Dạng 3: (đã biết điểm đi qua, cần tìm một điểm khác ) Bài 18: Viết phương trình đường thẳng qua N(4;1;2), vuông góc với đường thẳng (d 1 ) : x 1 1 = y 2 3 = z 1 1 và cắt đường thẳng (d 2 ): x 2 2 = y 1 = z 3 3 . Giải : + Mặt phẳng (α) qua N và vuông góc với (d 1 ) , n = 1 u =(1;3;1) : Phương trình mp(α) : (x4) 3(y1) +(z+2) =0 <=> x3y +z +1=0 + Giao của mp(α) và (d 2 ) là M : x 3y z 1 0 x 2 2t y t z 3 3t => (2+2t) 3t +3+3t +1=0 <=> t=1 => M(4;1;0) Đường thẳng qua M, N có VTCP MN =(8;2;2) Phương trình : x 4 y 1 z 8 2 2 Bài 19: Viết phương trình đường thẳng qua C(3;1;5) , vuông góc và cắt đường thẳng (d) : x 1 2 = y 2 1 = z 1 Giải : + Gọi H là hình chiếu của C lên đường thẳng (d) Ta có H (d) => H( 1+2t ;2t ; t) CH =(4+2t ; 3t ; t5) ; u =(2;1;1) CH . u =0 <=> 2(4+2t) (3t) +t5=0 <=> t=1 Suy ra H( 1;1;1) + Đường thẳng đi qua C và H có CH =(2;2;6) là VTCP Phương trình : x 3 y 1 z 5 2 2 6 Bài 20: Cho đường thẳng (d) x 2 y 1 z 3 1 2 4 và () : x3y+2z 5=0 . Viết phương trình đường thẳng qua M(2;0;1) , biết // mp() và cắt đường thẳng (d) . Giải : + Mp() qua M và song song với mp() có phương trình là : (x+2) 3(y0) +2(z1) =0 <=> x3y +2z =0 d 1 d 2 α N * M C H d + Gọi N là giao của mp) và đường thẳng (d) : x 3y 2z 0 x 2 t y 1 2t z 3 4t => (2t)3(1+2t) +2(3+4t) =0 <=> t=1 => x 1 y 1 z 1 . Điểm N(1;1;1) + Đường thẳng qua M,N có VTCP MN =(1;1;2) Phương trình : x 2 y z 1 1 1 2 Bài 21: Cho đường thẳng (d 1 ) x 1 y z 1 3 2 1 ; (d 2 ) x y 1 z 2 1 5 1 và C(3;1;1) . Viết phương trình đường thẳng qua C và cắt cả hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) . Giải : (d 1 ) qua M 1 (1;0;1) và có VTCP 1 u =(3;2;1) (d 2 ) qua M 2 (0;1;2) và có VTCP 2 u =(1;5;1) Giả sử cắt (d 1 ) tại A(1+3t 1 ; 2t 1 ; 1+t 1 ) cắt (d 2 ) tại B(t 2 ; 1+5t 2 ; 2t 2 ) Ta có CA =(4+3t 1 ; 2t 1 1; t 1 ) ; CB =(t 2 3;2+5t 2 ; 3t 2 ) Vì C, A, B thẳng hàng => CA =k. CB <=> 1 2 1 2 1 2 4 3t k(t 3) 2t 1 k( 2 5t ) t k( 3 t ) <=> 2 1 1 1 1 1 kt 3t 3k 4 2t 1 2k 5(3t 3k 4) t 3k (3t 3k 4) <=> 2 1 5 t 12 31 t 13 12 k 13 => CA =( 41 13 ; 49 13 ; 31 13 ) là VTCP // u =(41;49;31) Phương trình đường thẳng qua A nhận u làm VTCP : x 3 y 1 z 1 41 49 31 d α M * N Bài 22: Cho (d) : x y 1 z 1 2 3 1 và () : 2x y +z3=0 a) Xác đònh giao điểm A của (d) và () b) Viết phương trình đường thẳng đi quaA, nằm trong mp() sao cho góc tạo bởi và (d) là nhỏ nhất . Giải : a) Giao điểm của (d) và () : 2x y z 3 0 x 2t y 1 3t z 1 t => 2(2t) (1+3t) +(1+t) 3=0 => t= 5 2 . Vậy A( 5; 17 2 ; 3 2 ) b) C 1 + đường thẳng qua M(0;1;1) , VTCP d u =(2;3;1) + Gọi (d’) là hình chiếu của (d) lên mp() ; H là hình chiếu của M lên mp() ( điểm H (d’) Gọi K là hình chiếu của M lên đường thẳng . Ta có MH MK => MAH MAK ( vì sin MAH = MH AM ; sin MAK = MK AM ) + Góc tạo bởi hai đường (d) và nhỏ nhất bằng góc tạo bởi (d) và (d’) Suy ra : đường thẳng trùng (d’) Tìm tọa độ H : Đường thẳng (d 2 ) qua M, vuông góc với () nhận n =(2;1;1) là VTCP : Phương trình (d 2 ) : x 0 2t y 1 t z 1 t . Tọa độ H là giao của (d 2 ) và () là : 2x y z 3 0 x 2t y 1 t z 1 t => t= 5 6 Điểm H( 5 3 ; 1 6 ; 1 6 ) ; AH = 10 25 5 ; ; 3 3 3 // AH u =(2;5;1) d α M * A d’ H K Đ. thẳng cần tìm đi qua A, nhận AH u làm VTCP: 17 3 y z x 5 2 2 2 5 1 C 2 : ( Giải bằng phương pháp đại số ) Gọi u = (a;b;c ) với a 2 +b 2 +c 2 ≠ 0 Vì mp() => u n <=> u . n =0 <=> 2a b+c=0 hay b =2a+c Gọi là góc tạo bởi hai đường thẳng và (d) : Ta có: cos = 2 2 2 2 2 2 2a 3b c 2 3 1 . a b c = 2 2 2 2a 3(2a c) c 14. a (2a c) c = 2 2 4. 2a c 14. 5a 4ac 2c = 2 2 2 4 (2a c) 5a 4ac 2c 14 Xét biểu thức T = 2 2 2 (2a c) 5a 4ac 2c = 2 2 2 2 4a 4ac c 5a 4ac 2c + Nếu c= 0 thì T = 4 5 + Nếu c≠ 0, đặt a= kc thay vào ta có : T= 2 2 2 2 2 2 2 2 4k c 4kc c 5k c 4kc 2c T= 2 2 4k 4k 1 5k 4k 2 ( coi k là ẩn ) <=> T(5k 2 +4k+2) =4k 2 +4k +1 <=> (5T4).k 2 + 4(T1).k +2T1=0 (*) Khi: 5T4=0 T= 4 5 pt có nghiệm k= 3 4 Khi 5T4≠ 0 . Điều kiện pt (*) có nghiệm là ’ 0 4(T1) 2 (5T4)(2T1) 0 <=> 6T 2 +5T 0 <=> 0 T 5 6 Với (0; 2 ) , góc nhỏ nhất <=> cos lớn nhất <=> T lớn nhất Khi đó T = 5 6 . Suy ra k =2 và a= 2c Chọn c=1 , a=2 và b=5 , VTCP u =(2;5;1) Đường thẳng cần tìm đi qua A, có VTCP u : 17 3 y z x 5 2 2 2 5 1 Bài 23: Cho mặt cầu (S) : (x+1) 2 +(y2) 2 +(z+3) 2 =16 và A(1;2;1) (d) : x 1 y 1 z 1 3 2 2 . Viết phương trình đường thẳng qua A , biết vuông góc với (d) và cắt mặt cầu (S) theo một dây cung có độ dài ngắn nhất. Giải : Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) , bán kính R=4 Ta có : (1+1) 2 +(22) 2 +(1+3) 2 < 16 => điểm A ở trong hình cầu + Giả sử cắt mặt cầu (S) theo một dây cung MN Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng ( H là trung điểm MN) IH IA và MN=2MH= 2 2 R IH = 2 16 IH MN nhỏ nhất <=> IH lớn nhất <=> IH = IA Khi đó IA , với IA =(2;0;4) (d) ; d u =(3;2;2) Suy ra u =[ IA , d u ]=(8;8;4) Phương trình đường thẳng qua A nhận u là VTCP : x 1 y 2 z 1 8 8 4 Bài 24: Cho mặt cầu (S) : (x2) 2 +(y3) 2 +(z+1) 2 =25 và B(3;2;1) (): 2xy+5z 1=0 . Viết phương trình đường thẳng qua B , biết song song với () và cắt mặt cầu (S) theo một dây cung có độ dài ngắn nhất Giải : Mặt cầu (S) có tâm I(2;3;1) , bán kính R=5 Ta có : (32) 2 +(23) 2 +(1+1) 2 < 25 => điểm B ở trong hình cầu + Giả sử cắt mặt cầu (S) theo một dây cung MN Gọi H à hình chiếu của I lên đường thẳng ( H là trung điểm MN) IH IB và MN=2MH= 2 2 R IH = 2 25 IH MN nhỏ nhất <=> IH lớn nhất <=> IH = IB Khi đó IB , với IB =(1;1;2) () // ; n , với n =(2;1;5) ; Suy ra u =[ IB , n ]=(3;1;1) P/ trình đường thẳng qua B nhận u là VTCP : x 3 y 2 z 1 3 1 1 I M N A * H I M N B * H . 1 kt 3t 3k 4 2t 1 2k 5(3t 3k 4) t 3k (3t 3k 4) <=> 2 1 5 t 12 31 t 13 12 k 13 => CA =( 41 13 ; 49 13 ; 31 13 ). <=> x3y +z +1=0 + Giao của mp(α) và (d 2 ) là M : x 3y z 1 0 x 2 2t y t z 3 3t => (2+2t) 3t +3+ 3t +1=0 <=> t=1 => M(4;1;0) Đường thẳng. y z 3 0 x 2t y 1 3t z 1 t => 2(2t) (1+3t) +(1+t) 3= 0 => t= 5 2 . Vậy A( 5; 17 2 ; 3 2 ) b) C 1 + đường thẳng qua M(0;1;1) , VTCP d u =(2 ;3; 1)