Một số cơ sở của quá trình ngẫu nhiên

Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán 1 Lời nói đầu Là bộ môn toán học nghiên cứu tìm ra các quy lật chi phối và đa ra các phơng pháp tính toán xác suất của các hiện tợng, biến cố ngẫu nhiên, lý thuyết xác suất giữ một vị trí quan trọng cả về phơng diện lý thuyết lẫn ứng dụng thực tiễn. Nó là công cụ không thể thiếu trong việc nghiên cứu các vấn đề ngẫu nhiên nh: Dự báo các hiện tợng ngẫu nhiên hay đánh giá những cơ may, nguy cơ rủi ro, Một trong những cơ sở để nghiên cứu và xây dựng lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên là một số kiến thức của giải tích theo quan điểm hiện đại.Tuy nhiên trong chơng trình xác suất thống kê dành cho sinh viên toán hệ đại học s phạm, việc nghiên cứu lý thuyết xác suất nhìn chung chủ yếu dựa trên quan điểm cổ điển của xác suất, vấn đề đa cơ sở toán học hiện đại vào nghiên cứu bản chất và lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên cha có điều kiện đề cập toàn diện, sâu sắc và đầy đủ. Chính vì vậy, việc nghiên cứu đề tài: Một số cơ sở của quá trình ngẫu nhiên nhằm làm sáng tỏ các cơ sở lý thuyết xác suất, những khái niệm, quy luật đặc thù của lý thuyết xác suất, chỉ rõ ý nghĩa thực tế của những khái niệm và quy luật này một cách chặt chẽ, đầy đủ theo cơ sở toán học hiện đại là cần thiết và có ý nghĩa to lớn trong việc khai thác sâu kiến thức toán học của sinh viên s phạm. Tuy nhiên, trong khuân khổ luận văn tốt nghiệp em cũng chỉ hạn chế trong phạm vi những cơ sở của giải tích ngẫu nhiên- nền tảng của lý thuyết các quá trình dừng cũng nh tích phân và vi phân ngẫu nhiên. Luận văn gồm ba chơng: Chơng 1: Các khái niệm cơ bản. Chơng 2: Một số quá trình ngẫu nhiên thờng gặp. Chơng 3: Hội tụ, liên tục, đạo hàm, tích phân của các quá trình ngẫu nhiên. Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán 2 Mục lục Trang Lời nói đầu 1 Chơng1: Các khái niệm cơ bản 1.1. Các khái niệm 4 1.2. Quá trình Poisson 10 1.3. Quá trình Weiner 10 1.4. Quá trình Cauchy 11 Chơng 2: Một số quá trình ngẫu nhiên thờng gặp 2.1. Hàm ngẫu nhiên Gauss 11 2.2. Quá trình có gia số độc lập 12 2.3. Quá trình có gia số không tơng quan 12 2.4. Quá trình dừng 13 Chơng 3: Hội tụ, liên tục, đạo hàm, tích phân của các quá trình ngẫu nhiên 3.1. Sự hội tụ 13 3.2. Liên tục 20 3.3. Đạo hàm 24 3.4. Tích phân 31 3.5. Một số bài tập 44 Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán 3 Chơng 1: các khái niệm cơ bản 1.1. Các khái niệm: 1.1.1. Đại số và -đại số: Đại số và - đại số Định nghĩa: Giả sử là một tập không rỗng, phần tử của nó đợc ký hiệu là . Tập hợp gồm mọi tập con của đợc ký hiệu là ( ) P . Một tập con C ( ) P đợc gọi là một nửa đại số nếu: (i) C (ii) , A B C A B C (iii) Nếu A, B C , A B thì tồn tại các các tập con 1 , , n A A đôi một không giao nhau, k A C , i =1,, n sao cho: 1 \ n k k B A A = = Lớp A P ( ) đợc gọi là một đại số nếu +) A +) A A \ A A = A +) A, B A A B A Lớp F P ( ) đợc gọi là - đại số nếu +) F +) A F \ A A = F +) 1 2 , , A A F 1 n k k A = F Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán 4 Giả sử C P ( ). Một họ - đại số F P ( ) bé nhất chứa C đợc gọi là - đại số sinh bởi C và viết F = ( C ). Nó cũng là giao của tất cả các - đại số con của P ( ) chứa C -đại số Borel Định nghĩa 1:( - đại số các tập Borel trong 1 R ) Giả sử 1 ( , ) R = = + , K là lớp tất cả các khoảng [a,b], B BB B là -đại số cực tiểu chứa K đợc gọi là - đại số các tập Borel . Trong 1 R mỗi phần tử của B BB B đợc gọi là tập Borel. Định nghĩa 2: ( - đại số các tập Borel trong m R ) Giả sử n R = , K là lớp của hình hộp chữ nhật dạng { } 1 1 ( , ) : ( , , ) : , 1, m i i m i i i i a b x x x x a x b i n = = = = - đại số cực tiểu m B chứa lớp K đợc gọi là - đại số các tập Borel trong m R , phần tử của nó đợc gọi là tập Borel. Bài tập 1: Giả sử ={1, 2, 3, 4, 5, 6} và C . ={A, B} trong đó A={2, 3, 4}, B ={4, 6} Hãy chỉ ra ( C ). Lời giải: Xét AB = {4}, A B = {6}, AB = {2, 3}, AB = {1, 5}. Khi đó: ( C ) = { , , {4},{6},{2, 3},{1, 5},{4, 6},{2, 3, 4},{1, 4, 5},{2, 3, 6}, {1, 5, 6}, {1, 2, 3, 6}, {2, 3, 4, 6}, {1, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5}} Bài tập 2: Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán 5 Giả sử C = { } 1 2 , , , n A A A là một phân hoạch của ( nghĩa là i j A A = với i j ) và 1 n i i A = = . Chứng minh rằng họ F = { / i i I A I {1, 2, , n}} là - đại số sinh bởi C. Lời giải: Nếu A = k j i j I i I J A A A = , k I I , 1k I I = với 1 k , k = 1,,m thì 1 m k i k i J B A = = , 1 m k k J I = = . Ngoài ra F . Nh vậy F là đại số hữu hạn và do đó là - đại số. 1.1.2. Hàm tập và độ đo. Hàm tập : Giả sử C là lớp các tập con của . Hàm xác định trên C và nhận giá trị số ( tức là với mỗi A C (A) là số thực hữu hạn hoặc vô hạn ) đợc gọi là hàm tập với giá trị số. Nếu ta chỉ làm việc với hàm tập giá trị số ta sẽ gọi là hàm tập. Nói rằng : không âm và viết 0 . Nếu ( ) 0 A , với A C . Để tránh biểu thức không xác định ta luôn quy ớc : không nhận giá trị . Nói rằng : hữu hạn, nếu ( ) A là số thực hữu hạn với A C : ( ) ( , ) A + , A C . Để tránh trờng hợp tầm thờng ta luôn giả thiết A C sao cho ( ) A hữu hạn, tức là không đồng nhất bằng + . Để thuận tiện ta cho C . Khái niệm sau đây đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tích phân nói chung và đặc biệt trong lý thuyết xác suất nói riêng. Định nghĩa 1: Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán 6 Hàm tập đợc gọi là cộng tính hữu hạn nếu ( ) ( ) ( ) A B A B + = + , với A C , B C , .A B = và A B + C . Hàm tập đợc gọi là - cộng tính hoặc cộng tính đếm đợc, nếu: 1 1 ( ) k k k k A A = = = Với mọi dãy { k A } C sao cho . k j A A = với k j và 1 k k A = C . Ta dẫn ra vài tính chất đơn giản ( nhng thờng dùng) của hàm tập cộng tính hữu hạn. a) ( ) 0 = b) 1 1 ( ) n n k k k k A A = = = c) Nếu B A và (B) hữu hạn thì ( | ) ( ) ( ) A B A B = . Định nghĩa 2 : Ta nói rằng liên tục tại , nếu với mỗi dãy n A , n A C ta có: lim ( ) 0 n n A = Độ đo Các hàm tập xác định trên - đại số đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong lý thuyết tích phân và lý thuyết xác suất. Giả sử ( , A ) là không gian đo đợc nào đó. Định nghĩa: Ta gọi hàm tập à là độ đo trên không gian đo đợc ( , A ) nếu: +) Miền xác định của à là - đại số A . +) à không âm và - cộng tính Với A A , à (A) đợc gọi là độ đo ( hay số đo ) của tập A. Nói rằng à là độ đo hữu hạn nếu nó là hàm tập hữu hạn , tức là 0 ( )A à < + , Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán 7 A A Dễ thấy rằng à hữu hạn khi và chỉ khi ( ) à < + . Nếu ( ) 1 à = thì ta gọi à là độ đo xác suất. Bộ ba ( ,A , à ) đợc gọi là không gian có độ đo ( là không gian, A là - đại số các tập con của , à là độ đo xác định trên A . Các tính chất cơ bản của độ đo +) à ( ) = 0 +) Nếu A, B A , B A, và ( )B à < + thì à (A / B) = à (A) à (B) +) Tính đơn điệu: Nếu A, B A ,, B A thì : à (B) à (A) +) Tính nửa - cộng tính dới : Nếu k A A , A A , 1 k k A A = thì 1 ( ) ( ) k k A A à à = Đặc biệt nếu thêm điều kiện ( ) 0 k A à = , 1, 2, k = thì ( ) 0 A à = . +) Nếu k A A , k j A A = ( k j ), A A và 1 k k A A = thì 1 ( ) ( ) k k A A à à = 1.1.3. Hàm thực đo đợc. Định nghĩa: Cho không gian đo đợc ( ,A). Theo định nghĩa tổng quát ánh xạ nhận giá trị thực :f đợc gọi là hàm thực đo dợc (theo nghĩa Borel) nếu nghịch ảnh của mỗi tập Borel là tập đo đợc, tức là tập thuộc A. Hơn nữa, nếu = thì mỗi f nh thế đợc gọi là hàm số Borel. Nh vậy, :f là hàm số Borel khi và chỉ khi nghịch ảnh của mỗi tập Borel là tập Borel. Ta ký hiệu = 0 0 L L ( , A) là tập tất cả các hàm (thực) đo đợc. 1.1.4. Phần tử ngẫu nhiên. Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán 8 Định nghĩa: Giả sử ( , A, P) là không gian xác suất cơ bản và (X, F) là không gian đo đợc. Ta gọi ánh xạ đo đợc : X ( tức là 1 (F) A) là phần tử ngẫu nhiên X- giá trị ( hay nhận giá trị trong X). Đặc biệt, nếu n X = và F = n B là - đại số Borel của n thì ta gọi là véc tơ ngẫu nhiên n chiều và viết thay cho . Trong trờng hợp 1 n = , ta viết thay cho và gọi là đại lợng ngẫu nhiên. 1.1.5. Tơng đơng ngẫu nhiên. Ta gọi hàm ngẫu nhiên là họ các đại lợng ngẫu nhiên phụ thuộc tham số t chạy trên tập T bất kỳ, ta sẽ viết tham số này hoặc dới dạng chỉ số hoặc trong dấu ngoặc, chẳng hạn: Hàm ngẫu nhiên t X , t T . Bởi vì ta hiểu đại lợng ngẫu nhiên là ánh xạ đo đợc từ không gian xác suất cơ bản ( , , ) T p vào không gian đo đợc (X,B) nên hàm ngẫu nhiên t X , t T , nếu viết chi tiết hơn, sẽ là hàm của cặp t T , đo đợc theo với mỗi t T . thông thờng hơn ta xét các hàm ngẫu nhiên bằng số, tức là (X, B) là đờng thẳng số 1 R với - đại số các tập Borel 1 B (hay là mặt phẳng phức với - đại số các tập Borel tơng ứng). Khi T là tập con của đờng thẳng thực, còn tham số t đợc coi nh là thời gian, thì ta thờng dùng thuật ngữ quá trình ngẫu nhiên thay cho thuật ngữ hàm ngẫu nhiên. Khi T gồm các số nguyên ta dùng thuật ngữ dãy ngẫu nhiên. Về cơ bản ta sẽ nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên chứ không phải là các hàm ngẫu nhiên trên tập T phức tạp hơn. Quá trình ngẫu nhiên đôi khi còn đợc gọi là quá trình xác suất, đôi khi chúng ta còn gọi quá trình ngẫu nhiên là quá trình cho đơn giản (vì ngoài quá trình ngẫu nhiên ta không xét quá trình nào khác) Trong hàm ( ) t X , khi cố định t T ta sẽ nhận đợc một đại lợng ngẫu nhiên. Gắn liền với khái niệm tơng đơng của các đại lợng ngẫu nhiên là định nghĩa sau đây: Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán 9 Các hàm ngẫu nhiên t X và t Y xác định trên cùng một tập T trên cùng một không gian xác suất ( , , ) T p và nhận giá trị trên cùng một không gian (X,B) đợc gọi là tơng đơng ngẫu nhiên nếu chúng trùng nhau hầu chắc chắn với t cố định bất kỳ: với mọi t, P { } 0 t t X Y = Nếu t X , t T , là quá trình ngẫu nhiên thì 1 ( , , ) n t t X X với mọi 1 , n t t T là véc tơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong ( , ) n n X B . Phân phối của nó 1 , , t t n X X ta ký hiệu là 1 , , t t n : 1 , , t t n (A)=P ( ) { } 1 , , , n n t t X X A A B = Các phân phối này có tên gọi là các phân phối hữu hạn chiềucủa hàm ngẫu nhiên. Ta định nghĩa covarian của các đại lợng ngẫu nhiên , , , t s X X t s T , là một số và đợc ký hiệu là cov ( , t s X X ): cov ( , t s X X ) = ( )( ) t t s s E X EX X EX Khi đó: Hàm tơng quan K(t,s) ( hay cov ( ( , ) X K t s hay ( , ) XX K t s ) của các đại lợng ngẫu nhiên , t s X X là: ( , ) cov( , ) t s K t s X X = 1.2.Quá trình Poisson. Ta gọi quá trình Poisson với tham số a ( a > 0 ) là quá trình ngẫu nhiên t X trên T=[0, ] có các tính chất sau đây: a : 0 X =0. b : Với mọi 0 0 t < 1 t < 2 t << n t , các đại lợng ngẫu nhiên : 1 t X - 0 t X ; 2 t X - 1 t X ;; n t X - 1 n t X độc lập. c : Đại lợng ngẫu nhiên t X - s X , 0 s t, có phân phối Poisson với tham số a(t-s), nghĩa là : Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán 10 P { t X - s X = i} = ( ) ( ( )) . ! i a t s a t s e i i=0,1,2, 1.3. Quá trình Wiener ( chuyển động Brown ): Ta gọi quá trình Wiener xuất phát từ 0 là quá trình ngẫu nhiên t X , 0 t < , có các tính chất sau: a : 0 X =0. b : Với mọi 0 0 t < 1 t < 2 t << n t , các đại lợng ngẫu nhiên 1 t X - 0 t X , 2 t X - 1 t X , n t X - 1 n t X độc lập . c : Đại lợng ngẫu nhiên t X - s X , 0 s t , có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán 0 và phơng sai t-s ( viết tắt là: với tham số (0 , t-s)). Nếu thay yêu cầu 0 X =0 bằng 0 X = x thì ta nhận đợc định nghĩa quá trình Wiener xuất phát từ x . 1.4. Quá trình Cauchy: Ta gọi quá trình Cauchy xuất phát từ 0 là quá trình ngẫu nhiên t X , 0 t , thoả mãn các điều kiện: a : 0 X =0 b : Với mọi 0 0 t < 1 t < 2 t << n t , các đại lợng ngẫu nhiên 1 t X - 0 t X , 2 t X - 1 t X ,, n t X - 1 n t X độc lập. c : Gia số t h X + - t X có phân phối với mật độ : f(x) = 1 2 2 h h x + ( Phân phối Cauchy) [...]... kỳ t1 ,, tn T 2.2 Quá trình có gia số độc lập: Ta nói rằng quá trình ngẫu nhiên giá trị số ( hay véctơ) X t , t T R1 là quá trình có gia số độc lập , nếu các gia số của nó tại các đoạn rời nhau không phụ thuộc vào nhau, tức là t0 t1 tn , với ti T, các đại lợng ngẫu nhiên X t1 X t0 , X t 2 X t1 , , X tn X tn1 độc lập 2.3 Quá trình có gia số không tơng quan : Quá trình ngẫu nhiên X t , E / X... Chơng 2 : Một số quá trình ngẫu nhiên thờng gặp Trong lý thuyết quá trình ngẫu nhiên , ngời ta phân ra thành các lớp hàm ngẫu nhiên khác nhau, các lớp này nói chung giao nhau 2.1 H m ngẫu nhiên Gauss : Hàm ngẫu nhiên X t , t T , nhận các giá trị trong (X, B ) =( R1 , B1 ) hay ( R n , B n ) đợc gọi là Gauss, nếu tất cả các phân phối hữu hạn chiều của nó là chuẩn Gauss, Tức là véctơ ngẫu nhiên ( X t... = 0 Nếu X t là quá trình có gia số độc lập , E / X t / 2 < thì nó cũng là quá trình có gia số không tơng quan 2.4 Quá trình dừng: Ta nói rằng, quá trình ngẫu nhiên X t , t T R1 là dừng nếu mọi số thực h, các phân phối hữu hạn chiều của nó không thay đổi khi dịch chuyển một đoạn bằng h: t + h, ,t 1 n +h = t1, ,tn nếu t1 , , tn , t1 + h, , tn + h T Dùng làm tập T các giá trị của tham số thời gian ngời... các số nguyên hay Z + = {0,1, 2, } hay tập các số tự nhiên {1, 2,3, } Trờng hợp T Z 1 - tập tất cả các số nguyên hay Z + , hay tập hợp các số tự nhiên thì ngời ta gọi X t là dãy dừng Lu ý : Đôi khi ngời ta gọi quá trình dừng là quá trình dừng theo nghĩa hẹp Chơng 3: Hội tụ, liên tục, đạo hàm, tích phân của các quá Trình ngẫu nhiên 3.1 Sự hội tụ: 3.1.1 Định nghĩa1: Đối với các đại lợng ngẫu nhiên. .. nghĩa v ví dụ: Định nghĩa1: Hàm ngẫu nhiên X t , t T đợc gọi là liên tục ngẫu nhiên ( P) tại điểm t0 T , nếu X t X t khi t t0 0 Tính liên tục ngẫu nhiên của hàm ngẫu nhiên rõ ràng là loại tính chất đợc xác định đơn trị bởi các phân phối hai chiều của nó Những quá trình đã đợc nêu ở trên ( quá trình Poisson, Wiener, Cauchy ) đều là liên tục ngẫu nhiên , mặc dù thể hiện của chúng có thể gián đoạn Điều... không liên tục ngẫu nhiên tại bất kỳ điểm nào 3.2.2 Một v i tính chất: Mệnh đề 1: Nếu hàm ngẫu nhiên X t liên tục ngẫu nhiên trên tập compact A T thì nó liên tục ngẫu nhiên đều trên tập này, tức là: > 0 và > 0 tồn tại > 0 sao cho P { X t X t } < với t , s A nào đó, (t , s) < 0 Chứng minh: Giả sử với mọi giả thiết nh trên nhng hàm ngẫu nhiên X t không phải là liên tục ngẫu nhiên đều Nghĩa... chắn của tích phân rút ra từ tính duy nhất của giới hạn theo xác suất ( chính xác hơn là từ tính hầu duy nhất ) Trong trờng hợp khả tích Rieman tích phân dọc theo mỗi thể hiện là đại lợng ngẫu nhiên ( tức là hàm đo đợc của ) vì nó là giới hạn của dãy tổng tích phân Đặc biệt có thể hiểu tích phân xét ở trên của quá trình Poisson là tích phân dọc theo mỗi thể hiện Chú ý rằng: Các quỹ đạo của quá trình. .. biến vì nó không tập trung trên một đờng nào cả Lại xét véc tơ ngẫu nhiên (Yn , Yn ) cov(Yn , Yn ) = 1 1 1 Véc tơ ngẫu nhiên (Yn , Yn ) có ma trận tơng quan là cố định 1 1 1 1 Phân phối giới hạn cũng phải có ma trận tơng quan là 1 1 Nh vậy: Phân phối giới hạn là phân phối chuẩn suy biến vì nó tập trung trên một đờng Do đó, phân phối giới hạn của hai véctơ ngẫu nhiên (Yn , Y2 n ) và (Yn , Yn )... X t liên tục ngẫu nhiên đều Mệnh đề 2: Nếu hàm ngẫu nhiên X t liên tục trung bình cấp p 1 trên tập compact A thì nó liên tục trung bình cấp p 1 đều trên tập này Chứng minh: Không gian Lp gồm các biến ngẫu nhiên khả tích bậc p 1 là không gian giả định chuẩn ( do đó giả metric) Nên ta có thể sử dụng kết quả tơng ứng của giải tích thông thờng Điều phải chứng minh Mệnh đề 3: Nếu hàm ngẫu nhiên X t liên... Định nghĩa Đạo hàm của quá trình ngẫu nhiên Xt đợc định nghĩa nh là giới hạn của ( X t +h X t ) / h khi h 0 theo nghĩa hội tụ tơng ứng Dễ thấy từ tính khả vi theo trung bình (theo xác suất) rút ra tính liên tục tơng ứng Quá trình Wiener không khả vi ngay theo nghĩa hội tụ theo xác suất Thật vậy: Giả sử nó khả vi tại điểm t nào đó Khi đó: theo định nghĩa sẽ tồn tại giới hạn yếu của phân phối ( X t