1. Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính r.
Phương trình:
Dạng 1: ( ) (2 )2 2
x a− + y b− =r .
Dạng 2: x2 + y2 −2ax−2by d+ =0, điều kiện a2 +b2 − >d 0 và r= a2 +b2 −d .
2. Điều kiện để đường thẳng ∆: Ax By C+ + =0 tiếp xúc với đường tròn (C) là:( , ) Aa Ba C2 2 ( , ) Aa Ba C2 2 d I r A B + + ∆ = = +
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(-1;2), B(2;1) và C(2;5).
a) Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC. Tính độ dài các đoạn thẳng AB và AC.
b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải
a) Phương trình tham số Đường thẳng AB
Ta có: AB (3, 1)uuur= − là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Vậy phương trình tham số của đường thẳng AB là: x 1 3t t
y 2 t= − + = − + ∈ = − ¡ Đường thẳng AC
Ta có: AC (3,3)uuur= là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC. Vậy phương trình tham số của đường thẳng AC là: x 1 3t t
y 2 3t = − +
∈
= +
¡
Độ dài đoạn thẳng AB: AB = 10
Các chuyên đề ôn thi 28
a n ∆ (C) r ∆ I M
Độ dài đoạn thẳng AC: AC = 3 2
b) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi (C) là phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (C): x2 + y2 -2ax – 2by + c = 0 (*) A (C)∈ ⇔ 5 +2a – 4b + c = 0 (1) B (C)∈ ⇔ 5 - 2a – 2b + c = 0 (2) C (C)∈ ⇔ 29 - 4a – 10b + c = 0 (3) Giải (1), (2), (3) ta được a = 1; b = 3; c = 5 Vậy (C) : x2 + y2 - 2x - 6y+5 = 0 B. BÀI TẬP
1. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2;3) và B(−2;1). a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. b. Viết phương trình đường tròn đường kính AB.
c. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm nằm trên trục hoành.
d. Viết phương trình đường tròn qua ba điểm O, A, B.
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(0;1), B(1;0) và đường thẳng d: x+y+2 = 0.
a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
b. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm nằm trên đường thẳng d.
3. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(0;1), B 1; 1 , C 2;0 .( − ) ( )
a. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ I.
b. Viết phương trình đường tròn có tâm B và tiếp xúc với AC. c. Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A, B, C.
4. Trên mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(−1;2), B(2;1) và C(2;5). a. Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC.
b. Viết phương trình đường cao dạng tổng quát hạ từ đỉnh A của tam giác ABC. c. Tính khoảng cách từ điểm B đến đường cao AH của tam giác ABC.
5. Trên mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(1; 4) và đường thẳng d: 4x + y – 17 = 0
a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A và song song với đường thẳng d.
b. Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho tam giác OAB cân tại O.
6. (ĐH_CĐ Khối D_2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có
M(2;0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x−2y−3=0 và 6x−y−4=0. Viết phương trình đường thẳng BC và đường thẳng AC.
ĐS: BC: x + 6y+9 = 0; AC: 3x−4y+5=0 7. (Khối A_2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2),
B(−2;−2) và C(4;−2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M,
N. ĐS: x2 + y2 −x + y − 2 = 0
8. (Khối A_2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng d1: x + y + 3 = 0,
d2: x−y−4=0, d3: x−2y=0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2.
ĐS: M1(−22;−11), M2(2;1) 9. (Khối A_2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(0;2) và
(− 3;−1)
B . Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. ĐS:
( 3;−1) (,I − 3;1)
H
10.(CĐ Khối B_2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(−1; −2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x+y−9=0 và x+3y−5=0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B. ĐS:
A(1;4), B(5;0).
11. (Khối B_2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;1) và B(4;−3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x−2y−1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. ĐS: ( ) − − 11 27 ; 11 43 , 3 ; 7 2 1 C C
12.(Khối B_2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5. ĐS: (C1): (x−2)2+(y−1)2 =1 hoặc (x−2)2+ (y−7)2 = 49
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với bavectơ đơn vị i j kr ur ur, , (ri = = =rj kur 1). vectơ đơn vị i j kr ur ur, , (ri = = =rj kur 1).
B. auur=(a a a1; ;2 3)⇔aur=a i a j a k1r+ 2uur+ 3uur; M(x;y;z)⇔OMuuuuur=xiur+y juur+zkuur
C. Tọa độ của vectơ: cho ur=( ; ; ),x y z vur=( '; '; ')x y z
1. u vr r= ⇔ =x x y y z z'; = '; = '2. u vr r± = ±(x x y y z z'; ± '; ± ') 2. u vr r± = ±(x x y y z z'; ± '; ± ') 3. kur=( ; ; )kx ky kz 4. u v xxur r. = '+yy'+zz' 5. u vr⊥ ⇔r xx'+ yy'+zz' 0= 6. ur = x2+y2+z2 7. , ; ; ( ' ' ; ' ' ; ' ' ) ' ' ' ' ' ' ÷= − − − r r = y z z x x y ÷ yz y z zx z x xy x y u v y z z x x y 8. u vur r, cùng phương⇔[ , ] 0u vr r =r 9. cos ,( ) . . u v u v u v = ur r r r r r .