SKKN GIẢI bài TOÁN về lập số, tìm số các số ở TIỂU học

TÊN SÁNG KIẾN : GIẢI BÀI TOÁN VỀ LẬP SỐ, TÌM SỐ CÁC SỐ Ở TIỂU HỌC II.. Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi và hướng dẫn học sinh giải toán qua mạng Internet một số giáo viên còn gặp

PHÒNG GD&ĐT YÊN MÔ TRƯỜNG TIỂU HỌC YÊN LÂM

Giáo viên: Phạm Văn Đại

Trường: Tiểu học Yên Lâm

Năm học: 2013-2014

I TÊN SÁNG KIẾN : GIẢI BÀI TOÁN VỀ LẬP SỐ, TÌM SỐ CÁC SỐ Ở TIỂU HỌC

II TÁC GIẢ SÁNG KIẾN : Phạm Văn Đại

Đơn vị : Trường Tiểu học Yên Lâm - Yên Mô - Ninh Bình.

Trình độ chuyên môn : Đại học

Chức vụ: Tổ trưởng Tổ 4+5

III NỘI DUNG SÁNG KIẾN

1 Giải pháp cũ thường làm

Trong những năm học gần đây Bộ Giáo dục & đào tạo có tổ chức cho học sinh phổ thông tham gia giải toán qua mạng Internet nhằm giúp học sinh làm quen với Internet, nâng cao chất lượng vào tạo thêm hứng thú cho học sinh học tập môn Toán, tạo môi trường thân thiện để học sinh giao lưu học tập tích cực, đồng thời phát hiện bồi dưỡng kịp thời các em có khả năng học Toán Hưởng ứng cuộc thi này phong trào bồi dưỡng học sinh giỏi của trường tôi được BGH cùng với giáo viên quan tâm tích cực Trong quá trình bồi dưỡng, giúp đỡ học sinh qua các vòng thi của Ban tổ chức kiến thức của học sinh được nâng cao, kiến thức chuyên môn của giáo viên cũng vững vàng hơn

Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi và hướng dẫn học sinh giải toán qua

mạng Internet một số giáo viên còn gặp khó khăn khi hướng dẫn học sinh giải bài

toán về lập số, tìm số các số như là chưa đưa ra được cách giải ngắn gọn nhất, còn

nhầm lẫn trong cách hiểu yêu cầu bài toán dẫn đến cách giải chưa hợp lí, hoặc giải sai Dạng toán lập số, tìm số lượng các số được đề cập ngay từ lớp đầu cấp Càng lên lớp trên yêu cầu về dạng toán này càng nâng cao và phức tạp hơn

Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ:

Bài toán 1: cho 4 chữ số 2, 4, 6, 8.

Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau tạo thành từ những chữ số trên

Các số có 4 chữ số khác nhau tạo thành từ các chữ số đã cho là: 2468, 2486,

2648, 2684, 2864, 2846, 4682, 4628, 4826, 4862, 4268, 4286, 6428, 6482, 6284, 6248,

6842, 6824,6248, 6284, 8642, 8624, 8246, 8264, 8426, 8462

Có tất cả 24 số thoả mãn đầu bài

Ưu điểm và tồn tại: Lời giải đúng song rõ ràng với cách giải trên giáo viên đã

hiểu nhầm hoặc chưa có cách giải hợp lí, đi viết tất cả các số, rồi mới đếm số các số

Bài toán 2: Cho 3 chữ số 2, 3, 5 Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số khác nhau

lập được từ các chữ số trên

Giải:

Các số có 3 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số trên là:

235, 253, 325, 352, 532, 523

Tổng tất cả các số tạo thành từ các chữ số trên là:

235 + 253 + 325 + 352 + 532 + 523 = 2220

Ưu điểm và tồn tại: Lời giải đúng, song với bài toán sau : “Cho 4 chữ số 1, 2, 3,

5 Tính tổng tất cả các số có 4 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số trên” Giáo

viên rất dễ bị nhầm lẫn khó có thể tìm ra đáp số

Bài toán 3: Cô giáo chấm lên bảng 6 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng

hàng Cô nối 2 điểm bất kì với nhau Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ cách làm của cô giáo?

Giải

- Chấm lên bảng 6 điểm

- Thực hành nối các điểm

- Đếm số đoạn thẳng tạo thành : 15 đoạn thẳng

Ưu điểm và tồn tại : Cách làm đúng nhưng không mang tính khái quát, chưa phát

huy được tư duy của học sinh

Bài toán 4: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau không chia hết cho 5.(Violympic

cấp Quốc gia năm học 2010 - 2011)

Giải

* Các số không chia hết cho 5 có chữ số hàng đơn vị là 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9

- Các số có 3 chữ số khác nhau có chữ số hàng đơn vị là 1:

+ Chữ số hàng trăm có 8 cách chọn (vì không chọn chữ số 0, 1);

+ Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm ta có 8 cách chọn chữ số hàng chục (vì không chọn chữ số 1 và một chữ số đã chọn ở hàng trăm)

+ Các số có 3 chữ số khác nhau có chữ số hàng đơn vị là 1là : 8 × 8 = 64 (số)

- Tương tự ta có 64 số có ba chữ số có chữ số hàng đơn vị là 2

- …

- Số các số có 3 chữ số khác nhau không chia hết cho 5 là : 64 × 8 = 512 (số)

Ưu điểm và tồn tại : Cách làm đúng nhưng lời giải bài toán trở nên rườm rà, phức tạp

2 Giải pháp mới cải tiến

Các ví dụ trên ít nhiều có liên quan đến kiến thức toán tổ hợp Trên cơ sở kiến thức toán tổ hợp giáo viên sẽ có định hướng lời giải để có thể tìm nhanh đáp số, từ đó

có hướng suy nghĩ để hướng dẫn học sinh theo cách ngắn gọn dễ hiểu hơn

Trước hết ta hãy ôn lại một chút về toán chỉnh hợp, tổ hợp

2.1 Hoán vị

a) Định nghĩa: Cho tập hợp A có n(n≥1)phần tử Khi sắp xếp n phần tử này

theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A)

b) Số các hoán vị

Định lí 1: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử, kí hiệu Pn, là:

Pn=n!=n(n−1)(n−2) 1

Ví dụ: Một đoàn khách du lịch dự định tham quan bảy địa điểm A, B, C, D, E,

G và H ở thủ đô Hà Nội Họ đi thăm quan theo một thứ tự nào đó, chẳng hạn B→A→C→E→D→G→H Như vậy, mỗi cách chọn thứ tự các địa điểm tham quan trên là một hoán vị của tập {A,B,C,D,E,G,H} Thành thử, đoàn khách có tất cả 7!

=5040 cách chọn

2.2 Chỉnh hợp

a) Định nghĩa:

Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1≤k≤n Khi lấy ra k phần tử của

A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của

A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A)

Nhận xét: Hai chỉnh hợp khác nhau khi và chi khi có một phần tử của chỉnh hợp này mà không phải của chỉnh hợp kia, hoặc phần tử của hai chỉnh hợp giống nhau nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau

b) Số các chỉnh hợp

Định lí 2:

Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử, kí hiệu An k(1≤k≤n)

là: An k=n(n−1)(n−2) (n−k+1) (1)

Nhận xét:An n = Pn = n!

Ví dụ: Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt Có bao nhiêu vecto khác vecto o có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này?

Giải: Mỗi cặp sắp xếp thứ tự gồm hai điểm (A,B) cho ta một vecto có điểm đầu A, điểm cuối B và ngược lại Như vậy, mỗi vecto có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 6 điểm đã cho Thành thử số vecto cần tìm là :

2

6

A =6.5=30

Chú ý: Với 1≤k≤n thì ta có thể viết công thức (1) dưới dạng

An k=(n−n!k)! (2)

Ta quy ước 0! = 1 vàAn0 = 1

Khi đó công thức (2) đúng cho cả k = 0 và k = n Vậy công thức (2) đúng với mọi

số nguyên k thỏa mãn 1≤k≤n

2.3 Tổ hợp

a) ĐN: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1≤k≤n Mỗi tập con của A

có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A)

Như vậy lập một tổ hợp chập k của A chính là lấy ra k phần tử của A (không quan tâm đến thứ tự)

b) Số các tổ hợp:

Kí hiệu cn k( hoặc (

k

n

)) là số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử Định lí 3:

Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1≤k≤n) là

k

n

c =

k!

k n

A

=

k!

1) k -2) (n

-1)(n

Ví dụ : Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm 7 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh đều thuộc P?

Giải:

Số tam giác có 3 đỉnh thuộc P chính bằng số các tổ hợp chập 3 của tập P, tức là bằng:

3

7

C =

! 3

5 6 7

= 35

2.4 Vận dụng toán tổ hợp giải một số bài toán nâng cao ở Tiểu học.

Bài 1: Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau mà các chữ số đều lẻ.

Phân tích: Mỗi số có 4 chữ số đều lẻ là một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử (1;

3; 5; 7; 9)

Số các chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử là: A54= 5 × 4 × 3 × 2 = 120 (số)

Hướng dẫn học sinh giải:

- Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9

- Có 4 cách chọn chữ số hàng trăm (vì đã chọn ra một chữ số hàng trăm từ các chữ số trên

- Có 3 cách chọn chữ số hàng chục (vì đã chọn ra 2 chữ số từ các chữ số trên)

- Có 2 cách chọn chữ số hàng đơn vị (vì đã chọn ra 3 chữ số từ các chữ số trên)

Số các số cần tìm là: 5 × 4 × 3 × 2 = 120 (số)

Đáp số : 120 số

Bài 2: Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau mà các chữ số đều chẵn

(violympic cấp Tỉnh năm học 2011-2012)

Phân tích : Ta quy ước số 0abc cũng là số có 4 chữ số Thế thì số các số có 4 chữ

số khác nhau đều chẵn là một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử 0, 2, 4, 6, 8

Số các chỉnh hợp là: A54= 5 × 4 × 3 × 2 = 120 (số)

Số các số dạng 0abc mà các chữ số đều chẵn là : 4 × 3 × 2 = 24 (số)

Vậy số các số có 4 chữ số khác nhau mà các chữ số đều chẵn là :

120 - 24 = 96 (số)

Hướng dẫn học sinh giải:

Các số có 4 chữ số khác nhau đều chẵn có dạng abcd (a>0)

- Có 4 cách chọn a từ các chữ số 0, 2, 4, 6, 8 ( vì không chọn 0)

- Có 4 cách chọn b từ các chữ số trên (vì đã chọn ra một chữ số ở hàng nghìn)

- Có 3 cách chọn c (vì đã chọn ra 2 chữ số ở hàng nghìn và hàng trăm.)

- Có 2 cách chọn d (vì đã chọn ra 3 chữ số ở hàng nghìn, hàng trăm và hàng đơn vị)

- Số các số có 4 chữ số khác nhau đều chẵn là : 4 × 4 3 × 2 = 96 (số)

Bài 3: Có bao nhiêu cách chọn 3 người trong 8 người để tham gia một trò chơi

truyền hình (Giao lưu Toán Tuổi thơ quốc gia cấp Tiểu học, năm 2011-2012)

Phân tích: Mỗi cách chọn 3 trong 8 người tham gia một trò chơi trên truyền hình

là một tổ hợp chập 3 của 8 phần từ

Số các cách chọn 3 người trong 8 người là : C83 =

2 3

6 7 8

×

×

×

= 56 (cách chọn)

Hướng dẫn học sinh giải:

Ta đánh dấu vị trí 1, 2, 3 cho 3 người tham gia trò chơi này

- Có 8 cách chọn 8 người vào vị trí 1

- Có 7 cách chọn người vào vị trí 2 (vì đã chọn một người vào vị trí 1.)

- Có 6 cách chọn người vào vị trí 3 (vì đã chọn hai người vào vị trí 1, 2)

Nhưng những cách chọn sau được tính là 1 lần chọn : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

Số các cách chọn 3 trong 8 người tham gia một trò chơi là:

56 6

6 7 8

=

×

×

(cách chọn) Đáp số : 56 cách chọn

Bài 4: Có 8 bạn tham gia thi đấu cờ vua Cứ hai bạn đấu với nhau một ván cờ

Hỏi có tất cả bao nhiêu ván cờ? (Violympic cấp Tỉnh năm học 2011-2012)

Phân tích : Số các ván cờ chính là số các tổ hợp chập 2 của 8 phần tử Số các tổ

hợp là : C82=

1 2

7 8

×

×

= 28 (ván cờ) Hướng dẫn học sinh giải:

Cứ mỗi bạn đấu với 7 bạn còn lại, có 8 bạn thì có số lượt đấu là:

8 × 7 = 56 (lượt)

Số ván cờ là: 8 × 7 : 2 = 28 (ván cờ).

2.5 Giờ ta quay lại giải quyết các ví dụ trên dựa trên kiến thức toán tổ hợp: Bài toán 1: cho 4 chữ số 2, 4, 6, 8.

Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau tạo thành từ những chữ số trên

Phân tích: Bài toán trên chính là tìm số các hoán vị của 4 phần tử:

P4 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 (số)

Hướng dẫn học sinh giải:

- Có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn từ các chữ số trên

- Với mỗi cách chọn chữ số hàng nghìn ta có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (vì

đã chọn 1 chữ số ở hàng nghìn)

- Với mỗi cách chọn chữ số hàng nghìn, mỗi cách chọn chữ số hàng trăm, ta có

2 cách chọn chữ số hàng chục

- Với mỗi cách chọn chữ số hàng nghìn, mỗi cách chọn chữ số hàng trăm, mỗi cách chọn chữ số hàng chục ta có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị

Số các số cần tìm: 4 × 3 × 2 × 1 = 24 (số)

Đáp số: 24 số

Bài toán 2: Cho 3 chữ số 2, 3, 5 Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số khác nhau

lập được từ các chữ số trên

Phân tích: Trước hết ta đi tìm số các số có 3 chữ số khác nhau lập được từ các

chữ số đã cho Số các số có 3 chữ số khác nhau chính là số các hoán vị của 3 phần tử:

P = 3 × 2 × 1 = 6 (số) Dựa vào vai trò của các chữ số trong mỗi hàng ta đi tính tổng các chữ số trong mỗi hàng từ đó tính tổng các số lập được

Hướng dẫn học sinh giải:

+ Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm

+ Có 2 cách chọn chữ số hàng chục

+ Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị

- Số các số thoả mãn đầu bài là: 3 × 2 × 1 = 6 (số)

- Vì vai trò của mỗi chữ số 2, 3, 5 trong mỗi hàng của một số tự nhiên là như nhau nên mỗi chữ số này đều có ở hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị của 2 số trong tổng số 6 số (6:3=2)

Tổng tất cả các số có 3 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số trên là:

(2+3+5) × 2 × 100 + (2+3+5) × 2 × 10 + (2+3+5) × 2

= (2+3+5) × 2 × 111 = 2220

Đáp số : 2220

Bài toán 3: Cô giáo chấm lên bảng 6 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng

hàng Cô nối 2 điểm bất kì với nhau Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ cách làm của cô giáo?

Phân tích:Mỗi cách nối hai điểm bất kì chính là một tổ hợp chập hai của 6 phần

tử Số các tổ hợp chập hai của 6 phần tử là: C = 26 15

1 2

5

×

×

(số)

Hướng dẫn học sinh giải:

- Nối 1 điểm với 5 điểm còn lại ta có 5 đoạn thẳng

- Trên bảng có 6 điểm ta có số cách nối 5 × 6 đoạn thẳng, nhưng như thế mỗi cặp hai điểm đã được nối 2 lần hay mỗi đoạn thẳng được đếm 2 lần Vậy số các đoạn thẳng tạo thành từ 6 điểm mà trong đó không có hai điểm nào thẳng hàng là:

5 × 6 : 2 = 15 (đoạn thẳng)

Đáp số : 15 đoạn thẳng

Bài toán 4: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau không chia hết cho 5.

Phân tích:Với bài toán nay ta không tìm trực tiếp các số thoả mãn yêu cầu bài

toán mà đi tìm gián tiếp thông qua tìm các số có 3 chữ số khác nhau và các số có 3 chữ

số khác nhau chia hết cho 5

Hướng dẫn học sinh giải:

* Tìm số các số có 3 chữ số khác nhau:

- Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm (từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

- Có 9 cách chọn chữ số hàng chục từ (vì đã chọn 1 chữ số ở hàng trăm)

- Có 8 cách chọn chữ số hàng đơn vị (vì đã chọn 1chữ số ở hàng trăm, 1 chữ số ở hàng chục)

Số các số có 3 chữ số khác nhau là: 9 × 9 × 8 = 648 (số)

* Số các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 có hai dạng ab0 và ab5

- Số các số dạng ab0

+ Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm

+ Có 8 cách chọn chữ số hàng chục (vì không chọn 0 và đã chọn 1 số ở hàng trăm)

Số các số dạng ab0 là : 9 × 8 = 72 (số)

- Số các số dạng ab5

+ Có 8 cách chọn chữ số hàng trăm (không chọn 0 và 5)

+ Có 8 cách chọn chữ số hàng chục (không chọn 5 và đã chọn một số ở hàng trăm)

Số các số dạng ab5 là : 9 × 8 = 72 (số)

Vậy số các số có 2 chữ số khác nhau không chia hết cho 5 là :

648 - 72 - 64 = 512 (số)

Đáp số: 512 số

2.6 Một số đề toán tự luyện

Bài 1: Hãy cho biết có bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau mà các số đó đều

không chia hết cho 5 ? (Violympic vòng 17 lớp 5, năm 2013-2014)

Bài 2: Hãy cho biết có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau mà tích các chữ số

của mỗi số là 30 ? (Violympic vòng 17 lớp 5, năm 2013-2014)

Bài 3: Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau mà tích các chữ số của mỗi số đó

là 210 ?

Bài 4: Có bao nhiêu số có 3 chữ số mà chữ số hàng trăm nhỏ hơn chữ số hàng

chục

Bài 5: Có bao nhiêu số có 3 chữ số mà chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng

chục

Bài 6: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà chữ số hàng trăm lớn hơn chữ

số hàng đơn vị

Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà ở mỗi số :

a) không có chữ số 5 b) Có 1 chữ số 5

Bài 8: Có bao nhiêu số có 4 chữ số abcd mà ab cd<

Bài 9: Trước khi vào thi đấu giao lưu Ngày Hội Toán Học – Violympic, 4 đội A,

B, C, D bắt tay làm quen nhau Tính số cái bắt tay, biết mỗi bạn bắt tay nhau một lần,

các bạn trong một đội không bắt tay nhau và mỗi đội có 5 bạn (Violympic vòng 17 lớp

5, năm 2012-2013)

Bài 10: Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, mà chữ số 6

đứng liền trước chữ số 8 (Violympic vòng 19 lớp 5, năm 2012-2013)

IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN

- Qua vận kiến thức toán tổ hợp vào giải các bài toán tiểu học, tôi đã đúc rút cho mình kinh nghiệm và vận dụng hướng dẫn học sinh giải bài toán về lập số, tìm các số Học sinh tiếp thu kiến thức về kiểu bài toán này rất nhanh, các em rất tự tin và hào hứng học tập Kết quả là có nhiều em đã đạt giải trong các cuộc thi giải toán cấp Tỉnh, Huyện và thi học sinh giỏi cấp Huyện Tôi cũng đã chuyên đề dạng toán này trong tổ chuyên môn và được các đồng chí trong tổ chuyên môn đánh giá cao

V ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Sáng kiến có khả năng áp dụng trong tất cả các khối của tiểu học, nó giúp ích rất nhiều cho giáo viên tham gia giảng dạy trên lớp, đặc biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và hướng dẫn học sinh giải toán Violympic qua mạng Internet

Yên Lâm, ngày 15 tháng 5 năm 2014

Xác nhận của đơn vị: Tác giả sáng kiến: