1. Phương trình lượng giác cơ bản : Cos u = Cos v u = v + k2 k Z Sin u = Sin v 2 2 kvu kvu k Z tan u = tan v u = v + k k Z Cot u = Cot v u = v + k k Z Các phương trình lượng giác đặc biệt: Cos u = 0 u = 2 + k Cos u = 1 u = k2 Cos u = 1 u = + k2 Sin u = 0 u = k Sin u = 1 u = 2 + k2 Sin u = 1 u = 2 + k2 Chú ý : Sin u = b ; b> 1 => phương trình vô nghiệm Cosu = b ; b> 1 => phương trình vô nghiệm 2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác : a 0 a.Cos 2 u + b. Cos u + c = 0 Đặt : t = Cos u ; đk: 1 t 1 a.Sin 2 u + b. Sin u + c = 0 Đặt : t = Sin u ; đk: 1 t 1 a.tan 2 u + b.tan u + c = 0 Đặt : t = tan u 3. Phương trình bậc nhất theo Sin và Cos Dạng : a Sin u + b Cos u = c ( a,b,c khác không ) Điều kiện để pt có nghiệm : 22 ba c 1 a 2 + b 2 c 2 Giải: Chia hai vế pt cho 22 ba ta có : 22 ba a Sin u + 22 ba b Cos u = 22 ba c ( *) Đặt : 22 ba a = Cos ; 22 ba b = Sin ; 22 ba c = Sin Pt (*) trở thành : Cos.Sin u + Sin.Cos u = Sin Sin(u + ) = Sin Đặc biệt : b = c b = c Pt : a.Sin u + b.(Cos u 1) = 0 Pt : a.Sin u + b.(Cos u + 1) = 0 2a.Sin 2 u Cos 2 u 2b.sin 2 2 u = 0 2a.Sin 2 u Cos 2 u + 2b.Cos 2 2 u = 0 2 Sin 2 u [a.Cos 2 u b.Sin 2 u ]= 0 2 cos 2 u [a.sin 2 u +b.cos 2 u ]= 0 u Sin 0 2 u a tan 2 b u cos 0 2 u b tan 2 a 4. Pt dạng: a Sin 2 x + b.Sinx.Cosx + c.Cos 2 x = 0 (*) ( a,b,c 0 ) Cách 1: Nếu : a= 0 pt trở thành: Cosx( b.Sin x + c.Cosx) = 0 ( giải được ) Nếu a 0 => Cos x= 0 không phải là nghiệm của pt , chia hai vế pt cho Cos 2 x 0 . Ta có : a.tan 2 x + b.tanx + c = 0 . Cách 2: Dùng công thức hạ bậc : Sin 2 x = 2 21 xCos ; Cos 2 x = 2 21 xCos ; Sinx. Cos x = 2 1 Sin2x Phương trình (*) : a. 2 21 xCos + 2 1 b.Sin2x + c. 2 21 xCos = 0 Đây là pt bậc nhất theo Sin và Cos đã học cách giải Chú ý : Pt : a Sin 2 x + b.Sinx.Cosx + c.Cos 2 x = d chuyển về dạng (*) bằng cách thay d = d( Sin 2 x + Cos 2 x ) 5. Phương trình đối xứng : a.(Sin x + Cosx ) + b.Sin x.Cosx + c = 0 Đặt: t = Sin x + Cosx = 2 .Sin(x+ 4 ) ; đk t 2 Sin x.Cosx = 2 1 2 t ; sin2x= t 2 1 Pt trở thành : a.t + b. 2 1 2 t + c = 0 6. Phương trình phản đối xứng : a.(Sin x Cosx ) + b.Sin x.Cosx + c = 0 Đặt: t = Sin x Cosx = 2 .Sin(x 4 ) ; đk t 2 Sin x.Cosx = 2 1 2 t ; sin2x = 1t 2 Pt trở thành : a.t + b. 2 1 2 t + c = 0 Chú ý : Sin2x = 2.Sin x.Cos x Cosx Sin x = 2 .Cos(x + 4 ) = 2 .Sin( x 4 ) Cosx + Sin x = 2 .Cos(x 4 ) = 2 Sin(x + 4 ) 7. Phương trình lượng giác đặc biệt: Dạng tổng bình phương : A 2 + k.B 2 = 0 , k > 0 0 0 B A Dạng phương pháp đối lập : BA A MB MA Dạng phương pháp phản chứng : 11 BABA A 1 1 BB AA 7. Mối liên hệ hình học và lượng giác Đònh lý h/s Sin: 2R = SinA a = SinB b = SinC c = 2 . 2 . 2 .2 C Cos B Cos A Cos p Đònh lý h/s Cos a 2 = b 2 + c 2 2b.c.Cos A b 2 = a 2 + c 2 2a.c.Cos B c 2 = b 2 + a 2 2b.a.Cos C Cos A = cb acb .2 222 Suy ra: CotA = cba acbR 2 )( 222 ; CotB = cba bcaR 2 )( 222 ; Diện tíùch tam giác :* S = 2 1 a.h a = 2 1 b.h b = 2 1 c.h c => h a =2S/a * S = 2 1 a.b.SinC= 2 1 b.c.SinA= 2 1 a.c.SinB => SinA = bc S2 * S= R cba .4 = p.r = ))()(( cpbpapp * Đònh lý đường trung tuyến : m a 2 = 2 1 (b 2 + c 2 ) 4 1 a 2 ; m b 2 = 2 1 (a 2 + c 2 ) 4 1 b 2 m c 2 = 2 1 (b 2 + a 2 ) 4 1 c 2 . 2a.Sin 2 u Cos 2 u 2b.sin 2 2 u = 0 2a.Sin 2 u Cos 2 u + 2b.Cos 2 2 u = 0 2 Sin 2 u [a.Cos 2 u b.Sin 2 u ]= 0 2 cos 2 u [a.sin 2 u +b.cos 2 u ]= 0 u Sin 0 2 u a tan 2. = cb acb .2 222 Suy ra: CotA = cba acbR 2 )( 22 2 ; CotB = cba bcaR 2 )( 22 2 ; Diện tíùch tam giác :* S = 2 1 a.h a = 2 1 b.h b = 2 1 c.h c => h a =2S/a * S = 2 1 a.b.SinC= 2 1 b.c.SinA= 2 1 a.c.SinB. h/s Sin: 2R = SinA a = SinB b = SinC c = 2 . 2 . 2 .2 C Cos B Cos A Cos p Đònh lý h/s Cos a 2 = b 2 + c 2 2b.c.Cos A b 2 = a 2 + c 2 2a.c.Cos B c 2 = b 2 + a 2 2b.a.Cos