Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 35 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
35
Dung lượng
2,03 MB
Nội dung
Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ - MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
(15 TIẾT)
Vấn đề 1:
KHẢO SÁT HÀM SỐ
I - HÀM BẬC BA y = ax3 + bx2 + cx + d
(a≠ 0)
Các bước cơ bản khảo sát hàm bậc ba:
Bước 1 : TXĐ : D=R
Bước 4 : Lập bảng biến thiên
Bước 5: Nhìn BBT kết luận (có 4 ý
sau)
Hàm số đạt CĐ tại x = ? khi đó
y=?
Hàm số đạt CT tại x = ? khi đó
Bước 2 : Tính y’. Giải PT y’ = 0 tìm
y=?
các điểm cực trị.
Hàm số đồng biến trên
khoảng ?
Hàm số nghịch biến trên
khoảng ?
Bước 6 : đồ thị
Bước 3 : Tính các giới hạn:
Bảng giá trị
+∞ (a > 0)
(ax3 + bx 2 + cx + d ) =
• xlim
x
→+∞
−∞ (a < 0)
y
−∞ (a > 0)
3
2
(ax + bx + cx + d ) =
• xlim
→−∞
+∞ (a < 0)
Vẽ đồ thị
Chú ý : Có 2 dạng đồ thị
y
y
•
y
y
I
I
•
I
I
•
•
O
x
a>
0
O
x
a<
0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị
BÀI TẬP
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) y = x3 + 3x2 – 3
b) y = x3 - 3x + 1 .
1
3
c) y= − x3 − x 2
d) y= - x3 + 3x2 – 4
e) y = x3 – 3x2 + 3x + 1,
f) y = -x3 + 3x2 – 5x + 2
g) y = x3 + x – 2
Các chuyên đề ôn thi
O
x
a>0
O
x
a 0)
lim (ax 4 + bx 2 + c) =
Vẽ đồ thị
x →±∞
−∞ (a < 0)
Chú ý : Có 2 dạng đồ thị
y
y
O
x
O
a>0
x
a0
O
x
a 0 ∀m
x3
− mx 2 + ( m 2 − 1) x + (m 2 − 1)
3
a) y= x3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m3
b) y=
c) y= x3 − (2a − 1) x 2 + (a 2 − 2) x + a
d. y = -x3 - 3x2 + 4m2x.
y = x − 3mx + 3 ( m − 1) x − m
3
2
2
e)
3
14) Chứng minh hàm số không có cực trị CM: ∆ y ' ≤ 0 ∀m
1
−
a) y = − x3 + mx 2 − (2m 2 − m + 1) x + m .
b) yx3=+ 2mx 2 − (4m 2 + 9) x + m 2 + 2011
3 3
2
2
2
1
c) y = x3 + mx 2 + (2m 2 − m + 1) x + m + 1 d) y =x − (m − 1) x + (m − 4m + 21) x + 2010m
3
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số thỏa mãn điều kiện về cực trị:
Cho hàm số y = f ( x ) , đồ thị là (C).
− Nghiệm của PT f ' ( x ) = 0 là hoành độ của điểm cực trị.
f ' ( x0 ) = 0
− Nếu f '' x < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = x0 .
( 0 )
f ' ( x0 ) = 0
− Nếu f '' x > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 .
( 0 )
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA:
− Để hàm số y = f ( x ) có 2 cực trị
a ≠ 0
⇔
∆ y' > 0
− Để hàm số
− Để hàm số
− Để hàm số
− Để hàm số
y = f ( x)
− Để hàm số
y = f ( x ) có
hai cực trị nằm phía trên trục hoành
− Để hàm số
y = f ( x ) có
hai cực trị nằm phía dưới trục hoành
y=
y=
y=
không có cực trị
∆y ≤ 0
f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
⇔ yCĐ . yCT < 0 .
f ( x ) có hai cực trị nằm về 1 phía đối với trục tung
x CĐ .x CT > 0
f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
⇔ xCĐ .xCT < 0 .
'
− Để hàm số y = f ( x ) có cực trị tiếp xúc với trục hoành
CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN DẠNG : y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) :
- Tính y’ = 4ax3 + 2bx
x = 0
- Cho y’= 0 ⇔ 2x(2ax2 + b) = 0 ⇔ 2
2ax + b = 0
yCĐ + yCT > 0
⇔
.
yCĐ . yCT > 0
yCĐ + yCT < 0
⇔
.
yCĐ . yCT < 0
⇔ yCĐ . yCT = 0 .
(1)
(2)
- Hàm số có 3 cực trị (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ a.b < 0
- Hàm số có 1 cực trị: (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc có một nghiệm
bằng 0
Các chuyên đề ôn thi
a = 0 và b ≠ 0
⇔
a ≠ 0 và ab ≥ 0
Chú ý:
1. Đối với hàm số bậc ba, lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi
đó y = r(x) là ĐT đi qua 2 điểm cực trị.
2. Cách tính tung độ cực trị của hàm số y = f(x) tại x0
- Hàm số bất kỳ : thực hiện phép thế y0 = f(x0)
- Hàm đa thức: chia đạo hàm ( lấy y chia cho y’ được thương là q(x) và dư là
r(x)).
Khi đó, y = q(x).y’ + r(x). Vì hàm số đạt cực trị tại x0 nên y’(x0) = 0.
Do đó, giá trị cực trị y0 = r(x0) ( tức là thế x0 vào phần dư r(x) để tính tung độ cực
trị)
Khoảng cách giữa hai điểm: A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
4. A(x; y) thuộc trục hoành khi y = 0, B(x;y) thuộc trục tung khi x = 0
BÀI TẬP
2
3.
1
3
2
1
2
3
2
15) Cho hàm số y = x + x + mx + 1
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
b) Tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm về khác phía so với trục tung
c) Tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm hai phía của đường thẳng x = 1.
c) Tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm bên trái đường thẳng x = 1.
16) Xác định m để hàm số có 3 cực trị, (có 1 cực trị)
a) y = mx4 b + (m2 – 9)x2 + 3m + 2.
b) y = mx4 + (m2 – 4)x2 + 3m + 1.
4
2
2
c) y = mx + ( m − 9 ) x + 10 .
VẤN ĐỀ 5: GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐỒ THỊ
Biện luận theo m số giao điểm của (C): y = f(x) và (C’): y=g(x;m)
Lập phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x; m) ⇔ F(x, m) = 0 (*)
Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và (C’).
Dựa vào điều kiện về nghiệm của phương trình mà biện luận
Chú ý:
- Giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với trục hoành là nghiệm của PT
f(x) = 0
- Điều kiện PT bậc 2 có nghiệm phân biệt, nghiệm dương
- Định lý Vi-et, công thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng.
Nhắc lại:
1. ĐT d qua A(x1; y1) và có hệ số góc k thì có PT : y = k(x-x1) + y1
2
2
2. Cho M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) ⇒ MN = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
Các chuyên đề ôn thi
3. Khoảng cách từ một điểm đến một ĐT: Cho ĐT
khi đó d ( M ,.∆ ) =
∆ : Ax + By + C = 0
và điểm M(x0;y0)
Ax0 + By0 + C
A2 + B 2
BÀI TẬP
2
17) Tìm m để đồ thị hàm số y = ( x − 1) ( x + mx + m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân
biệt
18) Cho hàm số y = x 4 – mx2 + m - 1 (m là tham số). Tìm m để đồ thị hàm số trên
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. ( Đs: m > 1 và m ≠ 2 )
19) Khảo sát hàm số y = x 3 − 6x2 + 9x − 1 (C). Gọi d là ĐT đi qua điểm A(2; 1) và
có hệ số góc m. Tìm m để ĐT d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.
20) Cho hàm số y =
2x −1
x +1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Với giá trị nào của m thì ĐT (d) qua A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị tại
hai điểm phân biệt.
c) Tìm m để ĐT (d) cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt thuộc 2 nhánh.
------------------BÀI TẬP TỔNG HỢP
21) Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − 4 (C).
a)
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b)
Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương
x 3 − 3x 2 + m = 0 .
c)
1
.
2
Viết PT TT của (C), biết hệ số góc của TT k = −9 .
Viết PT TT với (C), biết TT song song với ĐT ( d ) : y = 3x + 2 .
Viết PT TT của (C) tại điểm có hoành độ là
d)
e)
22) Cho hàm số y = 2x3 - 3x2 - 1 (C).
a)
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b)
Viết PT TT của (C), biết TT vuông góc với ĐT
( d1 ) : y =
c)
d)
Viết PT TT tại các điểm cực trị.
Tìm m để ĐT ( d 2 ) : y = mx − 1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân
biệt.
1
4
23) Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2
a)
b)
c)
d)
2
x + 2010
3
(C).
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Tìm m để PT − x 4 + 8 x 2 = m có 4 nghiệm thực phân biệt.
Viết PT TT của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT song song với ĐT
( d1 ) : y = 15 x + 2 .
24) Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 3
(C).
a)
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Các chuyên đề ôn thi
b)
Dựa vào đồ thị (C) , hãy biện luận theo m số nghiệm của
phương trình − x 4 + 2 x 2 − m = 0 .
c)
Viết PT TT của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
d)
Viết PT TT của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3 .
25) Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 3mx + 3m + 4 (Cm ) , m là tham số
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm cực trị.
c) Tìm m để hàm số có cực trị
d) Tìm m để (Cm ) cắt với trục hoành tại ba điểm phân biệt.
26) Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 + m 2 + m
a)
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = −2 .
b)
Biện luận theo k số nghiệm thực của PT x 4 − 4 x 2 + k = 0 .
c)
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 .Tìm m để hàm
số có 1 cực trị .
27) Cho hàm số y =
a)
x +1
x −1
(C)
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
1
.
2
b)
Viết PT TT của (C) tại điểm có tung độ y =
c)
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT song song với ĐT
( d1 ) : y = −
d)
9
x+3.
2
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT vuông góc với ĐT
1
x − 1.
8
Tìm m để ĐT ( d3 ) : y = mx + 2m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành
( d2 ) : y =
e)
độ âm .
28) Cho hàm số y =
a)
b)
x −1
x +1
(C)
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Viết PT TT của (C) tại giao điểm của (C) và
trục hoành .
Viết PT TT của (C) tại giao điểm của (C) và
trục tung .
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT vuông góc
c)
d)
8
9
1
3
với ĐT ( d1 ) : y = − x + .
e) Tìm m để ĐT ( d 2 ) : y = mx − 2m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành
độ dương .
29) Cho hàm số y =
3x + 1
1− x
(C)
a)
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT song song với đường phân giác của góc
phần tư thứ nhất
c) Tìm m để ĐT ( d1 ) : y = mx − 2m − 7 cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt.
Các chuyên đề ôn thi
10
d)
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT vuông
góc với ĐT ( d 2 ) : x + y − 2 = 0 .
e) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là
số nguyên.
Chuyên đề 2 : PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
(5 TIẾT)
1. Kiến thức cần nhớ:
1.
( a)
n
n
=a
2. a = b ⇔ a 2 n = b 2 n
3. a = b ⇔ a
2 n +1
=b
2 n +1
( ab > 0 )
( ∀a, b )
4. a ≥ b ≥ 0 ⇔ a 2 n ≥ b 2 n
⇔ a 2 n +1 ≥ b 2 n+1
5. a ≥ b
( ∀a, b )
2. Các dạng cơ bản:
Dạng 1:
g ( x ) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔
2
f ( x ) = g ( x )
Dạng 2:
f ( x) ≥ 0
f ( x) < g ( x ) ⇔ g ( x) ≥ 0
2
f ( x) < g ( x)
Dạng 3:
f ( x) > g ( x)
(Không cần đặt điều kiện f ( x ) ≥ 0 )
xét 2 trường hợp:
g ( x ) < 0
g ( x) ≥ 0
TH1: f x ≥ 0
TH2: f ( x ) > g 2 ( x )
( )
Lưu ý: g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường hợp g(x)
là tam thức bậc hai (ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều
kiện cho g ( x ) ≥ 0 rồi bình phương 2 vế đưa phương trình−bất phương trình về dạng quen
thuộc.
Ví dụ 1: Giải phương trình
a) x - 2 x + 3 = 0
(1)
b) x + 9 = 5 − 2 x + 4 (2)
Giải
a) x -
x ≥ 0
x ≥ 0
x ≥ 0
⇔ 2
⇔ x = −1 ⇔ x = 3
2x + 3 = 0 ⇔
2
2 x + 3 = x
x − 2x − 3 = 0
x = 3
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 3
Các chuyên đề ôn thi
11
x + 9 ≥ 0
x ≥ −9
⇔
⇔ x ≥ −2
2 x + 4 ≥ 0
x ≥ −2
Phương trình (2) ⇔ x + 9 + 2 x + 4 = 5
b) Điều kiện:
⇔ 3x+13+2 ( x + 9 + (2 x + 4) = 25
⇔ 2 ( x + 9)(2 x + 4) = 12 − 3 x
−2 ≤ x ≤ 4
12 − 3 x ≥ 0
⇔ 2
⇔ x = 0
⇔ x=0
x − 160 x = 0
x = 160
Vậy nghiệm của phương trình (2) là x = 0
Ví dụ 2: Giải các phương trình:
1. 2 x 2 + 5 x − 3 = x + 1
2. 5 x − 1 − x − 1 = 2 x − 4
Ví dụ 3: Giải các bất phương trình
1. 2 x 2 − 6 x + 1 − x + 2 < 0
2. x 2 + 6 x + 2 > 2 x + 1
Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:
ĐS:
x 2 + mx + 2 = 2 x + 1
m≥
9
.
2
Phương pháp đặt ẩn phụ:
Khi bình phương 2 vế đưa phương trình−bất phương trình vô tỷ mà dẫn đến
phương trình, bất phương trình đại số không giải được thì ta tìm cách giải bằng phương
pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1: Giải phương trình: x 2 − 3x + 3 + x 2 − 3x + 6 = 3 (1)
Giải
2
3 3 3
Đặt t = x – 3x + 3 = x − ÷ + ≥
2 4 4
Khi đó (1) có dạng: t + t + 3 = 3 ⇔ t + t + 3 + 2 t (t + 3) = 9
2
3 − t ≥ 0
t ≤ 3
t (t + 3) = 3 − t ⇔
⇔
⇔ t =1
2
t = 1
t (t + 3) = (3 − t )
x = 1
Với t = 1 ⇔ x2 – 3x + 3 = 1 ⇔ x2 – 3x + 2 = 0 ⇔
x = 2
⇔
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 1; x = 2.
Ví dụ 2: Giải các phương trình: x 2 + x 2 + 11 = 31 .
Đặt t = x 2 + 11, t ≥ 0
ĐS: x=±5.
3 + x + 6 − x = 3 + ( 3 + x) ( 6 − x) .
HD: Đặt t = 3 + x + 6 − x .
ĐS: x = −3, x = 6.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình 7 x + 7 + 7 x − 6 + 2 49 x 2 + 7 x − 42 ≤ 181 − 14 x .
HD: Đặt
t = 7x + 7 + 7x − 6 ≥ 0
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
1. x − 2 x + 7 = 4
Các chuyên đề ôn thi
ĐS:
6
≤ x ≤6.
7
ĐS: x = 9.
12
2.
3.
4.
5.
6.
7.
x 2 − 6x + 6 = 2x − 1
x − 3x − 1 + 7 = 2 x
3x + 7 − x + 1 = 2
3x + 4 − x − 3 = 3
2
( 3 + x) ( 6 − x) .
3+ x + 6− x =3+
1+
ĐS: x = 1.
ĐS: x = 5.
ĐS: x = - 1; x = 3.
ĐS: x = 4; x = 7.
ĐS: x = 0, x = −3 .
2
x − x2 = x + 1 − x
3
8. x 2 + x + 2 = x 2 + x
9. x 2 + x + 4 + x 2 + x + 1 = 2 x 2 + 2 x + 9
Bài 2: Giải bất phương trình sau:
1. 1 − 1 − 4 x 2 < 3x .
2. x + 2 + x + 5 > 2 x + 11 .
3. x − 2 + x − 3 ≤ 4 x − 5 .
4. 1 − 2 x + 1 + 2 x ≥ 2 − x 2 .
5. 5 x 2 + 10 x + 1 > 7 − 2 x − x 2
6. 2 x 2 + x 2 − 5 x − 6 > 10 x + 15
PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Hàm số mũ
• y=ax; TXĐ D = R
• Bảng biến thiên
a>1
01
x
0
+∞
y
Các chuyên đề ôn thi
00; m, n∈R ta có:
n m
n+m
a a =a
1
an
n −m
=
a
;
(
an
am
;
= a−m ; a0=1; a−1 =
1
a
);
n
n m
nm
n
(a ) = a ;
an
a
= m
b
b
n n
(ab) = a b ;
;
a
m
n
= n am .
2. Công thức logarit: logab=c⇔ac=b (00)
Với 0 0
⇔ f ( x ) = log
a
b.
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0
Phương pháp đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t = ax (t > 0), để đưa về một phương trình
đại số..
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 ± 3 ), (7 ±4 3 ),… Nếu trong một phương trình có
chứa {a2x;b2x;axbx} ta có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) rồi đặt t = (a/b)x
(hoặc t =(b/a)x.
Phương pháp logarit hóa: af(x) = bg(x) ⇔ f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0< c ≠1.
b. Phương trình logarit:
Phương pháp đưa về cùng cơ số:
Các chuyên đề ôn thi
14
1)
0 < a ≠ 1
logaf(x)=g(x)⇔ f ( x ) = a g ( x )
2) logaf(x)=
0 < a ≠ 1
logag(x)⇔ f ( x ) > 0
f ( x) = g ( x)
[ g ( x ) > 0] .
Phương pháp đặt ẩn phụ:
2. Bất phương trình mũ−logarit
a. Bất phương trình mũ:
a > 0
a > 0
af(x) > ag(x) ⇔ ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] > 0 ;
af(x )≥ ag(x) ⇔ ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] ≥ 0 .
Đặc biệt:
* Nếu a>1 thì:
af(x)>ag(x)
af(x)≥ag(x)
⇔
f(x)
g(x)
* Nếu 0g(x);
f(x)≥g(x).
f(x)logag(x)⇔ f ( x ) > 0, g ( x ) > 0
( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) > 0]
logaf(x)≥logag(x)⇔
0 < a ≠ 1
f ( x ) > 0, g ( x ) > 0
.
( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ≥ 0]
Đặc biệt:
logaf(x)>logag(x)
⇔
+ Nếu 0< a logag(x)
⇔
+ Nếu a >1 thì:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
a) 9x – 8.3x – 9 = 0 (x ∈ ¡ )
b) log3(x+2) + log3(x-2) = log25
c) log3(3x + 1)log3(3x+2 + 9) = 6
d) log2(x2 +8) = log2x + log26
f ( x) > g ( x)
;
g( x) > 0
f ( x) < g( x)
.
f ( x) > 0
(x ∈ ¡ )
Giải
a) Đặt t = 3x, điều kiện t > 0
t = −1
t = 9
Phương trình đã cho trở thành : t2 – 8t – 9 = 0 ⇔
Kết hợp với điều kiện ta có t = 9
Với t = 9, khi đó : 3x = 9 ⇔ x = 3
b)Phương trình đã cho tương với hệ
x + 2 > 0
x > 2
x > 2
⇔ 2
⇔ x = 3 ⇔ x = 3
x − 2 > 0
x − 4 = 5
log ( x 2 − 4) = log 5
x = −3
3
3
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.
c) Do 3x > 0 với mọi x, nên phương trình đã cho xác định với mọi x.
Ta có :
Các chuyên đề ôn thi
15
log3(3x + 1)log3(3x+2 + 9) = 6
⇔ log3(3x + 1)log3[32(3x + 1)] = 6
⇔ log3(3x + 1)[log332 + log3(3x +1)] = 6
t = log3(3x +1) > log31 = 0 ta có phương trình
Đặt
t = −1 + 7
t(2+t) = 6 ⇔ t2 + 2t – 6 = 0 ⇔
t = −1 − 7
Từ điều kiện t > 0 ta có log3(3 + 1) = - 1 + 7
⇔ 3x + 1 = 3−1+ 7 ⇔ x = log 3 (3−1+ 7 − 1)
x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = log3 (3−1+ 7 − 1)
d)Tập xác định của phương trình là (0 ; +∞ ), khi đó
log2(x2 + 8) = log2x + log26 ⇔ x2 + 8 = 6x
x = 2
⇔ x2 – 6x + 8 = 0 ⇔
x = 4
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 ; x = 4
Ví dụ 2 : Giải bất phương trình : log3(x+2) > log9(x+2)
Giải
Điều kiện : x > -2
Ta có log9 ( x + 2) =
log 3 ( x + 2) log 3 ( x + 2)
=
log 3 9
2
Do đó
log 3 ( x + 2) >
1
1
log 3 ( x + 2) ⇔ log 3 ( x + 2) > 0 ⇔ x + 2 > 1 ⇔ x > −1
2
2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x > -1.
Ví dụ 3: Giải phương trình : 2 x −3 x + 2 = 4
2
B. BÀI TẬP
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1. 2x + 1 – 2 -x = 1
2. 5 x + 5 2− x = 26
3. 9 x − 2.3 x +1 + 9 = 0
4. 25 x + 10 x = 2. 4 x
5. 4.81x + 9.16 x = 13.36 x
x
x
6. ( 2 − 1) + ( 2 + 1) − 2 2 = 0 (ĐH_Khối B 2007)
7. 2 x + x − 4.2 x − x − 22 x + 4 = 0 (ĐH_Khối D 2006)
8. 2 x − x − 22+ x − x = 3 (ĐH_Khối D 2003)
9. log5 x = log5 ( x + 6 ) − log5 ( x + 2 )
2
2
2
10.
2
ĐS: x = 0.
ĐS: x = 0, x = 2
ĐS: x = 1.
ĐS: x = 0.
ĐS: x = 0, x = 1.
ĐS: x=1, x=−1.
ĐS: x=0, x=1.
ĐS: x=−1, x=2.
log5 x + log 25 x = log 1 3
11. log x ( 2 x
2
)
5
− 5x + 4 = 2
12. log 22 ( x + 1) − 6 log 2 x + 1 + 2 = 0
Bài 2: Giải bất phương trình:
Các chuyên đề ôn thi
(ĐH_Khối D 2008)
ĐS: x=1, x=3.
16
1.
2.
3.
2 log 3 (4 x − 3) + log 1 ( 2 x + 3) ≤ 2
3
x2 + x
log 0,7 log 6
÷< 0
x+4
log 5 ( 4 x + 144 ) − 4 log 5 2 < 1 + log 5 ( 2 x− 2 + 1)
x − 3x + 2
≥0
x
(ĐH Khối A_2007)
ĐS: 3/4 ≤ x ≤ 3.
(ĐH_Khối B 2008)
ĐS: −4< x < −3, x > 8.
(ĐH_Khối B 2006)
ĐS: 2 < x < 4.
(ĐH_Khối D 2008)
ĐS:
2
4.
log 1
2
) (
2 − 2;1 U 2; 2 + 2 .
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
x + y + xy = 3
1.
2
2
x y + y x = 2
x + y + xy = 5
2. 2
2
x + y + xy = 7
1
1 1
x + y = − 2
3.
x 2 + y 2 = 5
4.
5.
6.
ĐS: (1; 1).
ĐS: (1; 2) hoặc (2; 1).
ĐS: (-1; 2) hoặc (2; - 1).
4 x + y = 128
3 x − 2 y −3
=1
5
5 x + y = 125
2
4( x − y ) −1 = 1
log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )
x 2 − xy + y 2
3
= 81
(ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2),
(−2;−2)
7.
8.
9.
x − 1 + 2 − y = 1
2
3
3log 9 ( 9 x ) − log 3 y = 3
1
log 1 ( y − x ) − log 4 y = 1
4
x 2 + y 2 = 25
23 x = 5 y 2 − 4 y
x
4 + 2 x +1
=y
x
2 +2
(ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2).
(ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4)
(ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4).
Bài 2. Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm:
x 2 + y 2 = m
1.
y − x = 6
Các chuyên đề ôn thi
ĐS: m ≥ 18
17
x 2 + y 2 = 16
2.
x − y = m
ĐS: − 4 2 ≤ m ≤ 4 2 .
x 2 + y 2 = 1
3.
x − y = m
ĐS: − 2 ≤ m ≤ 2 .
Chuyên đề 3: LƯỢNG GIÁC (5 TIẾT)
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Hệ thức LG cơ bản
sin 2 α + cos 2 α = 1
tan α .cot α = 1
cos α
cot α =
( α ≠ kπ )
sin α
1
= cot 2 α + 1 ( α ≠ kπ )
2
sin α
π
α ≠ + kπ ÷
2
1
π
= tan 2 α + 1 α ≠ + k π ÷
2
2
cos α
tan α =
sin α
cos α
2. Công thức LG thường gặp
sin ( a ± b ) = sinacosb ± sinbcosa
Công thức cộng:
cos ( a ± b ) = cos a cos b msinasinb
tan ( a ± b ) =
tana ± tanb
1 mtanatanb
sin 2a = 2sin a.cos a
cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a
Công thức nhân:
cos 3a = 4 cos 3 a − 3cos a
sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a
tan 3a =
Tích thành tổng:
3 tan a − tan 3 a
1 − 3 tan 2 a
1
2
cosa.cosb = [cos(a−b)+cos(a+b)]
1
2
sina.sinb = [cos(a−b)−cos(a+b)]
1
2
sina.cosb = [sin(a−b)+sin(a+b)]
Các chuyên đề ôn thi
18
Tổng thành tích: sin a + sin b = 2sin
a+b
a−b
cos
2
2
sin a − sin b = 2 cos
a+b
a−b
sin
2
2
cos a + cos b = 2 cos
a+b
a −b
cos
2
2
cos a − cos b = −2sin
tan a ± tan b =
Công thức hạ bậc:
a+b
a −b
sin
2
2
sin(a ± b)
cos a.cos b
1
2
cos2a = (1+cos2a)
1
2
sin2a = (1−cos2a)
a
2
Biểu diễn các hàm số LG theo t = tan :
sin a =
2t
1- t 2
2t
;
cos
a
=
; tan a =
.
2
2
1+ t
1+ t
1− t2
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trìng LG cơ bản
u = v + k 2π
* cosu = cosv ⇔ u = ±v+k2π
* sinu = sinv ⇔
u = π − v + k 2π
* tanu=tanv ⇔ u=v+kπ
* cotu = cotv ⇔ u = v+kπ ( k ∈ Z ) .
2. Một số phương trình LG thường gặp
a. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình
này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có
dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0,
a.cot2x+b.cotx+c = 0)
để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 5cosx – 2sin2x = 0
Giải
Ta có: 5cosx – 2sin2x = 0 ⇔ 5cosx - 4sinxcox = 0 ⇔ cosx(5 – 4sinx) = 0 (*)
cos x = 0
⇔
5 − 4sin x = 0
π
2
cosx = 0 ⇔ x = + kπ
k ∈¢
5
> 1 nên phương trình vô nghiệm
4
Vậy phương trình (*) có tập nghiệm là cosx = 0 ⇔ x =
π
+ kπ
k ∈¢
2
5 – 4sinx = 0 ⇔ 4sinx = 5 ⇔ sinx
Các chuyên đề ôn thi
19
Ví dụ 2: cos 2 x + cos x − 2 = 0
ĐS: x = kπ2 k( ∈ ¢ )
b. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx + bcosx = c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là a 2 + b 2 ≥ c 2 .
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a 2 + b2 , ta được:
a
sin x +
b
cos x =
c
a +b
a +b
a + b2
a
b
= sin β . Khi đó phương trình tương đương:
Đặt: 2 2 = cos β ;
a +b
a2 + b2
c
c
cos β sin x + sin β cos x =
hay sin ( x + β ) = 2 2 = sin ϕ .
2
2
a +b
a +b
Ví dụ 1: Giải phương trình: sinx + 3 cosx = 1
2
2
2
Giải
Ta có: sinx + 3 cosx = 1 ⇔ 2sin(x +
π
π
) = sin
3
6
π
= + k 2π
6
π
= π − + k 2π
6
2
2
π
π
1
) = 1 ⇔ sin(x+ ) =
3
3
2
⇔ sin(x+
π
x + 3
⇔
x + π
3
Ví dụ 2: 3 cos x − sin x = 0 ĐS:
π
x = − 6 + k 2π
⇔
k ∈¢
x = π + k 2π
2
π
x = + kπ ( k ∈ ¢ )
3
c. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).
Cách giải: + Kiểm tra nghiệm với x =
π
+ kπ .
2
+ Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.
Chú ý:
1
π
= tan 2 x + 1 x ≠ + kπ ÷
2
2
cos x
Ví dụ: cos 2 x − 2sin x cos x + sin 2 x = 0
π
4
ĐS: x = + kπ (k ∈ ¢ )
d. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c.
Cách giải: Đặt t= sinx± cosx. Điều kiện | t | ≤ 2 .
π
π
sin x + cos x = 2 sin x + ÷ = 2 cos x − ÷
4
4
π
π
sin x − cos x = 2 sin x − ÷ = − 2 cos x + ÷
4
4
Ví dụ: 2sin x + 2 cos x + 2sin x cos x + 1 = 0
π
4
ĐS: x = − + kπ , (k ∈ ¢ )
e. Phương trình lượng giác không mẫu mực
Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.
Ví dụ 1: Giải phương trình: cos3x – cos4x + cos5x = 0
Giải
cos3x – cos4x + cos5x = 0 ⇔ cos3x + cos5x = cos4x
⇔ 2cos4xcosx = cos4x ⇔ cos4x(2cosx – 1) = 0
Các chuyên đề ôn thi
20
π
π
π
cos 4 x = 0
x = 8 + k 4
4 x = 2 + kπ
⇔
⇔
⇔
cos x = 1
x = ± π + k 2π
x = ± π + k 2π
2
3
3
k ∈¢
Ví dụ 2: Giải phương tình: cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
ĐS: x =
π kπ
π lπ
π
+ ; x = + ; x = + nπ (k , l , n ∈ ¢ )
10 5
4 2
2
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:
Ví dụ: Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0
π
4
ĐS: x = − + nπ ; x = kπ2 , n( k, ∈ ¢ )
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
1.
5cosx = cos 2 x + 3
ĐS:
x=±
π
+ k 2π , k ∈ Z
3
.
2. cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0
ĐS: x = π + k 2π ; k ∈ Z .
3.
2cos 2 x + 4sin 2 2 x = 2
ĐS:
4.
5sin x − 2 =
3sin 2 x
1 + sin x
5. 1 + cos4x - sin4x = 2cos2x
6.
(
)
2 cos 6 x + sin 6 x − sin x cos x = 0
7. 2cosx – 1 = sin2x – sinx
8. (2cosx – 1)(2sinx+3) = sin2x – sinx
9.
1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0
ĐS:
π
+ k π , ( k ∈ Z)
3
π
5π
x = + k 2π ; x =
+ k 2π , ( k ∈ Z)
6
6
x=±
ĐS: x = kπ ; k ∈ Z .
ĐS:
x=
π
π
+ k 2π ; x = ± + k 2π ; k ∈ Z
2
3
π
ĐS: x = ± + k 2π ; k ∈ Z
3
ĐS: x =
ĐS:
2π
+ k 2π ( k ∈ Z)
3
π
x = π + k 2π , x = − + k π , ( k ∈ Z)
4
x=±
10. ( 1 − sin x ) sin 2 x = ( 1 + cos x ) cos 2 x
ĐS:
11.1 + sinx.cos2x = sinx + cos2x
ĐS: x =
12. ( 2 cos x − 1) ( 2 sin x + cos x ) = sin 2 x − sin x
ĐS:
13. sin 3 x −
ĐS:
3 cos 3 x = 2 sin 2 x
14.2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
ĐS:
15.(1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx
ĐS:
16. sin 2 3x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x
ĐS:
17. sin 3 x −
ĐS:
3 cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x
18.cos3x−4cos2x+3cosx−4=0
Các chuyên đề ôn thi
π
+ k π ( k ∈ Z)
4
ĐS:
π
+ k 2π ; x = kπ ; k ∈ Z
2
π
π
+ k 2π , x = − + k π , ( k ∈ Z)
3
4
π
4π
2π
x = + k 2π , x =
+k
, ( k ∈ Z)
3
15
5
2π
π
x=±
+ k 2π , x = + k π , ( k ∈ Z)
3
4
π
5π
x = + kπ , x =
+ k π , ( k ∈ Z)
12
12
π
π
x = k ; x = k , ( k ∈ Z)
9
2
π
π
π
x = + k ; x = − + k π , ( k ∈ Z)
4
2
3
π
x = + k π ( k ∈ Z)
2
x=±
21
x=±
2π
+ k 2π , ( k ∈ Z)
3
19.cos3x+cos2x−cosx−1=0
ĐS:
20.2sin3x – cos2x + cosx = 0
ĐS : x = − + nπ ; x = kπ2 , n( k, ∈ ¢ )
π
4
−Hết−
Chuyên đề 4:
TÍCH PHÂN (5 TIẾT)
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
∫ dx = x + C
∫
x α dx =
x α +1
+ C ( α ≠ 1)
α +1
dx
∫ x = ln x + C ( x ≠ 0)
∫ e dx = e + C
x
x
ax
a dx =
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a
cos xdx = sin x + C
∫
∫
∫ sin xdx = − cos x + C
1
∫ cos x dx = tan x + C
x
2
1
∫ sin
2
x
dx = − cot x + C
∫ d ( ax + b) = a ( ax + b) + C
∫ du = u + C
∫
∫
1
∫
∫
∫
∫
∫
∫
α +1
( ax + b ) dx = 1 ( ax + b ) + C (α ≠ 1)
a α +1
dx
1
= ln ax + b + C ( x ≠ 0 )
ax + b a
1
e ax + b dx = e ax +b + C
a
1
cos( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C
a
1
sin ( ax + b ) dx = − cos( ax + b ) + C
a
1
1
dx = tan ( ax + b ) + C
2
a
cos ( ax + b )
1
1
dx = − cot ( ax + b ) + C
2
a
sin ( ax + b )
α
u α du =
u α +1
+ C ( α ≠ 1)
α +1
du
∫ u = ln u + C ( u ≠ 0)
∫ e du = e + C
u
u
au
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a
cos udu = sin u + C
∫
∫
∫ sin udu = − cos u + C
1
∫ cos u du = tan u + C
a u dx =
2
1
∫ sin
2
u
du = − cot u + C
CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
Các quy tắc đạo hàm
Quy tắc cộng: (u ± v)’ = u’ ± v’
Quy tắc nhân: (k.u)’ = k. u’, k là hằng số
(u.v)’ = u’v +uv’;
u
Quy tắc chia: ÷' =
v
u' v − uv'
v2
Bảng đạo hàm
Các chuyên đề ôn thi
22
(C )’ = 0
(x )
α
,
( u ) ' = α .u
α
= α.x α−1; α ∈ R
α −1
.u'; α ∈ R
1 −1
x ÷' = x 2
1
( x)' =
2 x
1 − u'
u ÷' = u2
u'
( u)' =
2 u
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = - sinx
(sinu)’ = u’.cosu
(cosu)’ = - u’.sinu
(tanx)’ =
(tanu)’ =
(a x ) ' = a x .ln a
(a u ) ' = u '.a u .ln a
1
= 1+tan2x
cos2 x
1
(cotx)’ = − 2 = -(1+cot2x)
sin x
x
x
(e ) ' = e
(ln x ) ' =
u'
= u’(1+tan2u)
cos2 u
u
(cotu)’ = − 2 = -u’(1+cot2u)
sin u
u
u
(e ) ' = u ' e
1
x
(log a x ) ' =
(ln u ) ' =
1
x.ln a
u'
u
(log a u ) ' =
u'
u.ln a
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN
b
Để tính tích phân
ò f[u(x)]u (x)dx ta thực hiện các bước sau:
/
a
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt = u/ (x)dx .
x = a Þ t = u(a) = a
Bước 2. Đổi cận: x = b Þ t = u(b) = b .
b
Bước 3.
b
ò f[u(x)]u (x)dx = ò f(t)dt .
/
a
a
Ví dụ 1 : Tính tích phân:
2
a) I =
b) I =
∫x
3
0
π
2
x 2 + 2dx
sin 2 x
dx
2
x)2
∫ (1 + cos
0
Giải:
a). Đặt
t = x 2 + 2 ⇔ t 2 = x 2 + 2 ⇒ tdt = xdx
Đổi cận:
x=0;t= 2
x= 2;t=2
2
Do đó: I =
∫ t (t
2
2
− 2)tdt =
2
b). I =
π
2
2
4
− 2t 2 )dt =
8(2 + 2)
15
sin 2 x
dx
2
x)2
∫ (1 + cos
0
Các chuyên đề ôn thi
∫ (t
23
Đặt t = 1 + cos2x ⇒ du = 2cosx( - sinx)dx ⇒ du = - sin2xdx
Đổi cận: x = 0 ; t = 2
π
;t=1
2
x=
π
2
e2
Ví dụ 2 . Tính tích phân I = ò
e
1
1
− du 1
1
∫2 u 2 = u = 2
2
Do đó: I = ∫ sin 22x 2 dx =
(1 + cos x )
0
dx
. Đặt t = lnx
x ln x
ĐS: I = ln2 .
2
Ví dụ 3: Tính tích phân I = ò x + 2dx .
ĐS: I =
1
16 - 6 3
3
.
Dạng vô tỷ
3
Ví dụ . Tính tích phân I =
dx
2x + 3 . Đặt t = 2x + 3
3
ò (1 + x)
1
2
Dạng lượng giác
ĐS: I = ln 2 .
p
2
Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I = ò cos2 x sin3 xdx . Đặt t = cosx
ĐS:
0
2
I = .
15
p
2
Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I = ò cos5 xdx .
Đặt t = sin x
0
8
ĐS: I = 15
.
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Công thức:
b
ò udv = uv
b
b
a
-
a
ò vdu (1).
a
Công thức (1) còn được viết dưới dạng:
b
b
ò f(x)g (x)dx = f(x)g(x)
/
b
a
-
a
ò f (x)g(x)dx (2).
/
a
Phương pháp giải toán
b
Giả sử cần tính tích phân
ò f(x)g(x)dx ta thực hiện
a
Bước 1. Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và
b
vi phân du = u/ (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân
ò vdu phải tính được.
a
Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt:
Các chuyên đề ôn thi
24
b
b
b
ò P(x) sinaxdx, ò P(x) cosaxdx, ò e
ax
i/ Nếu gặp
a
a
.P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt
a
u = P(x) .
b
ii/ Nếu gặp
ò P(x) ln xdx thì đặt u = ln x .
a
1
2x
Ví dụ 1: Tính tích phân: I = ∫ ( x − 1)e dx
0
Giải
Đặt u = x – 1 ⇒ du = dx
1 2x
e
2
1
1
1
1
1 2x
2x
2x
(
x
−
1)
e
dx
(
x
−
1)
e
−
e dx
Do đó: I = ∫
=
2
2 ∫0
2
0
dv = e2x dx ⇒ v =
1
1
1
1
1
= ( x − 1)e2 x − e2 x = (3 − e2 )
2
4
4
0
0
1
Ví dụ 2. Tính tích phân I = ò xex dx .
ĐS: I = 1
0
e
Ví dụ 3. Tính tích phân I =
ò x ln xdx .
ĐS: I =
1
2
Ví dụ 4: Tính tích phân I = ò x2 lnxdx .
1
9
ĐS: I = (24ln2 - 7) .
1
p
2
Ví dụ 5: Tính tích phân I = ò x cosxdx .
0
p
2
ĐS: I =
0
2
ĐS: I = e + 1 .
2
e
ò(1- x2)lnxdx .
ĐS: I =
2(4 - e3)
.
9
ĐS: I =
e2 + 1
.
4
1
1
Ví dụ 8: Tính tích phân I =
ò x.e2xdx .
0
p
2
p
- 1.
2
p
Ví dụ 6. Tính tích phân I = ò ex sin xdx .
Ví dụ 7: Tính tích phân I =
e2 + 1
.
4
Ví dụ 9: Tính tích phân I = ò(x - 1) sinxdx .
ĐS: I = 0 .
0
Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
BÀI TẬP
Bài I: Tính các tích phân sau:
1
2
1/ I 1 = ∫ x 1 − x dx
0
Các chuyên đề ôn thi
1
3
ĐS: I 1 = .
25
3
2
2/ I 2 = ∫ x + 1 dx
0
2x + 1
5
3/ I 3 = ∫
1
π
2
3dx
1+ x −1
4/ I 4 = ∫ cos xdx
1 + sin x
0
π
2
sin x
dx
1
+
3
cos
x
0
5/ I 5 = ∫
π
2
6/ I 6 = ∫ e cos x sinxdx
5
3
ĐS: I 2 = .
ĐS: I 3 = 12 − 6 ln 3 .
ĐS: I 4 = ln 2 .
ĐS: I 5 =
ln 4
.
3
ĐS: I 6 = e − 1 .
0
π
3
2
7/ I = ∫ sin x dx
7
0 1 + cos x
π
8/ I = 2∫ cos 2 x sin 2xdx
8 0
π
3
9/ I = 2 4sin x dx
9 0∫ 1 + cos x
π
10/ I = 2∫ sin 3 x 1 − cos x dx.
10 0
Bài II: Tích các tích phân sau:
1
2x
1/ J 1 = ∫ x.e dx
ĐS: J 1 =
0
(
)
1 2
e +1 .
4
1
x
2/ J 2 = ∫ ( x + 2) e dx
ĐS: J 2 = 2e − 1 .
0
π
2
3/ J 3 = ∫ x cos 3xdx
π
6
ĐS: J 3 = − + .
0
π
4/ J 4 = ∫ ( x + 3) sin xdx
1
9
ĐS: J 4 = π + 6 .
0
e
5/ J 5 = ∫ (1 + x ) ln xdx
e2 + 5
ĐS: J 5 =
.
4
6/ J 6 = ∫ x( 2 − ln x ) dx
ĐS: J 6 =
3e 2 − 5
.
4
7/ J 7 = ∫ x 2 ln xdx
ĐS: J 7 =
2e 2 + 1
.
9
1
e
1
e
1
Các chuyên đề ôn thi
26
−Hết−
Chuyên đề 5: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH (15 TIẾT)
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
A. LÝ THUYẾT
I. Tọa độ
1. Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đôi một vuông góc với nhau với hai vectơ
r ur r r
đơn vị i , j ( i = j = 1) .
uu
r
ur
r
uu
r
uuuuu
r
u
r
uu
r
OM = xi + y j
2. a = ( a1; a2 ) ⇔ a = a1i + a2 j ; M(x;y)
⇔
r
ur
3. Tọa độ của vectơ: cho u = ( x; y ), v = ( x '; y ')
r r
r r
r
a. u = v ⇔ x = x '; y = y '
b. u ± v = ( x ± x '; y ± y ')
c. ku = (kx; ky)
r
u
rr
d. u.v = xx '+ yy '
g.
ur r
u.v
r r
cos u , v = r r
( )
u.v
r
e. u ⊥ v ⇔ xx '+ yy ' = 0
r
f. u = x 2 + y 2
.
4. Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA), B(xB;yB)
uuur
a. AB = ( xB − x A ; yB − y A )
b. AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2
c. G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
y +y +y
x A + xB + xC
; yG= A B C
3
3
x A − kxB
y A − ky B
; yM =
d. M chia AB theo tỉ số k: xM =
1− k
1− k
x A + xB
y + yB
; yM = A
.
Đặc biệt: M là trung điểm của AB: xM =
2
2
xG=
II. Phương trình đường thẳng
Các chuyên đề ôn thi
27
1. Mộtr đường thẳng ∆ được xác định khi biết
một điểm M(x0;y0) và một vectơ pháp
r
tuyến n = ( A; B ) hoặc một vectơ chỉ phương a = ( a; b )
Phương trình tổng quát A ( x − x0 ) + ( y − y0 ) = 0 ⇔ Ax + By + C = 0 .
n
a
x = x0 + at
Phương trình tham số:
, ( t ∈ R) .
y = y0 + bt
∆
Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: y = k ( x − x0 ) + y0 .
2. Khoảng cách từ một điểm M(xM;yM) đến một đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 là:
d ( M , ∆) =
AxM + ByM + C
A2 + B 2
.
∆
III. Phương trình đường tròn
1. Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính r.
r
M
I
(C)
Phương trình:
Dạng 1: ( x − a ) + ( y − b ) = r 2 .
2
2
Dạng 2: x 2 + y 2 − 2ax − 2by + d = 0 , điều kiện a 2 + b2 − d > 0 và r = a 2 + b 2 − d .
2. Điều kiện để đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 tiếp xúc với đường tròn (C) là:
d ( I, ∆) =
Aa + Ba + C
A2 + B 2
=r
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(-1;2), B(2;1) và C(2;5).
a) Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC. Tính độ dài các
đoạn thẳng AB và AC.
b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải
a) Phương trình tham số
Đường thẳng
AB
uuur
Ta có: AB = (3, −1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Vậy
x = −1 + 3t
y = 2 − t
phương trình tham số của đường thẳng AB là:
t∈¡
Đườnguuu
thẳng
AC
r
Ta có: AC = (3,3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC. Vậy phương
x = −1 + 3t
y = 2 + 3t
trình tham số của đường thẳng AC là:
t∈¡
Độ dài đoạn thẳng AB: AB = 10
Các chuyên đề ôn thi
28
Độ dài đoạn thẳng AC: AC = 3 2
b) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi (C) là phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
(C): x2 + y2 -2ax – 2by + c = 0
(*)
A ∈ (C) ⇔ 5 +2a – 4b + c = 0
(1)
B ∈ (C) ⇔ 5 - 2a – 2b + c = 0
(2)
C ∈ (C) ⇔ 29 - 4a – 10b + c = 0
(3)
Giải (1), (2), (3) ta được a = 1; b = 3; c = 5
Vậy (C) : x2 + y2 - 2x - 6y+5 = 0
B. BÀI TẬP
1. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2;3) và B(−2;1).
a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
b. Viết phương trình đường tròn đường kính AB.
c. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm nằm trên trục
hoành.
d. Viết phương trình đường tròn qua ba điểm O, A, B.
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(0;1), B(1;0) và đường thẳng d:
x+y+2 = 0.
a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
b. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm nằm trên đường
thẳng d.
3. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(0;1), B ( 1; −1) , C ( 2;0 ) .
a. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường phân giác
của góc phần tư thứ I.
b. Viết phương trình đường tròn có tâm B và tiếp xúc với AC.
c. Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A, B, C.
4. Trên mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(−1;2), B(2;1) và C(2;5).
a. Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC.
b. Viết phương trình đường cao dạng tổng quát hạ từ đỉnh A của tam giác ABC.
c. Tính khoảng cách từ điểm B đến đường cao AH của tam giác ABC.
5. Trên mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(1; 4) và đường thẳng d: 4x + y – 17 = 0
a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A và song song với đường
thẳng d.
b. Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho tam giác OAB cân tại O.
6. (ĐH_CĐ Khối D_2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có
M(2;0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần
lượt có phương trình là 7x−2y−3=0 và 6x−y−4=0. Viết phương trình đường thẳng BC
và đường thẳng AC.
ĐS: BC: x + 6y+9 = 0; AC: 3x−4y+5=0
7. (Khối A_2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2),
B(−2;−2) và C(4;−2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung
Các chuyên đề ôn thi
29
điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M,
N. ĐS: x2 + y2 − x + y − 2 = 0
8. (Khối A_2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng d1: x + y +
3 = 0,
d2: x−y−4=0, d3: x−2y=0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho
khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường
thẳng d2.
ĐS: M1(−22;−11), M2(2;1)
9.
(Khối A_2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(0;2) và
B ( − 3;−1) . Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
ĐS:
H
(
) (
)
3;−1 , I − 3;1
10.(CĐ Khối B_2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(−1;
−2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là
5x+y−9=0 và x+3y−5=0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B.
ĐS:
A(1;4), B(5;0).
11. (Khối B_2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;1) và B(4;−3).
Tìm điểm C thuộc đường thẳng x−2y−1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đường
thẳng AB bằng 6.
ĐS: C1 ( 7;3) , C 2 −
43 27
;−
11 11
12.(Khối B_2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4).
Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách
từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
ĐS: (C1): (x−2)2+(y−1)2 =1 hoặc (x−2)2+
(y−7)2 = 49
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
Các chuyên đề ôn thi
30
A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba
r ur ur r r ur
vectơ đơn vị i , j , k ( i = j = k = 1) .
uu
r
uu
r
uuuuu
r
uu
r
ur
r
uu
r
u
r
uu
r
OM = xi + y j + zk
B. a = ( a1; a2 ; a3 ) ⇔ a = a1i + a2 j +ra3 k ; M(x;y;z)⇔
ur
C. Tọa độ của vectơ: cho u = ( x; y; z ), v = ( x '; y '; z ')
z
r r
1. ur =rv ⇔ x = x '; y = y '; z = z '
2. u ±r v = ( x ± x '; y ± y '; z ± z ')
r
= (kx; ky; kz )
3. ku
k
( 0;0;1)
u
rr
4. ur.v =r xx '+ yy '+ zz '
r
5. u ⊥ v ⇔ xx '+ yy '+ zz ' = 0
r
j ( 0;1;0 ) y
6. u = x + y + z
2
r r
2
2
u
r r
r r
r
8. u, v cùng phương⇔ [u, v] = 0
9.
O
y z z x x y
7. u, v = y ' z ' ; z ' x ' ; x ' y ' ÷÷ = ( yz '− y ' z; zx '− z ' x; xy '− x ' y )
ur r
r r
u.v
cos u , v = r r
( )
u.v
x
r
i ( 1;0;0 )
.
D. Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB)
uuur
1. AB = ( xB − x A ; yB − y A ; zB − z A )
2. AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB
3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
− y A )2 + ( zB − z A )2
x A + xB + xC
y +y +y
z +z +z
;yG= A B C ; zG= A B C
3
3
3
x A − kxB
y A − ky B
z A − kz B
; yM =
; zM =
;
4. M chia AB theo tỉ số k: xM =
1− k
1− k
1− k
x +x
y +y
z +z
Đặc biệt: M là trung điểm của AB: xM = A B ; yM = A B ; zM = A B .
2
2
2
uuur uuur
u
u
u
r
u
u
u
r
r
1
5. ABC là một tam giác⇔ AB, AC ≠ 0 khi đó S= 2 AB, AC
uuur uuur uuur
1 uuur uuur uuur
6. ABCD là một tứ diện⇔ AB, AC . AD ≠0, VABCD= 6 AB, AC .AD hoặc
xG=
1
V= 3 S .h (S là
I. Mặt phẳng
diện tích đáy, h là chiều cao)
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – MẶT
PHẲNG
r
Mặt phẳng α được xác định bởi: {M(x0;y0;z0), n = ( A; B; C ) }. Phương trình tổng quát
của mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax0+By0+Cz0+D=0
hay A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0⇔ Ax+By+Cz+D=0.
* Một số mặt phẳng thường gặp:
a) Mặt phẳng (Oxy): z = 0; mặt phẳng (Oxz):
y =uuu0;
mặt phẳng (Oyz): x = 0.
r
r uuur
b) Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có n( ABC ) = [ AB, AC ]
uur uur
c) (α)//(β)⇒ nα = nβ
uur uur
d) (α)⊥(β)⇒ nα = uβ và ngược lại
uur uur
e) (α)//d ⇒ uαuur= uduur
f) (α)⊥ d ⇒ nα = ud .
Các chuyên đề ôn thi
31
II. Đường thẳng
uur
Đường thẳng ∆ được xác định bởi: {M(x0;y0;z0), u∆ =(a;b;c)}
x = x0 + at
i) Phương trình tham số: y = y0 + bt ;
z = z + ct
0
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
ii) Phương trình chính tắc:
a
b
c
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
trong
2 y + C2 z + D2 = 0
2
uur uuruu
r
u∆ = [n1 n2 ] .
iii) Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: A x + B
III. GÓC- KH/C Đường congIV.
uu
r
uu
r
n1 = ( A1 ; B1 ; C1 ) , n2 = ( A2 ; B2 ; C2 ) là
y = 0
†Chú ý:
b/
x = 0
a/ Đường thẳng Ox: z = 0 ; Oy:
r
uuur
(AB): u AB = AB ;
c/
;
x = 0
; Oz: y = 0
z = 0
uur uur
uur uur
∆1//∆2⇒ u∆ 1 = u∆ 2 ;
d/ ∆1⊥∆2⇒ u∆ 1 = n∆ 2
Góc giữa hai đường
thẳng *cos(∆,∆’)=cosϕ=
ur uur
u.u '
r uu
r
u . u'
hai VTPT và VTCP
Góc giữa hai mp
*cos(α,α’)=cosϕ=
đó
ur uur
n.n '
r uu
r
n . n'
.
Góc giữa đường thẳng và mp
*sin(∆,α)=sinψ=
ur r
n.u
r r
n.u
.
;
KHOẢNG CÁCH
Cho M (xM;yM;zM), (α):Ax+By+Cz+D=0, ∆:{M0(x0;y0;z0),
* Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α): d(M,α)=
* Khoảng cách
* Khoảng cách
r
uu
r
u ∆ }, ∆’ {M’0(x0';y0';z0'), u '∆ }
AxM + ByM + Cz M + D
A2 + B 2 + C 2
uuuuur r
[ MM 1 , u ]
r
từ M đến đường thẳng ∆: d(M,∆)=
u
r uu
r uuuuuuuu
r
[u , u '].M 0 M '0
uu
r uu
r
giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)=
[u , u ']
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Mặt cầu (S){I(a;b;c),bán kính R}
Dạng 1: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 (S)
Dạng 2: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 khi đó R= a 2 + b2 + c2 − d
a) d(I, α)>R: (α) ∩ (S)=∅
b) d(I, α)=R: (α) ∩ (S)=M (M gọi là tiếp điểm)
*Điều kiện để mặt phẳng (α) tiếp xúc
mặt cầu (S): d(I, α)=R (mặt phẳng (α) là tiếp
uur uuur
diện của mặt cầu (S) tại M khi đó nα = IM )
3) Nếu d(I, α)[...]... 6/ J 6 = ∫ x( 2 − ln x ) dx ĐS: J 6 = 3e 2 − 5 4 7/ J 7 = ∫ x 2 ln xdx ĐS: J 7 = 2e 2 + 1 9 1 e 1 e 1 Các chuyên đề ôn thi 26 −Hết− Chuyên đề 5: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH (15 TIẾT) HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG A LÝ THUYẾT I Tọa độ 1 Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đôi một vuông góc với nhau với hai vectơ r ur r r đơn vị i , j ( i = j = 1) uu r ur r uu r uuuuu r u r uu r OM = xi + y j 2 a =... tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5 ĐS: (C1): (x−2)2+(y−1)2 =1 hoặc (x−2)2+ (y−7)2 = 49 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT Các chuyên đề ôn thi 30 A Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba r ur ur r r ur vectơ đơn vị i , j , k ( i = j = k = 1) uu r uu r uuuuu r uu r ur r uu r u r uu r OM = xi + y j + zk... ta làm như sau: Các chuyên đề ôn thi 32 a) Tìm r = R 2 - d 2 ( I , α ) b) Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với (α) +H = ∆ ∩ (α) (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với (α)) Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho A(-2;0;1); B(0;10;3); C(2;0;-1); D(5;3;-1) a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua D và vuông góc với mp (ABC) c) Viết... đề ôn thi ĐS: m ≥ 18 17 x 2 + y 2 = 16 2 x − y = m ĐS: − 4 2 ≤ m ≤ 4 2 x 2 + y 2 = 1 3 x − y = m ĐS: − 2 ≤ m ≤ 2 Chuyên đề 3: LƯỢNG GIÁC (5 TIẾT) A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1 Hệ thức LG cơ bản sin 2 α + cos 2 α = 1 tan α cot α = 1 cos α cot α = ( α ≠ kπ ) sin α 1 = cot 2 α + 1 ( α ≠ kπ ) 2 sin α π α ≠ + kπ ÷ 2 1 π = tan 2 α + 1 α ≠ + k π ÷ 2 2 cos α tan α = sin α cos α 2 Công... cos x + 1 = 0 π 4 ĐS: x = − + kπ , (k ∈ ¢ ) e Phương trình lượng giác không mẫu mực Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích Ví dụ 1: Giải phương trình: cos3x – cos4x + cos5x = 0 Giải cos3x – cos4x + cos5x = 0 ⇔ cos3x + cos5x = cos4x ⇔ 2cos4xcosx = cos4x ⇔ cos4x(2cosx – 1) = 0 Các chuyên đề ôn thi 20 π π π cos 4 x = 0 x = 8 + k 4 4 x = 2 + kπ ⇔ ⇔ ⇔ cos... 8 ĐS: I = 15 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức: b ò udv = uv b b a - a ò vdu (1) a Công thức (1) còn được viết dưới dạng: b b ò f(x)g (x)dx = f(x)g(x) / b a - a ò f (x)g(x)dx (2) / a Phương pháp giải toán b Giả sử cần tính tích phân ò f(x)g(x)dx ta thực hiện a Bước 1 Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và b vi phân du = u/ (x)dx không quá phức tạp Hơn nữa, tích phân... biết đỉnh S(9; 0; 0) 3 Trong không gian Oxyz cho điểm I(-3; 1; 2) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z -13 = 0 a Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua I và vuông góc với mp (P) b Tìm tọa độ điểm J đối xứng của điểm I qua mặt phẳng (P) x +1 y + 3 z + 2 = = 4 Trong không gian Oxyz cho điểm A(3; 2; 0) và đường thẳng d: 1 2 2 ( α ) a Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng d b... đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) ĐS: 5 1 D ; ; −1÷ 2 2 7 (Khối D_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D ĐS: a 2 2 2 x +y +z −3x−3y−3z=0 8 (Khối D_2004) Các chuyên đề ôn thi 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z−2=0... = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và b vi phân du = u/ (x)dx không quá phức tạp Hơn nữa, tích phân ò vdu phải tính được a Bước 2 Thay vào công thức (1) để tính kết quả Đặc biệt: Các chuyên đề ôn thi 24 b b b ò P(x) sinaxdx, ò P(x) cosaxdx, ò e ax i/ Nếu gặp a a P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt a u = P(x) b ii/ Nếu gặp ò P(x) ln xdx thì đặt u = ln x a 1 2x Ví dụ... -4 -4 -5 -5 -6 -6 -7 -7 -8 1 y= 3 1 x x 2 3 -8 -9 -9 -10 -10 -11 -11 -12 -12 -13 -13 -14 -14 -15 -15 II Hàm số lgarit x > 0 • y=logax, ĐK: 0 < a ≠ 1 ; D=(0;+∞) • Bảng biến thi n a>1 x 0 +∞ y Các chuyên đề ôn thi 0 ... cực đại xi Nếu y”(xi) > hàm số đạt cực tiểu xi Các chuyên đề ôn thi Chú ý: Nếu hàm số có đạo hàm khoảng (a; b) đạt cực đại hay cực tiểu x f’(x0) = ( Điều ngược lại chưa đúng) Dạng 1: Bài toán. .. e Các chuyên đề ôn thi 26 −Hết− Chuyên đề 5: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH (15 TIẾT) HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG A LÝ THUYẾT I Tọa độ Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đôi vuông góc với với hai... (x−2)2+(y−1)2 =1 (x−2)2+ (y−7)2 = 49 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT Các chuyên đề ôn thi 30 A Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vuông góc với với ba r ur ur r r ur vectơ