Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THAM KHẢO MÔN TOÁN LỚP 8 Thời gian :90 phút Bài 1: (1,5 điểm): a) Giải phương trình: x 2 - 6x + 9 = 4 b) Giải bất phương trình: | 5 1 x − | > 5 2 Bài 2: (1,5 điểm) Tìm x, y , z biết: x 2 + 2y 2 + z 2 - 2xy - 2y - 4z + 5 = 0 rồi tính giá trị của A với A = (x-1) 2008 +(y-1) 2008 +(z-1) 2008 Bài 3: (1,5 điểm) Cho P(x)= 3x6x2x2x 3x3x2xx 234 234 −−−+ −−−+ a) Rút gọn P(x) b)Xác định giá trị của x để P(x) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 4: (1 điểm) Cho a + b + c = 1 , a 2 + b 2 + c 2 = 1 và c z b y a x == . Tính giá trị của xy + yz + xz Bài 5: (1 điểm) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + xz = 6. Chứng minh rằng: x 2 + y 2 + z 2 3≥ Bài 6: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S, trung tuyến AM. K là một điểm của AM sao cho KM = 2 KA . BK cắt AC tại N. a) Tính diện tích tam giác AKN theo S. b) Một đường thẳng đi qua K cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại I và J. Tính giá trị của: + AI AB AJ AC Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng Đáp án Toán 8: Bài 1 : (1,5 điểm) a) Tìm đúng x = 5; x = 1 (0,75 điểm) b) | 5 1 x − | > 5 2 ⇔ x - 5 1 > 5 2 hoặc 5 1 x − < 5 2 − ⇔ x > 5 3 hoặc x < 5 1 − (0,75 điểm) Bài 2: (1,5 điểm) x 2 + 2y 2 + z 2 - 2xy - 2y - 4z + 5 = 0 ⇔ (x - y) 2 + (y - 1) 2 +(z - 2) 2 = 0 (0,5 điểm) ⇔ =− =− =− 02z 01y 0yx (0,25 điểm) ⇔ = == 2z 1yx (0,25 điểm) Tính đúng A= (x -1) 2008 +(y -1) 2008 +( z - 1) 2008 =1 (0,5 điểm) Bài 3: (1,5 điểm) a)P(x)= 3x6x2x2x 3x3x2xx 234 234 −−−+ −−−+ = 2 2 22 22 )1x( 1xx )3x()1x( )3x)(1xx( + ++ = −+ −++ (0,5 điểm) 4 3 4 3 ) 1x 1 2 1 ( 4 3 )1x( 1 1x 1 4 1 )1x( 1 1x 1 1 )1x( 1 )1x( 1x )1x( )1x( )1x( 11x1x2x )1x( 1xx P)b 2 22 222 2 2 2 2 2 ≥+ + −=+ + + + −= + + + −= + + + + − + + = + +−−++ = + ++ = (0,5 điểm) Dấu = xảy ra ⇔ 1x21x 2 1 1x 1 0 1x 1 2 1 =⇔=+⇔= + ⇔= + − (0,25 điểm) P(x) có giá trị nhỏ nhất là 4 3 khi x = 1 (0,25 điểm) Bài 4: (1 điểm) )1cbavì(zyx cba zyx c z b y a x =++++= ++ ++ === . (0,25 điểm) Do đó: (x+y+z) 2 = 222 222 222 2 2 2 2 2 2 zyx cba zyx c z b y a x ++= ++ ++ === ( vì a 2 + b 2 + c 2 = 1) (0,25 điểm) ⇒ x 2 + y 2 + z 2 + 2xy +2yz + 2xz = x 2 + y 2 + z 2 (0,25 điểm) ⇒ 2xy +2yz + 2xz = 0 ⇒ xy + yz + xz = 0 (0,25 điểm) Bài 5: (1 điểm) (x-1) 2 ≥ 0 ⇔ x 2 +1 ≥ 2x. Tương tự: y 2 +1 ≥ 2y; z 2 +1 ≥ 2z và 2(x 2 +y 2 +z 2 ) ≥ 2(xy+yz+xz) (0,5 điểm) Cộng 4 bất đẳng thức theo từng vế ta có:3(x 2 +y 2 +z 2 )+3 ≥ 2(x+y+z+xy+yz+xz) (0,25 điểm) ⇔ x 2 +y 2 +z 2 ≥ 3(vì x+y+z+xy+yz+xz = 6) (0,25 điểm) Bài 6: (3,5 điểm) Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng a) Gọi E là trung điểm NC: NE = EC. (0,25 điểm) BNC ∆ có ME là đường trung bình nên ME//BN suy ra KN//ME (0,25 điểm) AME ∆ có KM = 2KA ⇒ 2 AN NE KA KM == ⇒ NE = EC = 2AN (0,25 điểm) Chứng minh được AC = AN + NE + EC = 5AN (0,25 điểm) Chứng minh được S AKN = 5 1 S AKC (0,25 điểm) S AKC = 3 1 S AMC (0,25 điểm) S AMC = 2 1 S ABC (0,25 điểm) ⇒ S AKN = 2 1 . 3 1 . 5 1 S ABC = S 30 1 (0,25 điểm) b) Vẽ BD // IJ và CF // IJ (D, F thuộc tia AM) (0,25 điểm) Chứng minh được ∆ BMD = ∆ CMF ⇒ MD = MF (0,25 điểm) ∆ ABD có IK// BD nên: AK AD AI AB = (định lý Ta-let) (0,25 điểm) ∆ AFC có KJ// CF nên: AK AF AJ AC = (0,25 điểm) AK MFAMDMAM AK AF AK AD AJ AC AI AB ++− =+=+ (0,25 điểm) 6 AK AM2 == . Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THAM KHẢO MÔN TOÁN LỚP 8 Thời gian :90 phút Bài 1: (1,5 điểm): a) Giải phương trình: x 2 - 6x. x 2 + 2y 2 + z 2 - 2xy - 2y - 4z + 5 = 0 rồi tính giá trị của A với A = (x-1) 20 08 +(y-1) 20 08 +(z-1) 20 08 Bài 3: (1,5 điểm) Cho P(x)= 3x6x2x2x 3x3x2xx 234 234 −−−+ −−−+ a) Rút gọn P(x) b)Xác. ⇔ =− =− =− 02z 01y 0yx (0,25 điểm) ⇔ = == 2z 1yx (0,25 điểm) Tính đúng A= (x -1) 20 08 +(y -1) 20 08 +( z - 1) 20 08 =1 (0,5 điểm) Bài 3: (1,5 điểm) a)P(x)= 3x6x2x2x 3x3x2xx 234 234 −−−+ −−−+ =