TÀI LIỆU 7 ĐIỂM MÔN TOÁNTHẦY NGUYỄN THANH TÙNG

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan TÀI LIỆU ĐIỂM MÔN TOÁN (PHẦN 1) GV: Nguyễn Thanh Tùng CHUYÊN ĐỀ : SỐ PHỨC DẠNG 1: THỰC HIỆN CÁC PHÉP TOÁN Để làm tốt DẠNG bạn cần thực thành thạo phép toán sau: Ví dụ minh họa Bài Hãy viết biểu thức sau dạng số phức a  bi (a, b  ) 2(2  3i)  i  i  2i A  (1  2i )(3  i)  B    2i   1 i 1 i  i 1 i (2  i)5 (1  i)6  C  D  i 2015  i 2016  (1  i)2016 (1  2i)3 (1  i)5 E   i  i   i 2015  i 2016 Giải 2(2  3i) 2(2  3i)(1  i)   2i  (3  2)  (1  6)i    2i A  (1  2i)(3  i)  1 i (1  i)(1  i) 2(5  i)   5i  2   2i   5i  (5  i)   2i   2i 1  i  i  2i (1  i) (3  i)(2  i) (1  2i)(1  i) 2i  i  i      B       i  i  i  i (1  i)(1  i) (2  i)(2  i) (1  i)(1  i) 10 10  (1  i)  (2  i)5 (1  i)6   i   1 i   (2  i )(1  2i)    C   (2  i)    (1  i)    (3  4i)    (1  i) (1  2i)3 (1  i)5   2i   1 i     3 5  5i   2i     (3  4i)    (1  i)  i (3  4i)  i (1  i)  i(3  4i)  i(1  i)   4i 5 2 Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN 1008 D  i 2015  i 2016  (1  i)2016  (i )1007 i  (i )1008  (1  i)   facebook.com/ThayTungToan  (1)1007 i  (1)1008  (2i)1008   i   21008.(i )504  i 1  21008  21008   i E   i  i   i 2015 i 2016 Cách 1: Ta có E   i  i   i 2015  i 2016 (1) Suy iE  i  i  i  i 2016  i 2017 (2) Lấy (1) – (2) ta được: (1  i) E   i 2007   (i )1008 i   i  E    0.i Cách 2: E tổng cấp số nhân với số hạng đầu u1  công bội q  nên ta có:  qn  i 2017  (i )1008.i 1 i E  u1     Vậy E    i 1 q 1 i 1 i 1 i Bài Cho số phức z  1 i Tính giá trị biểu thức: A   iz 2015 1 i Giải  i (1  i)2 2i    i  z 2015  i 2015  (i )1007 i  (1)1007 i  i 1 i 2 2013  A   iz   i    Vậy A  Ta có: z  DẠNG 2: TÌM SỐ PHỨC VÀ CÁC ĐẠI LƢỢNG ĐẶC TRƢNG PTOÁN Nội dung toán: Xác định số phức z đại lượng đặc trưng thỏa mãn điều kiện (*) cho trước Trƣờng hợp 1: Trong (*) phương trình có mặt z ( z ) Phƣơng pháp giải:  Bƣớc 1: Giải phương trình với ẩn z (hoặc z ) , suy z (hoặc z )  Bƣớc 2: Dựa vào yêu cầu toán, suy đáp số Ví dụ minh họa 2(1  2i)   8i Tìm môđun số phức w  z   i 1 i Phân tích Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn (2  i) z  2(1  i)   8i chứa z nên ta thực phép toán  z  a  bi 1 i +) Suy w  z   i  w +) Điều kiện (2  i) z  2(1  2i)(1  i) 2(1  2i)   8i   8i  (2  i) z  (1  i)(1  i) 1 i 2(3  i )  (2  i ) z    8i  (2  i ) z   7i Giải: Ta có: (2  i) z  Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN  7i (4  7i)(2  i) 15  10i z     2i 2i 5 facebook.com/ThayTungToan  w  z   i   2i   i   3i  w  42  32  Vậy w  Ví dụ Cho số phức z có phần ảo âm thỏa mãn z  z  13  Tính môđun số phức: w  z  z i Giải Phương trình z  z  13  có biệt thức  '   13  4  4i nên phương trình có hai nghiệm : 6 6(3  i) 24  24     z   2i  w  z    2i    2i    i  w        Vậy w  z i 3i 10 5   5 2 Ví dụ Giải phương trình z  3(1  i) z  5i  tập hợp số phức Giải Phương trình z  3(1  i) z  5i  có biệt thức  '  9(1  i)2  20i  2i  (1  i)2 3(1  i )  (1  i )   1  2i  z1  nên phương trình có nghiệm :   z  3(1  i )  (1  i)  2  i  2 Chú ý : Việc viết : 2i  (1  i) phần tính  toán hiểu theo hướng +) Hướng : Vì ta quen thuộc với công thức : (1  i)2  2i a  b  a  +) Hướng : Ta chọn a, b thỏa mãn 2i  (a  bi )2  a  b  2abi   “chọn”:  b  1 ab  1  1.(1) +) Hướng : (Đây hướng tổng quát – không nhìn thấy theo Hướng 1, Hướng 2) Gọi a  bi bậc hai 2i  (a  bi)2  2i  a  b  2abi  2i a  b  a  b  a  b  a  1; b  1     2ab  2 ab  1 ab  1  a  1; b  3(1  i)  (1  i)   1  2i  z1  Vậy bậc hai 2i :  i 1  i nên phương trình có nghiệm :   z  3(1  i)  (1  i)  2  i  2 Ví dụ Giải phương trình ẩn z sau tập số phức : z   7i  z  2i z i Giải +) Điều kiện : z  i +) Với điều kiện : z   7i  z  2i  z   7i  ( z  i)( z  2i)  z  (4  3i) z   7i  z i phương trình có biệt thức   (4  3i)2  4(1  7i)   24i   28i   4i  (2  i) Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan a  b  (Làm nháp: Nhẩm a, b thỏa mãn   a  2; b  1 ) ab  2  1.(2)  2.(1) 2 (4  3i)  (2  i)  z   3i  nên phương trình có hai nghiệm :  (thỏa mãn điều kiện), suy  z  (4  3i)  (2  i)   2i  z   i  z   2i  DẠNG 2: TÌM SỐ PHỨC VÀ CÁC ĐẠI LƢỢNG ĐẶC TRƢNG PTOÁN Nội dung toán: Xác định số phức z đại lượng đặc trưng thỏa mãn điều kiện (*) cho trước Trƣờng hợp 2: Trong (*) có chứa f ( z, z ) có dấu môdun " " Sơ đồ giải Ví dụ minh họa Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn 5( z  i)   i Tính môđun số phức w   z  z z 1 Phân tích 5( z  i)   i chứa đồng thời z z hay chứa f ( z, z ) nên gọi z  a  bi (a, b  R) z 1 a  ? 5( z  i)   i biến đổi dạng z1  z2   +) Từ điều kiện  z  w  1 z  z2  w z 1 b  ? +) Trong điều kiện Giải Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng +) Gọi z  a  bi (a, b  R) , z  1 HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan 5( z  i)   i  5( z  i)  ( z  1)(2  i)  5(a  bi  i)  (a  bi  1)(2  i) (*) z 1 5a  2a  b  3a  b  a  (*)  5a  5(b  1)i  (2a   b)  (a   2b)i     5(b  1)  a  2b  a  7b  6 b  +) Khi đó:  z   i  w   z  z    i  (1  i)2   3i  w  22  32  13 Vậy w  13 Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn: z  z số ảo Phân tích +) Trong điều kiện z  chứa dấu " " , cụ thể z nên gọi z  a  bi (a, b  R)  f ( a, b)  a  ? +) Từ hai điều kiện z  z số ảo    z  f (a, b)  b  ? Giải +) Gọi z  a  bi (a, b  R)  z   a  b2   a  b2  (1) +) Ta có: z  (a  bi)2  a  b2  2abi số ảo  a  b2   b2  a (2)  a   b  1 Thay (2) vào (1): 2a     a  1  b  1 Vậy số phức cần tìm là:  i;  i; 1  i; 1  i Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn ( z  1)( z  2i) số thực z   Giải +) Gọi z  a  bi (a, b  R)  ( z  1)( z  2i)  (a  bi  1)(a  bi  2i)  [(a  1)  bi][a  (b  2)i]  [a(a 1)  b(b  2)]  [ab  (a 1)(b  2)]i ( z  1)( z  2i) số thực  [ab  (a 1)(b  2)]   2a  b   (1) Ta có: z    a   bi   (a  1)  b2   (a  1)  b2  (2) a   b  Từ (1)  b   2a thay vào (2) ta được: (a  1)2  (2a  2)   a  2a     a   b  2 Vậy số phức cần tìm là: 2i ;  2i Ví dụ Trong số phức thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i Tìm số phức z có môđun nhỏ Giải Cách 1: Gọi z  a  bi (a, b  R)  z   4i  z  2i  (a  2)  (b  4)i  a  (b  2)i  (a  2)2  (b  4)2  a  (b  2)2  4a  8b  20  4b   b   a Khi z  a  b2  a  (a  4)2  2(a  4a  8)  2(a  2)2    z  2 a    a   b  Vậy số phức z   2i (xem thêm Cách DẠNG – Loại 1) Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan DẠNG 3: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC VÀ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM Loại 1: Biểu diễn hình học số phức Phƣơng pháp giải: Sử dụng kiến thức: “ Một số phức z  x  yi ( x, y   ) biểu diễn điểm M ( x; y) tọa độ phức Oxy ngược lại” Ví dụ minh họa Ví dụ Xét điểm A,B,C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số 4i  6i ;(1  i)(1  2i); i 1 3i a.Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông cân b.Tìm số phức biểu diễn điểm D, cho ABCD hình vuông Giải 4i 4i(1  i)    2i  A(2; 2) ; (1  i)(1  2i)   i  B(3;1) i 1 2  6i (2  6i)(3  i) 20i    2i  C (0; 2) 3i 10 10    AB  CB  10  AB  (1;3)  a Khi :   , suy tam giác ABC vuông cân B (đpcm)      AB.CB  CB  (3; 1)    b Gọi D(x; y)  DC  ( x;2  y)    x   x  1 Vì tam giác ABC vuông cân B nên ABCD hình vuông : DC  AB    2  y   y  1 Vậy số phức biểu diễn điểm D(1; 1) là: 1  i Ta có: Ví dụ Trong số phức thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i Tìm số phức z có môđun nhỏ Giải Cách 1: (Các bạn xem lại cách giải theo phương pháp đại số thuộc Ví dụ DẠNG – Trƣờng hợp 2) Cách 2: +) Gọi điểm M (x; y) biểu diễn số phức z  x  yi ( x; y  R) +) Ta có: z   4i  z  2i  ( x  2)  ( y  4)i  x  ( y  2)i  ( x  2)2  ( y  4)2  x  ( y  2)2  4 x  y  20  4 y   x  y   Vậy M thuộc đường thẳng d có phương trình: x  y   (*) +) Ta có: z  OM  z  OM  OM  d      OM ud   x  y  (2*) (với OM  (x; y ), u d  (1; 1) ) x  y   x  Từ (*) (2*) suy ra:   M (2; 2) hay số phức z   2i  x  y  y    Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan DẠNG 3: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC VÀ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM Loại 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Phƣơng pháp giải:  Bƣớc 1: Gọi M ( x; y) điểm biểu diễn số phức z  x  yi ( x, y   )  Bƣớc 2: Cắt nghĩa toán để tìm mối liên hệ x y Cụ thể ta có đẳng thức f ( x; y)  dạng sau:  ax  by  c  : Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng     x2  y  ax  by  c  (hoặc ( x  x0 )2  ( y  y0 )2  R2 ): Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn y  ax  bx  c : Tập hợp điểm biểu diễn số phức z parabol x2 y   : Tập hợp điểm biểu diễn số phức z elip a b2 … Ví dụ minh họa Ví dụ (D – 2009 ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z  (3  4i)  Giải Gọi M (x; y) điểm biểu diễn số phức z  x  yi ( x; y  R) mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có: z  (3  4i)   x  yi  (3  4i)   ( x  3)  ( y  4)i   ( x  3)2  ( y  4)2   ( x  3)2  ( y  4)2  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (3; 4) bán kính R  Ví dụ (B – 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z  i  (1  i) z Giải Gọi M (x; y) điểm biểu diễn số phức z  x  yi ( x; y  R) mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có: z  i  (1  i) z  x  yi  i  (1  i)( x  yi)  x  ( y  1)i  ( x  y)  ( x  y)i  x2  ( y  1)2  ( x  y)2  ( x  y)2  x  y  y   x  y  x2  ( y  1)2  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (0; 1) bán kính R  Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z   i  z  a Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z b Trong số phức z thỏa mãn điều kiện trên, tìm số có môđun bé Giải a) Gọi M (x; y) điểm biểu diễn số phức z  x  yi ( x; y  R) mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có: z   i  z   x  yi   i  x  yi   ( x  3)  ( y  1)i  ( x  2)  yi  ( x  3)2  ( y  1)2  ( x  2)2  y Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN  6 x  y  10  x   5x  y   facebook.com/ThayTungToan Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng d có phương trình: 5x  y   (*) b) Cách (Phương pháp đại số) Từ (*) ta có: y  5x   z  x  y  x  (5x  3)2  26 x  30 x  b 15 3 từ suy ra: y  x    2a 26 26 15 Vậy số phức có môđun nhỏ là: z   i 26 26 Cách (Phương pháp hình học)  Nên: z 26 x  30 x   x  Đường thẳng d có phương trình: 5x  y   có véctơ phương ud  (1;5)    Ta có: z  OM  z  OM  OM  d  OM ud   x  y  (2*) (với OM  (x; y ) )  x  15 5 x  y    15   15 26  M  ;   hay số phức z  Từ (*) (2*) suy ra:    i 26 26  26 26  x  y   y  3 26 (1  i) z  1 1 i a Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z b Trong số phức z thỏa mãn điều kiện trên, tìm số có môđun lớn số có môđun nhỏ Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn Giải a Gọi M (x; y) điểm biểu diễn số phức z  x  yi ( x; y  R) mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có: (1  i) z (1  i )2 z  1    iz   1 i  i( x  yi)    ( y  2)  xi   ( y  2)2  x   ( y  2)2  x2  (*) Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (2;0) có bán kính R  b Cách (Phương pháp đại số) Từ (*)  ( y  2)2   1  y     y  (1) Mặt khác từ (*) ta có: x2  y  y  (2) Từ (1) (2) suy ra:  x  y  hay  z    z  Do đó: z  y  x  hay số phức có môđun nhỏ là: z  i Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN z max  y  x  hay số phức có môđun lớn là: z  3i facebook.com/ThayTungToan Cách (Phương pháp hình học) CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ DẠNG 1: BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM (Phần 1) Bài toán Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  thỏa mãn điều kiện (*) cho trước SƠ ĐỒ GIẢI ( Nghĩa là: Khi điểm M thuộc đường thẳng, ta tham số hóa điểm M để M phụ thuộc vào ẩn t Sau cắt nghĩa toán để thiết lập phương trình f (t )  , tìm t suy tọa độ điểm M ) Chúng ta chia thành bước cụ thể sau:  x  x0  at  Bước 1: Do M   :  y  y0  bt  M ( x0  at ; y0  bt ; z0  ct )  z  z  ct  Bước 2: Cắt nghĩa điều kiện (*) ta phương trình f (t )   t  M Ví dụ minh họa Ví dụ Cho đường thẳng  : x 1 y 1 z   hai điểm A(1; 1; 2) , B(2; 1;0) Xác định tọa độ điểm M 1 thuộc  cho : 1) Tam giác AMB vuông M 2) Tứ diện OABM tích 3) MA2  2MB2 nhỏ Giải Gọi M (1  2t; 1  t; t)  d , đó: Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN   MA  (2t; t;  t ) 1)   Tam giác AMB vuông M nên :  MB  (1  2t; t; t ) facebook.com/ThayTungToan  M (1; 1;0) t    2 MA  MB  2t (1  2t )  t  (2  t )t   6t  4t        M  ;  ;  t    3        OA  (1; 1; 2) 2) Ta có OM  (1  2t; 1  t; t )  d    OA, OB   (2; 4;1)  OB  (2; 1;0)    Suy ra: OA, OB  OM  2(1  2t )  4(1  t )  t  t  t 2 t  1  M (1;0; 1) 1      Khi VOABM   OA, OB  OM    6 t   M (11; 6;5)  1 3) Ta có: MA  2MB  4t  t  (t  2)  (2t  1)  t  t   18t  12t   18  t      3 5 1 Suy MA2  2MB  t  hay M  ;  ;   3 3 2  2 2 2  Ví dụ Cho mặt phẳng  P  : x  y  z   đường thẳng d :  P x  y 1 z   Tìm tọa độ giao điểm 2 1 d ; tìm tọa độ điểm A thuộc d cho khoảng cách từ A đến  P  Giải Giả sử M  d   P  Vì M  d nên M  t  2; 2t  1; t  Mặt khác M   P  nên suy  t  2   2t  1   t     t  1 , suy M 1;1;1 Ta có A  d nên A  a  2; 2a  1; a  Khi d  A;  P      a  2   2a  1   a   12  12  12 a    a 1     a  4 Suy A  4; 5; 2  A  2;7;4  Ví dụ (A,A1 – 2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : x  y 1 z    3 2 điểm A(1;7;3) Tìm tọa độ điểm M thuộc  cho AM  30 Giải Do M   , suy M (6  3t; 1  2t; 2  t ) Có: AM  30  AM  120  (3t  5)2  (2t  8)2  (t  5)  120  M (3; 3; 1) t   51 17    7t  4t       51 17  Vậy M (3; 3; 1) M  ;  ;   M  ;  ;   t   7 7 7    Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Giải    BC  (0;1;1)      1) Ta có    n( BCD )   BC , BD   (1;1; 1) BD  (1;0;1)        MA  Oy Do   uMA   n( BCD ) , j   (1;0;1) với j  (0;1;0)  MA / /( BCD) x  1 t   Suy phương trình MA :  y   M (1  t;0; t )  AM  (t;0; t ) z  t         AB  (0;0; 2)  Ta có     AB, AC   (2;0;0)   AB, AC  AM  2t   AC  (0;1; 1) 2t  M (4;0;3)    VMABC    AB, AC  AM     t  3   6  M (2;0; 3) 2) Gọi I (x; y; z ) tâm mặt cầu ( S ) qua điểm A, B, C, D Khi : IA  IB  IC  ID  IA2  IB ( x  1)2  y  z  ( x  1)  y  ( z  2)     IA2  IC  ( x  1)2  y  z  ( x  1)  ( y  1)  ( z  1)  IA2  ID ( x  1)2  y  z  ( x  2)2  y  ( z  1)    z  1 x      y  z    y   I (1;0; 1)  R  IA  x  z   z  1   Vậy phương trình mặt cầu (S ) : ( x 1)2  y  ( z  1)2  Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) mặt phẳng ( ) : x  y   Tìm toạ độ điểm M biết M cách điểm A, B, C mặt phẳng ( ) Giải Giả sử M ( x; y; z ) Khi từ giả thiết ta có: MA  MB  MC  d (M ,( ))  ( x  1)2  y  z  x  ( y  1)2  z  x  ( y  3)  ( z  2)   ( x  1)  y  z  x  ( y  1)  z    x  ( y  1)  z  x  ( y  3)  ( z  2)  ( x  1)  y  z  ( x  y  2)  x  2y  (1) y  x (2) Từ (1) (2) suy  z   x (3)  M (1;1; 2) x     23 23 14  Thay vào (3) ta 5(3x  8x  10)  (3x  2)   23 M  ; x  ;    3 3  2 Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan DẠNG 2: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG SƠ ĐỒ GIẢI ( Nghĩa là: Để viết phương trình đường thẳng  ta cần có thông số: Tọa độ điểm M mà  qua  vecto phương u Cụ thể:  Ở nhánh tìm điểm, đề cho tọa độ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) ta chuyển sang nhánh Nếu không cho ta tìm điểm M việc chuyển toán tìm điểm (xem lại học trước)   Ở nhánh tìm vecto phương u , ta dựa vào mối quan hệ song song, vuông góc, đường nằm      mặt để tìm u Nếu  //  ' u  u '  (a; b; c) ,   ( ) u  n( )  (a; b; c) , xuất   mối quan hệ “ , //,   ( ) ” ta tìm cặp vecto pháp tuyến n1 , n2 ,    u  n1 , n2   (a, b, c) Nếu đề có từ “cắt” “giao” trường hợp ta phải tìm thêm điểm thứ hai M với quy tắc “cắt đâu tìm điểm đó” việc quay nhánh Từ đây, ta tìm   u  MM  (a; b; c)   Khi có đủ thông số M ( x0 ; y0 ; z0 ) u  (a; b; c) ta viết phương trình đường thẳng   x  x0  at x  x0 y  y0 z  z0  Dạng tham số:  y  y0  bt dạng tắc: với abc  )   a b c  z  z  ct  Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Ví dụ minh họa Cho hai điểm A(1;1; 2), B(2;0;1) , đường thẳng  ' : x 1 y  z   mặt phẳng ( ) : x  y  z   Viết 1 phương trình đường thẳng  : 1) Đi qua A song song với  ' 2) Đi qua A vuông góc với ( ) 3) Đi qua trọng tâm G tam giác OAB vuông góc với mặt phẳng (OAB) 4) Đi qua A vuông góc đồng thời với AB  ' 5) Đi qua A vuông góc với  ' cắt trục Ox 6) Nằm ( ) đồng thời cắt vuông góc với  ' 7) Vuông góc với ( ) , đồng thời cắt hai đường thẳng AB  ' 8) Cắt  ' ( ) M , N cho A trung điểm MN 9) Song song với mặt phẳng ( ) , cắt hai đường thẳng OA  ' hai điểm P, Q cho PQ  P có hoành độ nguyên 10) Là đường vuông góc chung AB  ' Giải   1) Do  //  '  u  u '  (2; 1;3) vectơ phương  x 1 y 1 z  Mặt khác  qua A(1;1; 2) nên có phương trình:   1   2) Do   ( )  u  n( )  (1; 2; 1) vectơ phương   qua A(1;1; 2) nên có phương trình: x 1 y 1 z    2 1   OA  (1;1; 2)      3) Ta có    n(OAB )  OA, OB   (1; 5; 2)  OB  (2;0;1)   Do   (OAB)  u  n(OAB )  (1; 5; 2) vectơ phương  1 y z x 1  1 3  Ta có G trọng tâm tam giác OAB  G 1; ;   Khi  có phương trình: 3         AB     AB  (1; 1;3)     4) Ta có     AB, u '   (0;3;1) Do   u   AB, u '   (0;3;1) vectơ phương     ' u  (2;  1;3)    ' x    qua A(1;1; 2) nên có phương trình:  y   3t  z  2  t    5) Gọi   Ox  M   M (m ;0;0)  AM  (m  1; 1;2) Ta có u '  (2; 1;3) , đó:        '  AM u '   2(m  1)     m    M   ;0;0        AM    ; 1;     7; 2; 4     x 1 y 1 z  Vậy  qua A(1;1; 2) có vectơ phương u  (7; 2; 4) nên có phương trình:   4 Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng 6) Gọi    '  N  N (1 2t; 1 t;3 t)  ' HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Do N   ( )  N  ( )   2t  2(1  t )  3t    t  7  N (13;6; 21)         ' Ta có u '  (2; 1;3) n( )  (1; 2; 1) đó:   u  u ' , n( )   (7;5; 3) vectơ phương    ( )  x  13 y  z  21 Vậy  qua N (13;6; 21) có vectơ phương u  (7;5; 3) có phương trình:   3 x  1 t  7) Với A(1;1; 2), B(2;0;1) , suy phương trình AB :  y   t  z  2  3t   Gọi  cắt AB  ' E , F ta có n( )  (1; 2; 1)   E (1  t1;1  t1; 2 3 t1)  AB Gọi   EF  (2t  t1; t  t1  2;3t  3t1  2)  F (1  2t 2; 1  t 2;3 t 2) '   Khi   ( )  EF , n( ) phương 10  t2   3t  t  2t  t t  t  3t2  3t1    23 34   27 17 30   E  ; ; , F  ; ;   1    7   7  2 1  5t2  4t1  2 t  16  23 34 x y z     23 34   7  qua E  ;  ;  có vectơ phương u  n( )  (1; 2; 1) nên có phương trình: 7  2 1  8) Ta có    '  M   M (1  2t; 1  t;3t )  ' Do A(1;1; 2) trung điểm MN  N (1  2t; t  3; 4  3t ) Mặt khác N  ( )   2t  2(t  3)   3t    t   M (7; 4;9) x 1 y 1 z    5 11 x y z 9) Với A(1;1; 2), O(0;0;0) , suy phương trình OA :   1 2   P(a; a; 2a) OA (a  ) Gọi   PQ  (2b  a  1; b  a  1;3b  2a) Q(1  2b; 1  b;3 b) '      Do  // ( )  PQ  n( )  PQ.n( )   (2b  a  1)  2(b  a  1)  (3b  2a)  (với n( )  (1; 2; 1) )   b  a   PQ  (a  5;  2a;5a  9) Khi  qua A(1;1; 2), M (7; 4;9) nên có phương trình: Khi PQ   PQ2  32  (a  5)2  (2a  2)2  (5a  9)2  32 13 (loại)  30a2  108a  78   a  a   Với a   b  2  P(1;1; 2), Q( 3;1;  6)  PQ  (4;0; 4)  4.(1;0;1) x  1 t   Đường thẳng  qua P(1;1; 2) có vectơ phương u  (1;0;1) nên có phương trình:  y   z  2  t  Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan x  1 t  10) Với A(1;1; 2), B(2;0;1) , suy phương trình AB :  y   t  z  2  3t   Gọi I , J giao điểm  với AB  ' (với u '  (2; 1;3) )   I (1  m;1  m; 2  m)  AB Gọi   IJ  (2m  n; m  n  2;3m  3n  2)  J (1  n; 1  n;3 n) ' Khi IJ đoạn vuông góc chung, khi: I  ;  ;     m       (2m  n)  (m  n  2)  3(3m  3n  2)   2m  n   IJ AB   5 5         2(2m  n)  (m  n  2)  (3m  3n  2)  12m  11n  8 n    J  21 ;  13 ; 24   IJ u '     5  5   x     AB     Do   u   AB, u '   (0;3;1) vectơ phương  Suy phương trình  :  y    3t    '   z   t  DẠNG 3: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Phần 1) Cách đề 1: Cắt nghĩa yếu tố điểm véc tơ pháp tuyến SƠ ĐỒ GIẢI ( Nghĩa là: Khi đứng trước toán yêu cầu viết phương trình mặt phẳng ( ) ta đặt hai câu hỏi: “ Bài toán cho điểm véc tơ pháp tuyến chưa? Nếu chưa cho tìm cách nào?” Nếu câu trả lời cho câu hỏi biết, ta việc áp dụng cách viết phương trình tổng quát mặt phẳng để đưa đáp số Nếu Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan phải trả lời câu hỏi ta theo sơ đồ sau:  Nếu tìm điểm ta chuyển toán tìm điểm (các bạn xem lại học trước)  Nếu muốn khai thác véc tơ pháp tuyến đề cho theo ba hướng gián tiếp:    Hướng 1: Cho ( ) / /(  ) (  ) biết phương trình n( )  n(  )  (a; b; c)    Hướng 2: Cho phương trình đường thẳng d biết d  ( ) , lúc n( )  ud  (a; b; c)  Hướng 3: Đề cho yếu tố “mặt vuông góc với mặt, đường song song với mặt,   đường nằm mặt” ta tìm cặp véc tơ phương ( ) u1 , u2 suy    n( )  u1 , u2   (a; b; c)  Sau trả lời câu hỏi việc viết phương trình mặt phẳng lúc khó khăn nhờ công thức: a( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  ) Ví dụ minh họa Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M (1; 2;0) 1) song song với mặt phẳng ( ) : x  y  z   2) vuông góc với đường thẳng AB với A(2; 3;1), B(3;0; 2) 3) vuông góc với mặt phẳng ( P) : x  y  z   ; (Q) : x  y  z  4) song song đồng thời với trục Ox đường thẳng  : x 1 y 1 z   1 x y 1 z    3 6) qua điểm N (2; 3;1) , đồng thời : a) song song với trục Oy b) vuông góc với mặt phẳng xOy 5) chứa đường thẳng  ' : 7) qua điểm A(2; 1;2), B(3;1; 1) 8) vuông góc với mặt phẳng ( R) : x  y  3z 1  song song với đường thẳng d : x  y  z 1   2 Giải   1) Do ( ) // (  ) nên n( )  n(  )  (1; 1; 2) vectơ pháp tuyến ( ) Mặt khác ( ) qua điểm M (1; 2;0) nên suy phương trình ( ) : x   ( y  2)  z  hay x  y  z   (thỏa mãn song song với (  ) )   2) Do AB  ( )  n( )  AB  (1;3; 3) vectơ pháp tuyến ( ) Mặt khác ( ) qua điểm M (1; 2;0) nên suy phương trình ( ) : x 1  3( y  2)  3z  hay x  y  3z     3) Vectơ pháp tuyến ( P),(Q) n( P )  (1; 2;1), n(Q )  (2;1; 1) ( )  ( P)     2 1 1 2   n( )   n( P ) , n(Q )    ; ; Do    (1;3;5) vec tơ pháp tuyến ( ) (  )  ( Q )   1 1 2  Suy mặt phẳng ( ) có phương trình: x 1  3( y  2)  5z  hay x  y  5z     4) Ta có i  (1;0;0), u  (2; 1;1) vectơ phương trục Ox đường thẳng  Ox / /( )     0 1   n( )  i, u    ; ; Do    (0; 1; 1) vec tơ pháp tuyến ( )  / /( )  1 1 2 1  Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN Suy mặt phẳng ( ) có phương trình: 0( x 1)  ( y  2)  z  hay y  z   facebook.com/ThayTungToan Ox / /( ) Kiểm tra kết quả: Chọn M1 (1;0;0)  Ox M (1; 1;0)   Ta có: M1  ( ); M  ( )   (thỏa mãn)  / /( ) Vậy phương trình mặt phẳng ( ) là: y  z    5)  ' qua điểm N (0;1; 1) có vectơ phương u '  (2;1; 3)     3 3 2   M  ( ) Ta có MN  (1;3; 1) Do   n( )  u ' , MN    ; ;   (8;5;7)  '  ( )  1 1 1 1  vec tơ pháp tuyến ( ) Suy mặt phẳng ( ) có phương trình: 8( x  1)  5( y  2)  z  hay 8x  y  z     6) a) Ta có MN  (1; 1;1) j  (0;1;0) vectơ phương trục Oy    Khi ( ) có vectơ pháp tuyến : n( )   MN , j   (1;0;1) nên có phương trình : 1.( x  1)  z  hay x  z   (thỏa mãn song song với Oy )   b) Ta có MN  (1; 1;1) , k  (0;0;1) vectơ pháp tuyến mặt phẳng xOy     MN  ( ) Do   n( )   MN , k   (1; 1;0) vectơ pháp tuyến ( ) ( xOy ) / /( ) Khi ( ) có phương trình: 1.( x 1) 1.( y  2)  0.z  hay x  y     7) Ta có MA  (1;1; 2) MB  (4;3; 1)     2 2 1  Khi vectơ pháp tuyến ( ) xác định sau: n( )   MA, MB    ; ;   (5;9;7)  1 1 4 4  Suy phương trình mặt phẳng ( ) : 5( x 1)  9( y  2)  z  hay 5x  y  z  13    8) Mặt phẳng ( R) có vectơ pháp tuyến n( R )  (1;1; 3) Đường thẳng d có vectơ phương ud  (2;1; 1) ( R)  ( )     3 3 1  Do   n( )   n( R ) , ud    ; ;   (2; 5; 1) d / /( )  1 1 2  Suy phương trình ( ) : 2( x  1)  5( y  2)  z  hay x  y  z  12  Kiểm tra kết quả: Chọn điểm M (4; 1;1)  d Nhận thấy M (4; 1;1) ( ) (do 2.4  5.(1) 1 12  ) Suy d  ( ) (không thỏa mãn theo đề d // ( ) ) Vậy không tồn mặt phẳng ( ) thỏa mãn điều kiện toán  Chú ý quan trọng : Trong toán có yếu tố song song (như đường thẳng song song với mặt phẳng hai mặt phẳng song song với nhau), sử dụng tính chất song song để tìm vectơ pháp tuyến mặt phẳng cần lập, ta sử dụng điều kiện cần chưa đủ Vì trước kết luận phải có bước kiểm tra lại điều kiện đủ (điều kiện song song) để đưa đáp số xác cho toán Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan DẠNG 3: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Phần 2) Cách đề 2: Khai thác véctơ pháp tuyến yếu tố điểm SƠ ĐỒ GIẢI ( Nghĩa là: Khi toán yêu cầu viết phương trình mặt phẳng ( ) mà ta khai thác yếu tố véctơ pháp  tuyến (giống Cách đề ) mà yếu tố điểm Thì sau tìm n( )  (a; b; c) ta gọi phương trình mặt phẳng ( ) có dạng: ax  by  cz  m  Tìm cách cắt nghĩa kiện toán (thường yếu tố định lượng) để thiết lập phương trình f (m)  , tìm m suy phương trình ( ) )  CHÚ Ý: Nếu biết yếu tố điểm M mà mặt phẳng ( ) qua ( Cách đề ) ta theo sơ đồ Cách đề Bởi Bước khâu cắt nghĩa ta thay tọa độ độ điểm M vào phương trình ax  by  cz  m  dễ dàng tìm m để có phương trình mặt phẳng ( ) Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hai mặt phẳng ( P) : x  y  z   (Q) : x  y  z 1  Viết phương trình mặt phẳng ( R) vuông góc với ( P) (Q) cho khoảng cách từ (O) đến ( R) Giải   n( P )  (1;1;1) n(Q )  (1; 1;1) vectơ pháp tuyến ( P) (Q) Do ( R) vuông góc đồng thời với ( P) (Q) nên ( R) có vectơ pháp tuyến:    n( R )  n( P ) , n(Q )   (2;0; 2)  2.(1;0; 1) Vậy phương trình ( R) có dạng: x  z  m  m Ta có: d (O;( R))     m  2  m  2 12  12 Vậy phương trình ( R) : x  z  2  x  z  2  Ví dụ Cho phương trình mặt phẳng ( P) : x  y  z  10  , đường thẳng  : x 1 y z  mặt   1 3 cầu (S ) : x2  y  z  x  y  z   Viết phương trình: 1) mặt phẳng ( ) vuông góc với ( P) , song song cách  khoảng 2) tiếp diện ( S ) song song với ( P) Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Giải   1) Ta có n( P )  (2; 1; 2) , u  (1;1; 3) vectơ pháp tuyến, phương ( P)  ( )  ( P)    Vì   n( )   n( P ) , u   (5; 4;3) vectơ pháp tuyến ( ) ( ) / /  Khi mặt phẳng ( ) có dạng: 5x  y  3z  m   m  11  m   10   52  42  32  m  9 Vậy mặt phẳng ( ) có phương trình : 5x  y  3z  11  5x  y  3z     2) Gọi (  ) tiếp diện ( S ) Do ( ) / /( P)  n(  )  n( P )  (2; 1; 2) Chọn M (1;0; 2)   d  ,( )   d  M ,()  (  // ( ) )   56 m Khi mặt phẳng (  ) có dạng : x  y  z  m  với m  10 Với mặt cầu ( S ) ta có tâm I (1; 1; 2) bán kính R  (  ) tiếp diện ( S )  d  I ,(  )   R  1  m   m    m  8 m  10 (loại) 22  12  22 Vậy tiếp diện ( S ) là: x  y  z   DẠNG 3: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Phần 3) Cách đề 3: Không cắt nghĩa véctơ pháp tuyến SƠ ĐỒ GIẢI Nghĩa là: Khi toán yêu cầu viết phương trình mặt phẳng ( ) mà việc khai thác kiện toán không giúp ta tìm véctơ pháp tuyến ta theo bước sau: Bước 1: Gọi dạng phương trình mặt phẳng ( ) là: ax  by  cz  d  ( với a  b2  c2  ) Trong trường hợp toán thường cho yếu tố định tính qua cách đề sau: Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan  Đề 1: Biết tọa độ điểm thuộc mặt phẳng ( )  Đề 2: Biết mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng cho trước  Đề 3: Biết ( ) qua điểm song song với đường thẳng  Đề 4: ( ) qua điểm vuông góc với mặt phẳng Bước 2: Ứng với cách đề Bước 1, giúp ta cắt nghĩa toán có hệ hai phương trình bốn ẩn Từ ta tìm cách rút ẩn theo ẩn lại để thay lại vào phương trình ( ) Bước 3: Nhờ Bước giúp ta có phương trình ( ) chứa ẩn số Lúc ta cắt nghĩa kiện lại toán (thường yếu tố định lượng) để phương trình chứa hai ẩn (ở sơ đồ ta có g (a; b)  ) Bước 4: Từ g (a; b)  ( thường phương trình đồng cấp bậc 2) giúp ta tìm mối liên hệ a, b (a  kb) Chọn a, b Suy phương trình mặt phẳng ( )  f (a; b; c; d )  CHÚ Ý: Ở Bước việc khai thác hệ  để rút ẩn theo ẩn lại  f (a; b; c; d )  (hệ hai phương trình bốn ẩn) ta “linh hoạt” với số liệu cụ thể toán Nghĩa biểu thức rút theo ẩn không theo sơ đồ ( sơ đồ ta minh họa việc rút ẩn c, d theo ẩn a, b ) Ví dụ minh họa x y 1 z  điểm A(1; 2;3) Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua   A , song song với  cách O khoảng Ví dụ Cho đường thẳng  : Giải Gọi mặt phẳng ( ) có dạng ax  by  cz  d  với a  b2  c2  +) Do A  ( )  a  2b  3c  d  (1)  n( )  (a; b; c)   +) Do  // ( )  n( ) u   4a  3b  c  (2) với   u  (4;3;1) c  4a  3b Từ (1) (2) suy :  , mặt phẳng ( ) viết lại thành: ax  by  (4a  3b) z  11a  7b  d  11a  7b 11a  7b   104a2  130ab  39b2  Ta có d (O, ( ))   2 a  b  (4a  3b)  2a  b  13(2a  b)(4a  3b)     4a  3b +) Với 2a  b , chọn a  1, b  2 , suy mặt phẳng ( ) : x  y  z   +) Với 4a  3b , chọn a  3, b  4 , suy mặt phẳng ( ) : 3x  y   Vậy phương trình mặt phẳng ( ) cần lập : x  y  z   3x  y   Ví dụ Cho tứ diện ABCD , có A(1;2;1), B(2;1;3), C (2; 1;1) D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A, B cho khoảng cách từ (C ) đến ( P) khoảng cách từ D đến ( P) Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Giải Gọi mặt phẳng ( P) có dạng: ax  by  cz  d  với a  b2  c2  3a  b  c   A  ( P) a  2b  c  d   Vì ( P) qua A(1; 2;1), B(2;1;3)      B  ( P) 2a  b  3c  d  d  5a  5b  Khi mặt phẳng ( P) viết lại thành : 3a  b 5a  5b z   2ax  2by  (3a  b) z  (5a  5b)  ( P) 2 2a  6b 2b  2a  a  2b Ta có: d (C;( P))  d ( D;( P))    a  3b  b  a   4a  4b2  (3a  b)2 4a  4b2  (3a  b)2 b  ax  by  +) Với a  2b chọn a  4; b  , suy mặt phẳng ( P) : x  y  z  15  +) Với b  chọn a  , suy mặt phẳng ( P) : x  3z    Nhận xét : Với điều kiện đặc biệt toán trên, bạn có cách giải khác là: “khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P)”  (P) song song với CD (P) qua trung điểm CD Và quay Cách đề (đây cách giải Bộ Giáo Dục – cách giải hay với số liệu trên) Nhưng khoảng cách không ? cách lại không làm Lúc phương pháp giải ví dụ phát huy tác dụng DẠNG 3: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Phần 4) Cách đề 3: Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn SƠ ĐỒ GIẢI ( Nghĩa là: Khi mặt phẳng ta cần viết qua điểm đặc biệt thuộc trục tọa độ, lúc ta nghĩ tới việc viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn theo bước trên) Ví dụ minh họa Ví dụ Cho A(0;0;3), M (1;2;0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A cắt trục Ox, Oy B, C cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Giải x  t   Ta có: AM  (1; 2; 3)  phương trình AM :  y  2t  z   3t  Gọi B(b;0;0) Ox, C(0; c;0) Oy Do G  AM  G(t;2t;3  3t ) (1) b c  Mặt khác: G trọng tâm tam giác ABC  G  ; ;1 (2) 3  b  3  t t    x y z c Từ (1) (2)    2t  b  Suy phương trình mặt phẳng (P):     x  y  z  12  3 c  1   3t     Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 Viết phương trình mặt phẳng  P  qua M cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho tam giác ABC nhận M trọng tâm Giải Gọi A(a;0;0) Ox, B(0; b;0) Oy, C(0;0; c) Oz  xA  xB  xc  3xM a   A(3;0;0)    Do M trọng tâm tam giác ABC nên ta có:  y A  yB  yc  yM  b    B(0;6;0)  z  z  z  3z c  C (0;0;9)   M  A B c x y z Khi  P  qua A, B, C nên có phương trình:    hay x  y  z 18  Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M 1; 2;1 ; N  1;0; 1 Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua M , N cắt trục Ox, Oy theo thứ tự A B (khác O ) cho AM  BN Giải Giả sử ( P) cắt Ox, Oy, Oz A  a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c  1  a  b  c  x y z    b 1 Nên ( P) có dạng  P  :    Vì ( P) qua M , N nên ta có:  1 b a b c     a c a  Mặt khác AM  3BN  AM  3BN   a  1       a  1 x y z Với a   c     P  :    1 P : x 3y 4z 3 Với a  1   (loại) 3 c Vậy phương trình mặt phẳng  P  cần lập là: x  y  z   Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan DẠNG 4: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU SƠ ĐỒ GIẢI ( Nghĩa là: Để viết phương trình mặt cầu ( S ) ta cần biết tọa độ tâm I bán kính R Hai thông số tìm sau:  Ở nhánh tìm tâm I , đề cho tọa độ điểm I ( x0 ; y0 ; z0 ) ta chuyển sang nhánh Nếu không cho, ta tìm điểm I việc chuyển toán tìm điểm (xem lại học tìm điểm)  Ở nhánh tìm bán kính R , ta gặp cách đề sau:  Cho bán kính R  Tìm bán kính R nhờ yếu tố điểm thuộc mặt ( R  IA A  (S ) )  Mặt phẳng ( ) tiếp xúc mặt cầu ( S ) bán kính R  d ( I ,( )) , đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu ( S ) bán kính R  d ( I , )  Mặt phẳng ( ) đường thẳng  cắt mặt cầu ( S ) ta dựa vào hệ thức pitago R2  h2  l để tìm bán kính R  Khi có tâm I ( x0 ; y0 ; z0 ) bán kính R , suy (S ) : ( x  x0 )2  ( y  y0 )2  ( z  z0 )2  R2 )  Chú ý: Nếu toán chưa cho tâm I việc cắt nghĩa kiện toán dựa vào sơ đồ nhánh bán kính R ) Ví dụ minh họa x 1 y z hai điểm A(2;1;0) ,   2 B(2;3; 2) Viết phương trình mặt cầu qua A, B có tâm thuộc đường thẳng d Ví dụ Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Giải Gọi mặt cầu có tâm I gọi I (2t 1; t; 2 t) d Mặt cầu qua A, B nên IA  IB  R  IA2  IB2  (2t  1)2  (t  1)2  4t  (2t  3)2  (t  3)2  (2t  2)2  6t   14t  22  t  1 Suy ra: I (1; 1; 2) bán kính R  IA  32  22  22  17 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  2)2  17 x 1 y  z   mặt phẳng ( P) : x  y  z  Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng  , bán kính tiếp xúc với mặt phẳng ( P) Ví dụ Cho đường thẳng  : Giải Gọi tâm mặt cầu cần lập là: I (2t  1;4t  3; t )  Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ( P)  d ( I ,( P))  R  2(2t  1)  (4t  3)  2t 22  12  22 t   I (5;11; 2)   2t      t  1  I (1; 1; 1) Vậy phương trình mặt cầu cần lập là: ( x  5)2  ( y  11)2  ( z  2)2  ( x  1)2  ( y  1)  ( z  1)  Ví dụ Cho mặt phẳng ( P) : x  y  z  10  điểm I (2;1;3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt ( P) theo đường tròn có bán kính Giải Gọi mặt cầu cắt ( P) theo đường tròn có tâm I ' bán kính r  Suy II '  ( P) Nên: h  II '  d ( I ;( P))     10 1  2 2  3 Theo Pitago ta có: R  r  h    25  R  Vậy phương trình mặt cầu: ( x  2)2  ( y  1)2  ( z  3)2  25 2 2 x 1 y z  Viết   phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (0; 0;3) đường thẳng d : Giải  Gọi H (t 1;2t; t 2) d hình chiếu I xuống đường thẳng d  IH  (t  1; 2t; t  1)  Ta có véc tơ phương d : ud  (1; 2;1) IH  d    2 7  IH ud   t   4t  t    6t    t   H   ; ;   3 3 2 2 3 2 2 2 (có thể sử dụng công thức tính IH  d ( I ; AB)  )  IH           3 3 3 3 Vì tam giác IAB vuông I IA  IB  R Suy tam giác IAB vuông cân I , bán kính : 2  IH   3 Vậy phương trình mặt cầu ( S ) : x  y  ( z  3)2  R  IA  AB cos 450  IH Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ QUAN TÂM ! GV: Nguyễn Thanh Tùng Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! [...]... 3t1  2   23 9 34   27 17 30  7  E  ; ; , F  ; ;   2 1 2 1   2 1  7 7   7 7 7  1 2 1  7 5t2  4t1  2 t  16 1  7 23 9 34 x y z     23 9 34  7  7 7  đi qua E  ;  ;  có vectơ chỉ phương u  n( )  (1; 2; 1) nên có phương trình: 7 7  1 2 1  7 8) Ta có    '  M   M (1  2t; 1  t;3t )  ' Do A(1;1; 2) là trung điểm của MN  N (1  2t; t...  y 2  ( z  3)2  3 R  IA  AB cos 450  2 IH Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ QUAN TÂM ! GV: Nguyễn Thanh Tùng Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! ... kềnh Ví dụ minh họa Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Ví dụ 1 Cho mặt phẳng ( ) : x  y  1  0 và điểm A(1; 2;3) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( ) sao cho: 1) MA  MO  7 3 2) MA song song với mặt phẳng ( P) : x  2 z  7  0 và MA  3 Giải Gọi M (x; y; z) ( )... 1)  1  6  0  m    M   ;0;0  2  2    7 1   AM    ; 1; 2     7; 2; 4  2  2   x 1 y 1 z  2 Vậy  đi qua A(1;1; 2) và có vectơ chỉ phương u  (7; 2; 4) nên có phương trình:   7 2 4 Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng 6) Gọi    '  N  N (1 2t; 1 t;3 t)  ' HOCMAI.VN... khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan DẠNG 2: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG SƠ ĐỒ GIẢI ( Nghĩa là: Để viết được phương trình đường thẳng  ta cần có được 2 thông số: Tọa độ điểm M 0 mà  đi qua  và vecto chỉ phương u Cụ thể:  Ở nhánh tìm điểm, nếu đề bài cho luôn tọa độ điểm M 0 (... đề sau: Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan  Đề 1: Biết tọa độ 2 điểm thuộc mặt phẳng ( )  Đề 2: Biết mặt phẳng ( ) chứa một đường thẳng cho trước  Đề 3: Biết ( ) đi qua một điểm và song song với một đường thẳng  Đề 4: ( ) đi qua một điểm và vuông góc với một mặt... họa Ví dụ 1 Cho bốn điểm A(1;0;0), B(1;0; 2), C(1;1; 1), D(2;0; 1) 1) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA vuông góc với trục tung, song song với mặt phẳng ( BCD) và tứ diện MABC có thể tích bằng 1 2) Viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua bốn điểm A, B, C, D Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan... (2 x  2)2  (3x  3)2  224  ( x 1)2  16  x  5 hoặc x  3 Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng y  9 +) Với x  5    M (5;9; 11)  z  11 HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan  y  7 +) Với x  3    M ( 3; 7; 13)  z  13   Cách 2: Ta có u  (1; 2; 1), n( P )  (1;1;1) lần lượt là... phương trình tổng quát của mặt phẳng để đưa ra đáp số Nếu Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan phải trả lời câu hỏi 2 thì ta sẽ đi theo sơ đồ trên như sau:  Nếu là tìm điểm ta sẽ chuyển về bài toán tìm điểm (các bạn xem lại ở bài học trước)  Nếu muốn khai thác được véc tơ pháp... gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan DẠNG 4: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU SƠ ĐỒ GIẢI ( Nghĩa là: Để viết được phương trình mặt cầu ( S ) ta cần biết tọa độ tâm I và bán kính R Hai thông số này sẽ được tìm như sau:  Ở nhánh tìm tâm I , nếu đề bài cho luôn tọa độ điểm I ( x0 ; y0 ;