Ứng dụng bài toán hai hạt nghiên cứu mức độc bền của hạt nhân Deuteron

Ứng dụng bài toán hai hạt nghiên cứu mức độc bền của hạt nhân Deuteron

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠ M ỨNG DỤNG BÀI TOÁN HAI HẠT NGHIÊN CỨU MỨC ĐỘ BỀN CỦA HẠT NHÂN DEUTERON Luận văn Tốt nghiệp Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ GV hướng dẫn: Sinh viên: Nguy ễn Xuân Tư Trần Lê Duy L ớp: SP Lý K31 MSSV: 1050115 Cần Thơ, 2009 Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy 1 TÓM TẮT LUẬN VĂN  Bài luận văn được chia 3 phần: I. PHẦN MỞ ĐẦU Khi nghiên cứu các hạt nhân nguyên tử, người ta thấy rằng trong tự nhiên tồn tại hai lo ại hạt nhân là: hạt nhân bền và hạt nhân không bền. Vậy hạt nhân bền và không b ền ở mức độ nào? Cơ học lượng tử đã giải quyết vấn đề này ra sao? Hạt nhân Deuteron là m ột hạt nhân không bền có cấu tạo đơn giản nhất trong số các hạt nhân được biết. Để giải thích tính không bền của hạt nhân Deuteron, ta sẽ vận dụng bài toán hai h ạt trong cơ học lượng tử và nghiệm lại vấn đề bằng hiệu ứng đường ngầm. Đây là một hướng để ta có thể tìm hiểu rõ hơn về bản chất lực hạt nhân cũng như khả năng áp dụng phương trình Schrodinger để giải bài toán nhiều hạt. Do đó, em đã chọn đề tài: "Ứng dụng bài toán hai hạt nghiên cứu mức độ bền của hạt nhân Deuteron" làm lu ận văn tốt nghiệp cho mình. II. PHẦN NỘI DUNG Gồm 44 trang được chia làm 3 chương: Chương 1. Các toán tử biểu diễn biến số động lực Nội dung của chương này được trình bày trong 27 trang từ trang 6 đến trang 33. Đưa ra dạng các toán tử biểu diễn biến số động lực như toán tử tọa độ, xung lượng, momen động lượng, năng lượng Toán t ử năng lượng:   zyxU m H ,, 2 2 2    Toán tử xung lượng: z iP y iP x iP z y x                Toán tử momen động lượng:                                            x y y xiPyPxL z x x ziPxPzL y z z yiPzPyL xyz zxy yzx    Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy 2 Dạng của các toán tử    z LLH ,, 2 trong tọa độ cầu:                                         2 2 222 2 2 2 222 sin 11 sin sin 111 2 ,      rrr r rrm H L iL z    Giải phương trình trị riêng của các toán tử trong tọa độ cầu để tìm được hàm riêng chung c ủa chúng. Áp dụng phương trình Legendre và đa thức Legendre để tìm hàm cầu. Hàm cầu tìm được có dạng tổng quát như sau:                       im l lm lm m l mm m l e d d lml mll Y 1cos cos cos1 !2 1 !4 !12 1, 2 2 2 2        Với ., .,2,1,0 .;3,2,1,0 lml  Một số hàm cầu cụ thể:       i eY Y Y     .sin 8 3 cos 4 3 4 1 1 1 0 1 0 0 Chương 2. Bài toán hai hạt với hạt nhân Deuteron Chương này được trình bày trong 14 trang từ trang 33 đến từ 47. Nội dung chính là trình bày m ột vài đặc trưng của hạt nhân Deuteron và đưa chuyển dộng của hạt nhân Deuteron v ề bài toán hai hạt. Cho r ằng hạt nhân Deuteron là hệ kín và viết được phương trình mô tả chuyển động của hạt nhân Deuteron là:   0 2 22 2   UE dr d   Với 2 m mm mm mm mm np np         0 22 2    UE m dr d  Trong đó rR là hàm sóng xác định trạng thái chuyển động của hệ hạt nhân Deuteron.    z LLH ,, 2 )1,1( )0,1( )0,0(    ml ml ml Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xn Tư SVTH: Trần Lê Duy 3 Chương 3. Tính bền vững của hạt nhân Deuteron Chương này được trình bày trong 5 trang từ trang 47 đế trang 52. Trong phần này ta đưa ra giả thuyết hố thế năng đối xứng cầu để mơ tả tính khơng bền của hạt nhân Deuteron và coi r ằng chuyển động của hạt nhân Deuteron tương đương với hạt chuyển động trong hố thế có độ sâu U 0 , bề rộng bằng a. Hố thế năng đối xứng cầu Ta tính được độ sâu của giếng thế U 0 =33,8 (MeV). Hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản có năng lượng đúng bằng năng lượng liên k ết . Do đó 0 UE  hay 0 UE  thì hạt nhân Deuteron nằm ở miệng giếng l ực liên kết yếu rất dễ bị phá vỡ và chỉ cần cung cấp cho hạt một năng lượng E=2,2 (MeV) thì hạt sẽ nhảy ra ngồi giếng. Điều này có nghĩa là hạt nhân Deuteron có cấu t ạo khơng bền vững. Cuối cùng ta sẽ nghiệm lại tính khơng bền của hạt nhân Deuteron b ằng hiệu ứng đường ngầm. III. PHẦN KẾT LUẬN Bằng việc áp dụng bài tốn hai hạt trong hệ kín cụ thể là sử dụng phương trình Schrodinger, cùng v ới lý thuyết chuyển động của hạt trong giếng thế, ta đã giải thích thành cơng nh ận định của thực nghiệm: "Hạt nhân Deuteron là hạt nhân khơng bền v ững". Sau đây, em xin giới thiệu luận văn: "ỨNG DỤNG BÀI TỐN HAI HẠT NGHIÊN C ỨU MỨC ĐỘ BỀN CỦA HẠT NHÂN DEUTERON" cùng q thầy cơ và các b ạn. O -U 0 -E U(r) r a )(2,2 MeVWE  Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy 4 PHẦN I MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Cuối thế kỉ XIX trở về sau, người ta nhận thấy có những hiện tượng vật lý không th ể giải thích được bằng các lý thuyết của vật lý học cổ điển như tính bền của nguyên t ử, bức xạ của vật đen .từ đó đã dẫn đến khái niệm mới -bước đầu phát triển môn Cơ học lượng tử. Đối tượng nghiên cứu của cơ học lượng tử là sự vận động của các hạt vi mô: h ạt nhân, nguyên tử và các hạt sơ cấp. Cơ học lượng tử chính là lý thuyết cơ sở đầu tiên giúp cho con ngườ i tìm hiểu và chinh phục thế giới vi mô. Trong l ĩnh vực nguyên tử và hạt nhân, dựa trên cơ học lượng tử người ta đã giải thích khá thành công v ề cấu trúc nguyên tử nhưng lại chưa biết đầy đủ về các lực và c ấu trúc bên trong hạt nhân. Lý thuyết hạt nhân hiện nay vẫn ứng dụng phương trình Schrodinger để giải thích cấu trúc cũng như những biến đổi bên trong hạt nhân. Con người đã gặp không ít khó khăn khi đối đầu với bài toán nhiều hạt gồm các hạt proton và neutron. Do đó, các nhà vật lý lý thuyết đã chọn Deuteron là hạt nhân nhiều hạt đơn giản nhất trong số các hạt nhân được biết làm đối tượng để tìm hiểu về vật lý hạt nhân. Đây là bài toán hai hạt mà ta có thể giải đến cùng. Sự phân tích kĩ lưỡng hệ thống này cho phép ta tìm hiểu về lực hạt nhân, điều mà ta không dễ dàng tìm thấy từ việc nghiên cứu các hạt phức tạp. M ặt khác, khi nghiên cứu hạt nhân nguyên tử ta thấy trong tự nhiên tồn tại hai loại h ạt nhân là bền và không bền, có những hạt nhân rất dễ bị phá vỡ và có những hạt có th ể tự phá vỡ mình để trở thành hạt nhân khác. Vậy hạt nhân Deuteron có bền hay không và m ức độ bền vững của nó như thế nào? Cơ học lượng tử đã giải quyết vấn đề này ra sao? Đây là một hướng để ta tìm hiểu rõ hơn về bản chất của lực hạt nhân cũng như khả năng áp dụng phương tr ình Schrodinger để giải bài toán nhiều hạt. Với suy ngh ĩ đó, em đã chọn đề tài:" Ứng dụng bài toán hai hạt nghiên cứu mức độ bền c ủa hạt nhân Deuteron" làm luận văn tốt nghiệp cho mình. 1.2. Các mục tiêu của đề tài Hạt nhân Deuteron là hạt nhân không bền vững rất dễ bị phá vỡ so với các hạt nhân khác. Để giải thích tính không bền vững của hạt nhân Deuteron ta cần giải quyết t ốt các vấn đề sau: ∙ Tìm dạng của các toán tử  H ,  2 L ,  Z L và hàm riêng của chúng trong tọa độ cầu. ∙ Ứng dụng bài toán hai hạt cho hạt nhân Deuteron. ∙ Sử dụng dạng hố thế đối xứng cầu để giải thích tính không bền của hạt nhân Deuteron. ∙ Nghiệm lại sự không bền vững của hạt nhân Deuteron bằng hiệu ứng đường ngầm. H ạt nhân Deuteron là một hệ gồm hai hạt proton và neutron liên kết với nhau Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy 5 thông qua lực hạt nhân. Để giải thích tính không bền của hạt nhân Deuteron ta phải áp d ụng bài toán của hệ kín gồm hai hạt cho hạt nhân Deuteron và giải phương trình Schrodinger đối với hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản trong hệ tọa độ cầu. Hơn nữa, ta đã biết trong cơ học lượng tử sử dụng các biến số động lực trong cơ học cổ điển để mô tả trạng thái chuyển động của hệ nhưng khác ở chỗ chúng được mô tả bằng các toán tử. Do đó, ta phải tìm được dạng của các toán tử biểu diễn các biến số độ ng lực từ đó tìm được hàm riêng của toán tử năng lượng trong tọa độ cầu. Nếu ở trạng thái cơ bản ta chứng minh được hàm sóng mô tả trạng thái của hạt chỉ phụ thuộc vào bán kính r trong hệ tọa độ cầu thì bài toán sẽ đơn giản rất nhiều. Điều này chỉ có được khi ta chứng minh rằng hàm cầu (hàm sóng mô tả trạng thái của hạt chỉ phụ thuộc vào các góc trong hệ tọa độ cầu) của hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản là m ột hằng số. Sau khi thiết lập được phương trình Schrodinger cho hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản ta sẽ sử dụng hố thế đối xứng cầu để giải thích tính không bền của h ạt nhân Deuteron. Cuối cùng là nghiệm lại vấn đề bằng hiệu ứng đường ngầm. 1.3. Phương pháp nghiên cứu Đề tài được thực hiện từ việc kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu: ∙ Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. ∙ Phương pháp toán học. ∙ Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết từ việc đọc sách và tài liệu tham kh ảo. 1.4. Các bước thực hiện đề tài ∙ Nhận đề tài vào tháng 9 năm 2008. ∙ Sưu tầm tài liệu, nghiên cứu lý thuyết. ∙ Viết bài báo cáo luận văn. ∙ Bảo vệ đề tài luận văn. 1.5. Các thuật ngữ quan trọng trong đề tài Hạt nhân Deuteron là hạt nhân của nguyên tử Deuterium H 2 1 , là một hệ hai hạt g ồm proton và neutron liên kết với nhau bằng lực hạt nhân. Đây là hạt nhân đơn giản nh ất trong số các hạt nhân nhiều hạt mà ta đã biết. Bài toán hai h ạt là bài toán xác định phương trình mô tả chuyển động của một hệ gồm hai hạt chỉ tương tác với nhau thông qua một thế xuyên tâm. H ố thế đối xứng cầu: hạt chuyển động trong trường lực với thế năng U được xác định bằng biểu thức:      0 )( 0 U rU     ar ar   Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy 6 PH ẦN II NỘI DUNG Chương I. CÁC TOÁN TỬ BIỂU DIỄN BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC 1.1. Toán t ử tọa độ và toán tử xung lượng 1.1.1. Toán tử tọa độ Xét hạt chuyển động trên trục Ox, trạng thái của hệ được mô tả bằng hàm sóng ( )x , giả sử hàm sóng đã chuẩn hóa. Toán tử tọa độ phải có dạng thế nào để hệ thức c ủa giá trị trung bình được thỏa mãn. Tức là: M ặt khác, nếu   x  là mật độ xác suất để hạt có tọa độ là x và lưu ý rằng tích của t ọa độ với các hàm sóng là giao hoán được thì ta cũng có: So sánh hai biểu thức trên ta được: Ngh ĩa là, toán tử chỉ là phép nhân với tọa độ x . . Tương tự: T ừ đó ta suy ra được: Như vậy, trong biểu diễn tọa độ thì toán tử tọa độ chỉ là phép nhân với tọa độ mà thôi. Điều đó cũng có nghĩa là mọi hàm sóng điều là hàm riêng của toán tử tọa độ. 1.1.2. Toán tử xung lượng Ta đã biết rằng hạt tự do có năng lượng E, xung lượng  P thì tương ứng với một sóng ph ẳng có dạng: Trong đó, hình chiếu của xung lượng là xác định nên hàm sóng             rPEt i etr  0 ),( là hàm riêng của toán tử x P  . Do đó, ta có phương trình trị riêng: * ( ) ( ) x x x x x dx      * ( ) ( ) ( ) x x x x x dx x x x dx        )( 0 ),(     rPEt i etr  zz yy      x xx   x P  x            xxxx ^     rr Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy 7 Ta sẽ chứng minh x P  có dạng là: x P i x       Đưa biểu thức của  x P vào phương trình trị riêng ta được: Bi ến đổi vế trái ta được: Ta th ấy hai vế của phương trình bằng nhau. V ậy: x iP x      Tương tự: T ừ đó suy ra: P i i j k i x y z                                    ii 1.2. Toán tử năng lượng và toán tử momen động lượng 1.2.1. Toán tử năng lượng Trong cơ học cổ điển: T: động năng của hạt. U: th ế năng. Theo nguyên lý tương ứng, toán tử năng lượng có dạng: * Xét toán t ử động năng . Theo cơ họ c cổ điển:             rPEt i xxx ePtrPtrP  0 ),(),( z iP y iP z y                 rPEt i x rPEt i x ePeP i i                      00 ( , , )H T U x y z    zyxUTH ,,   m PPP m P T zyx 22 222 2       rPEt i x rPEt i ePe x i                 00     rPEt i x rPEt i x ePeP    00  T Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy 8 Suy ra: * Xét toán t ử thế năng ( , , )U x y z  chỉ phụ thuộc vào các tọa độ zyx ,, của hạt nên toán t ử thế năng của nó đơn giản là hàm ( , , )U x y z . Tức là: Th ế dạng của toán tử động năng và thế năng ta tìm được dạng của toán tử năng lượ ng là: Trong đó, 2  là toán tử Laplace có dạng: 1.2.2. Toán tử momen động lượng Cơ học cổ điển có hệ thức momen động lượng là: Theo nguyên lý t ương ứng, ta có: Mà T ừ đó ta tìm được dạng các toán tử hình chiếu momen động lượng có dạng: ( , , ) ( , , )U x y z U x y z         xyz zxy yzx PyPxL PxPzL PzPyL 2 2 2 2 2 2 2 zyx            zyxU m H ,, 2 2 2             xyz zxy yzx yPxPL xPzPL zPyPL z iPzz y iPyy x iPxx z y x                ; ; ; 2 2 222 2 222       mm PPP m P T zyx  zyx PPP zyx kji  PrL Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy 9 Ta cũng có: Nguyên lý tương ứng cho ta: Như vậy, ta đã tìm được dạng của các toán tử biểu diễn biến số động lực đặc trưng cho trạng thái chuyển động của hệ trong cơ học lương tử. Để tìm được hàm riêng của toán t ử năng lượng trong tọa độ cầu ta cần giải phương trình trị riêng của các toán t ử . Muốn vậy, ta phải tìm dạng của các toán tử trong tọa độ cầu. N ếu ta chứng minh được hàm cầu của hệ ở trạng thái cơ bản là một hằng số thì bài toán s ẽ đơn giản hơn, vì khi đó hàm sóng của hệ chỉ phụ thuộc vào một biến số duy nh ất là khoảng cách r tới góc tọa độ. 1.3. Tọa độ cầu và dạng của các toán tử trong tọa độ cầu 1.3.1. Tọa độ cầu Trong tọa độ cầu vị trí của một điểm được xác định bởi 3 thông số . Chúng liên h ệ với các tọa độ Descartes như sau: Kho ảng biến thiên:                             z x x ziPxPzL y z z yiPzPyL z x y yzx      cos sinsin cossin rz ry rx    x      0 20 0 r                x y y xiPyPxL xyz  2222 zyx LLLL                                                   2 2 2 22222 x y y x z x x z y z z yLLLL zyx  z y M   r    z LLH ,, 2    z LLH ,, 2  ,,r    z LLH ,, 2 [...]... được hàm cầu của hệ ở trạng thái cơ bản l  0, m  0  là một hằng số Hay cũng có thể nói rằng, ta đã tìm được hàm riêng của toán tử năng lượng trong tọa độ cầu Sau đây, ta sẽ áp dụng bài toán hệ hai hạt cho hạt nhân Deuteron và giải thích tính không bền của hạt nhân Deuteron GVHD: Nguyễn Xuân Tư 34 SVTH: Trần Lê Duy Luận văn tốt nghiệp Chương II Ngành SP Vật Lý BÀI TOÁN HAI HẠT VỚI HẠT NHÂN DEUTERON. .. DEUTERON 2.1 Giới thiệu hạt nhân Deuteron 2.1.1 Cấu tạo hạt nhân Deuteron 2 2 Hạt nhân Deuteron là hạt nhân của nguyên tử Deuterium kí hiệu là 1 Dhay 1 H Trong lý thuyết hạt nhân, Deuteron chiếm một vị trí tương tự như nguyên tử Hiđrô trong lý thuyết nguyên tử Hạt nhân Deuteron là hệ gồm 1 proton và 1 neutron tạo thành hạt nhân đơn giản có số nuclon lớn hơn 1 Khối lượng nghỉ của các hạt: Proton : m p ... thấy rằng ba toán tử H , L2 , L z giao hoán được với nhau Do đó, chúng có chung hàm riêng GVHD: Nguyễn Xuân Tư 18 SVTH: Trần Lê Duy Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý  1.5 Trị riêng của toán tử Lz Phần phụ thuộc  của hàm sóng  Trong hệ tọa độ cầu thì biểu thức của toán toán tử Lz chỉ chứa các tọa độ  , và các đạo hàm riêng theo hai tọa độ này Do đó, đối với hàm sóng (hàm riêng của hai toán tử này)...  của hàm sóng mà thôi, còn phần phụ thuộc vào r coi như được chứa trong hằng số nhân Phần phụ thuộc  ,  của hàm sóng ta gọi là hàm cầu Trong cơ học lượng tử, để tìm hàm riêng của toán tử ta phải giải phương trình trị riêng của nó  Gọi  (r , ,  ) là hàm riêng của toán tử Lz Trong tọa độ cầu thì phương trình trị  riêng của Lz là:  Lz  ( r ,  ,  )  Lz  ( r ,  ,  )   Thế dạng của toán. .. mn  1,008665u Hạt nhân Deuteron: mD  2,014102u Điện tích: Proton có điện tích là:  1,6022.10 19 C  Neutron không mang điện Spin: proton và neutron đều có spin bằng 1 2 Momen từ: Proton:  2,7928 n Neutron:  1,9128 n Trong đó, manhêtôn Bohn  n đợc tính theo công thức: n  e eV  3,15.10 18 ( ) 2m p T 2.1.2 Năng lượng liên kết của hạt nhân Deuteron Độ hụt khối của hạt nhân Deuteron: m ... thông qua các toán tử thành phần: 2 2 2             L  L  L  L    y  z    z  x    x  y    y   x z   y x    z       2  2 x  2 y  2 z 2 1.4 Trong cơ học lượng tử, đôi khi giải bài toán trong tọa độ cầu lại đơn giản hơn Vậy ta hãy tìm dạng các toán tử momen động lượng trong tọa độ cầu, ta có thể áp dụng chúng trong việc giải các bài toán trong cơ... riêng của L2  Về nguyên tắc để tìm trị riêng và hàm riêng của L2 ta phải giải phương trình trị   2 riêng của L2 Tuy nhiên, ta cũng có thể tìm được trị riêng của toánLtử bằng cách như sau: Trong cơ học lượng tử ta có hệ thức:     L  , L z    L     Hay     L z , L    L             Trần lê Duy L z L  L L z   L L L z   L  L z L      L Cho hai vế tác dụng. .. Lz   Từ (1.37) ta có thể viết hàm riêng của hai toán tử L2 và L z ứng với trị riêng L L2  l l  1 2 vàz  m là:  lm (r ,  ,  )  C (r , )eim Phần phụ thuộc  ,  của hàm sóng ta gọi là hàm cầu, kí hiệu là Yl m  ,   Vậy  lm (r , ,  )  C (r )Yl m ( ,  ) 1.40    Vì toán tử L2 không phụ thuộc vào r cho nên trong phương trình trị riêng của L2 ta không cần viết phần phụ thuộc r... 1 2  r  2  sin   2   U r ,  ,    2m  r 2 r  r  r sin      r sin 2   2     1.4 Sự giao hoán giữa các toán tử H , L2 , Lz Hai toán tử chỉ giao hoán được với nhau khi và chỉ khi giao hoán tử của chúng bằng 0 *Ta sẽ chứng minh giữa các toán tử momen động lượng có các hệ thức sau: GVHD: Nguyễn Xuân Tư 15 SVTH: Trần Lê Duy Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý    Lx ,... m r , ,   củaL z và cũng là của2     ta được:  L  ( L z  m )  ( L   m )  L z ( L   m )      m( L   m )  ( L   m )  L z ( L   m )     L z ( L   m )  (m  1)( L   m ) GVHD: Nguyễn Xuân Tư 20 1.38 SVTH: Trần Lê Duy Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý  Nghĩa là ( L  m ) là hàm riêng ứng với trị riêng   (L  m ) của toán tử   Mặt khác, ứng với trị riêng . ột vài đặc trưng của hạt nhân Deuteron và đưa chuyển dộng của hạt nhân Deuteron v ề bài toán hai hạt. Cho r ằng hạt nhân Deuteron là hệ kín. dụng bài toán hai hạt nghiên cứu mức độ bền c ủa hạt nhân Deuteron& quot; làm luận văn tốt nghiệp cho mình. 1.2. Các mục tiêu của đề tài Hạt nhân Deuteron