Đề thi HSG toán 8 năm học 2010-2011 Câu1(4điểm). 1/Chứng minh rằng n 4 + 2n 3 n 2 - 2n chia hết cho 24 với mọi giá trị nguyên của n . 2/Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức sau : A = x 2 + x + 1 Câu2((2điểm). Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của đa thức 3n 2 + 10n 2 - 5 chia hết cho giá trị của đa thức 3n + 1. Câu 3(4điểm). Cho biểu thức : 2 2 4 . 4 2 2 x x A x x + = + ữ a) Rút gọn A . b) Tìm giá trị của x ,để A đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy? Câu 4( 4điểm) 1/Một xí nghiệp dệt thảm dự định dệt một số thảm trong 20 ngày. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất dệt của xí nghiệp tăng 20%. Bởi vậy, chỉ trong 18 ngày, xí nghiệp không những đã hoàn thành số thảm cần dệt mà còn làm vợt mức 24 tấm thảm nữa. Tính số thảm mà xí nghiệp dự định ban đầu. 2/ giải phơng trình : (x 2 +x -2)(x 2 +x -3) =12 Câu5(2điểm). Cho a, b, k là các số dơng, a<b .chứng minh : a a k b b k + + Câu 6( 4điểm) 1/Cho hình thang ABCD ( AB// CD) ,có đờng chéo BD hợp với tia BC thành góc DBC bằng góc DAB . Biết AB = 2,5 cm ; AD = 3,5 cm ; BD = 5 cm. a) Chứng minh ABD và BDC đồnh dạng. b) Tính độ dài BC và DC. 2/Cho AD là đờng phân giác trong của tam giác ABC. Biết AB =c, BC = a, AC = b. Tính độ dài BD theo a, b, c . Hớng dẫn chấm đề toán 8 Câu1(4điểm). 1/Ta có : n 4 + 2n 3 n 2 - 2n =n(n 3 +2n 2 -n-2) = n[n 2 (n + 2) n(n +2)] =n(n+2)(n 2 -1) =n(n+2)(n+1)(n-1) =(n-1)n(n+1)(n+2) (1điểm) Do (n-1)n(n+1)(n+2) là tích của bốn số nguyên liên tiếp, nên tích này chia hết cho 8 và 3. Mà (8;3) = 1 => n 4 + 2n 3 n 2 - 2n chia hết cho 24 (24 là tích của 8 và 3) (1điểm) 2/ Ta có A = x 2 +x + 1 = (x 2 +x + 1 4 ) + 3 4 = (x + 1 2 ) 2 + 3 4 3 4 Vậy. A nhận giá trị nhỏ nhất là 3 4 khi x = - 1 2 . (2điểm) Câu2((2điểm). Ta thực hiện phép chia : (0,5điểm) Để giá trị của đa thức bị chia chia hết cho giá trị của đa thức chia thì 3n+1 là ớc của 4.Suy ra : 3n+1 = 1 => n= 0 (nhận) 3n +1 = -1 => n = -2/3 (loại) 3n+1 = 2 => n = 1/3 (loại) 3n+1 = -2 => n = -1(nhận) 3n + 1 = 4 => n = 1 (nhận) 3n+1= -4 => n = -5/3 (loại) (1,5điểm) Vậy. n =-1, 0, hoặc 1 Câu 3(4điểm). a) 2 2 4 .( 4) 2 2 x x A x x + = + 2 2 2 2 2 4 4 ( 2) . 2 . 2 2 2 ( 2) 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x + = + = + = + = + (2,0điểm) b) ĐKXĐ : 0, 2x x A= x 2 - 2x + 2 = (x -1) 2 +1 1 Vậy tại .x=1 thì A nhận giá trị nhỏ nhất .Giá trị đó là 1. (2,0điểm) Câu 4( 4điểm) 1/ Gọi số thảm mà xí nghiệp dự định dệt là x(tấm), x N * . Năng xuất dự định sẽ là : 20 x (tấm/ngày) -4 -3n - 1 -3n - 5 3n + 1 n 2 +3n -1 9 n 2 + 3n 9 n 2 -5 3 n 3 + n 2 3 n 3 + 10 n 2 -5 Năng xuất khi thực hiện : 24 18 x + (tấm/ngày) Khi xi nghiệp thực hiên, năng xuất tăng 20% .Ta có phơng trình : (0,5điểm) 20 24 . 20 100 20 18 x x x + + = 120 24 3 24 54 50 1200 100 20 18 50 18 x x x x x x + + = = = + 4x = 1200 x =300 (0,5điểm) Xét thấy x=300 là giá trị thỏa mãn điều kiện. Vậy số thảm mà xí nghiệp dự định dệt là 300 tấm. (1,0điểm) 2/ giải phơng trình :(x 2 +x -2)(x 2 +x -3) =12 (1) Đặt x 2 +x -2 = t. khi đó phơng trình (1) thành: t(t 1) =12 t 2 t 12 =0 (t 4)( t +3) = 0 t =4 hoặc t=-3 (0,5điểm) a) t=4 thì x 2 +x -2 = 4 x 2 +x -6 = 0 (x +3)(x-2) =0 x=-3hoặc x= 2. b) t=-3 thì x 2 +x -2 =-3 x 2 +x +1 =0 (vô nghiệm) (1,0điểm) Vậy phơng trình đã cho có tập nghiệm S = { -3; 2 } ( 0,5điểm) Câu5(2điểm). Cho a, b, k là các số dơng và a<b. Ta có : a <b ak < bk (vì k > 0 ) ( 0,5điểm) ak +ab < bk +ab ( 0,5điểm) a ( b+k) < b(a+k) a a k b b k + + (điều cần chứng minh ) ( 1,0điểm) Câu 6( 4điểm) 1/ a)Xét ABD và BDC : BAD = DBC (GT) và ABC = BDC (so le trong ) . Do đó ABD và BDC đồng dạng. ( 1,0điểm) b)Do ABD và BDC đồng dạng , Suy ra : 2,5 3,5 5 5 AB AD BD hay BD BC DC BC DC = = = = BC = 5.3,5 2,5 =7(cm) và DC = 5.5 2,5 =10(cm) ( 1,0điểm) 2/ Do AD là đờng phân giác trong của ABC, ta có: DB DC DB DB DC BC DB a ac hay DB AB AC AB AB AC AB AC c c b b c + = = = = = + + + + ( 2,0điểm) D C B A c b a D C B A . hiện : 24 18 x + (tấm/ngày) Khi xi nghiệp thực hiên, năng xuất tăng 20% .Ta có phơng trình : (0,5điểm) 20 24 . 20 100 20 18 x x x + + = 120 24 3 24 54 50 1200 100 20 18 50 18 x x x x x. của bốn số nguyên liên tiếp, nên tích này chia hết cho 8 và 3. Mà (8; 3) = 1 => n 4 + 2n 3 n 2 - 2n chia hết cho 24 (24 là tích của 8 và 3) (1điểm) 2/ Ta có A = x 2 +x + 1 = (x 2 +x + 1 4 ). Đề thi HSG toán 8 năm học 2010-2011 Câu1(4điểm). 1/Chứng minh rằng n 4 + 2n 3 n 2 - 2n chia hết cho 24