Ứng dụng bài toán hai hạt nghiên cứu mức độc bền của hạt nhân Deuteron

Ứng dụng bài toán hai hạt nghiên cứu mức độc bền của hạt nhân Deuteron

Lớp: SP Lý K31 MSSV: 1050115

Cần Thơ, 2009

"Ứng dụng bài toán hai hạt nghiên cứu mức độ bền của hạt nhân Deuteron" làm

luận văn tốt nghiệp cho mình

II PHẦN NỘI DUNG

Gồm 44 trang được chia làm 3 chương:

Chương 1 Các toán tử biểu diễn biến số động lực

Nội dung của chương này được trình bày trong 27 trang từ trang 6 đến trang 33 Đưa ra dạng các toán tử biểu diễn biến số động lực như toán tử tọa độ, xung lượng, momen động lượng, năng lượng

Toán tử năng lượng: Ux y z

m

22

y i P

x i P

z y x

z

x x z i P x P z L

y

z z y i P z P y L

x y z

z x y

y z x







Dạng của các toán tử H,L2 ,Lz trong tọa độ cầu:

2 2 2

2 2 2

sin

11sin

sin

111

r

r r r m H

l m m l

m m m

d

d l

m l

m l l

cos cos

1

! 2

1

! 4

! 1

2 1

Y Y

cos4341

1 1

0 1

0 0

Chương 2 Bài toán hai hạt với hạt nhân Deuteron

Chương này được trình bày trong 14 trang từ trang 33 đến từ 47 Nội dung chính

là trình bày một vài đặc trưng của hạt nhân Deuteron và đưa chuyển dộng của hạt nhân Deuteron về bài toán hai hạt

Cho rằng hạt nhân Deuteron là hệ kín và viết được phương trình mô tả chuyển động của hạt nhân Deuteron là:

  0

2 2 2

mm m

m

m m

n p

H, 2 ,

) 1 ,

1 (

) 0 , 1 (

) 0 , 0 (

m l m l

Chương 3 Tính bền vững của hạt nhân Deuteron

Chương này được trình bày trong 5 trang từ trang 47 đế trang 52 Trong phần này

ta đưa ra giả thuyết hố thế năng đối xứng cầu để mô tả tính không bền của hạt nhân Deuteron và coi rằng chuyển động của hạt nhân Deuteron tương đương với hạt chuyển

động trong hố thế có độ sâu U 0 , bề rộng bằng a.

Hố thế năng đối xứng cầu

Ta tính được độ sâu của giếng thế U 0 =33,8 (MeV).

Hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản có năng lượng đúng bằng năng lượng liên kết

Do đó E U0 hay  E  U0 thì hạt nhân Deuteron nằm ở miệng giếng

lực liên kết yếu rất dễ bị phá vỡ và chỉ cần cung cấp cho hạt một năng lượng E=2,2

(MeV) thì hạt sẽ nhảy ra ngoài giếng Điều này có nghĩa là hạt nhân Deuteron có cấu tạo không bền vững Cuối cùng ta sẽ nghiệm lại tính không bền của hạt nhân Deuteron bằng hiệu ứng đường ngầm

III PHẦN KẾT LUẬN

Bằng việc áp dụng bài toán hai hạt trong hệ kín cụ thể là sử dụng phương trình Schrodinger, cùng với lý thuyết chuyển động của hạt trong giếng thế, ta đã giải thích thành công nhận định của thực nghiệm: "Hạt nhân Deuteron là hạt nhân không bền vững"

Sau đây, em xin giới thiệu luận văn: "ỨNG DỤNG BÀI TOÁN HAI HẠT NGHIÊN CỨU MỨC ĐỘ BỀN CỦA HẠT NHÂN DEUTERON" cùng quý thầy

cô và các bạn

O

-U 0 -E

U(r)

r

a

) ( 2 ,

2 MeV W

E   

Trong lĩnh vực nguyên tử và hạt nhân, dựa trên cơ học lượng tử người ta đã giải thích khá thành công về cấu trúc nguyên tử nhưng lại chưa biết đầy đủ về các lực và cấu trúc bên trong hạt nhân Lý thuyết hạt nhân hiện nay vẫn ứng dụng phương trình Schrodinger để giải thích cấu trúc cũng như những biến đổi bên trong hạt nhân Con người đã gặp không ít khó khăn khi đối đầu với bài toán nhiều hạt gồm các hạt proton

và neutron Do đó, các nhà vật lý lý thuyết đã chọn Deuteron là hạt nhân nhiều hạt đơn giản nhất trong số các hạt nhân được biết làm đối tượng để tìm hiểu về vật lý hạt nhân Đây là bài toán hai hạt mà ta có thể giải đến cùng Sự phân tích kĩ lưỡng hệthống này cho phép ta tìm hiểu về lực hạt nhân, điều mà ta không dễ dàng tìm thấy từviệc nghiên cứu các hạt phức tạp

Mặt khác, khi nghiên cứu hạt nhân nguyên tử ta thấy trong tự nhiên tồn tại hai loại hạt nhân là bền và không bền, có những hạt nhân rất dễ bị phá vỡ và có những hạt có thể tự phá vỡ mình để trở thành hạt nhân khác Vậy hạt nhân Deuteron có bền haykhông và mức độ bền vững của nó như thế nào? Cơ học lượng tử đã giải quyết vấn đềnày ra sao? Đây là một hướng để ta tìm hiểu rõ hơn về bản chất của lực hạt nhân cũng như khả năng áp dụng phương trình Schrodinger để giải bài toán nhiều hạt Với suy

nghĩ đó, em đã chọn đề tài:" Ứng dụng bài toán hai hạt nghiên cứu mức độ bền của hạt nhân Deuteron" làm luận văn tốt nghiệp cho mình.

1.2 Các mục tiêu của đề tài

Hạt nhân Deuteron là hạt nhân không bền vững rất dễ bị phá vỡ so với các hạt nhân khác Để giải thích tính không bền vững của hạt nhân Deuteron ta cần giải quyết tốt các vấn đề sau:

∙ Tìm dạng của các toán tử H ,L2 ,LZ và hàm riêng của chúng trong tọa

độ cầu

∙ Ứng dụng bài toán hai hạt cho hạt nhân Deuteron

∙ Sử dụng dạng hố thế đối xứng cầu để giải thích tính không bền của hạt nhân Deuteron

∙ Nghiệm lại sự không bền vững của hạt nhân Deuteron bằng hiệu ứng đường ngầm

Hạt nhân Deuteron là một hệ gồm hai hạt proton và neutron liên kết với nhau

thông qua lực hạt nhân Để giải thích tính không bền của hạt nhân Deuteron ta phải áp dụng bài toán của hệ kín gồm hai hạt cho hạt nhân Deuteron và giải phương trình Schrodinger đối với hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản trong hệ tọa độ cầu Hơn nữa, ta đã biết trong cơ học lượng tử sử dụng các biến số động lực trong cơ học cổđiển để mô tả trạng thái chuyển động của hệ nhưng khác ở chỗ chúng được mô tảbằng các toán tử Do đó, ta phải tìm được dạng của các toán tử biểu diễn các biến sốđộng lực từ đó tìm được hàm riêng của toán tử năng lượng trong tọa độ cầu Nếu ởtrạng thái cơ bản ta chứng minh được hàm sóng mô tả trạng thái của hạt chỉ phụ thuộc

vào bán kính r trong hệ tọa độ cầu thì bài toán sẽ đơn giản rất nhiều Điều này chỉ có

được khi ta chứng minh rằng hàm cầu (hàm sóng mô tả trạng thái của hạt chỉ phụthuộc vào các góc trong hệ tọa độ cầu) của hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản là một hằng số Sau khi thiết lập được phương trình Schrodinger cho hạt nhân Deuteron

ở trạng thái cơ bản ta sẽ sử dụng hố thế đối xứng cầu để giải thích tính không bền của hạt nhân Deuteron Cuối cùng là nghiệm lại vấn đề bằng hiệu ứng đường ngầm

1.3 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài được thực hiện từ việc kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu:

∙ Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

∙ Phương pháp toán học

∙ Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết từ việc đọc sách và tài liệu tham khảo

1.4 Các bước thực hiện đề tài

∙ Nhận đề tài vào tháng 9 năm 2008

∙ Sưu tầm tài liệu, nghiên cứu lý thuyết

∙ Viết bài báo cáo luận văn

∙ Bảo vệ đề tài luận văn

1.5 Các thuật ngữ quan trọng trong đề tài

Hạt nhân Deuteron là hạt nhân của nguyên tử Deuterium 2H

1 , là một hệ hai hạt gồm proton và neutron liên kết với nhau bằng lực hạt nhân Đây là hạt nhân đơn giản nhất trong số các hạt nhân nhiều hạt mà ta đã biết

Bài toán hai hạt là bài toán xác định phương trình mô tả chuyển động của một hệgồm hai hạt chỉ tương tác với nhau thông qua một thế xuyên tâm

Hố thế đối xứng cầu: hạt chuyển động trong trường lực với thế năng U được xác

định bằng biểu thức:







 0 ) ( U0

r

r a

a r





PHẦN II

NỘI DUNG

Chương I CÁC TOÁN TỬ BIỂU DIỄN BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC

1.1 Toán tử tọa độ và toán tử xung lượng

Mặt khác, nếu  x là mật độ xác suất để hạt có tọa độ là x và lưu ý rằng tích của

tọa độ với các hàm sóng là giao hoán được thì ta cũng có:

So sánh hai biểu thức trên ta được:

Nghĩa là, toán tử chỉ là phép nhân với tọa độ x .

1.1.2 Toán tử xung lượng

Ta đã biết rằng hạt tự do có năng lượng E, xung lượng P thì tương ứng với một sóng phẳng có dạng:

Trong đó, hình chiếu của xung lượng là xác định nên hàm sóng

y y

Đưa biểu thức của Px vào phương trình trị riêng ta được:

Biến đổi vế trái ta được:

Ta thấy hai vế của phương trình bằng nhau

Vậy:

x i

1.2 Toán tử năng lượng và toán tử momen động lượng

1.2.1 Toán tử năng lượng

Trong cơ học cổ điển:

x r t P r t P e

0 )

, ( )

, (

z i P

y i P

x e P e P

H    , ,

m

P P P m

P

2 2

2 2 2

e P e

x e P e

0 0



T

Trong đó,  2 là toán tử Laplace có dạng:

1.2.2 Toán tử momen động lượng

Cơ học cổ điển có hệ thức momen động lượng là:

Theo nguyên lý tương ứng, ta có:

z x y

y z x

P y P x L

P x P z L

P z P y L

2

2 2

2 2

2 2

z y

22

z x y

y z x

yP xP L

xP zP L

zP yP L

z i P z z

y i P y y

x i P x x

z y x

2 2 2

2 2

P P P m

P

z y

x P P P

z y x

k j i





r P L

Ta cũng có:

Nguyên lý tương ứng cho ta:

Như vậy, ta đã tìm được dạng của các toán tử biểu diễn biến số động lực đặc trưng cho trạng thái chuyển động của hệ trong cơ học lương tử Để tìm được hàm riêng của toán tử năng lượng trong tọa độ cầu ta cần giải phương trình trị riêng của các toán

tử Muốn vậy, ta phải tìm dạng của các toán tử trong tọa độ cầu Nếu ta chứng minh được hàm cầu của hệ ở trạng thái cơ bản là một hằng số thì bài toán sẽ đơn giản hơn, vì khi đó hàm sóng của hệ chỉ phụ thuộc vào một biến số duy

nhất là khoảng cách r tới góc tọa độ.

1.3 Tọa độ cầu và dạng của các toán tử trong tọa độ cầu

y

z z y i P z P y L

z x y

y z x

sin sin

cos sin

r z

r y

r x

2 2 2 2

z y

x L L L

x

y y

x z

x x

z y

z z y L

L L

z

yM

H, 2 ,



, ,

H, 2 ,

Trần lê Duy

Chuyển từ tọa độ Descartes sang tọa độ cầu

Hay

1.3.2 Dạng của các toán tử H ,L2 ,Lz trong tọa độ cầu

Như phần trên ta đã biết các toán tử momen động lượng trên các trục tọa độ được viết dưới dạng sau:

Và toán tử bình phương momen động lượng được xác định thông qua các toán tửthành phần:

Trong cơ học lượng tử, đôi khi giải bài toán trong tọa độ cầu lại đơn giản hơn Vậy ta hãy tìm dạng các toán tử momen động lượng trong tọa độ cầu, ta có thể áp dụng chúng trong việc giải các bài toán trong cơ học lượng tử

a).Chuyển các đạo hàm trong tọa độ Descartes sang tọa độ cầu

Vì trong các biểu thức của toán tử momen động lượng có chứa các đạo hàm theo

y tg

z y x r



cos

2 2 2

y arctg

z y x r

2 2 2

2 2 2

z

x x z i P x P z L

y

z z y i P z P y L

x y z

z x y

y z x

1 1

2

x

y y

x z

x x

z y

z z y L

L

L

2 2 2

( cos )( sin cos ) ( sin cos ) ( sin sin )

tọa độ nên ta phải chuyển các phép tính đó sang tọa độ cầu

Xét một hàm Khi đó ta có:

Để thực hiện các công thức chuyển này thì ta phải tính các đạo hàm riêng

Thế (1.6),(1.7),(1.8) vào (1.5) ta được:

Tương tự, từ (1.5) ta cũng có các biểu thức chuyển các đạo hàm sang tọa độ cầu

( , , )

f  f r 

 1 5

z





 ,

.

,

,

x

x

x

r











  

x x

x

r r







































x

f x

f x

r r

f x

f







































cos sin cos

sin

*

2 2 2

2 2 2

























r

r z y x

x x

z y x x

r



cos sin









x

r



































2 2 2 2 2

2 2 2 arccos

*

z y x y x

zx x

z y x z x



r r

x













sin

cos sin







r x





  cos cos







sin sin

*

( sin cos ) ( sin sin )

y arctg

x

 

  

      







sin

sin

r

x  





 1 7

 1 6







































sin

sin 1 cos

cos

1 cos

sin

r r

r

Thay (1.12), (1.13), (1.14) vào (1.10) ta được:

 1 11

10 1

z z

z

r r z

y y

y

r r y





















































































2 2 2

2 2 2



 sin sin









y

2 2 2

2 2 2 2 2

arccos

*

z





2

( cos )( sin sin ) ( sin cos ) sin sin





r y





  cos sin













2 2 2

cos sin

*

r

r y x

x y

x

y arctg

































sin

cos

r











































sin

cos 1 sin

cos

1 sin

sin

r r

r

2 2 2

2 2 2

*

z y x

z z

z y x z

r





















 cos









z





sin 1

arccos

*

2 2 2

r z

z y x z































   1



Thay (1.9), (1.15), (1.19) vào (1.1), (1.2), (1.3) ta lần lượt tìm được các biểu thức

của toán tử momen động lượng trong tọa độ cầu

cos

1sin

sincos

r r

r r

cos

1 cos

sin cos

r r

r r

coscos

sin

r r

y arctg z

r r

1 (cos

sin cos (

d) Dạng của trong tọa độ cầu

2

sin

1 sin

Trong đó:

là toán tử Laplace cầu

f) Dạng của tóan tử Hamilton trong tọa độ cầu

Toán tử năng lượng có dạng :

cos

1 sin

sin sin cos

r r

r r

cos

1 cos

sin sin sin

r r

r r

 ,2 2

sin

1 ,

H    , ,

2 2 2

2 2 2

2 2

P P P m P

1 1 1

2 2 2 2

2 2

2

r U r

r r

r r r m

1.4 Sự giao hoán giữa các toán tử

Hai toán tử chỉ giao hoán được với nhau khi và chỉ khi giao hoán tử của chúng bằng 0

*Ta sẽ chứng minh giữa các toán tử momen động lượng có các hệ thức sau:

sin

1 ,

2 1 2

L T

 2 2

2

, 1

( , , ) 2

x z

y

z y

x

L i L L

L i L L

L i L L







, , ,

x L L L L L

L ,

Suy ra:

Hoán vị vòng quanh các tọa độ x,y,z ta được kết quả tương tự:

**Sự giao hoán giữa các toán tử

*Sự giao hoán giữa

z y

z z y

y z

x x z

xz y

x z

xy y x

z z x zy

2 2

2 2

2

2 2



 , , 2

xz x y

z z

xy x z

yz x

2

2 2



y x

z

x z

y

L i L L

L i L L

x L i L

Lần lượt nhân vào bên phải và bên trái của (1.26) với ta được:

2 2 2 2

2 2

z z y x z

y x z

L L L L

L L L L L

L L L

Hay

y x y z y y z

y x y

z y z y

y x y

y z y z y

y x y

z y

L L i L L L L L

L L i L L L L L

L L i L L L L L L

L L i L L L

y y

z L L L i L L L L

2 2

1 28

y

L

x y x z x x z

x y x

z x z x

x y x z x x z

x y x

z x x z

L L i L L L L L

L L i L L L L L

L L i L L L L L

L L i L L L L L

2

*

*

x y y z y z y

x y y

z y z y

x y z y y

L L i L L L L L

L L i L L L L L

L i L L L L

x x

2    





z z z

z L L L

0, 2

Vậy giao hoán được với nhau nên chúng có chung hàm riêng

L

z

,2 2 2

H, 2 ,

0 0 0

, L

H

2

2 ( ) 2

z L U r L mr

L L

T r

0 0 0

0   

 0 ,

z U r L

mr

L T L

2

2

1.5 Trị riêng của toán tử Phần phụ thuộc của hàm sóng

Trong hệ tọa độ cầu thì biểu thức của toán toán tử chỉ chứa các tọa độ

và các đạo hàm riêng theo hai tọa độ này Do đó, đối với hàm sóng (hàm riêng

của hai toán tử này) ta cũng chỉ xác định phần phụ thộc của hàm sóng mà

thôi, còn phần phụ thuộc vào r coi như được chứa trong hằng số nhân Phần phụ thuộc

của hàm sóng ta gọi là hàm cầu Trong cơ học lượng tử, để tìm hàm riêng của

toán tử ta phải giải phương trình trị riêng của nó

Gọi là hàm riêng của toán tử Trong tọa độ cầu thì phương trình trị

riêng của là:

Thế dạng của toán tử trong tọa độ cầu, , vào (1.34) ta được:

Lấy tích phân hai vế:

Với C là hằng số đối với nhưng có thể là hàm đối với nên

Suy ra:

y

là hàm sóng mô tả trạng thái vật lý của hệ nên nó sẽ nhận giá trị cũ

khi thay đổi một lượng là ( điều kiện đơn giá) Suy ra:

ln ( , ) ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , )

z

z

z i L

i L

L

C r r

,,(r   L r  

Từ (1.35) suy ra:

1.6 Trị riêng của

Về nguyên tắc để tìm trị riêng và hàm riêng của ta phải giải phương trình trịriêng của Tuy nhiên, ta cũng có thể tìm được trị riêng của toán tử bằng cách như sau:

Trong cơ học lượng tử ta có hệ thức:

L L

C r e  C r  e  

12





z

L i

e

1

2 cos 

L

 2

L L L L L

L L

L

z z

z z

z





,

Nghĩa là là hàm riêng ứng với trị riêng của toán tử

Mặt khác, ứng với trị riêng của là hàm riêng Do đó ,

ta có :

So sánh (1.38) và (1.39) ta thấy và là hàm sóng tương ứng với cùng trịriêng cùng biểu diễn một trạng thái vật lý nên chỉ khác nhau một hằng sốnhân, nghĩa là:

Vì là trị riêng của nên không thể bằng vô cùng được Nghĩa là phải

ngắt ở giá trị lớn nhất nào đó Gọi l là giá trị lớn nhất của thì:

vì nếu sẽ tồn tại giá trị Điều này trái với điều đã nói ở trên Vậy:

Bây giờ ta cho hai vế phương trình toán tử:

l

l z l

z z l l

l l L

l l

L

L L

L L

L L

2 2

2 2

2

1

)()

l  ,

 2l 1

) (L m



z

L

1.7 Hàm cầu - phần hàm riêng phụ thuộc của các toán tử

Từ (1.37) ta có thể viết hàm riêng của hai toán tử và ứng với trị riêng

và là:

Phần phụ thuộc của hàm sóng ta gọi là hàm cầu, kí hiệu là

Vậy

Vì toán tử không phụ thuộc vào r cho nên trong phương trình trị riêng của

ta không cần viết phần phụ thuộc r cho đơn giản (coi như chứa trong hằng số) Ta có

các phương trình trị riêng sau:

Đưa và giải phương trình (1.42) ta dễ dàng tìm được :

Trong đó C là một hàm số phụ thuộc vào và ta có thể đặt

Đưa vào phương trình (1.41) và chú ý biểu thức của trong tọa độ cầu

(trong phương trình trên ta viết thay cho cho đơn giản)

Thực hiện phép tính đạo hàm theo đối với số hạng thứ hai và đơn giản phép tính

ta sẽ được phương trình:

Trầ

 2

 

2 ( , ) 1 2 ( , ) ( , ) ( , )

L

m l

m l

m l

im m l im

m l

m l

P l l P m P

e P l l e P m P

1sin

sinsin

1

1sin

sinsin

1

2 2 2 2

H, 2 ,

( )

m l

Với y là một hàm nào đó phụ thuộc vào x, ở đây x= cosθ.

Như vậy, ta đã tìm được công thức tổng quát xác định hàm cầu có dạng như sau:

dx d

2 2

( )1

Y  

1.44

(cos )

m l

2 2 ( ) ( ) (1 )

Trần lê duy

1.8 Phương trình Legendre và đa thức Legendre

Khi m=0 phương trình (1.43) trở thành phương trình Legendre

Với -1< x<1 và là số nguyên dương

Phương trình (1.45) được gọi là phương trình Legendre

2 " ' (1 x y)  2xy y 0 1.46





 0

k

k

k x C

1 '

*

k

k

k x kC y

'

1 1

1 '

2 2

2

2 2

2

k

k k k

k k k

k k

x kC x

C xy

x kC x

kC x xy

2

* ( 1) k

k k

l m

l m l

m

d

d l

) 1 (cos )

cos 1 (

! 2 ) , (

2 2

2

Thế (1.47), (1.48), (1.49) vào (1.46) ta được:

Biểu thức trên chỉ bằng 0 khi lần lượt các số hạng trong biểu thức bằng 0 Từ đó ta tìm được các phương trình cho các hệ số

Suy ra :

Biểu thức (1.53) chứng tỏ rằng với và nguyên dương thì

Cũng từ biểu thức này ta suy ra rằng

Vậy nếu chẵn thì các hệ số với chỉ số chẵn bắt đầu từ đều bằng 0 Còn nếu

lẻ thì các hệ số với chỉ số lẻ bắt đầu từ đều bằng 0 Do đó:

* Nếu chẵn, ta đặt thì từ (1.51) ta rút ra Khi đó, nhờ (1.53) các hệ

số với chỉ số lẻ đều bằng 0 và nghiệm (1.47) có dạng:

Trong đó tùy ý, , các hệ số còn lại tính theo công thức (1.53)

* Nếu lẻ, ta đặt thì từ đẳng thức (1.50) ta rút ra Khi đó, nhờ (1.53) các hệ số với chỉ số chẵn đều bằng 0 và nghiệm (1.47) có dạng:



        

0 2

2 1 0 2

C x C C

y   4  

4

2 2 0

0

2

) 1 (

C l l

C  

l

l x C x

C x C x C

y   5  

5

3 3 1

Trong đó tùy ý, , các hệ số còn lại tính theo công thức (1.53).

Vậy khi thì phương trình (1.46) có nghiệm là đa thức bậc Các đa thức này chỉ chứa các số hạng bậc chẵn nếu chẵn, hoặc chỉ chứa các số hạng bậc lẻ nếu lẻ.ta sẽ chọn các hệ số hoặc sao cho các đa thức ấy có giá trị bằng 1 khi x=1 Các đa thức xác định như vậy gọi là đa thức Legendre, kí hiệu

Tóm lại, đa thức Legendre là một đa thức bậc thỏa mãn phương trình (1.46) với và tiến đến 1 khi x=1 nghĩa là

Bây giờ ta sẽ tính đa thức Legendre với một vài giá trị cụ thể của

C l l





) 1 ( 

3 1 1

5 3

5 6

2 ) 1 3 ( 3

x C x C x P C C

2 2

3 3

4 2 4

5 3 5

( ) 1( )1( ) (3 1)2

1( ) (5 3 )2

1( ) (35 30 3)8

1( ) (63 70 15 )8

* Cũng có thể chứng minh được rằng các đa thức Legendre có thể tính theo công thức Rodrigues, cũng là đa thức Legendre mà ta cần tìm, đó là công thức :

Theo công thức này, ta có:

1.9 Chú thích phương trình Legendre liên kết và đa thức liên kết Legendre

Để tìm được đa thức liên kết Legendre ta sẽ giải phương trình Legendre liên kết (1.43) Phương trình này có thể viết dưới dạng:

5 3 5

1 ( ) (35 30 3) 8

1 ( ) (63 70 15 ) 8

2 ) 1

2 '

(l

l

x P

l



z x y

m

2

2 ) 1 ( 



z x x m m z x m z x mx z

x y

z x mx z x y

m m

m m

m m

2 2 2 2 1

2 2 '

1 2 2

"

2 2

"

1 2 2 '

2 2 '

)1()2()

1()

1(2)

1(

)1()

1(

l xy y

x2 " ' 22

1 ) 1 ( 2

)

1

(

z x x

m l

l z x mx z x x

m m

m

2 2 2

2 1

2 2 '

2

1 ) 1 ( )

1 ( )

1 (

"

2 2

m

2 2 2 1

2 2 '

1 2 2

"

2 2

l z x mx xz

x

m m

2 2 2

2 1

2 2 '

2

1 ) 1 ( )

1 ( 2 2 ) 1

Bởi vì đa thức Legendre thỏa mãn phương trình (1.46) với nên:

Bây giờ ta lấy tích phân phương trình này theo z m lần và sử dụng qui tắc

Leipnitz để tìm đạo hàm của tích hai hàm, ta có:

2 " 2

1 '

l l l

Thay vào (1.56) ta được:

Từ đó, ta thấy hàm thỏa mãn phương trình (1.55) nghĩa là hàm

thỏa mãn phương trình (1.54) với

Do đó, nghiệm của phương trình (1.43) có dạng:

Hay

Đây chính là đa thức Legendre

Vì là đa thức bậc nên với thì Suy ra, m nguyên dương

( 1)

l l

 

2 " ' (1 x P x) ( ) 2l  xP x l( ) l l(  1) ( ) 0P x l  1.56

d P x z

m m l



x

Như đã nói ở phần (1.7): phụ thuộc vào hai lượng tử số và nên ta có thể viết hệ số chuẩn hóa của hàm cầu là :

ần lê Duy

Vậy hàm cầu có dạng:

1.10 Hệ số chuẩn hóa của hàm cầu

Theo điều kiện chuẩn hóa ta có:

Trong đó:

Với

 ,

m l

lm

N const

m l m l

2

0 (cos ) (cos )sin

( ) 1

Trần lê Duy

Trần lê du

Khi đó, áp dụng tích phân từng phần ta được:

Ta biết hàm thỏa mãn phương trình:

Thay bằng thì phương trình trên chuyển thành:

m

m l m

1 1

1 1

(1 )( )(1 )

( )( )

m m

m m

l m m l m

1

2 ( ) ( ) )

1

m m l

m m m

l

dx

x P d dx

x P d x

dx

x P d x dx

d dx

x P d

m l

m m m

1

2 1

1

) ( )

1 ( ) (

d dx

x P d

m l

m m m

2 1

) 1 ( ) (

0

dx

x P d x dx

d dx

x P d

m l

m m m

2 1

) 1 ( ) (

1 60

( ) ( )

m l m

x

) 1 )(

( ) 1 (