Dịch chuyển đỏ Đường chân trời ( Thuyết tương đối tổng quát )

Dịch chuyển đỏ Đường chân trời ( Thuyết tương đối tổng quát ) tài liệu môn trường hấp dẫn của bộ môn vật lý lý thuyết vật lý toán trường đại học quốc gia thành phố hồ chí minh Đại học Khoa Học Tự Nhiên

Nguyn Th Thúy Qunh Lp: VLLT&VLT_K23 MSHV: 1331010 Dịch chuyển đỏ Gi s Mt Trng yên so vt, khi quan sát các vch quang ph ca quang ph Mt Tri, ta s thy chúng phân ra thành ba vùng. Vùng  gia là vùng thông ng, vùng có c sóng nh (tn s lnng ln ) là vùng cc tím, vùng có c sóng ln (tn s nhng nh ) là vùng hng ngoi. Nu bây gi Mt Tri dch chuyt vi mt vn t ln thì ta s c b nh quang ph mi ca Mt Tri s dch chuyn v c sóng l quang ph ca Mt Tri s tr  t Tri chuyn ng ra xa chúng ta, hii ta gi là dch chuy. c li, khi Mt Tri chuyn gt thì toàn b quang ph ca Mt Tri mà chúng ta thu c s tr  Trong thc t, khi thu nh quang ph ca các thiên hà, c thì i ta nhn thy tt c các ph u b dch chuy so vi b nh quang ph l ra nó phi có. Có rt nhiu nguyên nhân dn hi  ch lý gii hing này da trên lý thuyt ca dch chuy thông qua hiu ng Doppler: tn s ca các sóng phát ra t mt ngung ra xa mt quan sát viên, s c quan sát viên này nhn bi n s tht s ti ngun phát. Hing dch chuy cung cp cho vng bng chng quan sát trc tip nht chng t  . Công thc   dch chuy  tng quát      hc Robertson- Wallker vi metric không thi gian:                                                      Robertson  Wallker Xét mt s kin P 1 ti thm   , là s kin mng t phát ra mt photon vi tn s   Xét mt s kin P 2 ti thm   , là s kin mng th hai nhc photon va nêu trên vi tn s   Nu tìm c tn s   ca photon ti s kin P 2 t  dch chuy. Gi không  thi gian mô t s bc x ca mt tín hiu ánh sáng phát ra t P 1 và truyn P 2 Ti thiên hà xy ra s kin P 1 ta dng mt siêu mt   , trc thi gian và tip tuyn    .  y ra s kin P 2 ta dng siêu mt   , trc thi gian và tip tuyn    . T phi s dng ti mt khái nim mm v vector Killing. Vector Killing là vi t ca các vector sinh ca các phép bing (trong mt nhóm các phép bii ta ch chn ra các yu t sinh (vi t) ca nhóm  mô t). Khi ta tnh tin mt vt vi m   ca s tnh ting mô t i dng co hàm. Vector sinh là mng vector bnh tin mt vt rn thì khong cách gi  m trên vt r     i không b bin dy khi ta tnh tin mt vt th dc theo vector Killing thì v không b bin dng. Các bài toán dch chuy trong lý thuyi hp và lý thuyi rng b chi phi bi hai yu t: 1. Trong xp x quang hình hc, khi ánh sáng truyng tra thì các ng tr a     ng null ca nón ánh sáng (v=c), mà không phi là ng timelike (v<cng spacelike (v>c). Nón ánh sáng ca s kin P 2. Tn s ca mt tín hiu ánh sáng có vector sóng   i quan sát viên và 4-vector   là vector tip tuyn trên qu o timelike là:       là vector tip tuyn ca qu o timelike cng yên. Ta luôn luôn có th tìm thy tn s c bng cách tính nhng trc nh t nhng giá tr u ca    m phát ra tín hiu ánh sáng r phi c      m quan sát. Tuy nhiên, khi i xng tn ti, ta có th có cách làm ng bng cách s dng nhng d kic chng minh trong bng ph lc C3:  Gi   là    ng vector sinh ra m   ng mttham s.  Gi   là vector tip tuyi vng tra.      là mt hng s i dng tr Tc là nu ta ly vector Killing nhân vi tip tuyng tra thì ta s c mt hng s không i dng tra. Ta có th chn ng vector Killing không-thi gian   sao cho nó vng dc u ca   vào      , vng du ca   vào      . Tc là khi vector sóng   truy chn ng vector Killing sao cho  s kin P 1 nó song song vi   ,  s lin P 2 nó vn song song vi   bng cách ta tnh ting vector Killing. Gi s không gian là phng,  P 1 ta chn vector   là vector tip tuyn vng trc a d                      sao a t ch s i thành ch s i ri?       và      ng vector Killing. Do      và      là nht tiêu ti P 2 . Vì th hình chiu ca   vào   tm P 2       nên         n phng vector Killing. , có th chng minh s tn ti ca   ng hp mt cu và hyperbol. Trong mng hp (phng, c ln ca vector Killing    P 2 c bii t  ln ca nó  P 1 . S bii này phi t l thun v bii v  ln ca h s c c a t   n   :                               ng vector Killing ph thu ti mm. Áng tra null nên   là vector tip tuyn null nên nó vuông góc v ti mm bt k, các phép chiu ca     ph ln khi ta chiu lên mt   và   . Chiu   lên  ti u   lên vector Killing    ln: Ti P 1 :                      sao t ch a i thành ch b ri, và ch s i na?                           :                          Ngoài ra, tích trong ca vector Killing và vector tip tuyng tra ti P 1 và P 2 :                  Da trên công thc ca   và   ta có:                                                                                                             *      >       giãn n, kt hp vi biêu thc trên ta có:            c thì tn s photon phát ra ti P 1 khi nhn ti P 2 c s gi Dch chuy  tr c *      <       co li (gic), ta có:            c thì tn s photon phát ra ti P 1 khi nhn ti P 2 c s c sóng gim xung), bây gi ta có dch chuyn xanh (còn gi là dch chuyn tím). Gi z là h s dch chuy,   c sóng ánh sáng ti P 1 ,   c sóng ánh sáng ti P 2 , ta có:                                    i vi nhng ánh sáng phát ra t nhng thiên hà  i gn nhau   thi i x gn gn gii gian t. Gi khong cách gia các thiên hà là R (R  t ln so vi khong cách t n Mt Tri), ta có:       Khai trin Taylor ca      d lch ca      và      , ta có:                          T  vit li z:                                                           Vi H là hng s Hubble.      thc tuyn tính gia khong cách và dch chuy  mà c tính dch chuy s dc. H s dch chuy gi ph thuc vào khong cách gia chúng. Các hành tinh hay các thiên hà  càng xa nhau thì h s dch chuy càng ln so vi các hành tinh hay các thiên hà  gn.  c nên dch chuy c s dng rt ph bin trong vn duy nh chúng ta bit v các hành tinh, các thiên  vì chúng  quá xa chúng ta, có nh phi mi tt chúng ta nên ta phi bit dch chuy   tht s ca cá i tin hành nghiên cu chúng. Đường chân trời Trên nguyên tc, ti s kic thì ph ca chúng ta là bao nhiêu? ng hc bit ca  hc Robertson-Wallker, nhng quan sát ng nào (tc là các thiên hà) có th  tín hiu nm trong phm vi nh ng cng ti s kin P? Ranh gii ginh v mt vt th trong không  thi gian ) có th c  P  không th c  c gi là ng chân tri vi s kin P.  co dn v c khônglà m k d Big Bang, mu có th ng có th i các tín hiu cho nhau vào thm rt sm trong lch s  vì các quan sát viên  rt gn nhau. Tuy nhiên ta s thu này không th xy ra trong các mô hình ca Robertson-Wallker vi kh  giãn n  nhanh t m k d Big Bang. Ta s chng minh s tn ti ca ng chân tri trong mô hình Robertson-Wallker bao gm tt c ng hp trong bng 5.1 Ta s bu t ng hp ca mt phng:                    (5.3.10) Thc hin phép bii t  :        (5.3.11)                Ngoài ra:            Thay vào metric ca mt phng ta có:                                            (5.3.12)  dng này, metric n ch là mt b phn ca metric không  thi gian phng c gi là metric phng conformally (co li hoc giãn ra mà không b bin dng). T ng mt vector s là timelike, null, hay spacelike khi và ch ng) trong metric phng:              (5.3.13) Vì th, có th truyn mt tín hiu gia hai s kin (tc là liên kt hai s kin bng nhng cong timelike hay null) trong metric phng c và ch khi vic truyn tín hiu này có th thc hic trong metric phng (5.3.13). Vi  thy rng mt quan sát vin ti s kin P s có th nhn tín hiu t tt c ng khác khi và ch khi tích phân (5.3.11) phân k hay hi t  gm k d Big Bang, , c th:  Nu tích phân phân k, kh ng vng hp này là      khi  vi  là hng s, mô hình Robertson-Wallker không b bin dng khi co li hay giãn ra (conformally) s liên h vi không  thi gian Minkowski (tc là ) nên mi quan sát viên  u có th nhc tín hiu tt c ng khác, vì th s ng chân tri.  Nu tích phân (5.3.11) hi t, ta s c mt giá tr hu hn. Vy thi gian truyn  nhn tín hiu hu hn, vì th mt quan sát viên không th c tt c tt c . Mô hình Robertson-Wallker conformally s ch n phn không  thi gian trên mt mt ng vi t = hng s ng chân tri s tn ti. Hình v cho thy nguyên nhân ca cu trúc mô hình Robertson  Wallker  gm k d ng chân tri tn ti mà quan sát viên không th  ng khác.   y trong bng 5.1, vi k = 0, ngay c v ng h   bi ta có       .     ln nu P > 0, vi mi nghim Robertson- tích phân c hi t khi  ng chân tri s thc s xut hin. i vng hp không gian cu và hyperbol, khi , cách hành x ca     s tr nên ging vng hp trong mt phng vì s hng ch          có th b qua. M    cho thy rng nhng chân tri ging h phn ti vi mi nghim i vng h cu, phm vi không gian c hu hn, vy ng chân tri có tn t co ln din hay không? Trong bng chân tri tn ti ngay lúc s giãn n là ln nht, tc là mt tín hic phát ra t v n ln s  bng ng ln nht ca s giãn n, lúc này mt quan sát viên có th nhc các tín hiu t ng khác. Tuy nhiên s bc x chim toàn b  cu, mt tín hiu ánh sáng s  trong toàn b lch s c vì th ng chân tri vn hin din khi v co ln. S tn ti cng chân tr Robertson-Wallker dn mt s v: T tài lin v  cc ngn, ta có lý do chc ch tin r hin ti là ng nhng v chính xác cao, tc là vi hin t bt k t qu . Hin ti, nhiu h ng chng h khí b giam trong mt cái hc tìm thy trong các trng thái cc k ng nhng. Tuy nhiên, ging gp ca vic ti sao các h y là vì trong các trng nhng chúng có kh t t hóa (self-interact and thermalize). Vì th, ngay c h khí b giam trong hp  tru, nhng nht s nhanh chóng b ra sch vi thi gian t l vi thp. Tuy nhiên s gii thích này không th áp dng   vng chân tr      thm chí không th truyn tín hin nhau gn (far less interact sufficient)  nhit hóa ln  gii thích khác v s ng nhng c hin ti, phi gi nh rng: hoc (a)  t trng thái cc k ng nhng ng, hoc (b)        vi mô hình Robertson-Wallker vì không có ng chân trng nht và không ng ng (d damped outt dn) có l do ng c st ca vt cht hay do s tái phn ng (back-reaction) ca s tng ht, và  tr dgn mô hình Robertson-Wallker. S giu có l trái vi t nhiên  gii thích th c kim chng rng rãi vi s n s mt dn ca tính d ng nó v công trong vic tranh hp lý v s tin hóa t mt tr n mô hình Robertson-Wallker. tr t  i qua mt thi k n s m rng rt ln cng chân tri trong mô hình Robertson- Wallker. . Robertson-Wallker vì không có ng chân trng nht và không ng ng (d damped outt dn) có l do ng c st ca vt cht hay do. cng chân tr Robertson-Wallker dn mt s v: T tài lin v  cc ngn, ta có lý do chc ch tin r hin ti là ng nhng. trong các mô hình ca Robertson-Wallker vi kh  giãn n  nhanh t m k d Big Bang. Ta s chng minh s tn ti ca ng chân tri trong mô hình Robertson-Wallker bao gm tt c ng