Cosmology VŨ TRỤ ĐỒNG NHẤT ĐẲNG HƯỚNGTHUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG

Cosmology VŨ TRỤ ĐỒNG NHẤT ĐẲNG HƯỚNGTHUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG Tài liệu lý thuyết trường hấp dẫn bộ môn vật lý lý thuyết vật lý toán trường đại học quốc gia thành phố hồ chí minh Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên

Bài giữa kỳ môn Lý Thuyết Trường Hấp Dẫn

Sinh viên : Nguyễn Lê Hoàng

1 Vũ trụ đồng nhất và đẳng hướng

Trong khuôn khổ của vũ trụ học, sẽ rất khó nếu chúng ta chứng tỏ một lý thuyết mà chỉ tập trung vào các dữ kiện quan sát Chúng ta phải có tiếp cận trực tiếp cả suốt đời hoặc có khi phải tiếp cận và thu thập thông suốt lịch sử của nhân loại nhưng chỉ với một vùng không thời gian nhỏ của vũ trụ Trong khi các kính thiên văn chỉ quan sát được những thiên thể

ở xa và thông tin, dữ liệu mà ta ghi lại là thông tin nằm trong vùng quá khứ của nón ánh sáng Và do đó các số liệu đầu vào của vũ trụ học phải đến từ những xét đoán mang đậm tính triết học - và do đó chúng ta không mong chờ kiểm chứng một cách chắc chắn bằng thực nghiệm cho được Trong chương này, bằng việc đưa ra một mô hình vũ trụ học nó đã thành công trong việc mô tả tính chất của vũ trụ chúng ta hiện giờ

Từ thời có Copernicus, chúng không thể gán 1 điểm hay 1 vùng không gian nào đó có tính chất đặc biết, ví dụ như trung tâm vũ trụ hay ngoài rìa của vũ trụ Do đó nếu ta chọn bất kỳ vùng không gian nào trong vũ trụ thì các vùng xung quanh vùng không gian này đều

có tính chất như nhau Tính chất này gọi là tính đẳng hướng (isotropy) của vũ trụ - điều này đồng nghĩa với việc khi ta quan sát ở một thang đo đủ lớn thì chúng ta sẽ thấy rõ khi

ta đi chuyển theo bất kỳ hướng nào thì cũng đều như nhau (vật lý hay các đo đạc đều như nhau) Và các xét đoán mang tính triết học về sự đồng chất và đẳng hướng hoàn toàn đã được xác nhận bởi quan sát thực nghiệm

Các quan sát thực nghiệm của các thiên hà trong vũ trụ chúng ta cho ta thấy các quần thiên hà trên một thang đo lớn và các quan sát gần đây thì đã cho thấy rằng có những vùng trống giữa các thiên hà, nhưng trong một thang đo lớn nhất thì các thiên hà này vẫn phân

bố đều và đẳng hướng Việc xác định số lượng nguồn radio và sự đẳng hướng của bực xạ tia

X và tia γ đã khẳng định sự đúng đắn của của giả thiết đẳng hướng và đồng nhất Ngoài

ra, một kiểm chứng thực nghiệm khẳng định khá mạnh về sự đồng nhất và đẳng hướng của

vũ trụ chính là thí nghiêm do bức xạ phông nền vũ trụ ở nhiệt độ 3K

Vậy từ giả thiết đồng nhất và đẳng hướng chúng ta đi tìm biểu diễn toán học của các giá thiết này Nói đơn giản, tính đồng nhất của vụ trũ có thể hiểu rằng tại bất kỳ thời điểm cho trước nào đó, mỗi điểm trong không gian sẽ giống như bất kỳ điểm khác cũng trong không gian đó Một hình thức luận chính xác có thể viết như sau : một không thời gian được xem

là đồng nhất nếu tồn tại một họ không thời gian một tham số Σt xếp chồng lên không thời gian, ví dụ cho mỗi biến t và với mọi điểm p, q ∈ Σt, thì tồn tại một phép đẳng cự của metric không thời gian, gab, mà biến p thành q

Còn từ giả thiết đẳng hướng, cần phải chỉ ra rằng, một cách tổng quát, tại mỗi điểm, quan sát viên đều thấy vũ trụ là đẳng hướng Ví dụ, nếu vật chất thông thường lấp đầu toàn bộ vũ trụ, mọi quan sát viên chuyển động tương đối với vật chất phải thấy sự phân bố vật chất không đồng đều của vũ trụ Vậy ta có thể suy ra lập luận toán học cho giả thiết đẳng hướng như sau : một không thời gian được nói là đẳng hướng tại mọi điểm nếu tồn

1

tại một đồng dư trên các đường cong timelike, với đoạn tiếp xúc cho bởi ua, lấp đầy không thời gian và thỏa tính chất sau Cho bất kỳ điểm p và bất kỳ 2 thành phần đơn vị vector tiếp xúc sa1, sa2 ∈ Vp, thì tồn tại một phép đẳng cự của gab mà làm cho p và ua tại p cố định nhưng xoay ua1 thành ua2

Metric không thời gian, gab, bao gồm một metric Riemann, hab(t) trên mỗi siêu mặt Σt bị giới hạn bởi metric không thời gian gab tại mỗi p ∈ Σt cho tới các vector tiếp xúc với Σt Hình học bên trong các siêu mặt Σt bị giới hạn bởi 2 yêu cầu sau là :

• Vì tính đồng nhất của mỗi siêu mặt này, phải có một đẳng cự của hab mà biến p ∈ Σt

thành một điểm bất kỳ q ∈ Σt

• Vì tính đẳng hướng, sẽ không xây dựng được bất kỳ "preferred vector" nào trên Σt Chúng ta sẽ chỉ ra yêu cầu thứ hai được suy ra từ tính đẳng hướng Xét một tensor Riemann

(3)Rd

abc được xây dựng từ hab từ Σt, nếu ta nâng chỉ số thứ 3 với hab, chúng ta có thể xem

(3)Rcdab tại điểm p như là một ánh xạ tuyến tính , L, của không gian vector tại p vào chính

nó L : W → W Từ phương trình (3.2.20) thì thì L đối xứng (??) Do đó W có một hệ cơ sở trực giao của các vector riêng của L, và để không vi phạn tính đẳng hướng, tất cả các vector riêng của L phải bằng nhau , điều này có nghĩa là L là phép nhân với một toán tử đơn vị

do đó, phép biển đổi cho bởi (3)Rcd

ab cho bởi

(3)Rcdab = Kδ[acδb]d (2) nếu ta hạ các chỉ số mũ thì ta có

(3)

Từ yêu cầu của sự đồng nhất thì K phải là một hằng số, và từ điều kiện của tính đẳng hướng tại mỗi điểm thì K phải là hằng số, để chứng minh, ta thế (3) vào định thức Bianchi

trong đó De là đạo hàm trên mặt phẳng Σt tương ứng với tensor metric 3 chiều hab Trên một đa tạp có số chiều hơn hay bằng 3, vế bên phải của phương trình sẽ bằng không khi và chỉ khi DeK = 0

Một không gian mà phương trình 3 được thỏa mãn thì được gọi là một không gian của độ cong hằng số Nó có thể chứng minh rằng bất kỳ 2 không gian của độ cong hằng số của cùng

số chiều và dấu của metric thì các giá trị bằng nhau của K phải đồng đẳng Do đó, việc xác định các độ cong hình học của các không gian Σf sẽ hoàn tất nếu chúng ta có thể xác định hết toàn bộ các giá trị của K Điều này có thể dễ dàng thực hiện Các giá trị dương của K

có thể được mô bởi các hình cầu 3 chiều, được xác định bằng các mặt phẳng trong không thời gian phẳng Euclid R4 mà hệ trục Cartesian thỏa

Trong hệ tọa độ cầu, metric của khối cầu đơn vị cho bởi

2

Giá trị K = 0 thì cho bởi hệ tọa độ 3 chiều của không gian phẳng Trong hệ Cartesian, metric này cho bởi

Cuối cùng, các giá trị âm của K thì được cho bởi các huperboloids 3 chiều được định nghĩa như là mặt trong một không thời gian Lorentz 4 chiều mà đệ tọa độ thỏa mãn

Trong hệ tọa độ hyperbolic, metric của hyperbolic đơn vị cho bởi

Nếu vũ trụ của chúng ta được mô tả bởi hình học của các không thời gian trên (được mô

tả thông qua các giá trị của K) sẽ là đóng (không có biên) nếu K dương và sẽ là mở nếu K bằng không hoặc có giá trị âm

Nếu một quan sát viên đẳng hướng và trực giao với mặt phẳng đồng nhất, chúng ta có thể

mô tả metric không thời gian 4 chiều gab như sau

mà với mỗi t, hab(t) là metric của (a) khối cầu, (b) không gian Euclidean phẳng và (c) một hyperboloid, và định vị tại Σt Cuối cùng, nếu ta đánh dấu mỗi siêu mặt bởi thời gian riêng,

τ , cho bởi một đồng hồ của người quan sát đẳng hướng Do đó, τ và hệ tọa độ không gian đánh dấu mỗi sự kiện xảy ra trong vũ trụ Metric không thời gian cho bởi

ds2 = −dτ2+ a2(τ )







dψ2+ sin2ψ(dθ2+ sin2θdφ2)

dx2+ dy2+ dz2

dψ2+ sinh2ψ(dθ2+ sin2θdφ2)

(11)

Khoảng (11) cho ta tensor metric của mô hình vũ trụ Robertson - Walker

2 Động lực học của vũ trụ đồng nhất, đẳng hướng

Công việc của chúng ta bây giờ là bằng cách sử dụng metric không thời gian cho bởi (11), thế vào phương trình Einstein

Gab ≡ Rab− 1

2gabR = 8πT

để có thể nhận được cách tính chất và vật lý của vũ trụ Việc đầu tiên chúng ta phải làm

là mô tả thành phần vật chất bên trong vũ trụ thông quan tensor năng xung lượng Tab mà nằm ở vế bên phải của phương trình Einstein Phần lớn năng lượng từ khối lượng của vũ trụ được xem là đến từ vật chất thông thường Ở một thang đo cỡ vũ trụ mà chúng ta đang làm việc thì mỗi thiên hà có thể lý tưởng hóa như là các hạt bụi Các vận tốc trung bình của các thiên hà này là nhỏ, và do đó áp suất của các "hạt bụi" này gây ra có thể bỏ qua Vì tính đồng nhất và đẳng hướng, ta có thể xem các thiên hà này là một chất điểm và đường thế giới của các thiên hà này là giống với đường thế giới của một quan sát viên đẳng hướng

3

Do đó, ở một gần đúng nào đó, tensor năng xung lượng của vật chất trong vũ trụ có thể cho bởi

trong đó ρ là mật độ khối lượng trung bình của vũ trụ Tuy vậy, các dạng khác của năng lượng - khối lượng vẫn tồn tại trong vũ trụ Như đã nói ở trên, một phân bố nhiệt khoảng 3K lấp đầy vũ trụ Bức xạ này có thể được mô tả bởi một dòng năng xung lượng, nhưng

áp suất của nó là khác không, cho bức xạ nhiệt không có khối lượng, chúng ta có P = ρ/3

Sự đóng góp của bức xạ này vào thành phần năng xung lượng vào vũ trụ hiện nay có thể

bỏ qua Nhưng lượng bức xạ này đóng góp nhiều vào vũ trụ trong thời kỳ đầu nên trong phương trình Einstein, chúng ta sẽ dùng tensor năng xung lượng có dạng 1 dòng lý tưởng như sau

Công việc tiếp theo của chúng ta là đi tính toán tensor Gab từ metric cho bởi (11) và cân bằng với 8πTab Như vậy chúng ta sẽ có 10 phương trình tương ứng với 10 thành phần của một tensor năng xung lượng hai chỉ số đối xứng, nhưng ở đây sau các tính toán thì ta chỉ giữ lại 2 phương trình Giả sử như tensor Gabub không thể có thành phần không gian, nếu không tính đẳng hướng sẽ bị vi phạm, do đó thành phần thời gian - không gian không thể tồn tại

trong đó Gτ τ = Gabuaub vàG∗∗= Gabsasb, trong đó sa là bất kỳ vector đơn vị nào tiếp tuyến với mặt phẳng đồng nhất

Ta sẽ làm việc với trường hợp k = 0 trước và dạng của khoảng cho bởi

Các thành phần của ký hiệu Chirstoffel cho bởi

Γxτ x = Γxxτ = Γyτ y = Γyyτ = Γzτ z = Γzzτ = ˙a

trong đó ˙a = da/dτ Do đó, bằng phương trình (3.4.5) thành phần độc lập của tensor Ricci cho bởi

Rτ τ = −3¨

R∗∗= Rxx

a2 = ¨

a + 2

˙a2

do đó

R = −Rτ τ + 3R∗∗= 6 ¨a

a +

˙a2

a2



(21) 4

ta rút ra được các phương trình Einstein

Grr= Rrr+ 1

2R =

3 ˙a2

G∗∗ = R∗∗− 1

2R = −2

¨

a − ˙a

2

sử dụng phương trình thứ nhất chúng ta viết lại phương trình thứ hai

3¨

Tiền hành tính toán lại với k = ±1 ta nhận được các phương trình mô tả động học của một

vũ trụ đồng tính và đẳng hướng

3˙a

2

a2 = 8πρ − 3k

3¨

Kết quả đầu tiên là kết luận về vũ trụ không thể tĩnh được và chỉ có thể nhận được từ ρ > 0

và P ≥ 0 Kết luận này được rút ra từ phương trình (26) mà chỉ cho chúng ta rằng ¨a < 0

Do đó vũ trụ của chúng ta phải luôn giãn nở hoặc luôn luôn co lại Lưu ý rằng trong sự giãn

nở hoặc co lại thì khoảng cách giữa các quan sát viên đẳng hướng thay đổi theo thời gian, nhưng không tồn tại trung tâm của sự giãn nở hoặc co lại Do đó, nếu khoảng cách giữa 2 quan sát viên đẳng hướng giữa thời gian r là R thì sự thay đổi của R cho bởi

v ≡ dR

R a

da

trong đó H = ˙a/a là hằng số Hubble Lưu ý rằng phương trình (27) thì được biết là định luật Hubble Lưu ý rằng v có thể lớn hơn vận tốc anh sáng nếu R đủ lớn Điều này không

vi phạm các nguyên lý cơ bản của lý thuyết tương đối và đặc biệt rằng là "không có gì có thể chuyển động với vận tốc nhanh hơn vận tốc ánh sáng." vì nguyên lý tương đối dựa trên phép đo đạc vận tốc địa phương tại cùng một sự kiện không thời gian, chứ không phải việc xác định vật tốc giữa 2 vật cách xa nhau

Sự giãn nở của vũ trụ của vũ trụ liên quan tới các phương trình (27) được xác định bằng các quan sát dịch chuyển đỏ từ các thiên hà ở xa Khi đưa ra kết quả này, kết quả mô tả

vũ trụ là động, Einstein không hài lòng với kết quả này nên đưa vào phương trình của mình một hằng số vũ trụ với mục đích là nghiệm thu được cuối cùng là mô tả vũ trụ tĩnh

trong đó Λ là hằng số vũ trụ, từ phương trình ta đã đưa ra thêm một vế để điều chỉnh phương trình Einstein sao cho thu được nghiệm vũ trụ tĩnh Nếu Λ 6= 0, chúng ta không nhận được lý thuyết Einstein trong trường yếu, nhưng nếu Λ đủ nhỏ thì ở gần đúng bé thì

ta vẫn thu được lý thuyết Einstein Nhưng sau khi Hubble tìm ra được bằng chứng khẳng định vũ trụ là động và các phương trình trên mô tả đúng thì Einstein phải bỏ đi hằng số vũ trụ để lý thuyết vẫn có thể rút ra được các kết quả mong đợi từ thực nghiệm

Giả sử rằng vũ trụ của chúng ta đang giãn nở, ˙a > 0, chúng ta biết được rằng từ phường trình (26) rằng ¨a < 0 do đó vũ trụ phải giãn nở nhanh hơn tại một thời điểm trong quá khứ

5

Nếu vũ trụ luôn giãn nở với vận tốc hiện tại thì tại tất cả mọi vật chất sẽ tập trung lại một điểm trong quá khứ Nếu vũ trụ luôn giãn nở với vận tốc bây giờ thì tại thời điểm t = H−1 thì chúng ta luôn có rằng a = 0, và như vậy tại thời điểm lâu hơn H−1 thì toàn bộ vũ trụ được đặt tại 1 điểm và điểm không thời gian này là vô cùng Trạng thái này được gọi là Big Bang

Trước khi thảo luận các dự đoán của lý thuyết tổng quát về sự phát triển của vũ trụ, chung

ta đi tới các phương trình mô tả mật độ vật chất của vũ trụ Ta nhân phương trình (25) với

a2, đạo hàm theo τ và khử ¨a bằng phương trình (26) ta nhận được

˙

ρ + 3(ρ + P )˙a

do đó, với bụi P = 0

và với bức xạ

Trong trường hợp này thì mật độ năng lượng giảm nhanh hơn khi a tăng bởi vì hệ số tăng thể tích a3, do đó bức xạ trong mỗi đơn vị thể tích thực hiện công lên vùng khung quanh

nó khi vũ trụ giãn nở Nếu so sánh 2 phương trình (30) và (31) thì thành phần bức xạ của

vũ trụ hiện giờ có thể bỏ qua được, nhưng ở quá khứ thì thành phần năng lượng bức xạ lại đóng góp nhiều hơn so với thành phần cho bởi vật chất

Các đại lượng của vụ trụ có thể được xem xét, nếu k = 0 và k = −1 thì từ phương trình (25) chứng tỏ rằng ˙a luôn khác không Do đó, nếu vũ trụ hiện giờ giãn nở thì nó sẽ giãn nở mãi mãi Thực vậy, nếu P ≥ 0, ρ phải giảm khi mà a tăng ít nhất cũng phải nhanh cỡ a−3, giá trị của bụi Do đó ρa2 → 0 khi a → ∞ Từ đầy, nếu k = 0, vận tốc giãn nở ˙a sẽ dần tiến tới không khi τ → ∞, trong khi k = −1 chúng ta có ˙a → 1 khi τ → ∞

Tuy vậy, nếu k = +1, vũ trụ không thể giãn nở mãi được Thành phần đầu tiên của vế tay phải của phương trình (25) giảm với a nhanh hơn thành phần thứ 2 giảm, và do đó, thành phần bên vế trái phải dương và sẽ có một giá trị cực đại, ac Do đó sau một thời gian hữu hạn sau big bang thì vụ trụ sẽ giãn nở tới một bán kính ac và từ đó sẽ co lại

Ta sẽ đi tới việc giải các phương trình (25) và (26) cho các trường hợp bụi và bức xạ, các đơn giản nhất là khử ρ từ phương trình (30) Như vậy cho bụi ta có

˙a2−C

trong đó C = 8πρa3/3 là một hằng số Đối với bức xạ

˙a2 −C

0

trong đó C0 = 8πρa4/3 là một hằng số Ta tiến hành giải các phương trình này với k = −1, 0, 1

và ta sẽ thu được 6 nghiệm từ các phương trình này Tuy nhiên nghiệm với một vũ trụ bụi

và đóng được tìm ra bởi Friedmann và được gọi là vụ trụ Friedmann

6

3 Nghiệm vũ trụ Friedmann

Từ phương trình

˙a2−C

và sử dụng thêm biến η để đưa vào quá trình tính toán

dτ

ta viết lại (34)

 da dη

2

1

a2 −C

với k = 1 giải phương trình trên ta nhận được

1

2(η)2

1 + tan12(η)2

(37)

= C sin 1

2(η)

2

và τ cho bởi

τ =

Z

tương tự như vậy ta làm với k = −1 ta nhận được

và khi k = 0, ta không cần tới biến η này

a = 3 2

2/3√

ta tiến hành vẽ hình

7

Hình 1: k = −1 và k = 1

Hình 2: k =0

8