Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 1 TÀI LIỆU MỤC LỤC: 1-Khảo Sát Hàm Số và Các Bài Toán Liên Quan 2-Giá Trị Lớn Nhất Giá Trị Nhỏ Nhất 3- Lƣợng Giác 4-Phƣơng trình bất phƣơng trình Mũ và Logarit 5-Tích Phân và Ứng Dụng 6-Số phức 7-Phƣơng Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Oxyz 8-Hình Học Không Gian Thuần Túy 9-Tổ Hợp và Xác Suất Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 2 Tài liệu đã đƣợc tinh giảm chỉ còn những phần cơ bản và cần thiết, vừa đủ để các em có thể học nhanh và nắm bắt đƣợc phù hợp với kiến thức THPT cũng nhƣ kì thi Quốc Gia 2015 sắp tới. Chỉ cần nắm bắt đƣợc các vấn đề cơ bản của tài liệu này thì điểm 6,5-7 là điều không hề khó khăn. Chú ý tập tài liệu chỉ đề cập đến các kiến thức cơ bản sẽ xuất hiện trong kì thi Quốc Gia 2015 môn Toán nên sẽ không có các phần nâng cao. Các em học sinh ôn thi vào các trƣờng lớn hay các trƣờng có tổ chức thi xét tuyển lần 2 thì các kiến thức trong tài liệu là không đầy đủ. Do tài liệu đƣợc biên soạn bởi tác giả nên không tránh đƣợc sự thiếu xót. Nếu có thì mong các em thông cảm. Chúc các em học tốt và vƣợt qua kì thi năm nay một cách dễ dàng. Thân! Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 3 KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A. Lý thuyết: I. Các bƣớc khảo sát hàm số: Tập xác định. Giới hạn, Tiệm cận (Nếu có) Đạo hàm Bảng biến thiên: Các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị (Nếu có) Đồ thị: Điểm đặc biệt, Vẽ đồ thị. II. Tổng kết các dạng đồ thị: 1. Hàm bậc 3: 32 ,0y ax bx cx d a Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm uốn. Dạng đồ thị được căn cứ vào: Số nghiệm của '0y và dấu của hệ số a. Có 3 trường hợp: TH1: '0y có 2 nghiệm phân biệt có 2 cực trị. 0a 0a TH2: '0y có nghiệm kép không có cực trị. 0a 0a Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 4 TH3: '0y vô nghiệm không có cực trị. 0a 0a 2. Hàm trùng phƣơng: 42 ,0y ax bx c a Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy. Đồ thị có 2 dạng căn cứ vào : Số nghiệm của '0y và dấu của hệ số a. TH1: '0y có 3 nghiệm phân biệt có 3 cực trị. 0a 0a TH2: '0y có 1 nghiệm có 1 cực trị. 0a 0a 3. Hàm phân thức: 22 ,0 ax b y a c cx d Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 5 Đồ thị có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. Đồ thị là hai đường hypebol đối xứng qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Đồ thị có hai dạng: Dựa vào dấu của y‟. TCN TCĐ - ' 0,y x D hàm số đồng biến. TCN TCĐ - ' 0,y x D hàm số nghịch biến. B. Các dạng toán liên quan: I. Đồng biên nghịch biến: Lý thuyết: Liên quan đên phương trình bậc 2 Cho phương trình: 2 y ax bx c 0a Hệ thức Vi-et: 1 2 1 1 ; bc S x x P x x aa Để phương trình có hai nghiệm trái dấu 0P Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu 0 0P Để phương trình có hai nghiệm dương 0 0 0 P S Để phương trình có hai nghiệm âm 0 0 0 P S So sánh nghiệm 12 ,xx của phương trình với các số , cho trước: Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 6 Để phương trình có nghiệm 12 ,xx thõa mãn: 12 0 . ( ) 0 xx af 12 0 . ( ) 0 xx af 12 0 . ( ) 0 2 x x a f S 12 0 . ( ) 0 2 x x a f S 12 0 . ( ) 0 . ( ) 0 2 af xx af S 12 0 . ( ) 0 . ( ) 0 2 af xx af S 12 0 . ( ) 0 . ( ) 0 2 af xx af S 12 0 . ( ) 0 . ( ) 0 x x a f af Chú ý: Nếu đề có dấu “=” thì ta sẽ thêm dấu ”=” tương ứng đối với các điều kiện. Bài toán: Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên TXD hay trong một khoảng nào đó sau đây: , , , , , , , , , , ,a b a b a a b b Phƣơng pháp chung: Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số suy luận. Quy về bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với các số cho trước ở đây là các số a, b trong các khoảng đó. Ví dụ 1: Cho hàm số 32 1 32 3 y x mx m x . Xác định m để hàm số đồng biến trên R. Giải: Do 1 0 3 a nên để hàm số đồng biến trên R thì đồ thị hàm số không có cực trị Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 7 '0y có nghiệm kép hoặc vô nghiệm Ta có 2 ' 2 3 2y x mx m Để hàm số đồng biến trên R '2 ' 3 2 0 1 2 y m m m Vậy 12m Ví dụ 2: Cho hàm số 32 1 1 3 2 3 y m x mx m x . Xác định m để hàm số nghịch biến trên R. Giải: Để hàm số nghịch biến trên R thì 0a và '0y có nghiệm kép hoặc vô nghiệm. Ta có: 2 ' 1 2 3 2y m x mx m Để hàm số nghịch biến trên R ' 2 2 ' 1 0 10 1 1 0 1 3 2 0 2 2 5 2 0 2 1 2 y m a m m m m m mm mm m Vậy 1 2 m Ví dụ 3: Cho hàm số 32 2 3 6( 1)y x x m x . Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng 2,0 Giải: Ta có: 2 ' 6 6 6( 1)y x x m Từ tính chất của đồ thị, do 0a để hàm số có khoảng nghịch biến thì đồ thị hàm số phải có cực đại và cực tiểu. Gọi các điểm cực trị là 12 ,xx Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng 12 ,xx Vậy để hàm số nghịch biến trên 2,0 thì 12 20xx 0 4 3 0 . ( 2) 0 6( 3) 0 3 . (0) 0 6(m 1) 0 m a f m m af Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 8 Ví dụ 4: Cho hàm số 32 26y x x mx Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng 2, Giải: Ta có: 2 ' 6 2 6y x x m Từ tính chất của đồ thị, do 0a để hàm số có khoảng đồng biến ta có hai trường hợp: + TH1: Hàm số không có cực trị 1 0 1 36 0 36 mm suy ra hàm số đồng biến trên R nên hàm số đồng biến trên khoảng 2, + TH2: Hàm số có cực trị 0 . Gọi các điểm cực trị là 12 ,xx thì hàm số đồng biến trên các khoảng 12 , , ,xx Để hàm số đồng biến trên 2, thì 12 2xx 1 0 36 14 1 . ( 2) 0 6 28 6 0 3 36 1 2 2 2 6 m a f m m S Vậy khi 14 3 m thì hàm số đồng biến trên khoảng 2, Ví dụ 5: Cho hàm số 4 xm y xm . a) Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. b) Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên 1, Giải: Ta có TXD: ; 4 4 ;D m m và 2 3 ' 4 m y xm a) Để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó thì '0y với mọi xD Có nghĩa là 2 3 ' 0 0 4 m ym xm Vậy 0m thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 9 b) Ta có khi 0m thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là: m và 4m, Để hàm số nghịch biến trên 1, thì 1, 4 ,m Có nghĩa là 1 41 4 mm . Kết hợp với điều kiện để nghịch biến 1 0 4 m Bài tập vận dụng: 1/Cho hàm số 32 34y x x mx . a) Xác định m để hàm số đồng biến trên R. b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R. c) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng 2/Cho hàm số 32 2 3 2 1 6 1 1y x m x m m x . a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định. b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên tập xác định. c) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng 2, . 3/Cho hàm số 4mx y xm . a) Xác định m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. c) Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng 4/Cho hàm số 1x y xm . Xác định m để: a) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) Hàm số đồng biến trên khoảng 0, 5/Cho hàm số 42 2 3 1y x mx m . Xác định m để a) Hàm số đồng biến trên 0, b) Hàm số đồng biến trên 2, Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 10 c) Xác định giá trị của m để hàm số đồng biến trên 1,2 6/Cho hàm số 4 2 2 2y x mx m . Xác định m để: a) Hàm số nghịch biến trên khoảng 1, b) Hàm số nghịch biến trên khoảng 1,0 7/Cho hàm số 32 3 3 3 4y x mx x m . Xác định giá trị của m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1. 8/Cho hàm số 32 1 ( 1) 3( 2) 1 3 y mx m x m x . Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên 2, . 9/Cho hàm số 22 3(2m 1)x (12 5) 2y x m x . Xác định m để hàm số đồng biến đồng thời trên cả 2 khoảng và 2, 10/Cho hàm số 32 3 ( 1) 4y x x m x m . Xác định m để hàm số nghịch biến trên 1,1 11/Cho hàm số 32 1 2( 1) ( 1) 3 y mx m x m x m . Xác định m để: a/Hàm số đồng biến trên ,0 b/Hàm số nghịch biến trên 2, c/Hàm số đồng biến trên các khoảng , 1 2; [...]... b/Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho MA=MB Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 19 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 IV Giao điểm của hai đồ thị: Lý thuyết: Cho hàm số y f ( x) và y g ( x) Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: f ( x) g ( x) Bài toán 1: Dựa vào đồ thị biện luận... Sđt: 0932589246 22 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 3 2 1 -2 2 -1 -2 Dựa vào đồ thị để phương trình x 3 x m 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt thì đường 3 thẳng y m cắt đồ thị y x 3 x m tại 3 điểm phân biệt m m 0 3 Vậy m thì phương trình x 3 x m 0 có 3 nghiệm phân biệt 3 Bài toán 2: Bài toán giao điểm của đồ thị và đƣờng thẳng 3 2 Giao điểm của đồ thị hàm số... tại 4 điểm x1 , x2 , x3 , x4 2 2 2 2 thỏa mãn x1 x2 x3 x4 17 10/Cho hàm số y x 1 (C) Xác định m để y x m cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho độ dài x2 AB nhỏ nhất 2x 1 Xác định k để đường thẳng y kx k 1 cắt (C) tại 2 điểm A, B x 1 sao cho khoảng cách từ A đến Ox bằng khoảng cách từ B đến Oy 11/Cho hàm số y V Các bài toán liên quan đên hình học phẳng đơn giản: Dạng toán: Tìm... và ba điểm đó lập thành một tam giác đều 1 3 2 5/ Cho hàm số: y x mx x m 1 3 a) Chứng minh hàm số luôn có cực trị b) Xác định m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị nhỏ nhất Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 14 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 III Tiếp tuyến: Lý thuyết: Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số: Cho hàm số y f ( x) có đồ thị (C) Tiếp tuyến tại điểm M... thấy được sự khác biệt giữa tiếp tuyến tại điểm M xo ; yo và tiếp tuyến qua điểm M Tiếp tuyến tại M thì có duy nhất 1 đường thẳng còn tiếp tuyến qua M thì có thể có nhiều đường Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 17 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 3 Ví dụ 1: Cho hàm số: y x 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của © biết tiếp tuyến đi qua điểm A 1, 2 Giải: Gọi tiếp tuyến qua... tại 4 điểm phân biệt 4 2 5/Cho hàm số y x mx m 1 Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc trục Ox x2 (C) Xác định m để đường thẳng y mx m 1 cắt (C) tại 2 điểm 2x 1 phân biệt thuộc một nhánh của đồ thị 6/Cho hàm số y 7/ Cho hàm số y 2x 1 (C) và đường thẳng (d) y 2 x m x 1 a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt b) Xác định m để (d) cắt (C) tại 2 điểm. .. Xác định m để tiếp tuyến của (C) tại điểm M đi qua điểm A(3,2) 5/Cho hàm số y 2x (C) x 1 a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của © và trục Oy b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho tam giác OAB cân tại O 3 2 6/Cho hàm số: y x mx 4 Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành 7/ Cho hàm số: y x2 (C) x2 a/Khảo... (C) tại điểm có hoành độ xo biết f " xo 1 TNTHPT-2011: Cho hàm số y 2x 1 2x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y x 2 3 B-2014: Cho hàm số y x 3mx 1 Cho điểm A 2,3 Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A 3 D-2014: Cho hàm số y x 3x 2 (C) Tìm điểm M thuộc... 0932589246 20 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 b) Ta có x3 3x2 m 0 x3 3x2 2 2 m Số nghiệm của phương trình x3 3x2 m 0 là số giao điểm của hai đồ thị: y x3 3x 2 2 Với y 2 m là đường thẳng song song Ox y 2 m Dựa vào đồ thị ta có: + Nếu 2 m 2 m 0 thì y 2 m cắt (C) tại 1 điểm + Nếu 2 m 2 m 4 thì y 2 m cắt (C) tại 1 điểm + Nếu 2 m... g ( x) (*) f '( x) g '( x) Số nghiệm của hệ (*) là số tiếp điểm của hai đồ thị Hệ vô nghiệm thì hai đồ thị không tiếp xúc nhau Bài toán 1: Liên quan đến tiếp tuyến tại điểm M xo ; yo (C) : Phƣơng pháp chung: Bƣớc 1: Gọi tiếp tuyến tại M có dạng : y f '( xo )( x xo ) yo Bƣớc 2: Dựa vào giả thuyết bài toán ta đi tìm xo Bƣớc 3: Kết luận theo yêu cầu của đề bài Các kiến . vấn đề cơ bản của tài liệu này thì điểm 6,5 -7 là điều không hề khó khăn. Chú ý tập tài liệu chỉ đề cập đến các kiến thức cơ bản sẽ xuất hiện trong kì thi Quốc Gia 2015 môn Toán nên sẽ không. Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 1 TÀI LIỆU MỤC LỤC: 1-Khảo Sát Hàm Số và Các Bài Toán Liên Quan 2-Giá Trị. trƣờng lớn hay các trƣờng có tổ chức thi xét tuyển lần 2 thì các kiến thức trong tài liệu là không đầy đủ. Do tài liệu đƣợc biên soạn bởi tác giả nên không tránh đƣợc sự thiếu xót. Nếu có thì