QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE

Chương này mở rộng đa thức Hermite của chương 2 đó là nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite

Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin gởi đến Thầy – TS DƯƠNG TÔN ĐẢM lòng biết ơn sâu sắc về sự hướng dẫn và giúp đỡ của Thầy đối với tôi trong suốt thời gian học tập cũng như trong việc hoàn thành luận văn này. Thầy đã truyền đạt cho tôi những ý tưởng, cảm hứng về đề tài này. Thầy không những giúp đỡ tôi về chuyên môn mà còn giúp tôi về tinh thần trong những lúc tôi gặp khó khăn. Tôi cũng chân thành cảm ơn : * Các thầy cô trong bộ môn Xác Suất Thống Kê đặc biệt các Thầy PGS. TS NGUYỄN BÁC VĂN, TS TÔ ANH DŨNG, GS. TSKH NGUYỄN VĂN THU đã giảng dạy và truyền đạt cho tôi những kiến thức trong những năm học cao học * Quý Thầy Cô thuộc Khoa Toán - Tin trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM đã tận tình hướng dẫn cung cấp tài liệu, trang bị nhiều kiến thức cần thiết cho tôi trong suốt thời gian học lớp cao học. * Tất cả các thầy trong hội đồng chấm luận văn đã dành cho tôi thời gian quý báu và những nhận xét cho buổi bảo vệ luận văn. * Các bạn học viên cao học Khóa 16 đã hổ trợ rất nhiều cho tôi về mọi mặt trong thời gian qua. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè đã động viên, giúp đỡ và hỗ trợ tinh thần cho tôi trong suốt thời gian qua. TP Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2009 TRẦN THỊ VÂN ANH 1 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên LỜI MỞ ĐẦU Xác Suất Thống Kê là lĩnh vực Toán học ứng dụng, nó đòi hỏi một cơ sở toán học sâu sắc. Ngày nay các mô hình Xác Suất đã thực sự được ứng dụng rộng rãi trong Khoa Học Tự Nhiên cũng như Khoa Học Xã Hội. Trong luận văn này, nghiên cứu về khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên. Về mặt lý thuyết chúng có nhiều tính chất thú vị liên hệ với các quá trình ngẫu nhiên khác. Về mặt ứng dụng chúng trở thành công cụ toán học có hiệu lực cho nhiều vấn đề trong các lĩnh vực khác nhau như toán học, vật lý, sinh học, cơ học, khoa học trái đất, kinh tế … Luận văn này gồm 3 chương : Chương 1 : “MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN “ Trong chương này nghiên cứu và nhắc lại kiến thức cơ bản cần cho luận văn này, cần đọc kỹ các khái niệm và nắm vững các kết quả như được mở đầu bằng việc giới thiệu không gian Hilbert gồm các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích với vô hướng là hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên, dùng phép chiếu trực giao để xây dựng phép xấp xỉ tuyến tính và lập phương trình dự đoán, tiếp theo nêu khái niệm kỳ vọng có điều kiện và chứng tỏ rằng kỳ vọng có điều kiện là dự đoán tốt nhất. Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên cũng được nghiên cứu trong chương này. Ngoài ra còn nghiên cứu quá trình Wiener và tích phân Ito là hai khái niệm quan trọng khi nghiên cứu về quá trình ngẫu nhiên. Đây là những khái niệm cơ bản và là cơ sở để nghiên cứu những vấn đề tiếp theo. Chương 2 : “ ĐA THỨC HERMITE VÀ KHAI TRIỂN FOURIER – HERMITE “ 2 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Chương này nghiên cứu các định nghĩa, các tính chất và bổ đề của đa thức Hermite và tính chất của khai triển Fourier – Hermite. Một vài bổ đề ứng dụng được chứng minh trong chương này là công cụ chính để ta sử dụng tiếp cho chương sau. Chương 3 : “ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE ” Chương này mở rộng đa thức Hermite của chương 2 đó là nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Bắt đầu khái niệm về quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Sau đó mở rộng khái niệm là xác định hàm Hermite chuẩn suy rộng, sử dụng chúng để thu được tập trực chuẩn đầy đủ trong ( ) 2 L R và ( ) 2 n L R . Cuối cùng nghiên cứu và nêu được một số đặc tính của vi phân ngẫu nhiên đối với quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. 3 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn ………………………………………………………………. 1 Lời nói đầu ………………………………………………………………. 2 Mục lục ………………………………………………………………… . 4 CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN………………………. 7 §1.1 Không gian 2 ( , , )L F PΩ …………………………………… 7 1.1.1 Biến ngẫu nhiên ……………………………………… 7 1.1.2 Định nghĩa …………………………………………… 7 1.1.3 Định nghĩa ………………………………………… 8 1.1.4 Tính chất ……………………………………………… 9 1.1.5 Định lý (Định lý về phép chiếu trong không gian Hilbert) 9 1.1.6 Tính chất của phép chiếu ……………………………… . 12 1.1.7 Phép xấp xỉ tuyến tính trong L 2 ………………………… 12 1.1.8 Phương trình dự đoán ………………………………… . 13 1.1.9 Kỳ vọng có điều kiện và dự đoán tốt nhất trong L 2 ……… 14 §1.2 Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên ………………….16 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên biểu diễn dưới dạng tổng các hàm ngẫu nhiên cơ bản……………………………………………… 16 4 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 1.2.2 Khai triển chính tắc quá trình ngẫu nhiên ……………… 18 1.2.3 Đưa quá trình ngẫu nhiên về dạng chính tắc…………… 20 1.2.4 Mốt số khai triển chính tắc đặc biệt…………………… 22 §1.3 Cơ sở trực giao và trực chuẩn trong không gian Hilbert………… 25 1.3.1 Định nghĩa (Trực giao và trực chuẩn) ………………25 1.3.2 Định nghĩa ( Cơ sở ) …………………………………… 25 1.3.3 Định nghĩa ( Cơ sở trực giao và trực chuẩn ) ………… 26 1.3.4 Định nghĩa ( Phép chiếu trực giao ) ………………………26 §1.4 Quá trình Wiener ……………………………………… 27 1.4.1 Định nghĩa ( Quá trình Wiener )………………………… 27 1.4.2 Các tính chất quá trình Wiener và độ đo …………………27 1.4.3 Quá trình Wiener n - chiều ……………………………… 37 §1.5 Tích phân Ito … ……………………………………………… 39 1.5.1 Định nghĩa ……………………………………………… 39 1.5.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Ito …………………… 40 1.5.3 Tích phân Ito nhiều chiều ……………………………… 43 1.5.4 Vi phân ngẫu nhiên của hàm hợp, công thức Ito … . 44 CHƯƠNG 2 ĐA THỨC HERMITE VÀ KHAI TRIỂN FOURIER – HERMITE §2.1 Đa thức Hermite ………………………………………………… 48 2.1.1 Định nghĩa ……………………………………………… 48 2.1.2 Liên hệ giữa đa thức trực giao và đa thức Hermite ………49 2.1.3 Đạo hàm của đa thức Hermite ……………………………50 2.1.4 Các bổ đề của đa thức Hermite ………………………… 53 §2.2 Khai triển Fourier – Hermite của hàm biến ngẫu nhiên Gauss 57 2.2.1 Khai triển Fourier – Hermite …………………………57 2.2.2 Tính chất ……………………………………………… 58 5 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên CHƯƠNG 3 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE… 60 §3.1 Khái niệm về quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite……………… 60 3.1.1 Định nghĩa ……………………………………………… 60 3.1.2 Các ví dụ ………………………………………………… 60 §3.2 Tập trực chuẩn đầy đủ trong ( ) 2 L R và ( ) 2 n L R …………… . 62 3.2.1 Định nghĩa ……………………………………………… 62 3.2.2 Các tính chất …………………………………………… 62 3.2.3 Định nghĩa ………………………………………………. 64 3.2.4 Tính chất ………………………………………………… 65 §3.3 Một số đặc tính của vi phân ngẫu nhiên ………………………… 66 3.3.1 Định nghĩa ……………………………………………… 66 3.3.2 Định lý ……………………………………………………67 3.3.3 Bổ đề …………………………………………………… 67 3.3.4 Hệ quả …………………………………………………… 69 3.3.5 Các tính chất của quá trình dạng Hermite……………… 70 KẾT LUẬN …………………………………………………… 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………… 75 6 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN §1.1 KHÔNG GIAN 2 ( , , )L F PΩ Phần này giới thiệu không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích L 2 ( , ,F PΩ ) 1.1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN Biến ngẫu nhiên là đại lượng mà giá trị của nó phụ thuộc vào kết quả của thí nghiệm . Ta định nghĩa chính xác biến ngẫu nhiên là : Xét phép thử ngẫu nhiên với tập Ω và σ - đại số F các biến cố Biến ngẫu nhiên là ánh xạ ( ) : ,X RΩ→ = −∞ + ∞ sao cho: ( ) ( ) ( ) { } \ F,X x X x x R τ τ τ ≤ = ∈Ω ≤ ∈ ∀ ∈ hoặc : ( ) ( ) { } 1 \ ,X B X B F τ τ − = ∈Ω ∈ ∈ B∀ ∈ B với B là tập các tập Borel trong R . 7 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Ta chỉ xét những tập B sao cho ( ) 1 X B − là biến cố, tức ∈ F, khi đó lớp tất cả các biến cố ( ) 1 X B − là lớp biến cố cảm sinh bởi biến số ngẫu nhiên ( ) X τ . 1.1.2 ĐỊNH NGHĨA Ta xét không gian xác suất ( ) , ,F PΩ và lớp các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích được định nghĩa trên Ω và thỏa mãn điều kiện : 2 2 ( ) ( )EX X P d τ τ Ω = < ∞ ∫ Khi đó, ta có : ( ) 2 2 2 , ,E cX c EX c R X ξ = ∀ ∈ ∀ ∈ Mặt khác: ( ) 2 2 2 2 2X Y X Y+ ≤ + <∞ Nên , ta cũng có : ( ) 2 2 2 X +Y 2 2 , ,E EX EY X Y ξ ≤ + < ∞ ∀ ∈ Kí hiệu ( ) 2 , ,L F PΩ là không gian Hilbert các đại lượng ngẫu nhiên X sao cho 2 EX < ∞ . Với hai phần tử ,X Y ta định nghĩa tích vô hướng trong ( ) 2 , ,L F PΩ là , : ( . ) ( ) ( ) ( )X Y E X Y X Y P d τ τ τ Ω < > = = ∫ . (1.1) Không gian 2 ( , , )L F PΩ là tập các lớp tương đương với tích vô hướng được định nghĩa theo công thức (1.1), mặt khác vì mỗi lớp tương đương được xác định duy nhất bằng cách lấy một phần tử bất kì nào đó của lớp làm đại diện nên ta vẫn dùng kí hiệu X, Y để chỉ các phần tử của ( ) 2 , ,L F PΩ , ta có thể dùng ngắn gọn 2 L và vẫn gọi đó là những biến ngẫu nhiên bình phương khả tích và ta chú ý 8 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên rằng nếu chỉ có X thì hiểu rằng X là đại diện cho cả một lớp các biến ngẫu nhiên tương đương với X. 1.1.3 ĐỊNH NGHĨA Sự hội tụ trong L 2 là sự hội tụ bình phương trung bình viết là 2 L n X X→ nghĩa là, dãy các phần tử { } n X , { } 2 n X L∈ được gọi là hội tụ đến X nếu và chỉ nếu : 2 2 : 0 n n X X E X X − = − → khi n → ∞ Để xây dựng tính đầy của L 2 là không gian Hilbert ta còn phải xây dựng tính đầy của L 2 nghĩa là nếu 2 0 m n X X− → khi ,m n → ∞ thì tồn tại 2 X L∈ sao cho: 2 L n X X→ Ta xét tính chất : 1.1.4 TÍNH CHẤT Nếu 2 n X L∈ và 1 2 n n n X X − + − ≤ ; n = 1, 2, 3… thì tồn tại một biến ngẫu nhiên X trên ( , , )F PΩ sao cho 2 L n X X→ . Chứng minh: Chọn 0 X = 0 Đặt X n : = 1 1 j j j X X ∞ − = − ∑ , khi đó theo bất đẳng thức Cauchy – Schward, ta có : , .X Y X Y< > ≤ E ( 1 1 j j j X X ∞ − = − ∑ ) = 1 1 j j j E X X ∞ − = − ∑ 1 1 1 2 j j j j j X X ∞ ∞ − − = = ≤ − ≤ < ∞ ∑ ∑ 9 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Từ đó, suy ra tồn tại 1 1 lim n j j n j X X − →∞ = − ∑ và giới hạn đó hữu hạn. Như thế 1 1 lim ( ) lim n j j n n n j X X X − →∞ →∞ = − = ∑ tồn tại. 1.1.5 ĐỊNH LÝ (Định lý về phép chiếu trong không gian Hilbert) Nếu A là một không gian con đóng của không gian Hilbert H và x H∈ thì: a) Tồn tại duy nhất một phần tử ' x A∈ sao cho ' inf y A x x x y ∈ − = − b) 'x A∈ và ' inf y A x x x y ∈ − = − nếu và chỉ nếu ' x A∈ và ( ) ' x x A ⊥ − ∈ x’ được gọi là chiếu (trực giao) của x lên A, viết là ' : A x P x= Định lý này được gọi là định lý về phép chiếu trực giao. Chứng minh: a) Nếu 2 y A : infd x y ∈ = − thì tồn tại một dãy { } n y , n y A∈ sao cho 2 0 n y x− → . Hơn nữa, với k, l bất kì thuộc không gian Hilbert, theo quy tắc đường chéo hình bình hành ta có : 2 2 2 2 2k l k l k l   − + + = +   Do đó, xét , m n y x A y x A− ∈ − ∈ Ta có: 2 2 2 2 2 m n m n m n y x y x y x x y y x y x   − + − + − + − = − + −   tức là: 10 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh [...]... trực giao của hàm ngẫu nhiên §1.2 KHAI TRIỂN CHÍNH TẮC CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 1.2.1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN BIỄU DIỄN DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC HÀM NGẪU NHIÊN CƠ BẢN  Định nghĩa ( Hàm ngẫu nhiên cơ bản ) Hàm ngẫu nhiên cơ bản là hàm có dạng : δ ( t ) = C.θ ( t ) (1.6) trong đó : C là một đại lượng ngẫu nhiên θ ( t ) là hàm không ngẫu nhiên của biến số t ∈ T  Các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên cơ bản i) Kỳ... §1.4 QUÁ TRÌNH WIENER 27 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Quá trình Wiener là một ví dụ rất quan trọng đối với lý thuyết xác suất thống kê Qua thí nghiệm của Brown quá trình ngẫu nhiên này được dùng làm mô hình chuyển động của hạt dưới tác động va chạm hỗn loạn của các phần tử 1.4.1 ĐỊNH NGHĨA ( Quá trình Wiener ) Ta gọi quá trình W ( t ) là quá. .. bản với các hệ số C1 , C2 , , Cn Như vậy, nếu quá trình ngẫu nhiên χ ( t ) khai triển dưới dạng tổng các hàm cơ bản, qua phép biến đổi tuyến tính G thì các hệ số khai triển không thay đổi, còn kỳ vọng và các hàm tọa độ bị tác động theo phép biến đổi tuyến tính 1.2.2 KHAI TRIỂN CHÍNH TẮC CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Giả sử quá trình ngẫu nhiên khai triển dưới dạng : n χ ( t ) = Eχ ( t ) + ∑ Ci θi ( t ) ,... các đại lượng ngẫu nhiên không tương quan với nhau và đều có kỳ vọng bằng 0 * Nếu χ ( t ) có khai triển chính tắc thì hàm tự tương quan của nó có dạng là ( ) n ( ) K χ t , t = ∑θi ( t ) θi t ' Di ' i =1 * Nếu χ ( t ) có khai triển chính tắc thì phương sai của χ ( t ) có dạng là : 2 n Dχ ( t ) = ∑ ( θi ( t ) ) Di i =1 1.2.3 ĐƯA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Cho quá trình ngẫu nhiên χ ( t )... triển trực giao của hàm ngẫu nhiên ( ) Nếu các hệ số Ci i = 1, n không tương quan với nhau , nghĩa là ki j = 0 ( i ≠ j ) Khi đó ta nói (1.7) là khai triển chính tắc của hàm ngẫu nhiên χ ( t )  Nhận xét * Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên χ ( t ) là khai triển có dạng : n χ ( t ) = Eχ ( t ) + ∑ Ci θi ( t ) i =1 trong đó : Eχ ( t ) là kỳ vọng của quá trình ngẫu nhiên χ ( t ) ( ) θi ( t... phương sai của đại lượng ngẫu nhiên C iii) Đối với các hàm ngẫu nhiên cơ bản, ta có các phép biến đổi tuyến tính + Phép toán đạo hàm : δ ' ( t ) = C.θ ( t ) ' T 0 + Phép toán tích phân xác định : iv) T 0 ∫ δ ( t ) dt = C.∫ θ ( t ) dt Nếu G là một toán tử tuyến tính , ta có : G{ δ ( t )} = C G{ θ ( t )}  Định nghĩa ( Quá trình ngẫu nhiên theo các hàm cơ bản) Cho quá trình ngẫu nhiên : n χ ( t ) = Eχ... : Ci là các đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng 0, i =1, n Eχ ( t ) là kỳ vọng của χ ( t ) Biểu thức (1.7) được gọi là khai triển của quá trình ngẫu nhiên χ ( t ) theo các hàm cơ bản 17 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên + các đại lượng ngẫu nhiên Ci ( t ) , i =1, n được gọi là hệ số khai với : triển + các hàm không ngẫu nhiên θi ( t ) , i =1,... hầu hết các quỹ đạo của W ( t ) là hàm liên tục * Một quá trình Wiener W ( t ) với tham số phương sai bằng 1 được gọi là quá trình Wiener tiêu chuẩn ( hay chuyển động Brown tiêu chuẩn ) * Nếu ta thay W(0) = 0 bởi W(0) = x ta sẽ có quá trình Wiener xuất phát từ x 1.4.2 CÁC TÍNH CHẤT QUÁ TRÌNH WIENER VÀ ĐỘ ĐO WIENER  Tính chất 1: Nếu W ( t ) là quá trình Wiener khi đó : E{ W ( t) W ( h)} =t ∧ h trong... ma trận trực giao nên A−1 = AT ) Như vậy ta có quá trình ngẫu nhiên được đưa về dạng chính tắc : n χ ( t ) = Eχ ( t ) + ∑ Ci θi ( t ) i =1 1.2.4 MỘT SỐ KHAI TRIỂN CHÍNH TẮC ĐẶC BIỆT  Khai triển Karhunen – Loéve Quá trình Wiener { W ( t ) ,0 ≤ t ≤ 1} khai triển theo công thức : ∞ Wt ( ω ) = ∑ X i ( ω ) θi ( t ) i =0 trong đó : X i là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn : EX i = 0 , DX... = EC θ ( t ) = θ ( t ) EC trong đó : EC là kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên C * Nếu EC = 0 thì Eδ ( t ) = 0 16 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên * Khi xét các hàm ngẫu nhiên cơ bản có kỳ vọng bằng không , ta kí hiệu là 0 0 δ ( t ) => E δ ( t ) = 0 Hàm tự tương quan của hàm ngẫu nhiên cơ bản δ ( t ) : ii) 2   Kδ t , t ' = E δ ( t ) δ t '  = . CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 1.2.1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN BIỄU DIỄN DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC HÀM NGẪU NHIÊN CƠ BẢN  Định nghĩa ( Hàm ngẫu nhiên cơ bản ) Hàm ngẫu. Chương 3 : “ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE ” Chương này mở rộng đa thức Hermite của chương 2 đó là nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Bắt