Phương trình quy về phương trình bậc hai

TT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sư t t t tại ii i TP Hu TP Hu TP Hu TP Hu ﾕ ﾕﾕ ﾕ - - ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027    0989824932 0989824932 0989824932 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 - PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Tiết 17: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHUYẾT (CÓ HỆ SỐ b = 0 HOẶC c = 0) I. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai ) là phương trình có dạng : 2 ax 0 bx c + + = Với x là ẩn, a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số và 0 a ≠ . Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình bậc hai : a) 5x 2 - 3x - 2 = 0 có a = 5, b = - 3, c = - 2 b) 7x 2 - 7 = 0 có a = 7, b = 0, c = -7 c) 9x 2 - 9x = 0 có a = 9, b = -9, c = 0 2. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai có hệ số b = 0 hoặc c = 0 * Trường hợp c = 0, phương trình có dạng: ax 2 + bx = 0 Phương pháp giải: Đặt thừa số chung để đưa về phương trình tích: A.B = 0 0 0 A B =  ⇔  =  Ta có: ax 2 + bx = 0 0 x=0 ( +b)=0 ax+b=0 x x ax b x a =    ⇔ ⇔ ⇔   = −   Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x 2 – 8x = 0 Giải 4x 2 – 8x = 0 ⇔ 4x( x-2) = 0 ⇔ 4 0 2 0 x x =   − =  ⇔    = = 2 0 x x Vậy phương trình có hai nghiệm x 1 = 0; x 2 = 2 *Trường hợp b = 0, phương trình có dạng: ax 2 + c=0 • Nếu a.c > 0 thì phương trình vô nghiệm. • Nếu a.c < 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt áp dụng quy tắc chuyển vế và đưa phương trình về dạng x 2 = a c r ồi giải. Ví d ụ 2: Phương trình x 2 + 2 = 0 vô nghiệm vì a = 1, c = 2; 1.2 = 2 > 0 Ví d ụ 3: Giải phương trình: 5x 2 – 100 = 0 Giải: 5x 2 – 100 = 0 ⇔ 5x 2 = 100 ⇔ x 2 = 20 ⇔ x = 52± Vậy phương trình có hai nghiệm x 1 = 52 ; x 2 = - 52 II. Bài tập áp dụng Dạng 1: Nhận biết phương trình bậc hai và các hệ số a, b, c Bài tập 1: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình bậc hai ? Xác định các hệ số a, b, c của phương trình đó: TT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sư t t t tại ii i TP Hu TP Hu TP Hu TP Hu ﾕ ﾕﾕ ﾕ - - ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027    0989824932 0989824932 0989824932 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 - a) 4x 3 + 2x 2 + 7x - 9 = 0 b) 6x 2 + 2x - 3 = 4x 2 + 3 c) 7x 2 + 2x = 3 + 2x d) 88222 2 =++− xx Giải : a) Phương trình 4x 3 + 2x 2 + 7x - 9 = 0 không phải là phương trình bậc hai b) Phương trình 6x 2 + 2x - 3 = 4x 2 + 3 ⇔ 6x 2 + 2x – 3 - 4x 2 - 3 = 0 ⇔ 2x 2 + 2x - 6 = 0 Là phương trình bậc hai có a = 2, b = 2, c = - 6 c) Phương trình 7x 2 + 2x = 3 + 2x ⇔ 7x 2 +2x -3 -2x = 0 ⇔ 7x 2 – 3 = 0 Là phương trình bậc hai có a = 7, b = 0 , c = -3 d) Phương trình 88222 2 =++− xx ⇔ 088222 2 =−++− xx ⇔ - 2 2 x 2 + 2 x = 0 Là phương trình bậc hai có a = -2 2 , b = 2 , c = 0 Dạng 2: Giải phương trình: Bài tập 2:Giải các phương trình sau: a) 2x 2 + 5x = 0, b) 5x 2 - 15 = 0, c) x 2 + 2010 = 0 Giải a) 2x 2 + 5x = 0 ⇔ x (2x + 5 ) = 0 ⇔     −= = 2 5 0 x x Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 0 và x = 5 2 − b) 5x 2 - 15 = 0 ⇔ 5x 2 = 15 ⇔ x 2 = 3 ⇔ x = 3 ± Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 3 và x = - 3 c) x 2 + 2010 = 0 Có a = 1, c = 2010, a.c = 2010 > 0. Vậy phương trình vô nghiệm. III. Bài tập đề nghị Bài 1: Các phương trình sau đây đâu là phương trình bậc hai, chỉ rõ các hệ số a, b, c của chúng. a) 2x 2 + 5x + 1 = 0, b) 2x 2 – 2x = 0 c) 2 3x − = 0, d) 4x + 5 = 0 Giải a, 2x 2 + 5x + 1 = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = 5, c = 1. b) 2x 2 – 2x = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = -2, c = 0. c) 2 3x − = 0 là phương trình bậc hai có a = - 3 , b = 0, c = 0. TT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sư t t t tại ii i TP Hu TP Hu TP Hu TP Hu ﾕ ﾕﾕ ﾕ - - ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027    0989824932 0989824932 0989824932 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 3 - d) 4x + 5 = 0 không phải là phương trình bậc hai. Bài 2: Đưa các phương trình sau về phương trình dạng 2 ax 0 bx c + + = và giải các phương trình đó: a) 5x 2 + x8 = 2( 4 2) x + , b) ( ) 868677 2 +−=−+ xxx Giải 2 2 2 ) 5 8 8 2 5 8 8 2 0 5 2 0 2 5 a x x x x x x x x + = + ⇔ + − − = ⇔ − = ⇔ = ± Vậy phương trình có hai nghiệm 2 5 x = và 2 5 x = − b, ( ) 868677 2 +−=−+ xxx ( ) 2 2 2 7 7 86 86 7 7 86 86 0 7 8 0 7 8 0 0 0 8 7 8 0 7 x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + − = − − ⇔ + − + + = ⇔ + = ⇔ + = =  =   ⇔ ⇔   = − + =    Vậy phương trình có hai nghiệm 0 x = và 8 7 x = − Tiết 18: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. Kiến thức cơ bản Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: Đối với phương trình 2 ax 0 bx c + + = , 0 a ≠ và biệt thức 2 4 b ac ∆ = − - Nếu 0 ∆ < thì phương trình vô nghiệm. - Nếu 0 ∆ > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 b x a − + ∆ = và 2 2 b x a − − ∆ = - Nếu 0 ∆ = thì phương trình có nghiệm kép: 1 2 2 b x x a = = − Ví dụ: Giải phương trình 2 2 5 1 0 x x − + = Giải Phương trình 2 2 5 1 0 x x − + = Có a = 2, b = - 5, c = 1 TT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sư t t t tại ii i TP Hu TP Hu TP Hu TP Hu ﾕ ﾕﾕ ﾕ - - ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027    0989824932 0989824932 0989824932 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 4 - ( ) 2 2 4 5 4.2.1 25 8 17 17 0 b ac ∆ = − = − − = − = ∆ = > Phương trình có hai nghiệm phân biệt ( ) 1 5 17 5 17 2 2.2 4 b x a − − + − + ∆ + = = = ( ) 2 5 17 5 17 2 2.2 4 b x a − − − − − ∆ − = = = Chú ý: Nếu phương trình 2 ax 0 bx c + + = , 0 a ≠ có a và c trái dấu, tức là a.c < 0 thì 2 4 0 b ac ∆ = − > khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt. II. Bài tập áp dụng Bài 1: Giải phương trình sau: 2 2 2 2 1 0 x x − + = Giải 2 2 2 2 1 0 x x − + = (a = 2, b = 2 2 − , c = 1) ( ) 2 2 4 2 2 4.2.1 4.2 4.2 0 b ac ∆ = − = − − = − = Vậy phương trình có nghiệm kép: 1 2 2 2 2 2 2.2 2 b x x a − = = − = − = Bài 2: Cho phương trình ( ) 2 2 4 0 x m x m − + + = a) Tìm m biết x = 3 là một nghiệm của phương trình ? b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m? Giải: a) Phương pháp: Vì x 0 là một nghiệm của phương trình nên 2 0 0 ax bx c + + phải bằng 0 Vì phương trình nhận x=3 là một nghiệm nên: ( ) 2 2.3 4 .3 0 18 3 12 0 2 6 3 m m m m m m − + + = ⇔ − − + = ⇔ − = − ⇔ = Vậy với m = 3 phương trình đã cho nhận x = 3 là một nghiệm. b) Để phương trình 2 ax 0 bx c + + = luôn có nghiệm thì 0 ∆ ≥ Ta có: ( ) 2 2 2 4 4.2. 8 16 8 16 m m m m m m ∆ = − + −    = + + − = + Vì 2 0 m ≥ với mọi m do đó 2 16 0 m ∆ = + > với mọi m Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. III. Bài tập đề nghị Bài 1: Giải các phương trình sau ( ) 2 2 ,2 1 2 2 2 0 1 2 , 2 0 3 3 a x x b x x − − − = − − = TT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sư t t t tại ii i TP Hu TP Hu TP Hu TP Hu ﾕ ﾕﾕ ﾕ - - ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027    0989824932 0989824932 0989824932 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 5 - Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm, tính nghiệm đó ( ) ( ) 2 2 2 , 2 1 2 0 ,2 4 3 2 1 0 a mx m x m b x m x m + − + + = − + + − = Tiết 19: CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN I. Kiến thức cơ bản * Công thức nghiệm thu gọn: Cho phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a 0 ≠ ) (1) Đặt b = 2b'. Ta có: ' ∆ = b’ 2 – ac (1) vô nghiệm <=> ' ∆ < 0. (1) có nghiệm kép <=> ' ∆ = 0; x 1 = x 2 = a b' − (1) có hai nghiệm phân biệt <=> ' ∆ > 0 x 1 = a b '' ∆+− ; x 2 = a b '' ∆−− (1) có nghiệm <=> ' ∆ ≥ 0 Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 10x 2 + 6x + 1 = 0 (2) Giải: Ta có: ∆ ' = 3 2 - 10.1 = - 1. ∆ ' < 0 => phương trình (2) vô nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 5x 2 - 6x + 1 = 0 (3) Giải: Ta có: ∆ ' = (-3) 2 - 5.1 = 4 ; 24' ==∆ . ∆ ' > 0 => phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt. x 1 = 1 5 2)3( = + − − ; x 2 = 5 1 5 2)3( = − − − Ví dụ 3: Giải phương trình sau: x 2 - 10x + 25 = 0 (4) Giải: Ta có: ∆ ' = (-5) 2 - 1. 25 = 0. ∆ ' = 0 => phương trình (4) có nghiệm kép: x 1 = x 2 = 5 1 )5( = − − ; II. Bài tập áp dụng: Bài 1: Xác định hệ số a, b', c trong các phương trình sau: a) 12x 2 - 8x + 1 = 0 b) x 2 - 2 3 x - 3 = 0 c) 5 x 2 - 4 ( 3 - 1)x - 2 = 0 d) x 2 - 55 x - 7 = 6 - 53 x Giải: a) 12x 2 - 8x + 1 = 0 Ta có: a = 12; b' = 4 2 8 −= − ; c = 1. TT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sư t t t tại ii i TP Hu TP Hu TP Hu TP Hu ﾕ ﾕﾕ ﾕ - - ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027    0989824932 0989824932 0989824932 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 6 - b) x 2 - 2 3 x - 3 = 0 Ta có: a = 1; b' = 3 2 32 −= − ; c = -3. c) 5 x 2 - 4 ( 3 - 1)x - 2 = 0 Ta có: a = 5 ; b' = )31(2)13(2 2 )13(4 −=−−= −− ;c = -2. d) x 2 - 55 x - 7 = 6 - 53 x ⇔ x 2 - 55 x + 53 x - 7 - 6 = 0 ⇔ x 2 - 52 x - 13 = 0 Ta có: a = 1; b' = 5 2 52 −= − ; c = -13. Bài 2: Giải các phương trình sau. a) -16x 2 - 10x - 1 = 0 (5); b) 2x 2 + 4x + 1 = 0 ( 6) c) 2 3 x 2 - 4 ( 3 - 1)x - (2 3 + 4) = 0 (7); Giải: a) -16x 2 - 10x - 1 = 0 ( 5) Ta có: ∆ ' = (-5) 2 - (-16).(-1) = 25 - 16 = 9; 39' ==∆ . ∆ ' > 0 => phương trình ( 5) có hai nghiệm phân biệt: x 1 = 2 1 16 8 16 3)5( − = − = − + − − ; x 2 = 8 1 16 2 16 3)5( − = − = − − − − b) 4x 2 + 4x + 1 = 0 ( 6) Ta có: ∆ ' = 2 2 - 4 .1 = 0. ∆ ' = 0 => phương trình (6) có nghiệm kép: x 1 = x 2 = 2 1 4 2 − = − . c) 2 3 x 2 - 4 ( 3 - 1)x + (2 3 + 4) = 0 (7) Ta có: ∆ ' = {2(1 - 3 )} 2 - 2 3 . (2 3 + 4) = 4 - 4 3 + 12 - 12 - 8 3 = 4 - 12 3 < 0. ∆ ' < 0 => phương trình (7) vô nghiệm. Chú ý: Giáo viên dạy cần hướng dẫn học sinh biết kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay. Bài 3: Cho phương trình: ( m +1)x 2 + 4mx + 4m - 1 = 0 (8). a) Giải phương trình với m = 1. b) Với giá trị nào của m thì phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt? Giải: a) Với m = 1 thì phương trình (8) trở thành: 2x 2 + 4x + 3 = 0. (8’) 2 ' 2 2.3 2 0 ∆ = − = − < ⇒ phương trình (8’) vô nghiệm. b) Phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: ∆ ' > 0 ⇔ (2m) 2 - (m + 1)(4m - 1) > 0 ⇔ 4m 2 - 4m 2 + m - 4m + 1 > 0 ⇔ 3m < 1 ⇔ m < 3 1 . Bài 4: Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? 5x 2 + 2mx - 2m + 15 = 0 (9) Giải: Phương trình (9) có nghiệm kép khi và chỉ khi: ∆ ' = 0 ⇔ m 2 - 5. ( 15 - 2m) = 0 ⇔ m 2 + 10m - 75 = 0 ⇔ ∆ ' m = 5 2 - 1.(-75) = 100 => 10' =∆ ⇔ m 1 = 5 1 105 = + − ; m 2 = 15 1 105 −= − − . TT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sư t t t tại ii i TP Hu TP Hu TP Hu TP Hu ﾕ ﾕﾕ ﾕ - - ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027    0989824932 0989824932 0989824932 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 7 - Vậy m =5 hoặc m = -15 thì phương trình (9) có nghiệm kép. III. Bài tập đề nghị: Bài 1: Xác định hệ số a, b', c trong mỗi phương trình, rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn: a) -x 2 - 6( )23 − x + 2- 3 = 0; b) - 5x 2 - (2 )23 − x + 3 - 1 = 0; c) -x 2 - 8( )23 − x + 3- 5 = (2 )43 − x; d) x 2 + ( )47 − x + 7 - 1 = ( )74 − x. Bài 2: Giải các phương trình sau. a) - x 2 - 4x + 5 = 0 (6); b) 25x 2 - 16 = 0 (7) Giải: a) - x 2 - 4x + 5 = 0 (6) Ta có: ∆ ' = (-2) 2 - (-1).5 = 4 + 5 = 9; 39' ==∆ . ∆ ' > 0 => phương trình (6) có hai nghiệm phân biệt: x 1 = 5 1 5 1 3)2( −= − = − + − − ; x 2 = 1 1 1 1 3)2( = − − = − − − − b) 25x 2 - 16 = 0; (7) Ta có: ∆ ' = 0 2 - 25.(-16) = 400 > 0. Vậy phương trình (7) có hai nghiệm: x 1 = 5 4 25 200 = + ; x 2 = 5 4 25 200 − = − . Bài 3: Tìm điều kiện của m để phương trình mx 2 - 4(m - 1)x - 8 = 0 (12) có nghiệm kép. Giải: Phương trình (12) có nghiệm kép khi và chỉ khi: ∆ ' = 0 ⇔ {-2(m - 1)} 2 - m.(-8) = 0 ⇔ 4m 2 - 8m + 4 + 8m = 0 ⇔ 4m 2 + 4 = 0 điều này vô lý vì: 4m 2 + 4 > 0 Vậy phương trình (12) không có nghiệm kép với mọi m ∈ R. Tiết 20: HỆ THỨC VI-Ðt I. Kiến thức cơ bản: * Định lý Vi-ét: Nếu x 1 và x 2 là hai nghiệm (nghiệm kép hoặc hai nghiệm phân biệt) của phương trình: ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) thì:        = −=+ a c x.x a b xx 21 21 Ví dụ1: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các ph ương trình sau: a) 4x 2 + 2 x - 5 = 0, b) 9x 2 - 12x + 4 = 0 TT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sư t t t tại ii i TP Hu TP Hu TP Hu TP Hu ﾕ ﾕﾕ ﾕ - - ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027    0989824932 0989824932 0989824932 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 8 - Giải: a) 4x 2 + 2 x - 5 = 0 (a = 4; b = 2; c = -5) Do a, c trái dấu PT chắc chắn có hai nghiệm phân biệt, gọi x 1 , x 2 là nghiệm của PT đã cho, theo định lý Vi-ét ta có: x 1 + x 2 = 2 1 4 2 a b −= − = − x 1 . x 2 = 4 5 a c −= b) 9x 2 - 12x + 4 = 0 (a = 9; b = -12; c = 4) Có 0 36 36 ' = − = ∆ => PT có nghiệm kép x 1 = x 2 x 1 + x 2 = 3 4 9 12 = x 1 . x 2 = 9 4 Ví dụ 2: Dùng hệ thức Vi-ét tính nhẩm các nghiệm của phương trình: x 2 – 7x + 12 = 0 (a = 1; b = -7; c = 12) Giải: Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 1 2 7 7 1 12 . 12 1 x x x x −  + = − =     = =   Suy ra x 1 = 4; x 2 = 3 hoặc x 1 = 3; x 2 = 4 * Trường hợp đặc biệt: - Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì ph ương trình có một nghiệm là x 1 = 1, còn nghiệm kia là x 2 = a c - N ếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì ph ương trình có một nghiệm là x 1 =-1, còn nghiệm kia là x 2 = - a c Ví dụ 3: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) 2x 2 – 5x + 3 = 0; b) x 2 - 49x - 50 = 0. TT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sư t t t tại ii i TP Hu TP Hu TP Hu TP Hu ﾕ ﾕﾕ ﾕ - - ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027    0989824932 0989824932 0989824932 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 9 - Giải: a) 2x 2 – 5x + 3 = 0 (a = 2; b = -5; c = 3) Vì a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0 nên PT có nghiệm x 1 = 1 và x 2 = a c = 2 3 b) x 2 - 49x - 50 = 0 (a = 1; b = -49; c = -50) Vì a - b + c = 1 – (-49) + (-50) = 1 + 49 – 50 = 0 Nên PT có nghiệm x 1 = - 1 và x 2 = - a c = 1 50 = 50 II. Bài tập áp dụng: Bài 1: Nh ẩm nghiệm của các phương trình sau : a) x 2 + 7x + 12 = 0; b) x 2 + 3x - 10 = 0. Giải: a) x 2 + 7x + 12 = 0 (a = 1; b = 7; c = 12) Ta có: 2 7 4.12 1 0 ∆ = − = > ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x 1 + x 2 = -7 ; x 1 .x 2 = 12 => x 1 = - 4; x 2 = -3 hoặc x 1 = - 3; x 2 = -4 b) x 2 + 3x - 10 = 0 (a = 1; b = 3; c = -10). Do a, c trái dấu PT chắc chắn có hai nghiệm phân bi ệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x 1 + x 2 = -3 ; x 1 .x 2 = -1 0 => x 1 = - 5; x 2 = 2 hoặc x 1 = 2; x 2 = -5 Bài 2: Nh ẩm nghiệm của các phương trình sau: a) 7x 2 - 9x + 2 = 0; b) 23x 2 - 9x - 32 = 0. Giải a) 7x 2 - 9x + 2 = 0 (a = 7; b = -9; c = 2) Vì a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0 nên PT có nghi ệm x 1 = 1 và x 2 = a c = 7 2 b) 23x 2 - 9x - 32 = 0 (a = 23; b = -9; c = -32) Vì a - b + c = 23 – (-9) + (-32) = 23 + 9 – 32 = 0 Nên PT có nghiệm x 1 = - 1 và x 2 = - a c = 23 32 23 32 = − − Bài 3: Không gi ải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét hãy tính tổng và tích các nghiệm (n ếu có) của các phương trình sau: a) 2x 2 – 7x + 2 = 0; b) 5x 2 + x + 2 = 0; c) 16x 2 - 8x + 1 = 0 Giải: TT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s TT Giáo viên & Gia sư t t t tại ii i TP Hu TP Hu TP Hu TP Hu ﾕ ﾕﾕ ﾕ - - ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027    0989824932 0989824932 0989824932 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 10 - a) 2x 2 – 7x + 2 = 0 (a = 2; b = -7; c = 2) ∆ = b 2 - 4ac = (-7) 2 – 4.2.2 = 33 >0 => x 1 + x 2 = 2 7 2 )7( = − − = − a b ; x 1 .x 2 = 1= a c b) 5x 2 + x + 2 = 0 (a = 5; b = 1; c = 2) ∆ = b 2 - 4ac = 1 2 – 4.5.2 = - 39 < 0 Vậy phương trình vô nghiệm => không tồn tại x 1 + x 2 và x 1 .x 2 c) 16x 2 - 8x + 1 = 0 (a = 16; b = -8; c = 1) ∆ = b 2 - 4ac = (-8) 2 – 4.16.1 = 0 => x 1 + x 2 = 2 1 16 )8( = − − = − a b , x 1 .x 2 = 16 1 = a c III. Bài tập đề nghị: Bài 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) x 2 - 10x + 21 = 0; b) x 2 + x - 12 = 0 c) x 2 + 7x + 12 = 0 d) x 2 - 2x + m= 0 Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ? . Theo hệ thức Vi-ét ta tính: x 1 + x 2 = ? ; x 1 .x 2 = ? => x 1 =?; x 2 = ? Bài 2: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) x 2 - 6x + 5 = 0; b) 4x 2 - 3x - 7 = 0 c) - 3x 2 + 12x + 15 = 0; d) 1,2x 2 + 1,6 x – 2,8 = 0 Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ? Tính a + b + c = ? nếu a + b + c = 0 => x 1 = 1, x 2 = a c Ho ặc a – b + c = ? nếu a - b + c = 0 => x 1 = -1, x 2 = - a c Bài 3: Biết x 1 là nghiệm của phương trình, tìm x 2 ? a) x 2 + 2x – 35 = 0 ; x 1 = 2; b) x 2 - 7x – 144 = 0 ; x 1 = - 9 Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ? Theo h ệ thức Vi-ét x 1 .x 2 = a c => x 2 = 1 x a c = ? Hoặc theo hệ thức Vi-ét x 1 + x 2 = a b − => x 2 = a b − - x 1 = ? Tiết 21: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT GIẢI BÀI TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH I. Tóm tắt kiến thức cơ bản : [...]... luận nghiệm của phương trình Bài 2: Giải phương trình: 1 3+ x −3 = x+2 x−2 Hướng dẫn: - Tìm ĐKXĐ - Quy đồng mẫu và khử mẫu, đưa phương trình về dạng ax2 + bx + c = 0 - Giải phương trình; - Đối chiếu giá trị tìm được của x với ĐKXĐ Có nhận xét gì về nghiệm của phương trình đã cho Tiết 24: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG I Kiến thức cơ bản 1 Khái niệm: 4 2 Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax... bản: 1 Một số kiến thức liên quan: - Quy tắc chuyển vế; - Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn; - Cách giải phương trình tích; - Cách tìm điều kiện xác định của phương trình 2 Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: + Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình; + Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức; + Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được; + Bước 4: Trong... nghiệm của phương trình đã cho Dạng 2: Phương trình đưa được về dạng phương trình bậc hai một ẩn: ax2+ bx + c = 0 (a ≠ 0) ∆ = b2- 4ac + ∆ > 0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt + ∆ < 0: Phương trình vô nghiệm http://www.xuctu.com - Trang 14 - E mail: quoctuansp@gmail.com ﾕ ư + ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép Ví dụ: Giải phương trình: x 2 − 3x + 6 1 = 2 x −9 x −3 Giải: Điều kiện x ≠ ±3 Quy đồng mẫu... định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho 3 Các dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu: Dạng 1: Phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0 ( a ≠ 0 ) ⇔ x = Ví dụ: Giải phương trình: b a x −8 =2 x+4 (1) Giải: Điều kiện xác định của phương trình (1) là: x + 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ -4 Quy đồng mẫu thức ở hai vế ta được: x - 8 = 2(x + 4) ⇔ x - 8 = 2x + 8 ⇔ x -... 0 , ta được phương trình bậc hai đối với t: at 2 + bt + c = 0 - Giải phương trình này để tìm t (chỉ nhận những giá trị t ≥ 0 ) Sau đó tìm x = ± t Ví dụ: Giải phương trình: http://www.xuctu.com - Trang 16 - E mail: quoctuansp@gmail.com ﾕ ư 9 x 4 − 10 x 2 + 1 = 0 (1) Giải: - Đặt x 2 = t Điều kiện: t ≥ 0 Ta được một phương trình bậc hai đối với ẩn t: 9t 2 − 10t + 1 = 0 (2) - Giải phương trình (2):... một nghiệm của phương trình Tìm x2? Đề số 2 Bài 1 : Giải phương trình: a) 8x2 – 7 = 0 4 6 − =5 x+ 2 x−3 e) x − 1 = 2 c) b) 3 x 4 + 10 x 2 + 3 = 0 d) x – ( 2x + 3x) - 19 = 3 Bài 2: Cho phương trình: x2 – 6x + m + 5 = 0 a) Giải phương trình với m = 3 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 3: Cho phương trình 4x2 + 4x + 1 = 0 Biết x1= -0,5 là một nghiệm của phương trình Tìm x2? http://www.xuctu.com... III Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải phương trình: 3x 4 + 4 x 2 + 1 = 0 (1) Giải: - Đặt x 2 = t Điều kiện: t ≥ 0 Ta được một phương trình bậc hai đối với ẩn t: 3t 2 + 4t + 1 = 0 (2) - Giải phương trình (2): Ta có: 3 – 4 + 1=0 ⇒ t1 = −1; t 2 = − Cả hai giá trị t1 = −1; t2 = − 1 3 1 đều không thỏa mãn điều kiện t ≥ 0 3 Vậy phương trình (1) vô nghiệm Bài 2: Giải phương trình: x 4 − 5 x 2 + 4 = 0 (3) Giải:... Giải phương trình: http://www.xuctu.com - Trang 18 - E mail: quoctuansp@gmail.com ư a) − 2 x 2 + 2 = 0 x2 − 1 = −1 x +1 e) x − 5 = 3 c) ﾕ b) 2x4 - 7x2 - 4 = 0 d) 1 − 3x x+5 +2− x− =4 4 3 Bài 2: Cho phương trình: x2 + 4(m - 1)x – 4m +10 = 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Bài 3: Cho phương trình x2 - 6x – 16 = 0 Biết x1 = -2 là một nghiệm của phương. .. 2 là nghiệm của phương trình đã cho Bài 2: Giải phương trình: −2 = 2x − 1 3x + 2 Giải: Điều kiện xác định của phương trình là: x ≠ −2 3 Quy đồng mẫu thức ở hai vế ta được: - 2 = ( 2x - 1)( 3x + 2) 2 ⇔ -2 = 6x + 4x – 3x - 2 2 ⇔ 6x + x = 0 ⇔ x( 6x + 1) = 0 ⇔ x = 0 ( thoả mãn ĐKXĐ) hoặc x = −1 ( Thoả mãn ĐKXĐ) 6 Vậy: Phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 = 0 ; x2 = −1 6 Bài 3: Giải phương trình: 14 1 = 1−... t ≥ 0 (4) Ta được một phương trình bậc hai đối với ẩn t: t 2 − 5t + 4 = 0 - Giải phương trình (4): Ta có: 1+(-5)+4=0 ⇒ t1 = 1; t2 = 4 Cả hai giá trị t1 = 1; t2 = 4 đều thỏa mãn điều kiện t ≥ 0 * Với t = t1 = 1 ta có x2 =1 ⇒ x1 = −1, x2 = 1 * Với t = t2 = 4 ta có x 2 = 4 ⇒ x3 = −2, x4 = 2 Vậy phương trình (3) có bốn nghiệm: x1 = −1; x2 = 1; x3 = −2; x4 = 2 Bài 3: Giải phương trình: 2x4 + 5x2 – 1 = . II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Tiết 17: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHUYẾT (CÓ HỆ SỐ b = 0 HOẶC c = 0) I. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai. Vậy phương trình có hai nghiệm 0 x = và 8 7 x = − Tiết 18: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. Kiến thức cơ bản Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: Đối với phương trình. 2x 2 + 5x + 1 = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = 5, c = 1. b) 2x 2 – 2x = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = -2, c = 0. c) 2 3x − = 0 là phương trình bậc hai có a = - 3 , b =