Tài liệu ôn thi môn toán liên thông đại học

Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ - MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN (15 TIẾT) Vấn đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ I - HÀM BẬC BA y = ax3 + bx2 + cx + d (a≠ 0)   Các bước cơ bản khảo sát hàm bậc ba: Bước 1 : TXĐ : D=R Bước 4 : Lập bảng biến thiên Bước 5: Nhìn BBT kết luận (có 4 ý sau)  Hàm số đạt CĐ tại x = ? khi đó y=?  Hàm số đạt CT tại x = ? khi đó Bước 2 : Tính y’. Giải PT y’ = 0 tìm y=? các điểm cực trị.  Hàm số đồng biến trên khoảng ?  Hàm số nghịch biến trên khoảng ? Bước 6 : đồ thị Bước 3 : Tính các giới hạn:  Bảng giá trị  +∞ (a > 0) (ax3 + bx 2 + cx + d ) =  • xlim x →+∞  −∞ (a < 0) y  −∞ (a > 0) 3 2 (ax + bx + cx + d ) =  • xlim →−∞  +∞ (a < 0)  Vẽ đồ thị  Chú ý : Có 2 dạng đồ thị y y • y y I I • I I • • O x a> 0 O x a< 0 Dạng 1: hàm số có 2 cực trị BÀI TẬP 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: a) y = x3 + 3x2 – 3 b) y = x3 - 3x + 1 . 1 3 c) y= − x3 − x 2 d) y= - x3 + 3x2 – 4 e) y = x3 – 3x2 + 3x + 1, f) y = -x3 + 3x2 – 5x + 2 g) y = x3 + x – 2 Các chuyên đề ôn thi O x a>0 O x a 0) lim (ax 4 + bx 2 + c) =   Vẽ đồ thị x →±∞  −∞ (a < 0)  Chú ý : Có 2 dạng đồ thị y y O x O a>0 x a0 O x a 0 ∀m x3 − mx 2 + ( m 2 − 1) x + (m 2 − 1) 3 a) y= x3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m3 b) y= c) y= x3 − (2a − 1) x 2 + (a 2 − 2) x + a d. y = -x3 - 3x2 + 4m2x. y = x − 3mx + 3 ( m − 1) x − m 3 2 2 e) 3 14) Chứng minh hàm số không có cực trị CM: ∆ y ' ≤ 0 ∀m 1 − a) y = − x3 + mx 2 − (2m 2 − m + 1) x + m . b) yx3=+ 2mx 2 − (4m 2 + 9) x + m 2 + 2011 3 3 2 2 2 1 c) y = x3 + mx 2 + (2m 2 − m + 1) x + m + 1 d) y =x − (m − 1) x + (m − 4m + 21) x + 2010m 3 Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số thỏa mãn điều kiện về cực trị: Cho hàm số y = f ( x ) , đồ thị là (C). − Nghiệm của PT f ' ( x ) = 0 là hoành độ của điểm cực trị.  f ' ( x0 ) = 0 − Nếu  f '' x < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = x0 .  ( 0 )  f ' ( x0 ) = 0 − Nếu  f '' x > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 .  ( 0 ) CỰC TRỊ HÀM BẬC BA: − Để hàm số y = f ( x ) có 2 cực trị a ≠ 0 ⇔ ∆ y' > 0 − Để hàm số − Để hàm số − Để hàm số − Để hàm số y = f ( x) − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trên trục hoành − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành y= y= y= không có cực trị  ∆y ≤ 0 f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành ⇔ yCĐ . yCT < 0 . f ( x ) có hai cực trị nằm về 1 phía đối với trục tung  x CĐ .x CT > 0 f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔ xCĐ .xCT < 0 . ' − Để hàm số y = f ( x ) có cực trị tiếp xúc với trục hoành CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN DẠNG : y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) : - Tính y’ = 4ax3 + 2bx x = 0 - Cho y’= 0 ⇔ 2x(2ax2 + b) = 0 ⇔  2  2ax + b = 0  yCĐ + yCT > 0 ⇔ .  yCĐ . yCT > 0  yCĐ + yCT < 0 ⇔ .  yCĐ . yCT < 0 ⇔ yCĐ . yCT = 0 . (1) (2) - Hàm số có 3 cực trị (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ a.b < 0 - Hàm số có 1 cực trị: (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc có một nghiệm bằng 0 Các chuyên đề ôn thi  a = 0 và b ≠ 0 ⇔  a ≠ 0 và ab ≥ 0  Chú ý: 1. Đối với hàm số bậc ba, lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là ĐT đi qua 2 điểm cực trị. 2. Cách tính tung độ cực trị của hàm số y = f(x) tại x0 - Hàm số bất kỳ : thực hiện phép thế y0 = f(x0) - Hàm đa thức: chia đạo hàm ( lấy y chia cho y’ được thương là q(x) và dư là r(x)). Khi đó, y = q(x).y’ + r(x). Vì hàm số đạt cực trị tại x0 nên y’(x0) = 0. Do đó, giá trị cực trị y0 = r(x0) ( tức là thế x0 vào phần dư r(x) để tính tung độ cực trị) Khoảng cách giữa hai điểm: A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 4. A(x; y) thuộc trục hoành khi y = 0, B(x;y) thuộc trục tung khi x = 0 BÀI TẬP 2 3. 1 3 2 1 2 3 2 15) Cho hàm số y = x + x + mx + 1 a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu b) Tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm về khác phía so với trục tung c) Tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm hai phía của đường thẳng x = 1. c) Tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm bên trái đường thẳng x = 1. 16) Xác định m để hàm số có 3 cực trị, (có 1 cực trị) a) y = mx4 b + (m2 – 9)x2 + 3m + 2. b) y = mx4 + (m2 – 4)x2 + 3m + 1. 4 2 2 c) y = mx + ( m − 9 ) x + 10 . VẤN ĐỀ 5: GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐỒ THỊ Biện luận theo m số giao điểm của (C): y = f(x) và (C’): y=g(x;m)  Lập phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x; m) ⇔ F(x, m) = 0 (*)  Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và (C’).  Dựa vào điều kiện về nghiệm của phương trình mà biện luận  Chú ý: - Giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với trục hoành là nghiệm của PT f(x) = 0 - Điều kiện PT bậc 2 có nghiệm phân biệt, nghiệm dương - Định lý Vi-et, công thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng. Nhắc lại: 1. ĐT d qua A(x1; y1) và có hệ số góc k thì có PT : y = k(x-x1) + y1 2 2 2. Cho M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) ⇒ MN = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) Các chuyên đề ôn thi 3. Khoảng cách từ một điểm đến một ĐT: Cho ĐT khi đó d ( M ,.∆ ) = ∆ : Ax + By + C = 0 và điểm M(x0;y0) Ax0 + By0 + C A2 + B 2 BÀI TẬP 2 17) Tìm m để đồ thị hàm số y = ( x − 1) ( x + mx + m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt 18) Cho hàm số y = x 4 – mx2 + m - 1 (m là tham số). Tìm m để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. ( Đs: m > 1 và m ≠ 2 ) 19) Khảo sát hàm số y = x 3 − 6x2 + 9x − 1 (C). Gọi d là ĐT đi qua điểm A(2; 1) và có hệ số góc m. Tìm m để ĐT d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt. 20) Cho hàm số y = 2x −1 x +1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b) Với giá trị nào của m thì ĐT (d) qua A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt. c) Tìm m để ĐT (d) cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt thuộc 2 nhánh. ------------------BÀI TẬP TỔNG HỢP 21) Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − 4 (C). a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương x 3 − 3x 2 + m = 0 . c) 1 . 2 Viết PT TT của (C), biết hệ số góc của TT k = −9 . Viết PT TT với (C), biết TT song song với ĐT ( d ) : y = 3x + 2 . Viết PT TT của (C) tại điểm có hoành độ là d) e) 22) Cho hàm số y = 2x3 - 3x2 - 1 (C). a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Viết PT TT của (C), biết TT vuông góc với ĐT ( d1 ) : y = c) d) Viết PT TT tại các điểm cực trị. Tìm m để ĐT ( d 2 ) : y = mx − 1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt. 1 4 23) Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 a) b) c) d) 2 x + 2010 3 (C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Tìm m để PT − x 4 + 8 x 2 = m có 4 nghiệm thực phân biệt. Viết PT TT của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT song song với ĐT ( d1 ) : y = 15 x + 2 . 24) Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 3 (C). a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Các chuyên đề ôn thi b) Dựa vào đồ thị (C) , hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình − x 4 + 2 x 2 − m = 0 . c) Viết PT TT của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. d) Viết PT TT của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3 . 25) Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 3mx + 3m + 4 (Cm ) , m là tham số a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm cực trị. c) Tìm m để hàm số có cực trị d) Tìm m để (Cm ) cắt với trục hoành tại ba điểm phân biệt. 26) Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 + m 2 + m a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = −2 . b) Biện luận theo k số nghiệm thực của PT x 4 − 4 x 2 + k = 0 . c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 .Tìm m để hàm số có 1 cực trị . 27) Cho hàm số y = a) x +1 x −1 (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 1 . 2 b) Viết PT TT của (C) tại điểm có tung độ y = c) Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT song song với ĐT ( d1 ) : y = − d) 9 x+3. 2 Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT vuông góc với ĐT 1 x − 1. 8 Tìm m để ĐT ( d3 ) : y = mx + 2m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành ( d2 ) : y = e) độ âm . 28) Cho hàm số y = a) b) x −1 x +1 (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết PT TT của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành . Viết PT TT của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung . Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT vuông góc c) d) 8 9 1 3 với ĐT ( d1 ) : y = − x + . e) Tìm m để ĐT ( d 2 ) : y = mx − 2m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương . 29) Cho hàm số y = 3x + 1 1− x (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất c) Tìm m để ĐT ( d1 ) : y = mx − 2m − 7 cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt. Các chuyên đề ôn thi 10 d) Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT vuông góc với ĐT ( d 2 ) : x + y − 2 = 0 . e) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên. Chuyên đề 2 : PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ (5 TIẾT) 1. Kiến thức cần nhớ: 1. ( a) n n =a 2. a = b ⇔ a 2 n = b 2 n 3. a = b ⇔ a 2 n +1 =b 2 n +1 ( ab > 0 ) ( ∀a, b ) 4. a ≥ b ≥ 0 ⇔ a 2 n ≥ b 2 n ⇔ a 2 n +1 ≥ b 2 n+1 5. a ≥ b ( ∀a, b ) 2. Các dạng cơ bản: Dạng 1:  g ( x ) ≥ 0 f ( x) = g ( x) ⇔  2  f ( x ) = g ( x ) Dạng 2:  f ( x) ≥ 0  f ( x) < g ( x ) ⇔ g ( x) ≥ 0  2  f ( x) < g ( x) Dạng 3: f ( x) > g ( x) (Không cần đặt điều kiện f ( x ) ≥ 0 ) xét 2 trường hợp:  g ( x ) < 0  g ( x) ≥ 0 TH1:  f x ≥ 0 TH2:  f ( x ) > g 2 ( x )   ( ) Lưu ý: g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường hợp g(x) là tam thức bậc hai (ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện cho g ( x ) ≥ 0 rồi bình phương 2 vế đưa phương trình−bất phương trình về dạng quen thuộc. Ví dụ 1: Giải phương trình a) x - 2 x + 3 = 0 (1) b) x + 9 = 5 − 2 x + 4 (2) Giải a) x - x ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0  ⇔ 2 ⇔   x = −1 ⇔ x = 3 2x + 3 = 0 ⇔  2 2 x + 3 = x x − 2x − 3 = 0  x = 3  Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 3 Các chuyên đề ôn thi 11 x + 9 ≥ 0  x ≥ −9 ⇔ ⇔ x ≥ −2 2 x + 4 ≥ 0  x ≥ −2 Phương trình (2) ⇔ x + 9 + 2 x + 4 = 5 b) Điều kiện:  ⇔ 3x+13+2 ( x + 9 + (2 x + 4) = 25 ⇔ 2 ( x + 9)(2 x + 4) = 12 − 3 x  −2 ≤ x ≤ 4 12 − 3 x ≥ 0  ⇔ 2 ⇔  x = 0 ⇔ x=0  x − 160 x = 0   x = 160  Vậy nghiệm của phương trình (2) là x = 0 Ví dụ 2: Giải các phương trình: 1. 2 x 2 + 5 x − 3 = x + 1 2. 5 x − 1 − x − 1 = 2 x − 4 Ví dụ 3: Giải các bất phương trình 1. 2 x 2 − 6 x + 1 − x + 2 < 0 2. x 2 + 6 x + 2 > 2 x + 1 Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: ĐS: x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 m≥ 9 . 2 Phương pháp đặt ẩn phụ: Khi bình phương 2 vế đưa phương trình−bất phương trình vô tỷ mà dẫn đến phương trình, bất phương trình đại số không giải được thì ta tìm cách giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Ví dụ 1: Giải phương trình: x 2 − 3x + 3 + x 2 − 3x + 6 = 3 (1) Giải 2 3 3 3  Đặt t = x – 3x + 3 =  x − ÷ + ≥ 2 4 4  Khi đó (1) có dạng: t + t + 3 = 3 ⇔ t + t + 3 + 2 t (t + 3) = 9 2 3 − t ≥ 0 t ≤ 3 t (t + 3) = 3 − t ⇔  ⇔ ⇔ t =1  2 t = 1 t (t + 3) = (3 − t ) x = 1 Với t = 1 ⇔ x2 – 3x + 3 = 1 ⇔ x2 – 3x + 2 = 0 ⇔  x = 2 ⇔ Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 1; x = 2. Ví dụ 2: Giải các phương trình: x 2 + x 2 + 11 = 31 . Đặt t = x 2 + 11, t ≥ 0 ĐS: x=±5. 3 + x + 6 − x = 3 + ( 3 + x) ( 6 − x) . HD: Đặt t = 3 + x + 6 − x . ĐS: x = −3, x = 6. Ví dụ 3: Giải bất phương trình 7 x + 7 + 7 x − 6 + 2 49 x 2 + 7 x − 42 ≤ 181 − 14 x . HD: Đặt t = 7x + 7 + 7x − 6 ≥ 0 BÀI TẬP Giải các phương trình sau: 1. x − 2 x + 7 = 4 Các chuyên đề ôn thi ĐS: 6 ≤ x ≤6. 7 ĐS: x = 9. 12 2. 3. 4. 5. 6. 7. x 2 − 6x + 6 = 2x − 1 x − 3x − 1 + 7 = 2 x 3x + 7 − x + 1 = 2 3x + 4 − x − 3 = 3 2 ( 3 + x) ( 6 − x) . 3+ x + 6− x =3+ 1+ ĐS: x = 1. ĐS: x = 5. ĐS: x = - 1; x = 3. ĐS: x = 4; x = 7. ĐS: x = 0, x = −3 . 2 x − x2 = x + 1 − x 3 8. x 2 + x + 2 = x 2 + x 9. x 2 + x + 4 + x 2 + x + 1 = 2 x 2 + 2 x + 9 Bài 2: Giải bất phương trình sau: 1. 1 − 1 − 4 x 2 < 3x . 2. x + 2 + x + 5 > 2 x + 11 . 3. x − 2 + x − 3 ≤ 4 x − 5 . 4. 1 − 2 x + 1 + 2 x ≥ 2 − x 2 . 5. 5 x 2 + 10 x + 1 > 7 − 2 x − x 2 6. 2 x 2 + x 2 − 5 x − 6 > 10 x + 15 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Hàm số mũ • y=ax; TXĐ D = R • Bảng biến thiên a>1 01 x 0 +∞ y Các chuyên đề ôn thi 00; m, n∈R ta có: n m n+m a a =a 1 an n −m = a ; ( an am ; = a−m ; a0=1; a−1 = 1 a ); n n m nm n (a ) = a ; an a   = m b b n n (ab) = a b ; ; a m n = n am . 2. Công thức logarit: logab=c⇔ac=b (00) Với 0 0 ⇔  f ( x ) = log  a b. Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0 Phương pháp đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t = ax (t > 0), để đưa về một phương trình đại số.. Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 ± 3 ), (7 ±4 3 ),… Nếu trong một phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx} ta có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) rồi đặt t = (a/b)x (hoặc t =(b/a)x. Phương pháp logarit hóa: af(x) = bg(x) ⇔ f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0< c ≠1. b. Phương trình logarit:  Phương pháp đưa về cùng cơ số: Các chuyên đề ôn thi 14 1) 0 < a ≠ 1 logaf(x)=g(x)⇔  f ( x ) = a g ( x )  2) logaf(x)= 0 < a ≠ 1  logag(x)⇔  f ( x ) > 0  f ( x) = g ( x)  [ g ( x ) > 0] .  Phương pháp đặt ẩn phụ: 2. Bất phương trình mũ−logarit a. Bất phương trình mũ: a > 0 a > 0  af(x) > ag(x) ⇔ ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] > 0 ;  af(x )≥ ag(x) ⇔ ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] ≥ 0 .   Đặc biệt: * Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x) af(x)≥ag(x) ⇔ f(x) g(x) * Nếu 0g(x); f(x)≥g(x). f(x)logag(x)⇔  f ( x ) > 0, g ( x ) > 0 ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) > 0]  logaf(x)≥logag(x)⇔ 0 < a ≠ 1   f ( x ) > 0, g ( x ) > 0 . ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ≥ 0]  Đặc biệt: logaf(x)>logag(x) ⇔ + Nếu 0< a logag(x) ⇔ + Nếu a >1 thì: Ví dụ 1: Giải phương trình: a) 9x – 8.3x – 9 = 0 (x ∈ ¡ ) b) log3(x+2) + log3(x-2) = log25 c) log3(3x + 1)log3(3x+2 + 9) = 6 d) log2(x2 +8) = log2x + log26  f ( x) > g ( x)  ; g( x) > 0  f ( x) < g( x)  .  f ( x) > 0 (x ∈ ¡ ) Giải a) Đặt t = 3x, điều kiện t > 0  t = −1 t = 9 Phương trình đã cho trở thành : t2 – 8t – 9 = 0 ⇔  Kết hợp với điều kiện ta có t = 9 Với t = 9, khi đó : 3x = 9 ⇔ x = 3 b)Phương trình đã cho tương với hệ x + 2 > 0 x > 2 x > 2   ⇔ 2 ⇔  x = 3 ⇔ x = 3 x − 2 > 0 x − 4 = 5 log ( x 2 − 4) = log 5   x = −3  3  3 Vậy nghiệm của phương trình là x = 3. c) Do 3x > 0 với mọi x, nên phương trình đã cho xác định với mọi x. Ta có : Các chuyên đề ôn thi 15 log3(3x + 1)log3(3x+2 + 9) = 6 ⇔ log3(3x + 1)log3[32(3x + 1)] = 6 ⇔ log3(3x + 1)[log332 + log3(3x +1)] = 6 t = log3(3x +1) > log31 = 0 ta có phương trình Đặt t = −1 + 7 t(2+t) = 6 ⇔ t2 + 2t – 6 = 0 ⇔  t = −1 − 7 Từ điều kiện t > 0 ta có log3(3 + 1) = - 1 + 7 ⇔ 3x + 1 = 3−1+ 7 ⇔ x = log 3 (3−1+ 7 − 1) x Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = log3 (3−1+ 7 − 1) d)Tập xác định của phương trình là (0 ; +∞ ), khi đó log2(x2 + 8) = log2x + log26 ⇔ x2 + 8 = 6x x = 2 ⇔ x2 – 6x + 8 = 0 ⇔  x = 4 Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 ; x = 4 Ví dụ 2 : Giải bất phương trình : log3(x+2) > log9(x+2) Giải Điều kiện : x > -2 Ta có log9 ( x + 2) = log 3 ( x + 2) log 3 ( x + 2) = log 3 9 2 Do đó log 3 ( x + 2) > 1 1 log 3 ( x + 2) ⇔ log 3 ( x + 2) > 0 ⇔ x + 2 > 1 ⇔ x > −1 2 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x > -1. Ví dụ 3: Giải phương trình : 2 x −3 x + 2 = 4 2 B. BÀI TẬP Bài 1: Giải các phương trình sau: 1. 2x + 1 – 2 -x = 1 2. 5 x + 5 2− x = 26 3. 9 x − 2.3 x +1 + 9 = 0 4. 25 x + 10 x = 2. 4 x 5. 4.81x + 9.16 x = 13.36 x x x 6. ( 2 − 1) + ( 2 + 1) − 2 2 = 0 (ĐH_Khối B 2007) 7. 2 x + x − 4.2 x − x − 22 x + 4 = 0 (ĐH_Khối D 2006) 8. 2 x − x − 22+ x − x = 3 (ĐH_Khối D 2003) 9. log5 x = log5 ( x + 6 ) − log5 ( x + 2 ) 2 2 2 10. 2 ĐS: x = 0. ĐS: x = 0, x = 2 ĐS: x = 1. ĐS: x = 0. ĐS: x = 0, x = 1. ĐS: x=1, x=−1. ĐS: x=0, x=1. ĐS: x=−1, x=2. log5 x + log 25 x = log 1 3 11. log x ( 2 x 2 ) 5 − 5x + 4 = 2 12. log 22 ( x + 1) − 6 log 2 x + 1 + 2 = 0 Bài 2: Giải bất phương trình: Các chuyên đề ôn thi (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3. 16 1. 2. 3. 2 log 3 (4 x − 3) + log 1 ( 2 x + 3) ≤ 2 3  x2 + x  log 0,7  log 6 ÷< 0 x+4   log 5 ( 4 x + 144 ) − 4 log 5 2 < 1 + log 5 ( 2 x− 2 + 1) x − 3x + 2 ≥0 x (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4 ≤ x ≤ 3. (ĐH_Khối B 2008) ĐS: −4< x < −3, x > 8. (ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4. (ĐH_Khối D 2008) ĐS: 2 4. log 1 2 ) (  2 − 2;1 U 2; 2 + 2  .   −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:  x + y + xy = 3 1.  2 2 x y + y x = 2  x + y + xy = 5 2.  2 2  x + y + xy = 7 1 1 1 x + y = − 2 3.  x 2 + y 2 = 5  4. 5. 6. ĐS: (1; 1). ĐS: (1; 2) hoặc (2; 1). ĐS: (-1; 2) hoặc (2; - 1).  4 x + y = 128  3 x − 2 y −3 =1 5 5 x + y = 125   2  4( x − y ) −1 = 1 log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )  x 2 − xy + y 2 3 = 81 (ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (−2;−2) 7. 8. 9.  x − 1 + 2 − y = 1  2 3 3log 9 ( 9 x ) − log 3 y = 3 1  log 1 ( y − x ) − log 4 y = 1  4  x 2 + y 2 = 25   23 x = 5 y 2 − 4 y  x  4 + 2 x +1 =y  x  2 +2 (ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2). (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4) (ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4). Bài 2. Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm: x 2 + y 2 = m 1.  y − x = 6 Các chuyên đề ôn thi ĐS: m ≥ 18 17  x 2 + y 2 = 16 2.  x − y = m ĐS: − 4 2 ≤ m ≤ 4 2 . x 2 + y 2 = 1 3.  x − y = m ĐS: − 2 ≤ m ≤ 2 . Chuyên đề 3: LƯỢNG GIÁC (5 TIẾT) A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Hệ thức LG cơ bản sin 2 α + cos 2 α = 1 tan α .cot α = 1 cos α cot α = ( α ≠ kπ ) sin α 1 = cot 2 α + 1 ( α ≠ kπ ) 2 sin α π    α ≠ + kπ ÷ 2   1 π   = tan 2 α + 1 α ≠ + k π ÷ 2 2 cos α   tan α = sin α cos α 2. Công thức LG thường gặp sin ( a ± b ) = sinacosb ± sinbcosa Công thức cộng: cos ( a ± b ) = cos a cos b msinasinb tan ( a ± b ) = tana ± tanb 1 mtanatanb sin 2a = 2sin a.cos a cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a Công thức nhân: cos 3a = 4 cos 3 a − 3cos a sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a tan 3a = Tích thành tổng: 3 tan a − tan 3 a 1 − 3 tan 2 a 1 2 cosa.cosb = [cos(a−b)+cos(a+b)] 1 2 sina.sinb = [cos(a−b)−cos(a+b)] 1 2 sina.cosb = [sin(a−b)+sin(a+b)] Các chuyên đề ôn thi 18 Tổng thành tích: sin a + sin b = 2sin a+b a−b cos 2 2 sin a − sin b = 2 cos a+b a−b sin 2 2 cos a + cos b = 2 cos a+b a −b cos 2 2 cos a − cos b = −2sin tan a ± tan b = Công thức hạ bậc: a+b a −b sin 2 2 sin(a ± b) cos a.cos b 1 2 cos2a = (1+cos2a) 1 2 sin2a = (1−cos2a) a 2 Biểu diễn các hàm số LG theo t = tan : sin a = 2t 1- t 2 2t ; cos a = ; tan a = . 2 2 1+ t 1+ t 1− t2 B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trìng LG cơ bản u = v + k 2π * cosu = cosv ⇔ u = ±v+k2π * sinu = sinv ⇔  u = π − v + k 2π * tanu=tanv ⇔ u=v+kπ * cotu = cotv ⇔ u = v+kπ ( k ∈ Z ) . 2. Một số phương trình LG thường gặp a. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:  Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.  Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c = 0)  để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG. Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 5cosx – 2sin2x = 0 Giải Ta có: 5cosx – 2sin2x = 0 ⇔ 5cosx - 4sinxcox = 0 ⇔ cosx(5 – 4sinx) = 0 (*) cos x = 0 ⇔ 5 − 4sin x = 0 π 2  cosx = 0 ⇔ x = + kπ k ∈¢ 5 > 1 nên phương trình vô nghiệm 4  Vậy phương trình (*) có tập nghiệm là cosx = 0 ⇔ x = π + kπ k ∈¢ 2  5 – 4sinx = 0 ⇔ 4sinx = 5 ⇔ sinx Các chuyên đề ôn thi 19 Ví dụ 2: cos 2 x + cos x − 2 = 0 ĐS: x = kπ2 k( ∈ ¢ ) b. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx + bcosx = c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là a 2 + b 2 ≥ c 2 . Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a 2 + b2 , ta được: a sin x + b cos x = c a +b a +b a + b2 a b = sin β . Khi đó phương trình tương đương: Đặt: 2 2 = cos β ; a +b a2 + b2 c c cos β sin x + sin β cos x = hay sin ( x + β ) = 2 2 = sin ϕ . 2 2 a +b a +b Ví dụ 1: Giải phương trình: sinx + 3 cosx = 1 2 2 2 Giải Ta có: sinx + 3 cosx = 1 ⇔ 2sin(x + π π ) = sin 3 6 π = + k 2π 6 π = π − + k 2π 6 2 2 π π 1 ) = 1 ⇔ sin(x+ ) = 3 3 2 ⇔ sin(x+  π x + 3 ⇔ x + π  3 Ví dụ 2: 3 cos x − sin x = 0 ĐS: π   x = − 6 + k 2π ⇔ k ∈¢  x = π + k 2π  2 π x = + kπ ( k ∈ ¢ ) 3 c. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*). Cách giải: + Kiểm tra nghiệm với x = π + kπ . 2 + Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0. Chú ý: 1 π   = tan 2 x + 1  x ≠ + kπ ÷ 2 2 cos x   Ví dụ: cos 2 x − 2sin x cos x + sin 2 x = 0 π 4 ĐS: x = + kπ (k ∈ ¢ ) d. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx± cosx. Điều kiện | t | ≤ 2 . π π   sin x + cos x = 2 sin  x + ÷ = 2 cos  x − ÷ 4 4   π π   sin x − cos x = 2 sin  x − ÷ = − 2 cos  x + ÷ 4 4   Ví dụ: 2sin x + 2 cos x + 2sin x cos x + 1 = 0 π 4 ĐS: x = − + kπ , (k ∈ ¢ ) e. Phương trình lượng giác không mẫu mực Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích. Ví dụ 1: Giải phương trình: cos3x – cos4x + cos5x = 0 Giải cos3x – cos4x + cos5x = 0 ⇔ cos3x + cos5x = cos4x ⇔ 2cos4xcosx = cos4x ⇔ cos4x(2cosx – 1) = 0 Các chuyên đề ôn thi 20 π π π   cos 4 x = 0 x = 8 + k 4  4 x = 2 + kπ ⇔ ⇔ ⇔ cos x = 1  x = ± π + k 2π  x = ± π + k 2π  2   3 3 k ∈¢ Ví dụ 2: Giải phương tình: cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 ĐS: x = π kπ π lπ π + ; x = + ; x = + nπ (k , l , n ∈ ¢ ) 10 5 4 2 2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số: Ví dụ: Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 π 4 ĐS: x = − + nπ ; x = kπ2 , n( k, ∈ ¢ ) BÀI TẬP Giải các phương trình sau 1. 5cosx = cos 2 x + 3 ĐS: x=± π + k 2π , k ∈ Z 3 . 2. cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0 ĐS: x = π + k 2π ; k ∈ Z . 3. 2cos 2 x + 4sin 2 2 x = 2 ĐS: 4. 5sin x − 2 = 3sin 2 x 1 + sin x 5. 1 + cos4x - sin4x = 2cos2x 6. ( ) 2 cos 6 x + sin 6 x − sin x cos x = 0 7. 2cosx – 1 = sin2x – sinx 8. (2cosx – 1)(2sinx+3) = sin2x – sinx 9. 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0 ĐS: π + k π , ( k ∈ Z) 3 π 5π x = + k 2π ; x = + k 2π , ( k ∈ Z) 6 6 x=± ĐS: x = kπ ; k ∈ Z . ĐS: x= π π + k 2π ; x = ± + k 2π ; k ∈ Z 2 3 π ĐS: x = ± + k 2π ; k ∈ Z 3 ĐS: x = ĐS: 2π + k 2π ( k ∈ Z) 3 π x = π + k 2π , x = − + k π , ( k ∈ Z) 4 x=± 10. ( 1 − sin x ) sin 2 x = ( 1 + cos x ) cos 2 x ĐS: 11.1 + sinx.cos2x = sinx + cos2x ĐS: x = 12. ( 2 cos x − 1) ( 2 sin x + cos x ) = sin 2 x − sin x ĐS: 13. sin 3 x − ĐS: 3 cos 3 x = 2 sin 2 x 14.2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx ĐS: 15.(1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx ĐS: 16. sin 2 3x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x ĐS: 17. sin 3 x − ĐS: 3 cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x 18.cos3x−4cos2x+3cosx−4=0 Các chuyên đề ôn thi π + k π ( k ∈ Z) 4 ĐS: π + k 2π ; x = kπ ; k ∈ Z 2 π π + k 2π , x = − + k π , ( k ∈ Z) 3 4 π 4π 2π x = + k 2π , x = +k , ( k ∈ Z) 3 15 5 2π π x=± + k 2π , x = + k π , ( k ∈ Z) 3 4 π 5π x = + kπ , x = + k π , ( k ∈ Z) 12 12 π π x = k ; x = k , ( k ∈ Z) 9 2 π π π x = + k ; x = − + k π , ( k ∈ Z) 4 2 3 π x = + k π ( k ∈ Z) 2 x=± 21 x=± 2π + k 2π , ( k ∈ Z) 3 19.cos3x+cos2x−cosx−1=0 ĐS: 20.2sin3x – cos2x + cosx = 0 ĐS : x = − + nπ ; x = kπ2 , n( k, ∈ ¢ ) π 4 −Hết− Chuyên đề 4: TÍCH PHÂN (5 TIẾT) CÔNG THỨC Bảng nguyên hàm ∫ dx = x + C ∫ x α dx = x α +1 + C ( α ≠ 1) α +1 dx ∫ x = ln x + C ( x ≠ 0) ∫ e dx = e + C x x ax a dx = + C ( 0 < a ≠ 1) ln a cos xdx = sin x + C ∫ ∫ ∫ sin xdx = − cos x + C 1 ∫ cos x dx = tan x + C x 2 1 ∫ sin 2 x dx = − cot x + C ∫ d ( ax + b) = a ( ax + b) + C ∫ du = u + C ∫ ∫ 1 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ α +1 ( ax + b ) dx = 1 ( ax + b ) + C (α ≠ 1) a α +1 dx 1 = ln ax + b + C ( x ≠ 0 ) ax + b a 1 e ax + b dx = e ax +b + C a 1 cos( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C a 1 sin ( ax + b ) dx = − cos( ax + b ) + C a 1 1 dx = tan ( ax + b ) + C 2 a cos ( ax + b ) 1 1 dx = − cot ( ax + b ) + C 2 a sin ( ax + b ) α u α du = u α +1 + C ( α ≠ 1) α +1 du ∫ u = ln u + C ( u ≠ 0) ∫ e du = e + C u u au + C ( 0 < a ≠ 1) ln a cos udu = sin u + C ∫ ∫ ∫ sin udu = − cos u + C 1 ∫ cos u du = tan u + C a u dx = 2 1 ∫ sin 2 u du = − cot u + C CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM Các quy tắc đạo hàm Quy tắc cộng: (u ± v)’ = u’ ± v’ Quy tắc nhân: (k.u)’ = k. u’, k là hằng số (u.v)’ = u’v +uv’; u Quy tắc chia:  ÷' = v u' v − uv' v2 Bảng đạo hàm Các chuyên đề ôn thi 22 (C )’ = 0 (x ) α , ( u ) ' = α .u α = α.x α−1; α ∈ R α −1 .u'; α ∈ R  1  −1  x ÷' = x 2   1 ( x)' = 2 x  1  − u'  u ÷' = u2   u' ( u)' = 2 u (sinx)’ = cosx (cosx)’ = - sinx (sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = - u’.sinu (tanx)’ = (tanu)’ = (a x ) ' = a x .ln a (a u ) ' = u '.a u .ln a 1 = 1+tan2x cos2 x 1 (cotx)’ = − 2 = -(1+cot2x) sin x x x (e ) ' = e (ln x ) ' = u' = u’(1+tan2u) cos2 u u (cotu)’ = − 2 = -u’(1+cot2u) sin u u u (e ) ' = u ' e 1 x (log a x ) ' = (ln u ) ' = 1 x.ln a u' u (log a u ) ' = u' u.ln a PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN b Để tính tích phân ò f[u(x)]u (x)dx ta thực hiện các bước sau: / a Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt = u/ (x)dx . x = a Þ t = u(a) = a Bước 2. Đổi cận: x = b Þ t = u(b) = b . b Bước 3. b ò f[u(x)]u (x)dx = ò f(t)dt . / a a Ví dụ 1 : Tính tích phân: 2 a) I = b) I = ∫x 3 0 π 2 x 2 + 2dx sin 2 x dx 2 x)2 ∫ (1 + cos 0 Giải: a). Đặt t = x 2 + 2 ⇔ t 2 = x 2 + 2 ⇒ tdt = xdx Đổi cận: x=0;t= 2 x= 2;t=2 2 Do đó: I = ∫ t (t 2 2 − 2)tdt = 2 b). I = π 2 2 4 − 2t 2 )dt = 8(2 + 2) 15 sin 2 x dx 2 x)2 ∫ (1 + cos 0 Các chuyên đề ôn thi ∫ (t 23 Đặt t = 1 + cos2x ⇒ du = 2cosx( - sinx)dx ⇒ du = - sin2xdx Đổi cận: x = 0 ; t = 2 π ;t=1 2 x= π 2 e2 Ví dụ 2 . Tính tích phân I = ò e 1 1 − du 1 1 ∫2 u 2 = u = 2 2 Do đó: I = ∫ sin 22x 2 dx = (1 + cos x ) 0 dx . Đặt t = lnx x ln x ĐS: I = ln2 . 2 Ví dụ 3: Tính tích phân I = ò x + 2dx . ĐS: I = 1 16 - 6 3 3 . Dạng vô tỷ 3 Ví dụ . Tính tích phân I = dx 2x + 3 . Đặt t = 2x + 3 3 ò (1 + x) 1 2 Dạng lượng giác ĐS: I = ln 2 . p 2 Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I = ò cos2 x sin3 xdx . Đặt t = cosx ĐS: 0 2 I = . 15 p 2 Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I = ò cos5 xdx . Đặt t = sin x 0 8 ĐS: I = 15 . TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức: b ò udv = uv b b a - a ò vdu (1). a Công thức (1) còn được viết dưới dạng: b b ò f(x)g (x)dx = f(x)g(x) / b a - a ò f (x)g(x)dx (2). / a Phương pháp giải toán b Giả sử cần tính tích phân ò f(x)g(x)dx ta thực hiện a Bước 1. Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và b vi phân du = u/ (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân ò vdu phải tính được. a Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả. Đặc biệt: Các chuyên đề ôn thi 24 b b b ò P(x) sinaxdx, ò P(x) cosaxdx, ò e ax i/ Nếu gặp a a .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt a u = P(x) . b ii/ Nếu gặp ò P(x) ln xdx thì đặt u = ln x . a 1 2x Ví dụ 1: Tính tích phân: I = ∫ ( x − 1)e dx 0 Giải Đặt u = x – 1 ⇒ du = dx 1 2x e 2 1 1 1 1 1 2x 2x 2x ( x − 1) e dx ( x − 1) e − e dx Do đó: I = ∫ = 2 2 ∫0 2 0 dv = e2x dx ⇒ v = 1 1 1 1 1 = ( x − 1)e2 x − e2 x = (3 − e2 ) 2 4 4 0 0 1 Ví dụ 2. Tính tích phân I = ò xex dx . ĐS: I = 1 0 e Ví dụ 3. Tính tích phân I = ò x ln xdx . ĐS: I = 1 2 Ví dụ 4: Tính tích phân I = ò x2 lnxdx . 1 9 ĐS: I = (24ln2 - 7) . 1 p 2 Ví dụ 5: Tính tích phân I = ò x cosxdx . 0 p 2 ĐS: I = 0 2 ĐS: I = e + 1 . 2 e ò(1- x2)lnxdx . ĐS: I = 2(4 - e3) . 9 ĐS: I = e2 + 1 . 4 1 1 Ví dụ 8: Tính tích phân I = ò x.e2xdx . 0 p 2 p - 1. 2 p Ví dụ 6. Tính tích phân I = ò ex sin xdx . Ví dụ 7: Tính tích phân I = e2 + 1 . 4 Ví dụ 9: Tính tích phân I = ò(x - 1) sinxdx . ĐS: I = 0 . 0 Chú ý: Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. BÀI TẬP Bài I: Tính các tích phân sau: 1 2 1/ I 1 = ∫ x 1 − x dx 0 Các chuyên đề ôn thi 1 3 ĐS: I 1 = . 25 3 2 2/ I 2 = ∫ x + 1 dx 0 2x + 1 5 3/ I 3 = ∫ 1 π 2 3dx 1+ x −1 4/ I 4 = ∫ cos xdx 1 + sin x 0 π 2 sin x dx 1 + 3 cos x 0 5/ I 5 = ∫ π 2 6/ I 6 = ∫ e cos x sinxdx 5 3 ĐS: I 2 = . ĐS: I 3 = 12 − 6 ln 3 . ĐS: I 4 = ln 2 . ĐS: I 5 = ln 4 . 3 ĐS: I 6 = e − 1 . 0 π 3 2 7/ I = ∫ sin x dx 7 0 1 + cos x π 8/ I = 2∫ cos 2 x sin 2xdx 8 0 π 3 9/ I = 2 4sin x dx 9 0∫ 1 + cos x π 10/ I = 2∫ sin 3 x 1 − cos x dx. 10 0 Bài II: Tích các tích phân sau: 1 2x 1/ J 1 = ∫ x.e dx ĐS: J 1 = 0 ( ) 1 2 e +1 . 4 1 x 2/ J 2 = ∫ ( x + 2) e dx ĐS: J 2 = 2e − 1 . 0 π 2 3/ J 3 = ∫ x cos 3xdx π 6   ĐS: J 3 = − +  . 0 π 4/ J 4 = ∫ ( x + 3) sin xdx 1 9 ĐS: J 4 = π + 6 . 0 e 5/ J 5 = ∫ (1 + x ) ln xdx e2 + 5 ĐS: J 5 = . 4 6/ J 6 = ∫ x( 2 − ln x ) dx ĐS: J 6 = 3e 2 − 5 . 4 7/ J 7 = ∫ x 2 ln xdx ĐS: J 7 = 2e 2 + 1 . 9 1 e 1 e 1 Các chuyên đề ôn thi 26 −Hết− Chuyên đề 5: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH (15 TIẾT) HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG A. LÝ THUYẾT I. Tọa độ 1. Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đôi một vuông góc với nhau với hai vectơ r ur r r đơn vị i , j ( i = j = 1) . uu r ur r uu r uuuuu r u r uu r OM = xi + y j 2. a = ( a1; a2 ) ⇔ a = a1i + a2 j ; M(x;y) ⇔ r ur 3. Tọa độ của vectơ: cho u = ( x; y ), v = ( x '; y ') r r r r r a. u = v ⇔ x = x '; y = y ' b. u ± v = ( x ± x '; y ± y ') c. ku = (kx; ky) r u rr d. u.v = xx '+ yy ' g. ur r u.v r r cos u , v = r r ( ) u.v r e. u ⊥ v ⇔ xx '+ yy ' = 0 r f. u = x 2 + y 2 . 4. Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA), B(xB;yB) uuur a. AB = ( xB − x A ; yB − y A ) b. AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2 c. G là trọng tâm tam giác ABC ta có: y +y +y x A + xB + xC ; yG= A B C 3 3 x A − kxB y A − ky B ; yM = d. M chia AB theo tỉ số k: xM = 1− k 1− k x A + xB y + yB ; yM = A . Đặc biệt: M là trung điểm của AB: xM = 2 2 xG= II. Phương trình đường thẳng Các chuyên đề ôn thi 27 1. Mộtr đường thẳng ∆ được xác định khi biết một điểm M(x0;y0) và một vectơ pháp r tuyến n = ( A; B ) hoặc một vectơ chỉ phương a = ( a; b ) Phương trình tổng quát A ( x − x0 ) + ( y − y0 ) = 0 ⇔ Ax + By + C = 0 . n a  x = x0 + at Phương trình tham số:  , ( t ∈ R) .  y = y0 + bt ∆ Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: y = k ( x − x0 ) + y0 . 2. Khoảng cách từ một điểm M(xM;yM) đến một đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 là: d ( M , ∆) = AxM + ByM + C A2 + B 2 . ∆ III. Phương trình đường tròn 1. Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính r. r M I (C) Phương trình: Dạng 1: ( x − a ) + ( y − b ) = r 2 . 2 2 Dạng 2: x 2 + y 2 − 2ax − 2by + d = 0 , điều kiện a 2 + b2 − d > 0 và r = a 2 + b 2 − d . 2. Điều kiện để đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 tiếp xúc với đường tròn (C) là: d ( I, ∆) = Aa + Ba + C A2 + B 2 =r Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(-1;2), B(2;1) và C(2;5). a) Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC. Tính độ dài các đoạn thẳng AB và AC. b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải a) Phương trình tham số  Đường thẳng AB uuur Ta có: AB = (3, −1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Vậy  x = −1 + 3t y = 2 − t phương trình tham số của đường thẳng AB là:  t∈¡  Đườnguuu thẳng AC r Ta có: AC = (3,3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC. Vậy phương  x = −1 + 3t  y = 2 + 3t trình tham số của đường thẳng AC là:  t∈¡  Độ dài đoạn thẳng AB: AB = 10 Các chuyên đề ôn thi 28  Độ dài đoạn thẳng AC: AC = 3 2 b) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi (C) là phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (C): x2 + y2 -2ax – 2by + c = 0 (*) A ∈ (C) ⇔ 5 +2a – 4b + c = 0 (1) B ∈ (C) ⇔ 5 - 2a – 2b + c = 0 (2) C ∈ (C) ⇔ 29 - 4a – 10b + c = 0 (3) Giải (1), (2), (3) ta được a = 1; b = 3; c = 5 Vậy (C) : x2 + y2 - 2x - 6y+5 = 0 B. BÀI TẬP 1. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2;3) và B(−2;1). a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. b. Viết phương trình đường tròn đường kính AB. c. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm nằm trên trục hoành. d. Viết phương trình đường tròn qua ba điểm O, A, B. 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(0;1), B(1;0) và đường thẳng d: x+y+2 = 0. a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. b. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm nằm trên đường thẳng d. 3. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(0;1), B ( 1; −1) , C ( 2;0 ) . a. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ I. b. Viết phương trình đường tròn có tâm B và tiếp xúc với AC. c. Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A, B, C. 4. Trên mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(−1;2), B(2;1) và C(2;5). a. Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC. b. Viết phương trình đường cao dạng tổng quát hạ từ đỉnh A của tam giác ABC. c. Tính khoảng cách từ điểm B đến đường cao AH của tam giác ABC. 5. Trên mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(1; 4) và đường thẳng d: 4x + y – 17 = 0 a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A và song song với đường thẳng d. b. Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho tam giác OAB cân tại O. 6. (ĐH_CĐ Khối D_2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x−2y−3=0 và 6x−y−4=0. Viết phương trình đường thẳng BC và đường thẳng AC. ĐS: BC: x + 6y+9 = 0; AC: 3x−4y+5=0 7. (Khối A_2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(−2;−2) và C(4;−2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung Các chuyên đề ôn thi 29 điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. ĐS: x2 + y2 − x + y − 2 = 0 8. (Khối A_2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng d1: x + y + 3 = 0, d2: x−y−4=0, d3: x−2y=0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2. ĐS: M1(−22;−11), M2(2;1) 9. (Khối A_2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(0;2) và B ( − 3;−1) . Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. ĐS: H ( ) ( ) 3;−1 , I − 3;1 10.(CĐ Khối B_2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(−1; −2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x+y−9=0 và x+3y−5=0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B. ĐS: A(1;4), B(5;0). 11. (Khối B_2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;1) và B(4;−3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x−2y−1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.  ĐS: C1 ( 7;3) , C 2  − 43 27  ;−   11 11  12.(Khối B_2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5. ĐS: (C1): (x−2)2+(y−1)2 =1 hoặc (x−2)2+ (y−7)2 = 49 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT Các chuyên đề ôn thi 30 A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba r ur ur r r ur vectơ đơn vị i , j , k ( i = j = k = 1) . uu r uu r uuuuu r uu r ur r uu r u r uu r OM = xi + y j + zk B. a = ( a1; a2 ; a3 ) ⇔ a = a1i + a2 j +ra3 k ; M(x;y;z)⇔ ur C. Tọa độ của vectơ: cho u = ( x; y; z ), v = ( x '; y '; z ') z r r 1. ur =rv ⇔ x = x '; y = y '; z = z ' 2. u ±r v = ( x ± x '; y ± y '; z ± z ') r = (kx; ky; kz ) 3. ku k ( 0;0;1) u rr 4. ur.v =r xx '+ yy '+ zz ' r 5. u ⊥ v ⇔ xx '+ yy '+ zz ' = 0 r j ( 0;1;0 ) y 6. u = x + y + z 2 r r 2 2 u r r r r r 8. u, v cùng phương⇔ [u, v] = 0 9. O  y z z x x y  7. u, v  =  y ' z ' ; z ' x ' ; x ' y ' ÷÷ = ( yz '− y ' z; zx '− z ' x; xy '− x ' y )   ur r r r u.v cos u , v = r r ( ) u.v x r i ( 1;0;0 ) . D. Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) uuur 1. AB = ( xB − x A ; yB − y A ; zB − z A ) 2. AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB 3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có: − y A )2 + ( zB − z A )2 x A + xB + xC y +y +y z +z +z ;yG= A B C ; zG= A B C 3 3 3 x A − kxB y A − ky B z A − kz B ; yM = ; zM = ; 4. M chia AB theo tỉ số k: xM = 1− k 1− k 1− k x +x y +y z +z Đặc biệt: M là trung điểm của AB: xM = A B ; yM = A B ; zM = A B . 2 2 2 uuur uuur u u u r u u u r r 1 5. ABC là một tam giác⇔  AB, AC  ≠ 0 khi đó S= 2  AB, AC  uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur 6. ABCD là một tứ diện⇔  AB, AC  . AD ≠0, VABCD= 6  AB, AC  .AD hoặc xG= 1 V= 3 S .h (S là I. Mặt phẳng diện tích đáy, h là chiều cao) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG r Mặt phẳng α được xác định bởi: {M(x0;y0;z0), n = ( A; B; C ) }. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax0+By0+Cz0+D=0 hay A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0⇔ Ax+By+Cz+D=0. * Một số mặt phẳng thường gặp: a) Mặt phẳng (Oxy): z = 0; mặt phẳng (Oxz): y =uuu0; mặt phẳng (Oyz): x = 0. r r uuur b) Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có n( ABC ) = [ AB, AC ] uur uur c) (α)//(β)⇒ nα = nβ uur uur d) (α)⊥(β)⇒ nα = uβ và ngược lại uur uur e) (α)//d ⇒ uαuur= uduur f) (α)⊥ d ⇒ nα = ud . Các chuyên đề ôn thi 31 II. Đường thẳng uur Đường thẳng ∆ được xác định bởi: {M(x0;y0;z0), u∆ =(a;b;c)}  x = x0 + at  i) Phương trình tham số:  y = y0 + bt ;  z = z + ct 0  x − x0 y − y0 z − z0 = = ii) Phương trình chính tắc: a b c  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 trong 2 y + C2 z + D2 = 0  2 uur uuruu r u∆ = [n1 n2 ] . iii) Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng:  A x + B III. GÓC- KH/C Đường congIV. uu r uu r n1 = ( A1 ; B1 ; C1 ) , n2 = ( A2 ; B2 ; C2 ) là y = 0 †Chú ý: b/ x = 0 a/ Đường thẳng Ox:  z = 0 ; Oy:  r uuur (AB): u AB = AB ; c/ ; x = 0 ; Oz:  y = 0   z = 0 uur uur uur uur ∆1//∆2⇒ u∆ 1 = u∆ 2 ; d/ ∆1⊥∆2⇒ u∆ 1 = n∆ 2 Góc giữa hai đường thẳng *cos(∆,∆’)=cosϕ= ur uur u.u ' r uu r u . u' hai VTPT và VTCP Góc giữa hai mp *cos(α,α’)=cosϕ= đó ur uur n.n ' r uu r n . n' . Góc giữa đường thẳng và mp *sin(∆,α)=sinψ= ur r n.u r r n.u . ; KHOẢNG CÁCH Cho M (xM;yM;zM), (α):Ax+By+Cz+D=0, ∆:{M0(x0;y0;z0), * Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α): d(M,α)= * Khoảng cách * Khoảng cách r uu r u ∆ }, ∆’ {M’0(x0';y0';z0'), u '∆ } AxM + ByM + Cz M + D A2 + B 2 + C 2 uuuuur r [ MM 1 , u ] r từ M đến đường thẳng ∆: d(M,∆)= u r uu r uuuuuuuu r [u , u '].M 0 M '0 uu r uu r giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)= [u , u '] PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Mặt cầu (S){I(a;b;c),bán kính R} Dạng 1: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 (S) Dạng 2: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 khi đó R= a 2 + b2 + c2 − d a) d(I, α)>R: (α) ∩ (S)=∅ b) d(I, α)=R: (α) ∩ (S)=M (M gọi là tiếp điểm) *Điều kiện để mặt phẳng (α) tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R (mặt phẳng (α) là tiếp uur uuur diện của mặt cầu (S) tại M khi đó nα = IM ) 3) Nếu d(I, α)[...]... 6/ J 6 = ∫ x( 2 − ln x ) dx ĐS: J 6 = 3e 2 − 5 4 7/ J 7 = ∫ x 2 ln xdx ĐS: J 7 = 2e 2 + 1 9 1 e 1 e 1 Các chuyên đề ôn thi 26 −Hết− Chuyên đề 5: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH (15 TIẾT) HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG A LÝ THUYẾT I Tọa độ 1 Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đôi một vuông góc với nhau với hai vectơ r ur r r đơn vị i , j ( i = j = 1) uu r ur r uu r uuuuu r u r uu r OM = xi + y j 2 a =... tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5 ĐS: (C1): (x−2)2+(y−1)2 =1 hoặc (x−2)2+ (y−7)2 = 49 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT Các chuyên đề ôn thi 30 A Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba r ur ur r r ur vectơ đơn vị i , j , k ( i = j = k = 1) uu r uu r uuuuu r uu r ur r uu r u r uu r OM = xi + y j + zk... ta làm như sau: Các chuyên đề ôn thi 32 a) Tìm r = R 2 - d 2 ( I , α ) b) Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với (α) +H = ∆ ∩ (α) (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với (α)) Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho A(-2;0;1); B(0;10;3); C(2;0;-1); D(5;3;-1) a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua D và vuông góc với mp (ABC) c) Viết... đề ôn thi ĐS: m ≥ 18 17  x 2 + y 2 = 16 2  x − y = m ĐS: − 4 2 ≤ m ≤ 4 2 x 2 + y 2 = 1 3  x − y = m ĐS: − 2 ≤ m ≤ 2 Chuyên đề 3: LƯỢNG GIÁC (5 TIẾT) A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1 Hệ thức LG cơ bản sin 2 α + cos 2 α = 1 tan α cot α = 1 cos α cot α = ( α ≠ kπ ) sin α 1 = cot 2 α + 1 ( α ≠ kπ ) 2 sin α π    α ≠ + kπ ÷ 2   1 π   = tan 2 α + 1 α ≠ + k π ÷ 2 2 cos α   tan α = sin α cos α 2 Công... cos x + 1 = 0 π 4 ĐS: x = − + kπ , (k ∈ ¢ ) e Phương trình lượng giác không mẫu mực Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích Ví dụ 1: Giải phương trình: cos3x – cos4x + cos5x = 0 Giải cos3x – cos4x + cos5x = 0 ⇔ cos3x + cos5x = cos4x ⇔ 2cos4xcosx = cos4x ⇔ cos4x(2cosx – 1) = 0 Các chuyên đề ôn thi 20 π π π   cos 4 x = 0 x = 8 + k 4  4 x = 2 + kπ ⇔ ⇔ ⇔ cos... 8 ĐS: I = 15 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức: b ò udv = uv b b a - a ò vdu (1) a Công thức (1) còn được viết dưới dạng: b b ò f(x)g (x)dx = f(x)g(x) / b a - a ò f (x)g(x)dx (2) / a Phương pháp giải toán b Giả sử cần tính tích phân ò f(x)g(x)dx ta thực hiện a Bước 1 Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và b vi phân du = u/ (x)dx không quá phức tạp Hơn nữa, tích phân... biết đỉnh S(9; 0; 0) 3 Trong không gian Oxyz cho điểm I(-3; 1; 2) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z -13 = 0 a Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua I và vuông góc với mp (P) b Tìm tọa độ điểm J đối xứng của điểm I qua mặt phẳng (P) x +1 y + 3 z + 2 = = 4 Trong không gian Oxyz cho điểm A(3; 2; 0) và đường thẳng d: 1 2 2 ( α ) a Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng d b... đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) ĐS: 5 1  D  ; ; −1÷ 2 2  7 (Khối D_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D ĐS: a 2 2 2 x +y +z −3x−3y−3z=0 8 (Khối D_2004) Các chuyên đề ôn thi 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z−2=0... = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và b vi phân du = u/ (x)dx không quá phức tạp Hơn nữa, tích phân ò vdu phải tính được a Bước 2 Thay vào công thức (1) để tính kết quả Đặc biệt: Các chuyên đề ôn thi 24 b b b ò P(x) sinaxdx, ò P(x) cosaxdx, ò e ax i/ Nếu gặp a a P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt a u = P(x) b ii/ Nếu gặp ò P(x) ln xdx thì đặt u = ln x a 1 2x Ví dụ... -4 -4 -5 -5 -6 -6 -7 -7 -8 1 y=   3 1 x x 2 3 -8 -9 -9 -10 -10 -11 -11 -12 -12 -13 -13 -14 -14 -15 -15 II Hàm số lgarit x > 0 • y=logax, ĐK: 0 < a ≠ 1 ; D=(0;+∞)  • Bảng biến thi n a>1 x 0 +∞ y Các chuyên đề ôn thi 0 ... cực đại xi  Nếu y”(xi) > hàm số đạt cực tiểu xi Các chuyên đề ôn thi Chú ý: Nếu hàm số có đạo hàm khoảng (a; b) đạt cực đại hay cực tiểu x f’(x0) = ( Điều ngược lại chưa đúng) Dạng 1: Bài toán. .. e Các chuyên đề ôn thi 26 −Hết− Chuyên đề 5: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH (15 TIẾT) HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG A LÝ THUYẾT I Tọa độ Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đôi vuông góc với với hai... (x−2)2+(y−1)2 =1 (x−2)2+ (y−7)2 = 49 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT Các chuyên đề ôn thi 30 A Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vuông góc với với ba r ur ur r r ur vectơ