Tài liệu 7 điểm môn toán ĐH nguyễn đại dương

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 1 TÀI LIỆU MỤC LỤC: 1-Khảo Sát Hàm Số và Các Bài Toán Liên Quan 2-Giá Trị Lớn Nhất Giá Trị Nhỏ Nhất 3- Lƣợng Giác 4-Phƣơng trình bất phƣơng trình Mũ và Logarit 5-Tích Phân và Ứng Dụng 6-Số phức 7-Phƣơng Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Oxyz 8-Hình Học Không Gian Thuần Túy 9-Tổ Hợp và Xác Suất Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 2 Tài liệu đã đƣợc tinh giảm chỉ còn những phần cơ bản và cần thiết, vừa đủ để các em có thể học nhanh và nắm bắt đƣợc phù hợp với kiến thức THPT cũng nhƣ kì thi Quốc Gia 2015 sắp tới. Chỉ cần nắm bắt đƣợc các vấn đề cơ bản của tài liệu này thì điểm 6,5-7 là điều không hề khó khăn. Chú ý tập tài liệu chỉ đề cập đến các kiến thức cơ bản sẽ xuất hiện trong kì thi Quốc Gia 2015 môn Toán nên sẽ không có các phần nâng cao. Các em học sinh ôn thi vào các trƣờng lớn hay các trƣờng có tổ chức thi xét tuyển lần 2 thì các kiến thức trong tài liệu là không đầy đủ. Do tài liệu đƣợc biên soạn bởi tác giả nên không tránh đƣợc sự thiếu sót. Nếu có thì mong các em thông cảm. Chúc các em học tốt và vƣợt qua kì thi năm nay một cách dễ dàng. Thân! Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 3 KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A. Lý thuyết: I. Các bƣớc khảo sát hàm số:  Tập xác định.  Giới hạn, Tiệm cận (Nếu có)  Đạo hàm  Bảng biến thiên: Các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị (Nếu có)  Đồ thị: Điểm đặc biệt, Vẽ đồ thị. II. Tổng kết các dạng đồ thị: 1. Hàm bậc 3: 32 ,0y ax bx cx d a      Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm uốn.  Dạng đồ thị được căn cứ vào: Số nghiệm của '0y  và dấu của hệ số a.  Có 3 trường hợp:  TH1: '0y  có 2 nghiệm phân biệt  có 2 cực trị. 0a  0a   TH2: '0y  có nghiệm kép  không có cực trị. 0a  0a  Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 4  TH3: '0y  vô nghiệm  không có cực trị. 0a  0a  2. Hàm trùng phƣơng: 42 ,0y ax bx c a     Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy.  Đồ thị có 2 dạng căn cứ vào : Số nghiệm của '0y  và dấu của hệ số a.  TH1: '0y  có 3 nghiệm phân biệt  có 3 cực trị. 0a  0a   TH2: '0y  có 1 nghiệm  có 1 cực trị. 0a  0a  3. Hàm phân thức: 22 ,0 ax b y a c cx d      Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 5  Đồ thị có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.  Đồ thị là hai đường hypebol đối xứng qua giao điểm của hai đường tiệm cận.  Đồ thị có hai dạng: Dựa vào dấu của y‟. TCN TCĐ - ' 0,y x D    hàm số đồng biến. TCN TCĐ - ' 0,y x D    hàm số nghịch biến. B. Các dạng toán liên quan: I. Đồng biên nghịch biến:  Lý thuyết: Liên quan đên phương trình bậc 2 Cho phương trình: 2 y ax bx c     0a   Hệ thức Vi-et: 1 2 1 1 ; bc S x x P x x aa        Để phương trình có hai nghiệm trái dấu 0P  Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu 0 0P        Để phương trình có hai nghiệm dương 0 0 0 P S          Để phương trình có hai nghiệm âm 0 0 0 P S          So sánh nghiệm 12 ,xx của phương trình với các số , cho trước: Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 6 Để phương trình có nghiệm 12 ,xx thõa mãn:  12 0 . ( ) 0 xx af          12 0 . ( ) 0 xx af           12 0 . ( ) 0 2 x x a f S                12 0 . ( ) 0 2 x x a f S                 12 0 . ( ) 0 . ( ) 0 2 af xx af S                    12 0 . ( ) 0 . ( ) 0 2 af xx af S                     12 0 . ( ) 0 . ( ) 0 2 af xx af S                       12 0 . ( ) 0 . ( ) 0 x x a f af                Chú ý: Nếu đề có dấu “=” thì ta sẽ thêm dấu ”=” tương ứng đối với các điều kiện.  Bài toán: Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên TXD hay trong một khoảng nào đó sau đây:             , , , , , , , , , , ,a b a b a a b b     Phƣơng pháp chung:  Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số suy luận.  Quy về bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với các số cho trước ở đây là các số a, b trong các khoảng đó. Ví dụ 1: Cho hàm số   32 1 32 3 y x mx m x    . Xác định m để hàm số đồng biến trên R. Giải: Do 1 0 3 a  nên để hàm số đồng biến trên R thì đồ thị hàm số không có cực trị Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 7 '0y có nghiệm kép hoặc vô nghiệm Ta có 2 ' 2 3 2y x mx m    Để hàm số đồng biến trên R '2 ' 3 2 0 1 2 y m m m         Vậy 12m Ví dụ 2: Cho hàm số     32 1 1 3 2 3 y m x mx m x     . Xác định m để hàm số nghịch biến trên R. Giải: Để hàm số nghịch biến trên R thì 0a  và '0y  có nghiệm kép hoặc vô nghiệm. Ta có:   2 ' 1 2 3 2y m x mx m     Để hàm số nghịch biến trên R    ' 2 2 ' 1 0 10 1 1 0 1 3 2 0 2 2 5 2 0 2 1 2 y m a m m m m m mm mm m                                        Vậy 1 2 m  Ví dụ 3: Cho hàm số 32 2 3 6( 1)y x x m x    . Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng   2,0 Giải: Ta có: 2 ' 6 6 6( 1)y x x m    Từ tính chất của đồ thị, do 0a  để hàm số có khoảng nghịch biến thì đồ thị hàm số phải có cực đại và cực tiểu. Gọi các điểm cực trị là 12 ,xx Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng   12 ,xx Vậy để hàm số nghịch biến trên   2,0 thì 12 20xx    0 4 3 0 . ( 2) 0 6( 3) 0 3 . (0) 0 6(m 1) 0 m a f m m af                       Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 8 Ví dụ 4: Cho hàm số 32 26y x x mx   Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng   2, Giải: Ta có: 2 ' 6 2 6y x x m   Từ tính chất của đồ thị, do 0a  để hàm số có khoảng đồng biến ta có hai trường hợp: + TH1: Hàm số không có cực trị 1 0 1 36 0 36 mm        suy ra hàm số đồng biến trên R nên hàm số đồng biến trên khoảng   2, + TH2: Hàm số có cực trị 0   . Gọi các điểm cực trị là 12 ,xx thì hàm số đồng biến trên các khoảng     12 , , ,xx  Để hàm số đồng biến trên   2, thì 12 2xx   1 0 36 14 1 . ( 2) 0 6 28 6 0 3 36 1 2 2 2 6 m a f m m S                          Vậy khi 14 3 m  thì hàm số đồng biến trên khoảng   2, Ví dụ 5: Cho hàm số 4 xm y xm    . a) Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. b) Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên   1,  Giải: Ta có TXD:     ; 4 4 ;D m m      và   2 3 ' 4 m y xm   a) Để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó thì '0y  với mọi xD Có nghĩa là   2 3 ' 0 0 4 m ym xm      Vậy 0m  thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 9 b) Ta có khi 0m  thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là:   m và   4m,  Để hàm số nghịch biến trên   1,  thì     1, 4 ,m    Có nghĩa là 1 41 4 mm     . Kết hợp với điều kiện để nghịch biến 1 0 4 m    Bài tập vận dụng: 1/Cho hàm số 32 34y x x mx    . a) Xác định m để hàm số đồng biến trên R. b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R. c) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng    2/Cho hàm số     32 2 3 2 1 6 1 1y x m x m m x      . a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định. b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên tập xác định. c) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng   2, . 3/Cho hàm số 4mx y xm    . a) Xác định m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. c) Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng    4/Cho hàm số 1x y xm    . Xác định m để: a) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) Hàm số đồng biến trên khoảng   0, 5/Cho hàm số 42 2 3 1y x mx m    . Xác định m để a) Hàm số đồng biến trên   0, b) Hàm số đồng biến trên   2, Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 10 c) Xác định giá trị của m để hàm số đồng biến trên   1,2 6/Cho hàm số 4 2 2 2y x mx m    . Xác định m để: a) Hàm số nghịch biến trên khoảng   1,  b) Hàm số nghịch biến trên khoảng   1,0 7/Cho hàm số 32 3 3 3 4y x mx x m     . Xác định giá trị của m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1. 8/Cho hàm số 32 1 ( 1) 3( 2) 1 3 y mx m x m x      . Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên   2, . 9/Cho hàm số 22 3(2m 1)x (12 5) 2y x m x      . Xác định m để hàm số đồng biến đồng thời trên cả 2 khoảng    và   2, 10/Cho hàm số 32 3 ( 1) 4y x x m x m     . Xác định m để hàm số nghịch biến trên   1,1 11/Cho hàm số 32 1 2( 1) ( 1) 3 y mx m x m x m      . Xác định m để: a/Hàm số đồng biến trên   ,0 b/Hàm số nghịch biến trên   2, c/Hàm số đồng biến trên các khoảng     , 1 2;    [...]... b/Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho MA=MB Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 19 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 IV Giao điểm của hai đồ thị:  Lý thuyết: Cho hàm số y  f ( x) và y  g ( x) Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: f ( x)  g ( x)  Bài toán 1: Dựa vào đồ thị biện luận... Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 22 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 3 2 1 -2 2 -1 -2 Dựa vào đồ thị để phương trình x  3 x  m  0 có đúng 3 nghiệm phân biệt thì đường 3 thẳng y  m cắt đồ thị y  x  3 x  m tại 3 điểm phân biệt  m    m  0 3 Vậy m   thì phương trình x  3 x  m  0 có 3 nghiệm phân biệt 3  Bài toán 2: Bài toán giao điểm của đồ thị và đƣờng thẳng 3 2  Giao điểm. .. thấy được sự khác biệt giữa tiếp tuyến tại điểm M  xo ; yo  và tiếp tuyến qua điểm M Tiếp tuyến tại M thì có duy nhất 1 đường thẳng còn tiếp tuyến qua M thì có thể có nhiều đường Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 17 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 3 Ví dụ 1: Cho hàm số: y  x  3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của © biết tiếp tuyến đi qua điểm A 1, 2  Giải: Gọi tiếp tuyến qua...    xo  9 2 2 1 7 1  Với xo    yo  1 Phương trình tiếp tuyến là: y  9  x     y  9 x  2 2 2  Với xo  3 25 3   yo  1 Phương trình tiếp tuyến là: y  9  x    1  y  9 x  2 2 2  Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 16 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 2x 1 (C ) Tìm điểm M  (C ) để tiếp tuyến của (C ) tại M x 1 cắt trục Ox, Oy tại hai điểm A, B thỏa mãn... dạng toán này 4 2  Đối với trùng phƣơng : y  ax  bx  c Ta thấy: xCD , xCT chính là nghiệm của y '  0 , ngoài nghiệm x  0 thì hai nghiệm còn lại ta có thể tính được Nên dạng này ta sẽ làm thủ công: rút thế trực tiếp Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 12 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 x3 2 Ví dụ 1: Xác định m để hàm số y   mx  x có cực đại, cực tiểu tại x1 , x2 và các 3 2 2 điểm. .. m  1 3 a) Chứng minh hàm số luôn có cực trị b) Xác định m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị nhỏ nhất Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 14 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 III Tiếp tuyến:  Lý thuyết:  Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số: Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) Tiếp tuyến tại điểm M  xo ; yo   (C) có dạng: y  f '( xo )( x  xo )  yo với: yo  f ( xo ) ... x  6 x  1 a) Tại điểm có hoành độ bằng 1 b) Tại điểm có tung độ bằng 1 c) Biết tiếp tuyến song song đường thẳng y  3x 1 d) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y   x  1 9 Giải: Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 15 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 a) Với xo  1  yo  f (1)  9 2 Ta có: y '  f '( x)  12 x 12 x Suy ra: f '(1)  24 Vậy tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng... hàm số tại 3 điểm phân biệt: a) Có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1 b) Có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng 3 2 3/Cho hàm số y  x  3x  2 Gọi (d) là đường thẳng qua A  3, 20  có hệ số góc là m Tìm m để (d) cắt đồ thị tai 3 điểm phân biệt 4 2 4/Cho hàm số y  x  (3m 2) x  3m a) Xác định m để đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 25 Lớp Toán 131/10 Lý... Tìm điểm M thuộc (C) sao cho khoảng x 1 cách từ M đến đường thẳng y   x bằng 2 Giải:  m2 Gọi điểm M thuộc (C) có tọa độ M   m,   m 1  Theo đề khoảng cách từ M đên đường thẳng x  y  0 bằng  d M ,   m m2 m 1 12  12 2  2 m2  2  2 m 1  m2  2  m 1  2 m  0  2  m  2 m  2  2  m 1  Vậy M   0; 2 , M  2;4  Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 27 Lớp Toán. .. hàm số tại 3 điểm phân biệt D-2012: Cho hàm số y  2 3 2 x  mx 2  2(3m2  1) x  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 3 3 và x2 sao cho x1 x2  2( x1  x2 )  1 D-2011: Cho hàm số y  2x 1 Tìm k để đường thẳng y  kx  2k  1 cắt đồ thị hàm số tại hai x 1 điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 28 Lớp Toán 131/10 Lý . các vấn đề cơ bản của tài liệu này thì điểm 6,5 -7 là điều không hề khó khăn. Chú ý tập tài liệu chỉ đề cập đến các kiến thức cơ bản sẽ xuất hiện trong kì thi Quốc Gia 2015 môn Toán nên sẽ không. Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 13 Ví dụ 1: Xác định m để hàm số 3 2 3 x y mx x   có cực đại, cực tiểu tại 12 ,xx và các điểm cực đại cực tiểu thõa mãn: 22 12 6xx . 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 17 Ví dụ 2: Cho hàm số : 21 () 1 x yC x    . Tìm điểm ()MC để tiếp tuyến của ()C tại M cắt trục Ox, Oy tại hai điểm A, B thỏa mãn OA=OB.