Bài tập tổng hợp về tứ giác nội tiếp

d Sử dụng tính chất các hình: - Tính chất tia phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng.. - Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dâ

Ngày 2 tháng 5 năm 2015

CHỨNG MINH1Dạng 1.1 Chứng minh quan hệ bằng nhau của hai đoạn thẳng, hai góc, hai cung

1 Các cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

a) Sử dụng yếu tố độ dài của đoạn thẳng:

- Hai đoạn thẳng có cùng số đo

- Hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba

- Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng hoặc hiệu của hai đoạn thẳng bằng nhau đôi một

b) Sử dụng tam giác bằng nhau:

Hai cạnh tương ứng (tổng quát: hai đoạn thẳng tương ứng) của hai tam giác bằng nhau

c) Sử dụng định nghĩa các hình:

- Hai cạnh bên của hình thang cân, các cạnh của tam giác đều

- Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, đường trung tuyến của tam giác, đường trung trực củađoạn thẳng

- Bán kính của đường tròn

d) Sử dụng tính chất các hình:

- Tính chất tia phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

- Định lí thuận về đương trung bình của tam giác, của hình thang, các cạnh của hình thoi, hìnhvuông

- Hai đường chéo của hình thang cân, hình chữ nhật

- Tính chất đường chéo của hình bình hành, hình chữ nhật

- Các đoạn thẳng đối xứng nhau qua một trục, qua một tâm

- Tính chất của đường kính vuông góc với một dây

- Hai dây cách đều tâm của một đường tròn

- Hai khoảng cách từ tâm đến hai dây bằng nhau trong một đường tròn

- Hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm đến một đường tròn

- Tính chất của đường nối tâm hai đường tròn cắt nhau

- Hai dây căng hai cung bằng nhau trong một đường tròn

2 Các cách chứng minh hai góc bằng nhau

a) Sử dụng yếu tố số đo của góc:

- Hai góc có cùng số đo

- Hai góc cùng bằng một góc thứ ba

- Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với một góc thứ ba

b) Sử dụng hai tam giác bằng nhau hoặc tam giác đồng dạng:

Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng

c) Sử dụng định nghĩa các hình:

- Định nghĩa tia phân giác của góc

- Hai góc kề một đáy của hình thang cân

d) Sử dụng tính chất các hình:

- Hai góc đối đỉnh

- Hai góc so le trong, hoặc đồng vị tạo bởi hai đường thẳng song song với một cát tuyến

- Hai góc ở đấy của một tam giác cân, các góc của một tam giác đều

- Hai góc đối của hình bình hành, hình thoi

- Tính chất đường chéo hình thoi, hình vuông

- Hai góc đối xứng nhau qua một trục, qua một tâm

- Tính chất của hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm đến một đường tròn

- Hai góc nội (hoặc góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây) cùng chắn một cung hoặc hai cung bằngnhau

3 Các cách chứng minh hai cung bằng nhau (trong một đường tròn hoặc hai đường trònbằng nhau)

- Hai cung có số đo bằng nhau

- Hai cung có dây căng cung bằng nhau (chỉ xét cung nhỏ hơn nửa đường tròn)

- Hai cung có góc ở tâm tương ứng bằng nhau (chỉ xét cung nhỏ hơn nửa đường tròn)

- Hai cung bị chắn bởi hai góc nội tiếp bằng nhau

- Hai cung chắn giữa hai dây song song

- Đường kính vuông góc với một dây thì chia cung căng dây thành hai phần bằng nhau

- Đường kính đi qua trung điểm của một dây khác đường kính thì chia cung căng dây thành haiphần bằng nhau

Dạng 1.2 Chứng minh qua hệ không bằng nhau của hai đoạn thẳng, hai góc, hai cung

1 Các cách chứng minh hai đoạn thẳng không bằng nhau

- So sánh độ dài hai đoạn thẳng

- So sánh hai góc đối diện với hai cạnh trong một tam giác

- Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, giữa các đường xiên và các hình chiếucủa chúng

- Sử dụng quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

- So sánh đường kính và dây của một đường tròn

- Sử dụng quan hệ giữa hai dây và khoảng cách từ tâm đến hai dấy đó.

- So sánh hai cung của một đường tròn từ đó so sánh được hai dây căng hai cung đó

2 Các cánh chứng minh hai góc không bằng nhau

- So sánh số đo của hai góc

- Góc ngoài của một tam giác và góc trong không kề với nó

- So sánh hai cạnh đối diện với hai góc của một tam giác

3 Các cách chứng minh hai cung không bằng nhau (trong một đường tròn hoặc hai đườngtròn bằng nhau)

- So sánh số đo của hai cung

- So sánh hai góc ở tâm tương ứng

- So sánh hai góc nội tiếp chắn hai cung

- Sử dụng quan hệ giữa hai cung và dây căng cung

Dạng 1.3 Chứng minh quan hệ song song hoặc vuông góc của hai đường thẳng, quan

hệ thẳng hàng của ba điểm, quan hệ đồng quy của ba đường thẳng

1 Các cách chứng minh hai đường thẳng song song

- Xét cặp góc đồng vị, hoặc so le trong, hoặc trong cùng phía tạo thành hai đường thẳng với mộtcát tuyến

- Hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba

- Các cạnh đáy của hình thang, các cạnh đối của hình bình hành, hình vuông,

- Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang

- Sử dụng định lí Ta-lét đảo

2 Các cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc

- Chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng là góc vuông

- Hai tia phân giác của hai góc kề bù

- Đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳngkia

- Sử dụng định nghĩa đường cao, đường trung trực

- Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác

- Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông

- Hai cạnh kề của hình chữ nhật, hình vuông

- Hai đường chéo của hình thoi, hình vuông

- Sử dụng định lí Pi-ta-go đảo

- Đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

- Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây cung ấy.

- Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

- Đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau thì vuông góc với nhau

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

3 Các cách chứng minh ba điểm thẳng hàng2

- Hai đoạn thẳng, mỗi đoạn nối hai trong ba điểm ấy, tạo thành góc 180◦

- Sử dụng tiên đề Ơ-clit: hai đoạn thẳng, mỗi đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy, cùng songsong với một đường thẳng thứ ba

- Hai đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy, cùng vuông góc với một đườngthẳng thứ ba

- Một điểm nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm còn lại

- Trung điểm của một đường chéo và hai đầu của đường chéo kia trong hình bình hành

- Hai đầu của một đường kính và tâm đường tròn

- Hai tâm của hai đường tròn tiếp xúc nhau và tiếp điểm

4 Cách chứng minh ba đường thẳng đồng quy3 (ba đường thẳng cùng đi qua một điểm)

- Giao điểm của hai đường thẳng nằm trên đường thẳng còn lại

- Ba đường trung tuyến, ba đường phân giác, ba đường cao, ba đường trung trực của một tam giác

- Các đường chéo của hai hình bình hành có một đường chéo chung

1.4 Chứng minh quan hệ tiếp xúc của hai đường thẳng và hai đường tròn, của haiđường tròn

1 Các cách chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

- Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung

- Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn

- Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó

- Nếu dBAxcó số đo bằng nửa số đo của cung AB và cung này nằm bên trong góc đó thì Ax là tiếptuyến của đường tròn

2 Các cách chứng minh hai đường tròn tiếp xúc nhau

- Nếu đoạn nối tâm hai đường tròn bằng tổng của hai bán kính thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài

- Nếu đoạn nối tâm hai đường tròn bằng hiệu của hai bán kính thì hai đường tròn tiếp xúc trong.1.5 Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn4

Các cách chứng minh bốn điểm thuộc cùng một đường tròn (hoặc chứng minh tứ giác nội tiếp):

2 Xem thêm chuyên đề thẳng hàng, đồng quy

3 Xem thêm chuyên đề thẳng hàng, đồng quy

4 Xem thêm chuyên đề tứ giác nội tiếp

- Chỉ ra một điểm cách đều bốn đỉnh của tứ giác.

- Chứng minh hai góc đối của tứ giác bù nhau

- Chứng minh một góc của tứ giác bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện

- Chứng minh hai đỉnh liên tiếp của tứ giác nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằngnhau (dựa vào cung chứa góc)

- Chứng minh tứ giác là hình thang cân

- Ngoài ra còn dùng một vài cách khác để chứng minh xem thêm phần chuyên đề tứ giác nội tiếp

BÀI TẬP BỒI DƯỠNG TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Nhắc lại một số điều kiện để một tứ giác nội tiếp

• Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại N, hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M.Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

i) Tứ giác ABCD nội tiếp

ii) dACB=ADB.d

iii) dABC+ADCd =180◦

iv) MA · MB=MC· MD

v) NA · NC=NB· ND

A B

C D

• Nếu M thuộc đoạn EF làm tương tự ta cũng suy ra [BMC=90◦

Vậy ta luôn có [BMC =90◦ Tương tự dBNC =90◦ Do đó bốn điểm B, C, M, N thuộc cùng mộtđường tròn

Bài 2 Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao xuất phát từ A Về phía ngoài tam giác dựng các

tam giác vuông AMB và ANC đồng dạng với nhau (vuông tại M, N) Gọi T là trung điểm của BC.Chứng minh rằng các điểm T , H, M, N thuộc cùng một đường tròn.

A B

Do AMBH, AHCN là các tứ giác nội tiếp nên [BHM =BAM, [[ CHN =CANd

Mặt khác [BAM =CANd nên

\MHN =180◦− [BHM− [CHN=180◦− 2[BAM =180◦− [BEM

=EMT[ +BETd +ET M[ =EMT[ +ET F[+ET M.[ (2)

Từ (1), (2) suy ra \MHN =FT N[+ET F[+ET M[ =MT N[

Vậy các điểm M, H, T , N cùng thuộc một đường tròn

Bài 3 Cho hình thoi ABCD có bB=60◦ Một đường thẳng đi qua D không cắt hình thoi nhưng cắtcác đường thẳng AB, BC lần lượt tại E, F Gọi M là giao điểm của AF, CE Chứng minh rằng ADtiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF

Lời giải

Ta có∆AED v ∆CDF nên AE

AC = AC

CF.Mặt khác dCAE =FCAd nên∆AEC v ∆CAF Suy raACEd =CFA,d

Do đó∆ACM v ∆AFC Suy ra AM

AC = AC

AF hay AC2 =AM· AF Do đó AD2 =AM· AF

Vậy AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF

Bài 4 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn(O1) Các tia AB và CD cắt nhau tại M, các tia AD

và BC cắt nhau tại N Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN cắt (O1)tại điểm B0 khác B Chứngminh rằng B0Dđi qua trung điểm của MN

Lời giảiGọi I là giao điểm của B0Dvới MN, ta có [IMB0=180◦− [B0BC=B[0DCnên

IMD=IMB[0− \DMB0 =B[0DC− \DMB0 =MB\0D

B

M

C E

H F

a) Bốn điểm B, E, F, C thuộc cùng một đường tròn(O);

b) Đường tròn(O)luôn đi qua hai điểm cố định

Lời giảia) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AE · AB=AH2=AF· AC

Vậy các điểm B, E, F, C thuộc cùng một đường tròn

b) Gọi M, N lần lượt là các giao điểm của(O)với AH (M thuộc đoạn AH)

Vậy(O)luôn đi qua điểm cố định M, N

Bài 6 Cho hình bình hành có dABC> 90◦ Hạ DA0, DC0, DD0 lần lượt vuông góc với AB, BC, AC.Gọi O là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng các điểm A0, O, C0, D0thuộc cùng một đườngtròn

Hướng dẫn giải

Ta có [BA0D=BC[0D=90◦ do đó các điểm A0, B, C0, D thuộc đường tròn đường kính AD

Lại có O là trung điểm của BD nên O là tâm đường tròn đi qua bốn điểm A0, B, C0, D Suy ra

M

N O

(do các tứ giác A0ODA, CDD0C0 nội tiếp được)

=180◦−ADCd − \A0DC0=180◦−hABCd −180◦− dABCi

Từ (1), (2) suy ra \A0OC0=A\0D0C0hay tứ giác A0OD0C0nội tiếp được

Bài 7 Đường phân giác dBADcủa hình bình hành ABCD cắt cạnh BC và đường thẳng CD lần lượttại M, N Chứng minh rằng:

a) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

b) Nếu K là giao của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác CMN, BCD(K6=C)thì dAKC=90◦

Hướng dẫn giảia) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN Ta có dBAN=CADd =CMN[ do đó BA=BMsuy ra CD=BM

Mà dBAN =MNC[ và dCAD=BMA[ suy ra [CMN =MNC[ hay MC =NC

b) Gọi K là giao điểm của đường tròn đi qua ba điểm C, H, N và đường tròn đi qua ba điểm B, C, D.Theo câu a) ta có OD=DBvà OC=OK nên CKkBD.

Do đó đường nối O với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD đi qua trung điểm của BD haytrung điểm của AC

Từ đó ta có OIkAK và OI⊥KC suy ra AK⊥KC Vậy dAKC=90◦

Bài 8 Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi D là một điểm thuộc cạnh huyền BC và E là điểmđối xứng với D qua AB Gọi G là giao điểm của AB và DE Từ giao điểm H của AB và CE hạ HIvuông góc với BC Các tia CH, IG cắt nhau tại K Chứng minh rằng KC là phân giác của dIKA

Hướng dẫn giải

A

K H E

D

F N

Ta có dHID=HGD[ =90◦do đó tứ giác HGID nội tiếp được

Từ đó, ta có

d

HIG=HDE[ =HED[ =ACH[ (do ACkED) =HIAd (do tứ giác HACI nội tiếp)

Suy ra dBIK =AICd =AHC[ =KHB, tức tứ giác KHIB nội tiếp được.[

Do đó [BKH =HIDd =90◦ =BACd hay tứ giác BKAC nội tiếp được

Suy ra dAKC=ABCd =HKI Vậy KC là tia phân giác của dd IKA

Bài 9 Cho tam giác ABC đường cao AD Gọi D, E, F là hai điểm nằm trên một đường thẳng qua

D sao cho dAEB =AFCd =90◦ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, EF Chứng minh rằng[

ANM =90◦

Hướng dẫn giảiDựng hình chữ nhật APBD, QADC Gọi I là trung điểm của PQ Ta có tứ giác AEBD nội tiếp

Do đó dPEA=PBAd =BADd =BED[ hay [PED=AEBd =90◦

Bài 10 Cho tam giác nhọn ABC (AB< AC) Hai đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại

H (D thuộc cạnh AC, E thuộc cạnh AB) Gọi I là trung điểm cạnh BC Đường tròn ngoại tiếp tamgiác BEI và đường tròn ngoại tiếp tam giác CDI cắt nhau tại K (K khác I)

a) Chứng minh rằng năm điểm A, E, H, K, D cùng nằm trên một đường tròn

b) Gọi M là giao điểm của DE và BC Chứng minh rằng ba điểm M, H, K thẳng hàng

c) Chứng minh rằng tứ giác MBKD nội tiếp

Hướng dẫn giải

Vì dBAC+ABCd +ACBd +EKD[+EKId +IKDd =540◦, mà dABC+EKId =180◦; dACB+IKDd =180◦,suy ra dBAC+EKD[ =180◦

Do đó tứ giác AEKD nội tiếp

Mặt khác tứ giác AHED nội tiếp vì [AEH =ADH[ =90◦

Vậy năm điểm A, E, H, K, D cùng nằm trên đường tròn đường kính AH (đpcm)

A

D

E H

M

K

b) Do tứ giác BEDC nội tiếp nên [ADE =ABC.d

Từ câu a) ta thấy [AKE=ADE[(cùng chắn AE_

của đường tròn đường kính AH), suy ra [AKE=ABC.dLại vì dABC+EKId =180◦ nên [AKE+EKId =180◦, nghĩa là ba điểm A, K, I thẳng hàng

Mặt khác dIKC =IDCd =ICD; dd IKC =KACd +ACK; dd ICD=ICKd +KCD[ suy ra dICK =KAD[ =[

KED Vậy tứ giác MEKC nội tiếp, từ đó [MEC=MKC.[

Vì dICK=AED[=MEB; [[ MEC=90◦+MEB; [[ MKC=MKId +IKCd nên dMKI =90◦

Do A, E, H, K, D nằm trên đường tròn đường kính AH, nên [HKA=90◦ Vậy ba điểm M, H, Kthẳng hàng (đpcm)

Từ (1), (2) suy ra [KMB=HDK[ hay tứ giác MBKD nội tiếp

Bài 11 Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn Gọi O1, O2, O3, O4lần lượt là tâm đường trònnội tiếp các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB Chứng minh rằng O1O2O3O4 là hình chữ nhật

Hướng dẫn giải

A B

C D

Suy ra tứ giác ABO1O4 là tứ giác nội tiếp

Tương tự các tứ giác O1O2CB, O2O3DC, O3O4ADnội tiếp được

Do đó \O4O1O2=360◦− \O4O1B− \O2O1B=BAO[4+BCO\2= 1

2(Ab+Cb) =90◦.Tương tự \O1O4O3 =O\4O3O2=O\3O2O1=90◦

D O

M N

E

J

F I

Gọi I là trung điểm của AB, ta có OI⊥AB Từ D là tiếp điểm ta có OD⊥DE Suy ra O, I, D, Enằm trên một đường tròn đường kính OE ⇒ dIDO=IEO.d

Từ A kẻ đường thẳng song song với EO cắt BC tại F ⇒ [AEO=EAFd

Gọi J là giao điểm của AF với DO ⇒ dIDO =IEOd =dIAJ ⇒ tứ giác AIDJ nội tiếp ⇒ EIJd =d

ADC=ABCd ⇒ IJkBC ⇒ JA=JF ⇒ OM =ON

Bài 13 Cho tam giác ABC(AB=AC) Gọi P là điểm trong tam giác sao cho dPBC=PCA Chứngdminh dBPI+APCd =180◦ (I là trung điểm của BC)

Lời giải

Từ A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt BP ở D suy ra dPDA=PBCd =PCA.d

Do đó tứ giác APCD nội tiếp nên dAPC+ADCd =180◦ (1)

và dDAC=DPC

O I

Kéo dài PI sao cho PI =IQ⇒ BPCQ là hình bình hành ⇒ dCBQ=BCP.d

Theo giả thiết, ta có dPBC=PCAd ⇒ dPBQ=BCA.d

Mặt khác, ADkBC ⇒ dBCA=DACd ⇒ dPBQ=DAC.d

Bài 14 Cho đường tròn(O)và dây cung AB, I là trung điểm của AB Qua I kẻ hai cát tuyến CQ

và PD, CD và PQ cắt AB tại M và N tương ứng Chứng minh rằng IM=IN (Bài toán con bướm).

Lời giảiGọi E và F lần lượt là trung điểm của CD và PQ

Ta suy ra OI⊥AB, OE⊥CD và OF⊥PQ Do đó các tứ giác OEMI và OINF là tứ giác nội tiếp

⇒MEId =MOId và dNFI =NOI.d

Tam giác IDC và tam giác IQB có dCDI =IQP, dd DCI =IPQd ⇒ 4IDC v 4IQB

Suy ra dCEI =PFId ⇒ dMOI =NOId ⇒ 4MON cân ⇒ IM =IN

Bài 15 Cho hình bình hành ABCD, bA> 90◦ M là trung điểm BC, đường thẳng AM cắt đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC tại N, gọi H là hình chiếu của C trên cạnh AB Chứng minh rằng tứgiác ADNH là tứ giác nối tiếp

Lời giảiTheo giả thiết MB=MC, CH⊥AB, bA=Cb> 90◦, H ∈ AB ⇒ MH =MB

d

BAN =BCNd , [AMB=CMN[ ⇒ 4AMB và 4CMN đồng dạng ⇒ MB

MN = AB

CN.ABCDlà hình bình hành ⇒ AB=CD, MH

MN =CD

CN, mặt khác [HMB=2[HCB,

⇒ [CDN =MHN\, [NDA=CDAd − [CDN =ABCd − \MHN =MHB[ − \MHN =NHB[

⇒ tứ giác ADNH là tứ giác nội tiếp

Bài 16 Cho hình bình hành ABCD, trên cạnh AB, BC lấy hai điểm M, N, đường thẳng AN cắt

CM tại P Đường tròn qua A, M, P cắt đường tròn qua C, N, P tại Q khác P Chứng minh rằngd

PAD=QBA.d

Lời giảiĐường thẳng AQ, CQ cắt cạnh CD, AD tại E và I, ABCD là hình bình hành

⇒ ABkCD, BCkAD ⇒ dPCE =180◦− [AMC=AQPd =180◦− [PQE.

⇒ tứ giác PCEQ là tứ giác nội tiếp

⇒ E nằm trên đường tròn đi qua C, N, P

[PMA=180◦− dPCE =PQE[=180◦− dPQA

⇒ tứ giác MAIP là tứ giác nội tiếp

dIPC=180◦−MPId =MAId =180◦− dIDC

⇒ dIPC+IDCd =180◦⇒ tứ giác PCDI là tứ giác nội tiếp ⇒PDId =PCId (1)Tương tự, tứ giác BMQC là tứ giác nội tiếp

Từ (1), (2) ta có dPDA=QBA.d

Bài 17 Cho tam giác vuông ABC (Ab=90◦)và bB< bC, tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tamgiác ABC tại A cắt cạnh BC tại D, gọi E là điểm đối xứng của A qua BC, H là hình chiếu của A

trên BE Gọi I là trung điểm của AH, đường thẳng BI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại

K Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK

)

⇒ dBAH =90◦− [ABH=90◦− [EAD=ADM[ =EDM[

Từ (1) ⇒ [MKE =EDM[ ⇒ bốn điểm M, K, D, E nằm trên một đường tròn

⇒ [KDM=KEM[ =KEA[ =KAD[

⇒ AD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK

Bài 18 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O D, E, F lần lượt là các điểm trên cạnh

BC, CA, AB sao cho DE vuông góc với OC, DF vuông góc với OB Gọi K là tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh rằng KD vuông góc với BC

Lời giảiTheo giả thiết DE⊥OC

⇒ [EDC=90◦− [OCD, [OCD= 1

2(180◦− dBOC)⇒ [OCD=90◦− bA⇒ [EDC =A.b

⇒ EDKF là tứ giác nội tiếp ⇒ [EDK =FDK[ ⇒ DK là phân giác của [EDF.

Kết hợp với (1) ⇒ KD⊥BC

Bài 19 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại

H Kẻ đường kính AM, gọi I là giao điểm AM và DE và K là giao điểm của BC và HM Chứngminh rằng DE vuông góc với AM, OK vuông góc với BC

Lời giải

A

B

C D

O E

K

M

I H

A

B C

Theo giả thiết BD⊥AC, CE⊥AB ⇒ tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp

⇒ dEBC+EDC[ =180◦⇒ [ADE=ABC.d

Mặt khác dABC=AMC[ (cùng chẵn cung AC_

) ⇒ [AMC=ADE[⇒ dIMC+IDCd =180◦

⇒ tứ giác IMCD là tứ giác nội tiếp; AM là đường kính đường tròn (O)

⇒ [ACM=90◦⇒DIMd =90◦ ⇒ DE⊥AM

H là trực tâm tam giác ABC ⇒ CH⊥AB, AM là đường kính

⇒ MB⊥AB ⇒ CHkMB, BD⊥AC, MC⊥AC ⇒ BDkMC

⇒ tứ giác BMCH là hình bình hành ⇒ KB=KC⇒ OK⊥BC

Bài 20 Cho M là một điểm nằm ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến cắt đường tròn (O) tại

A, B(MA< MB) Các tiếp tuyến tại A và B gặp nhau tại N, đường thẳng qua N vuông góc với MOcắt đường tròn tại C và D, đường thẳng ON cắt AB tại I Chứng minh rằng năm điểm M, C, O, I, Dcùng nằm trên một đường tròn

Lời giảiTheo giả thiết NA, NB là tiếp tuyến đường tròn(O)

⇒ NA=NB⇒ NO⊥AB, OA⊥AN ⇒ NA2 =NI· NO; [NAD=ACDd

⇒ 4CAN v 4ADN (g.g) ⇒ AN

ND =CN

AN ⇒ NA2=ND· NC

và dOIC=ODC[ (cùng chẵn cung OC_

Từ (1), (2), (3) suy ra dCIO=DIN, NO⊥AB ⇒ dd CIM =MID;d

DC⊥MO ⇒ [COM=MOD, tứ giác CIOD nội tiếp[

⇒ [COD=CIDd (cùng chắn cung CD_

) ⇒ 2 dMID=2 [MOD

⇒MIDd =MOD[

⇒ tứ giác MOID nội tiếp ⇒ năm điểm M, C, O, I, D cùng nằm trên một đường tròn

Bài 21 Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B ngoài đường tròn Từ A và B kẻ các tiếp tuyến

AM, AN và BP, BQ đường thẳng MN và PQ cắt nhau tại E Chứng minh rằng OE vuông góc vớiAB

Lời giải

A

O M

N D

E I

Q

N P

AM, AN là tiếp tuyến đường tròn(O)⇒ OA⊥MN

Tương tự OB⊥PQ, đường thẳng OE cắt đường thẳng AB tại H

Gọi D là giao điểm của OA và MN, I là giao điểm của OB và PQ ⇒ tứ giác ODEI nội tiếp

Mặt khác, [MDC=MAC[=MNP[ ⇒ tứ giác DNPM nội tiếp đường tròn đường kính DM ⇒ [DPM=

90◦

Tứ giác MPCQ có ba góc vuông ⇒ tứ giác PCQM là hình chữ nhật

Bài 23 Cho tam giác ABC, đường tròn(J)bàng tiếp góc A tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lầnlượt tại I, D, E Giả sử đường thẳng EI vuông góc với với AC tại K, gọi H là hình chiếu của D trên

JK Chứng minh rằng dCHI =AHE[ =90◦

Lời giải

B

C K

J

E

F

H I

A

D

B

C M

N

S

Q

P R I

Lại có dBIJ=BEJd =BHJd =90◦ ⇒ E, I, H nằm trên đường tròn đường kính JB

⇒ dKCI=dIBJ=KHId ⇒ CHIK nội tiếp ⇒ dIHC=90◦, tứ giác AKHE nội tiếp

⇒ [AHE =AKE[ =90◦

Bài 24 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Đường phân giác các góc bA và bBcắt nhau tại P,đường phân giác góc bC và bD cắt nhau tại R, đường phân giác bBvà bC cắt nhau tại Q, đường phângiác góc bAvà bDcắt nhau tại S Chứng minh tứ giác PQRS là tứ giác nội tiếp và MQ vuông góc vớiNP

Lời giải

Ta có

dSPQ+SRPd =

A+Bb+Cb+Db



=180◦

⇒ tứ giác PQRS là tứ giác nội tiếp

Xét 4NAB: phân giác bA, bBcắt nhau tại P ⇒ NP là phân giác của dANB

Xét 4NCD: phân giác ngoài bCvà bDcắt nhau tại R ⇒ NR là phân giác của dANB⇒ P, R, N thẳnghàng.

Tương tự M, S, Q thẳng hàng

Gọi I là giao điểm của MQ cắt NP,

dMIN =180◦−IMNd −INMd

=180◦− [AMN− [ANM+AMId +ANId = 1

2

b

A+Mb

+12

b

Từ D kẻ đường thẳng song song với AC và AB cắt AB tại M và AC tại N, từ M kẻ đường thẳng songsong với BC cắt AC tại I, ta có

Theo giả thiết [BED=Ab⇒ [BMD=BED[⇒ tứ giác BMED là tứ giác nội tiếp

⇒ [MEA=MBD[ =BCAd =MIAd ⇒ tứ giác AMEI nội tiếp ⇒ dEIC=AME[ =EDB[

⇒ tứ giác IEDC nội tiếp ⇒ NI=NC=ND⇒ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác IEDC

⇒ bA=DNC[ =2[DEC

Bài 26 Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, các đường thẳng

AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, K Trên cạnh BC lấy điểm M Haiđiểm P và Q thỏa mãn MP song song với BE, CP vuông góc với CK và BQ vuông góc với BE.Chứng minh rằng PE, QK, DM đồng qui

Lời giải

E K

P Q

2

b

A+Bb=90◦−1

2C,b[

BCJB=90◦+1

2Cb⇒ [BJBC= 1

2AbMPkBJB⇒ [MPC= 1

2A.b

Mặt khác [DNC= 1

2Ab⇒ tứ giác MNPC là tứ giác nội tiếp ⇒ [BCJB+MNP[ =180◦

Tứ giác BEND nội tiếp ⇒ [END=180◦− [EBD=180◦−1

2

b

Lời giảiAMCQlà tứ giác nội tiếp ⇒ [MAC=MQC, APBN nội tiếp[

⇒BPNd =BAN, AD là phân giác ⇒ dd BAD=CADd ⇒BPNd =MQC[

⇒ dBPC=BQCd ⇒ PQCB nội tiếp ⇒ dQPC=QBC, dd APN=ABN.d

Theo giả thiết [CBM =ABNd ⇒ dCBQ=CPA, dd CPQ=CBQd ⇒ P, A, Q thẳng hàng

Các tứ giác AQCM, PQCB nội tiếp ⇒ [ACM =AQM[ ⇒ dACN=BCM.[

Bài 28 Cho tam giác ABC, gọi J là tâm đường tròn bàng tiếp bA và I, D, E là các tiếp điểm với

cạnh BC, CA, AB Đường thẳng BJ cắt ID tại M và đường thẳng CJ cắt EI tại N Đường thẳng

AM, AN cắt cạnh BC tại O và Q Chứng minh IP=IQ

2C.b

Có MJ⊥EI và cắt EI tại trung điểm ⇒ [EMJ=JMId =90◦−MIBd −BIEd =90◦−1

2

b

B+Cb,[

EMJ= 1

2Ab⇒ [EMJ=EAJd = 1

2Ab⇒ AMEJ là tứ giác nội tiếp, AE⊥EJ

⇒ MA⊥MJ ⇒ MAkIE ⇒ PEIA là hình thang cân ⇒ IP=AE

Tương tự, tứ giác AIDQ là hình thang cân IQ=AD, mặt khác AE =AD⇒ IP=IQ

A B

C

J

D E

N I M

A, E là giao điểm của đường trung trực BD và đường thẳng qua A song song với BC Kéo dài AC

về phía A lấy điểm P sao cho PA=2AC Chứng minh rằng đường thẳng qua E vuông góc với AC,đường thẳng qua P vuông góc với AB và đường thẳng BD đồng qui

Lời giải

Theo giả thiết dDBC=Ab⇒ tứ giác EACB là hình bình hành ⇒ AC song song với BE.

Gọi M là trung điểm AP ⇒ AM =AC=AB⇒ MBC là tam giác vuông, MB⊥BC

⇒ MB⊥AE ⇒ MABE là hình thoi ⇒ ME =MP=MA⇒ PE⊥EA

Giả sử đường thẳng qua P và vuông góc với AB cắt BD tại Q và PE⊥BC

⇒ [QPE =ABCd ⇒ [QPE =BDCd =BDE[ ⇒ tứ giác PQDE nội tiếp

Lời giảiĐường thẳng AO cắt cạnh BC tại D

Olà tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC ⇒ OA=OB⇒ dOAB=OBA.d

Theo giả thiết dBOP=ABCd ⇒ 4ABD v 4BOP ⇒ AB

BO = AD

BP ⇒ AB · BP=AD· BO và dBPO=d

ADB

Tương tự, 4ACD v 4COQ ⇒ AC ·CQ=AD·CO, [CQO=ADC.d

⇒ dAPO+AQO[=180◦− dBPO+180◦− [CQO=360◦−ADBd +ADCd=180◦

⇒ O nằm trên đường tròn ngoại tiếp 4 APQ

Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp 4ABC và đường tròn ngoại tiếp 4APQ ⇒ OE =

OA⇒ dOAE =OEA, tứ giác AEQO nội tiếp ⇒ [[ AEO=AQO, tứ giác AQOP nội tiếp ⇒ [[ AEO=[

AQO=BPOd =ADB.d

⇒ dEAO=ADBd ⇒ AEkBC, mà OC=OB⇒ AB · BP=AC·CQ

Giả sử dABC> dACB⇒ PQ cắt cạnh BC tại M (về phía C);

AEQPnội tiếp ⇒ dPAE+PQE[=180◦, AEkBC ⇒ dPAE+ABCd =180◦.

⇒ [EPQ=EAQ, dd EAQ=ACBd ⇒ [EPQ=ACBd ⇒ 4EPQ v 4ACB (g.g) ⇒ 4ABC=4ECB

dAPE =APQd − [EPQ=AOQ[− [EOQ=AOB;d

Mặt khác, dOAC= 1

2



180◦− dAOC=90◦− dABC, dEAC=ACB.d

⇒ dAOB=180◦− 2 dOAE− 290◦− dABC+ACBd

ABE =ABCd − dEBC=ABCd − dACB⇒ dAPE=2 dABE ⇒PBEd =PEBd (1)Gọi M là giao điểm của PQ và BC,

dAQP=AEPd =180◦−Ab+Cb−Bb− bC=2 bC−Bb

⇒ [PMB=ACBd − [MQC=ACBd − dAQP=Bb− bC

⇒ [BMP=BEPd =Bb− bC⇒ tứ giác BPEM nội tiếp

Kết hợp với (1) có [BMP=PME[ ⇒ MP là phân giác của [BME

Lại có [EQM =180◦− [EQP=180◦−B, [b PEM =180◦−Bb

⇒ 4MQE v 4MEP ⇒ ME2=MP· MQ ⇒ ME là tiếp tuyến của đường tròn(APQ)

Bài 31 Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AA1, BB1, CC1 cắt nhau tại H, đường thẳng ACcắt A1C1 tại D Gọi I là trung điểm của AC Chứng minh DH vuông góc với BI

DBcắt đường tròn tại E, AA1⊥BC, CC1⊥AB ⇒ AC1A1Cnội tiếp

⇒ DA · DC=DC1· DA1 Tứ giác AEBC nội tiếp ⇒ DA · DC=DE· DB ⇒ DE · DB=DC1· DA1

⇒ C1A1BE nội tiếp

Mặt khác tứ giác C1BA1H nội tiếp ⇒ 5 điểm C1, E, B, A1, H nằm trên một đường tròn đườngkính BH ⇒ BE⊥HE