viet pt duong thang dang 3

Viết phương trình đường thẳng  qua C và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.

Dạng 3: (đã biết điểm đi qua, cần tìm một điểm khác )

Bài 18: Viết phương trình đường thẳng  qua N(4;1;2),

 vuông góc với đường thẳng (d1) : x 1

1



=y 2 3



1

 và cắt đường

thẳng (d2): x 2

2



=y

1=z 3 3

 Giải : + Mặt phẳng (α) qua N và vuông góc với (d1) , n



=u1

=(1;3;1) : Phương trình mp(α) : (x4) 3(y1) +(z+2) =0 <=> x3y +z +1=0

+ Giao của mp(α) và (d2) là M :

x 3y z 1 0





  









  



=> (2+2t) 3t +3+3t +1=0

<=> t=1 => M(4;1;0)

Đường thẳng  qua M, N có VTCP MN

=(8;2;2) Phương trình  : x 4 y 1 z

 Bài 19: Viết phương trình đường thẳng  qua C(3;1;5) ,  vuông góc và cắt đường thẳng (d) : x 1

2



=y 2 1



1

Giải : + Gọi H là hình chiếu của C lên đường thẳng (d)

Ta có H  (d) => H( 1+2t ;2t ; t)

CH



=(4+2t ; 3t ; t5) ; u

=(2;1;1) CH



u

=0 <=> 2(4+2t) (3t) +t5=0 <=> t=1

Suy ra H( 1;1;1)

+ Đường thẳng  đi qua C và H có CH

=(2;2;6) là VTCP Phương trình :x 3 y 1 z 5

Bài 20: Cho đường thẳng (d) x 2 y 1 z 3

Viết phương trình đường thẳng  qua M(2;0;1) , biết  // mp() và  cắt đường thẳng (d)

Giải : + Mp() qua M và song song với mp() có phương trình là :

(x+2) 3(y0) +2(z1) =0 <=> x3y +2z =0

d1

d2

α

N *

M

C

H

d

+ Gọi N là giao của mp) và đường thẳng (d) :



   





 



  



=> (2t)3(1+2t) +2(3+4t) =0

<=> t=1 =>

 





 



  



Điểm N(1;1;1)

+ Đường thẳng  qua M,N có VTCP MN

=(1;1;2) Phương trình  : x 2 y z 1

Bài 21: Cho đường thẳng (d1) x 1 y z 1

 và C(3;1;1) Viết phương trình đường thẳng  qua C và cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2)

Giải : (d1) qua M1(1;0;1) và có VTCP u1

=(3;2;1) (d2) qua M2(0;1;2) và có VTCP u2

=(1;5;1) Giả sử  cắt (d1) tại A(1+3t1; 2t1 ; 1+t1)

 cắt (d2) tại B(t2; 1+5t2 ; 2t2)

Ta có CA

=(4+3t1; 2t11; t1) ; CB

=(t2 3;2+5t2 ; 3t2)

Vì C, A, B thẳng hàng => CA

=k.CB

<=>

t k( 3 t )







   



<=>









<=>

2

1

5 t

12 31 t 13 12 k 13



 















 



=> CA

=(41

13;49

13 ;31

13) là VTCP // u

=(41;49;31)

Phương trình đường thẳng  qua A nhận u

d

α



Bài 22: Cho (d) :x y 1 z 1

  và () : 2x y +z3=0 a) Xác định giao điểm A của (d) và ()

b) Viết phương trình đường thẳng  đi quaA,  nằm trong mp() sao cho góc tạo bởi  và (d) là nhỏ nhất

Giải : a) Giao điểm của (d) và () :

x 2t

y 1 3t

   







 



   



=> 2(2t) (1+3t) +(1+t) 3=0 => t= 5

2 Vậy A( 5;17

2 ;3

2) b) C1 + đường thẳng qua M(0;1;1) , VTCP ud

=(2;3;1) + Gọi (d’) là hình chiếu của (d) lên mp() ;

H là hình chiếu của M lên mp() ( điểm H  (d’)

Gọi K là hình chiếu của M lên đường thẳng 

Ta có MH  MK

=> MAH  MAK ( vì sin MAH=MH

AM; sin MAK=MK

AM) + Góc tạo bởi hai đường (d) và  nhỏ nhất bằng góc tạo bởi (d) và (d’) Suy ra : đường thẳng  trùng (d’)

 Tìm tọa độ H :

Đường thẳng (d2) qua M, vuông góc với () nhận n



=(2;1;1) là VTCP : Phương trình (d2) :

 





 



   



Tọa độ H là giao của (d2) và () là :

x 2t

y 1 t

   











 



   



=> t=5 6

Điểm H(5

3;1

6;1

6) ; AH

= 10 25 5; ;

  // uAH

=(2;5;1)

d

α

M *

K 

Đ thẳng  cần tìm đi qua A, nhận uAH

làm VTCP:



C2: ( Giải bằng phương pháp đại số )

Gọi u



= (a;b;c ) với a2 +b2 +c2 ≠ 0

Vì   mp() => u



 n

 <=> u

 n



=0 <=> 2a b+c=0 hay b =2a+c Gọi  là góc tạo bởi hai đường thẳng  và (d) :

Ta có: cos  =

=

=

4 2a c



=

2

14



Xét biểu thức T =

2

(2a c)



+ Nếu c= 0 thì T = 4

5 + Nếu c≠ 0, đặt a= kc thay vào ta có : T=

2 2

  ( coi k là ẩn )

<=> T(5k2 +4k+2) =4k2 +4k +1 <=> (5T4).k2 + 4(T1).k +2T1=0 (*) Khi: 5T4=0  T= 4

5 pt có nghiệm k= 3

4 Khi 5T4≠ 0 Điều kiện pt (*) có nghiệm là ’ 0

4(T1)2 (5T4)(2T1)  0 <=> 6T2 +5T  0 <=> 0  T  5

6 Với  (0;

2



) , góc  nhỏ nhất <=> cos lớn nhất <=> T lớn nhất

Khi đó T = 5

6 Suy ra k =2 và a= 2c

Chọn c=1 , a=2 và b=5 , VTCP u



=(2;5;1) Đường thẳng  cần tìm đi qua A, có VTCP u

 :



Bài 23: Cho mặt cầu (S) : (x+1)2 +(y2)2 +(z+3)2 =16 và A(1;2;1) (d) :x 1 y 1 z 1

 Viết phương trình đường thẳng  qua A , biết  vuông góc với (d) và  cắt mặt cầu (S) theo một dây cung có độ dài ngắn nhất

Giải : Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) , bán kính R=4

Ta có : (1+1)2 +(22)2 +(1+3)2 < 16 => điểm A ở trong hình cầu

+ Giả sử  cắt mặt cầu (S) theo một dây cung MN

Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng  ( H là trung điểm MN)

 IH  IA và MN=2MH= R2IH2 = 16 IH 2

MN nhỏ nhất <=> IH lớn nhất <=> IH = IA

Khi đó IA

  , với IA

=(2;0;4) (d)   ; ud

=(3;2;2) Suy ra u



=[ IA

,ud

]=(8;8;4) Phương trình đường thẳng  qua A nhận u

 là VTCP :

 Bài 24: Cho mặt cầu (S) : (x2)2 +(y3)2 +(z+1)2 =25 và B(3;2;1)

(): 2xy+5z 1=0 Viết phương trình đường thẳng  qua B , biết  song song với () và  cắt mặt cầu (S) theo một dây cung có độ dài ngắn nhất Giải : Mặt cầu (S) có tâm I(2;3;1) , bán kính R=5

Ta có : (32)2 +(23)2 +(1+1)2 < 25 => điểm B ở trong hình cầu

+ Giả sử  cắt mặt cầu (S) theo một dây cung MN

Gọi H à hình chiếu của I lên đường thẳng  ( H là trung điểm MN)

R IH = 25 IH 2

MN nhỏ nhất <=> IH lớn nhất <=> IH = IB

Khi đó IB

  , với IB

=(1;1;2) () //  ; n

   , với n



=(2;1;5) ; Suy ra u



=[ IB

, n

 ]=(3;1;1) P/ trình đường thẳng  qua B nhận u





I



M N

A* H



I



M N

B*

H