Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng P... Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu S tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9... Với m
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 10: HÌNH CẦU
TÓM TẮT CÔNG THỨC (1) Phương trình mặt cầu
1) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) bán kính R là (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
2) Dạng tổng quát của phương trình mặt cầu là
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 sẽ có tâm I(a, b, c) bán kính R = a2 +b2 +c2 −d nếu ta có điều kiện
a2 + b2 + c2 – d > 0
3) Điều kiện tiếp xúc giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có tâm I bán kính R là khoảng cách từ I đến (P) bằng bán kính R
Ví dụ 1:
Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2, 3, –1) cắt đường thẳng (d)
⎧
⎩
0
tại hai điểm A và B sao cho AB = 16
Giải
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và vuông góc đường thẳng (d) Ta có phương trình tham số đường (d) là
14
x t
y t
z t
= −
⎧
⎨
⎪
= −
⎪⎩
5
Gọi (P) là mặt phẳng qua I(2, 3, –1) và vuông góc đường thẳng (d) nên có pháp vectơ là aG = 1
1, , 1
2
⎜
⎞
⎟ Vậy phương trình (P) viết
(x – 2) + 1
2(y – 3) - (z + 1) = 0 ⇔ 2x + y – 2z – 9 = 0 Giao điểm K giữa (d) và (P) có tọa độ ( t – 14, 1
2t – 25
2 , –t )
thỏa phương trình (P) Vậy ta có
Trang 22(t – 14) + ( 1
2t – 25
2 ) +2t – 9 = 0 Suy ra t = 11 Vậy ta có K (–3, –7, –11)
Khoảng cách từ I đến (d) là IK = 25 100 100+ + = 15
Do đó bán kính mặt cầu là R = 2 2
4
AB
Nên phương trình mặt cầu viết là :
(x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289
Ví dụ 2:
Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d)
⎧
⎩ và tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương trình
(P) : x + 2y – 2z – 2 = 0 ; (Q) : x + 2y – 2z + 4 = 0
Giải
Ta có (P) // (Q) nên khi gọi A, B là giao điểm của (d) với (P) và (Q) thì tâm I mặt cầu tiếp xúc với (P) và (Q) phải là trung điểm đoạn AB và bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ I đến (P)
Ta có tọa độ A là nghiệm của hệ
A(2, 1, 1)
⎧
⎨
⎩
0
0
⇒
Ta có tọa độ B là nghiệm của hệ
⎧
⎨
⎩
⇒
Vậy tâm mặt cầu là I(–1, 3, 3) và bán kính R = 1
Nên phương trình mặt cầu viết thành
(x + 1)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 = 1
Ví dụ 3 ( ĐH KHỐI D –2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm
A (2; 0; 1); B(1;0;0); C (1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0 Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P)
Giải
Trang 3Cách 1: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 Mặt cầu qua A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) nên ta có:
⇔
+ + = −
⎧
⎪ + = −
⎪
⎨ + + + = −
⎪
⎪ + + = −
⎩
= −
⎧
⎪ =
⎪
⎨ = −
⎪
⎪ =
⎩
b 0
d 1
⇔ x2 + y2 + z2 – 2x – 2z + 1 = 0
Cách 2: Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu
Giả thiết cho: IA2 IB2 IC
I (P)
⎪
⎨
∈
⎪⎩
2
2
⇔
⎨
⎪ + + − =
⎪⎩
(x 1) y z (x 1) (y 1) (z 1)
x y z 2 0
⎧
⎪ + =
⎨
⎪ + + − =
⎩
2x 2z 4 0
y z 1
x y z 2 0
x 1
y 0
z 1
=
⎧
⎪ =
⎨
⎪ =
⎩
Bán kính R = IB = 1
Suy ra phương trình mặt cầu: (x – 1)2 + y2+ (z –1)2=1
Ví dụ4 ( Đề Dự Trữ KHỐI D -2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho đường thẳng d : và mặt cầu
⎩
⎨
⎧
=
−
− +
= +
−
−
0 4 z 2 y 2 x
0 1 z y 2 x
2
(S) : x 2 + y 2 + z 2 + 4x – 6y + m = 0 Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9
Giải
Phương trình mặt cầu (S) : (x + 2) 2 + (y – 3) 2 + z 2 = 13 – m
ĐK : m < 13
(S) có tâm I(−2; 3; 0), R = 13 m −
Vì MN = 9 ⇒ HM = HN = 9
2 (IH ⊥ MN) (d) cho x = 0 ⇒ 2y z 1 0 ⇒
2y 2z 4 0
⎧
⎩
y 1
=
⎧
⎨ = −
⎩ ⇒ A(0; 1; −1) (d) có 1 ⇒ = 3(2; 1; 2)
2
n (2, 2, 1)
n (1, 2, 2)
→
→
⎢
⎢
⎢⎣
a
→
⎯→AI = (−2; 2; 1), [⎯→AI , ] = (9; 18; − 18) = 9(1; 2; − 2) →a
IH = d(I, d) =
⎯→ →
→
+ +
⏐ ⏐
[ AI , a ] 9 1 4 4 3
3 4 1 4
Δ vuông IHN ta có :
IM 2 = IH 2 + HN 2 ⇔13 – m = 9 + 81 117
4 = 4
Trang 4⇔ m = 65
4
Ví dụ 5 ( ĐỀ DỰ TRỮ KHỐI D -2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng
(P) : 2x + 2y + z – m 2 – 3m = 0 (m là tham số) và mặt cầu
(S) : (x – 1) 2 + (y + 1) 2 + (z – 1) 2 = 9
Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Với m tìm được hãy xác định tọa độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S)
Giải
Mặt cầu (S) có tâm I(1; −1; 1), bán kính R = 3
Mặt phẳng P tiếp xúc với (S) ⇔ d(I: P) = R
⇔ 2−2+1−m2−3m =3 4+4+1
⇔ m 2 + 3m – 1 = 9 hay m 2 + 3m – 1 = −9
⇔ m 2 + 3m – 10 = 0 hay m 2 + 3m + 8 = 0 (VN)
⇔ m = −5 hay m = 2 ⇒ (P) : 2x + 2y + z – 10 = 0
Phương trình đường thẳng Δ qua I và ⊥ (P) :
x 1 2t
z 1 t
= +
⎧
⎪
Δ⎨ = − +
⎪ = +
⎩
t
Thế vào phương trình mp (P)
⇒ 2(1 + 2t) + 2(−1 + 2t) + 1 + t – 10 = 0 ⇒ t = 1
⇒ Tiếp điểm M của P và (S) là M(3; 1; 2)
Cách khác IM2 = 9 ⇔ 4t 2 + 4t 2 + t 2 = 9 ⇒ t = ± 1
⇒ M(3; 1; 2) hay M(-1; -3; 0).Vì M∈ P ⇒ M(3; 1; 2)
PHẠM HỒNG DANH-TRẦN MINH QUANG –TRẦN VĂN TOÀN
( TRUNG TÂM LUYỆN THI CLC VĨNH VIỄN )