II. Các bài toán thƣờng gặ p:
1. Phƣơng Pháp Giải Toán:
Bài toán cơ bản :
Bƣớc 1 : Tính độ lớn không gian mẫu :
Bƣớc 2 : Gọi biến cố cần tìm xác xuất. Tính các kết quả thuận lợi của A : A
Bƣớc 3 : Dùng công thức tính xác suất.
Các bước tìm độ lớn KGM và các kết quả thuận lợi của A ta làm như phần bài toán đếm.
Dùng qui tắc xác suất :
Bƣớc 1 : Tính độ lớn không gian mẫu :
Bƣớc 2 : Gọi các biến cố Ai liên quan. Tính (P Ai), P A( i)
Bƣớc 3 : Dựa vào câu hỏi của đề gọi biến cố cần tìm. Quy các biến cố cần tìm trở thành biến cố hợp hoặc biến cố giao của các biến cố Ai.
Bƣớc 4 : Dùng qui tắc xác suất để tính.
Bài toán xác suất thực tế là một bài toán tổ hợp
Xác định đúng không gian mẫu.
Định hình đƣợc đề bài và câu hỏi và tìm các khả năng xảy ra của biến cố.
Xác định đúng chỉnh hợp và tổ hợp để tránh trƣờng hợp sai đáng tiếc.
Xử dụng phần bù đúng sẽ tránh đƣợc các lỗi lặp.
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
Ví dụ 1 : Có 10 học sinh được xếp vào một dãy ghế 10 chổ ngồi trong đó có hai bạn A và B. Tính xác suất để A và B ngồi gần nhau.
Giải :
Không gian mẫu là số cách xếp 10 người vào 10 vị trí 10! Goi A là biến cố : „„ Hai bạn A và B ngồi gần nhau ‟‟.
Số các kết quả thuận lợi của A : A 2!9!
Xác suất để A và B ngồi gần nhau là 2!9! 1
10! 5
A
P A
Ví dụ 2 : Bạn A đưa người yêu về ra mắt gia đình. Cả nhà 8 người cùng nhau đi ăn tại một nhà hàng và được xếp vào ngồi một bàn tròn. Cả nhà ngồi vào bàn một cách ngẫu nhiên tính xác suất để A và người yêu không ngồi gần nhau.
Giải :
Ta có không gian mẫu là số cách xếp 8 người vào một bàn tròn 7!
Gọi A là biến cố : „„ A và người yêu không ngồi gần nhau‟‟
Suy ra A là biến cố : „„ A và người yêu ngồi gần nhau‟‟
Số các kết quả thuận lợi của A là A 2!6!
Ta có xác suất để A và người yêu ngồi gần nhau A 2!6! 2
7! 7
P A
Vậy xác suất để A và người yêu không ngồi gần nhau : 2 5
1 1
7 7
P A P A
Ví dụ 3 : Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi khác nhau, mỗi câu hỏi có 4 đáp án để học sinh lựa chọn. Một học sinh cá biệt khoanh đáp án một cách ngẫu nhiên, tính xác suất để học sinh này đạt được đúng 5 điểm. ( Mỗi câu đúng được một điểm)
Giải :
Gọi Ai là biến cố : „„ Học sinh khoanh đúng đáp án câu thứ i‟‟ với i1, 2...,10
Suy ra Ai là biến cố : „„ Học sinh khoanh sai đáp án câu thứ i‟‟
Ta có : 1 3
1
4 4
i i i
P A P A P A
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
Để đạt được 5 điểm thì học sinh này phải đánh đúng đáp án đúng 5 câu và sai 5 câu Ta có : 5
10
C cách
Theo quy tắc xác suất thì : 5 5 5
10. i . i 0.0583992
P B C P A P A
Bài tập:
1) Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để:
a) Tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 7. b) Ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm.
c) Có đúng một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm.
Đáp số: a) 7/12 b) 11/36 c) 5/18
2) Một bình đựng 8 bi xanh khác nhau, 4 bi đỏ khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 3 bi, tính xác suất để:
a) Ba bi được chọn là ba bi xanh. Đáp số : 14/55
b) Ba bi được chọn là ba bi đỏ. Đáp số : 1/55
3) Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chon ra 4 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để trong số bi lấy ra không có đủ cả ba màu.
Đáp số : 48/91
4) Một tổ có 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chi tổ thành 3 nhóm 4 người. Tính xác suất
để khi chia ngẫu nhiên được nhóm nào cũng có nữ. Đáp số : 16/55
5) Gieo ba con xúc xắc cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt
xuất hiện của ba con xúc xắc bằng 9. Đáp số : 25/216
6) Một bình đựng 6 bi xanh và 5 bi đỏ. Chọn ra 2 bi, tính xác suất để :
a) Hai bi chọn ra cùng màu. Đáp số : 5/11
b) Hai bi chọn ra khác màu. Đáp số : 6/11
7) Một chiếc xe máy có hai động cơ, hai động cơ này hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ 1 chạy tốt là 0,8. Xác suất để động cơ 2 chạy tốt là 0,7. Tính xác suất để :
a) Cả hai động cơ đều chạy tốt. Đáp số : 14/25
b) Có đúng một động cơ chạy tốt. Đáp số : 19/50
c) Có ít nhất một động cơ chạy tốt. Đáp số : 47/50
8) Hai máy bay ném bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném một quả với xác suất trúng mục tiêu là 0,7 và 0,8. Tìm xác suất để mục tiêu bị trúng bom.
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
10 ) Có 2 hộp bi. Hộp 1 có 7 bi xanh và 3 bi đỏ, hộp 2 có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp ra 1 bi. Tìm xác suất để được ít nhất một bi đỏ.
Đáp số : 29/50
11 ) Xác suất bắn trúng hồm tâm của một cung thủ là 0,2. Tính xác suất để trong ba lần bắn độc lập :
a) Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần. Đáp số : 48/125
b) Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần. Đáp số : 61/125
12 ) Có 2 hộp bi, mỗi hộp có 2 bi đỏ và 8 bi trắng. Các viên bi chỉ khác nhau về màu. Chia cho 2 người 2 hộp bi và lấy ngẫu nhiên ra 3 viên từ hộp của mình. Tìm xác suất để số bi
đỏ lấy ra bằng nhau. Đáp số : 33/75
13 ) Một gia đình 4 người vào một tiệm ăn trên đường Hùng Vương. Thực đơn tiệm có 8 món ăn, mỗi thành viên chọn 1 món ngẫu nhiên. Tính xác suất để bốn người gọi bốn món
khác nhau. Đáp số : 105/256
14 ) Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có 8 bạn nam và 4 bạn nữ. Tổ chia thành 4 nhóm nhỏ, mỗi nhóm 3 học sinh gồm 2 nam và 1 nữ. A là một bạn nam, B là một bạn nữ trong tổ.
Tính xác suất để A và B được chia về cùng một nhóm. Đáp số : 1/16
15 ) An và Linh cùng 6 bạn khác chia làm 2 nhóm mỗi nhóm 4 bạn để chơi rượt bắt. Hỏi xác suất để An và Linh được ở chung một nhóm là bao nhiêu ? Đáp số : 3/7
16 ) Cuộc thi bóng đá VFF được tổ chức có 9 đội bóng tham gia, trong đó có 3 đội bóng Việt Nam và 6 đội bóng từ các nước khác. Các đội bóng tham gia được chia làm 3 bảng mỗi bảng 3 đội. Bang tổ chức cho các đội bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để 3 đội
bóng Việt Nam nằm ở 3 bảng khác nhau. Đáp số : 9/28
17 ) Trong cuộc thi „„Rung chuông vàng‟‟ thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn An, có 20 bạn lọt vào vòng chung kết trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi Bang tổ chức chia các bạn thành 4 nhóm A, B, C, D mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng
một nhóm. Đáp số : 1/15504
18 ) Hai thí sinh A và B tham gia buổi thí vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng một câu hỏi ; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết bộ 10 câu hỏi dành cho các thí sinh là như nhau, tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn là giống nhau.