5 ô a f = fd^J^g 5L||V ySg’"' ô ổag 5 ổry - jd4xổa = jd4xaa /Ì—ỄỈỊ-Sg- v=í ÔL 8 ổ“g а Ị.IV 8g |AV như vậy (1.49) sẽ thành: 6Sf = 8ity.Jd4x/ÌT(,r.8g^ trong đó: s 3“g а ЦУ 5 0Vv = - Jd4xổc ÔL (1.50) •Sg (■IV 8 -3a < -ồg-' ô V-ỖL 6 ỔVV (1.51) rp(ip) = 1 j_ 8rcy 7g được gọi là tensor năng xung lượng của trường (p, Y là hằng số hấp... thức cuối cùng này đúng cho mọi hệ quy chiếu Vậy ta có: Jd4x/^SR|lv = |d4xV=^f Vv sr; -v„ sr; (1.46) Lại chú ý rằng trong hệ quy chiếu quán tính: Ví.g‘'v-Ổ,g- + r^gn'' + rLg- = 0 nên v,g"v = 0 trong mọi hệ quy chiếu (do cấu trúc tensor), và do đó ở vế phải của (1.46) ta có thể đưa gụv vào trong V và viết: Jd4x^-gg,lvSRllv = |d4x%/-g Vv g>"’5r; g^sr; (1.47) Tiếp tục biến đổi vế phải Xét VvFv với Fv = g^ôr", . trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều ” 2. Mục đích nghiên cửu LỜI CAM ĐOAN Mục đích của luận văn là tìm hiểu nghiên cứu về trường Spinor trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều. hạt Fermion và các phương trình chuyên động tương ứng đã được nghiên cứu nhiều trong khuôn khổ lý thuyết tương đối hẹp và cũng đã được xét đến trong khuôn khổ lý thuyết tương đối tổng quát trong. tensor trong lý thuyết tương đối rộng Chương 2: Trường spinor hiệp biến tổng quát Chương 3: Tương tác trường spinor - gauge và hấp dẫn NỘI DUNG CHƯƠNG 1 BIẾN ĐỐI TENSOR TRONG LÝ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI