SKKN: Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ

I/ phần mở đầu 1- Tên đề tài: Giải bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toạ độ 2 – Lý do chọn đề tài: Trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng không có một phơng phá

Sở g d & đt hng yên

Trờng THPT Trng Vơng

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam

Độc lập Tự Do Hạnh Phúc– –

sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012- 2013

- Họ và tên: Tô Minh Hải

- Ngày tháng năm sinh: 26-08-1961

- Năm vào ngành: 1984

- Chức vụ : Phó hiệu trởng

- đơn vị công tác: Trờng THPT Trng Vơng

I/ phần mở đầu

1- Tên đề tài: Giải bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toạ độ

2 – Lý do chọn đề tài:

Trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng không có một phơng pháp nào chung để giải các bài toán Mỗi phơng pháp đều có những u, nhợc

điểm riêng Với mỗi loại bài toán luôn đòi hỏi một phơng pháp cụ thể để giải quyết một cách đơn giản nhất Sự ra đời của phơng pháp toạ độ đã đơn giản hoá đợc phần lớn các bài toán trong hình học không gian Thông qua phơng pháp toạ độ và phơng pháp vectơ có thể xây dựng thêm một công cụ giải toán, cho phép đại số hoá hình học, hình học hoá đại số

Với học sinh lớp 12, các em đã đợc làm quen với phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng, vì thế có thể sử dụng phơng pháp toạ độ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học không gian một cách thuận tiện

3- Phạm vi , đối t ợng nghiên cứu :

- Khách thể: Học sinh lớp 12

- Đối tợng nghiên cứu: Một số bài toán hình học không gian

- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp về hình học không gian trong

chơng trình THPT

- Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập của học sinh lớp 12

II Quá trình thực hiện đề tài– :

1 – Tình trạng thực tế trớc khi thực hiện đề tài:

Trớc khi thực hiện đề tài, tôi đã khảo sát chất lợng của học sinh thông qua kiểm tra viết sử dụng phơng pháp toạ độ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học không gian Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải bằng phơng pháp toạ độ:

“Cho hình lập phơng ABCD A B C D cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai’ ’ ’ ’

mặt phẳng (AB D ) và’ ’ (C BD) ’ ”

30% học sinh biết dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các

điểm trong bài toán đợc thuận tiện

10% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối u

Chất lợng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán dạng này yếu

2- Các biện pháp thực hiện đề tài:

Bớc 1: Hệ thống hoá các kiến thức

Bớc 2: Đa ra một số ví dụ điển hình

Bớc 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập ứng đụng cho học sinh thông qua

một số bài tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh những hớng phát triển,

mở rộng

3 – Kết quả thực hiện đề tài:

Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải bằng phơng pháp toạ

độ: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Từ trung điểm H của cạnh AB kẻ SH

vuông góc với mp (ABCD) sao cho góc giữa cạnh SD và đáy ABCD bằng 60 0

a/ Tính SH và khoảng cách từ H đến mp (SCD)

b/ Gọi K là trung điểm của cạnh AD Chứng minh CK⊥SD và tính góc

giữa hai mặt phẳng (ASD);(CSD)

c/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK)

Kết quả :

100% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong bài toán đợc thuận tiện

80% Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ 75% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối u

III– Những bài học kinh nghiệm và kiến nghị sau khi thực hiện đề tài

Qua kết quả điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy rằng khi giải các bài toán hình học không gian, học sinh thờng không chú ý đến phơng pháp toạ độ và tính u việt của nó hoặc rất lúng túng khi giải bằng phơng pháp toạ độ Do đó học sinh rất ngại khi giải các bài toán không gian

Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học môn hình học không gian và thấy

đợc tính u việt của phơng pháp toạ độ khi giải bài tập hình học không gian, thầy giáo cần đề ra giải pháp khi giải bài toán hình học không gian bằng

ph-ơng pháp toạ độ

Lựa chọn những bài toán có thể quy về toạ độ trong hệ toạ độ thích hợp

3

Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong bài toán đợc thuận tiện

Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ

và ngợc lại

Nhận xét, đánh giá , xếp loại của

Hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm

Văn Lâm, ngày 30 tháng3 năm 2013 Ngời viết

tô minh hải

Nội dung

- - -    - - -

Chơng I

Một số kiến thức cơ bản

1/ Hệ trục toạ độ

Cho ba trục toạ độ x’Ox, yOy, z’Oz

vuông góc với nhau từng đôi một tại

điểm O Gọi r r ri j k, , là các véctơ đơn

vị tơng ứng trên các trục x’Ox,

oz

z

oy

y, : , Hệ ba trục toạ độ nh vậy

gọi là hệ trục toạ độ Đề các vuông

góc Oxyz hoặc đơn giản là toạ độ

Oxyz

+ Trục Ox gọi là trục hoành

+ Trục Oy gọi là trục tung

+ Trục Oz gọi là trục cao

+ Điểm O gọi là gốc của hệ toạ độ

2/ Vectơ đối với hệ toạ độ

+ Cho hệ toạ độ Oxyz và một vectơ tuỳ ý vr Vì ba vectơ r r ri j k, , không

đồng phẳng nên có duy nhất bộ ba số x, y, z sao cho: v xi y j zkr= +r r+ r

+ Bộ ba số (x; y; z) gọi là toạ độ của vectơ vr, kí hiệu là v x y zr( ; ; ) hoặc ( ; ; )

v= x y z

r

Số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ và số z gọi là cao độ của vectơ vr

+ Với hai điểm M x y z1( 1 , , 1 1) và M x y z2( 2 , , 2 2) thì:

M M = x −x y −y z −z

uuuuuur + Nếu có hai vectơ vur1 = ( , , )x y z1 1 1 và vuur2 = ( , , )x y z2 2 2 thì:

5

x

O

y

z

j

r

k r

i

r

(i) vur uur1 + =v2 (x1 +x y2 , 1 +y z2 , 1 +z2)

(ii) vur uur1 − =v2 (x1 −x y2 , 1 −y z2 , 1 −z2)

(iii) kvur1 = (kx ky kz1 , 1 , 1 )

(iv) v vur uur1 2 =x x1 2 +y y1 2 +z z1 2

(v) vur1 ⊥ ⇔vuur2 x x1 2 +y y1 2 +z z1 2 = 0

(vi) Tích có hớng của hai vectơ vur1 = ( , , )x y z1 1 1 và vuur2 = ( , , )x y z2 2 2 là một vectơ

vr đợc xác định bởi: 1 1 1 1 1 1

1 2

, y z , z x , x y

ur uur r

3/ Khoảng cách giữa hai điểm

Cho hai điểm M x y z1( 1 , , 1 1) và M x y z2( 2 , , 2 2), thì khoảng cách d giữa M1 và

2

M là độ dài của vectơ M Muuuuuur1 2:

( ) (2 ) (2 )2

d = M Muuuuuur = x −x + y −y + z −z

4/ Chia một đoạn thẳng cho tr ớc theo một tỷ số cho tr ớc

Điểm M x y x( , , ) chia đoạn thẳngM M1 2 theo tỉ số k: MMuuuuur1 =k MMuuuuur2 đợc xác

định bởi công thức:

1 1 1

x

k

y

k

z

k

−

 =



−

 =



−

 =



Đặc biệt nếu k= - 1, thì M là trung điểm của M M1 2, khi đó toạ độ của M là:

2 2 2

x

y

z

+

 =



 =





+

 =



5/ Góc giữa hai vectơ

Góc α giữa hai vectơ vur1= ( , , )x y z1 1 1 và vuur2 = ( , , )x y z2 2 2 xác định bởi:

1 2 1 2 1 2

cos

.

6/ Hai vectơ cùng ph ơng

Hai vectơ vur1 = ( , , ) 0x y z1 1 1 ≠r và vuur2 = ( , , ) 0x y z2 2 2 ≠rcùng phơng với nhau khi

và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho:

vuur=kvur⇔cả ba định thức sau đều bằng 0: 1 1 1 1 1 1

7/ Ph ơng trình mặt phẳng

a Khái niệm

Một vectơ nr≠ 0r đợc gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α nếu

nằm trên đờng thẳng vuông góc với ( ) α

Mặt phẳng ( ) α hoàn toàn xác định nếu cho biết một điểm M0 ∈ ( ) α và một

vectơ pháp tuyến của nó

b Định lý

Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả những điểm có toạ độ thoả mãn phơng trình dạng:

và ngợc lại mỗi phơng trình dạng đó là phơng trình của một mặt phẳng

8/ Ph ơng trình đ ờng thẳng

a Định nghĩa: Vectơ ar là vectơ chỉ phơng của đờng thẳng (d)

0 //( )

a

a d

 ≠



⇔ 



r r r

b Phơng trình tổng quát của đờng thẳng:

Vì đờng thẳng (d) trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nào đó, nên phơng trình tổng quát của (d) có dạng:

( ) ( )

( ) :

A x B y C z D

d

A x B y C z D



 với điều kiện A B C1: 1: 1 ≠A2:B C2: 2

trong đó (1), (2) theo thứ tự là phơng trình của hai mặt phẳng (P) và (Q)

7

9/ Ph ơng trình mặt cầu

Trong hệ toạ độ Oxyz tập hợp các điểm cách điểm I a b c( , , ) cho trớc một khoảng R>0 không đổi là một mặt cầu có phơng trình:

(x a− ) + − (y b) + − (z c) =R

Chơng II

Giải bài toán hình học không gian bằng

phơng pháp toạ độ

Để giải các bài toán hình học nói chung và hình học không gian nói riêng chúng ta phải dựa vào các yếu tố, các quan hệ về hình học, đồng phẳng, song song, vuông góc, bằng nhau Nếu ta chọn một hệ toạ độ thích hợp thì ta có thể chuyển thể bài toán hình học sang bài toán đại số với những số, những chữ, véc tơ với phép toán trên nó Với bài toán đại số này chúng ta có sự định hớng rõ ràng hơn và khả năng tìm đợc lời giải nhanh hơn Để thực hiện đợc

điều đó, đòi hỏi học sinh phải có sự luyện tập, vận dụng các kiến thức và cần nắm đợc quy trình giải toán bằng phơng pháp toạ độ thích hợp

Bớc 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp

Bớc 2: Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ Bớc 3: Dùng các kiến thức về toạ độ để giải toán

Bớc 4: Phiên dịch kết quả bài toán từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học

Trong các bớc trên, bớc 2 và bớc 4 học sinh có thể hoàn toàn làm đợc nhờ các kiến thức liên hệ giữa hình học không gian và hệ toạ độ đã biết, ở bớc 3 học sinh có thể sử dụng các kiến thức trên hệ toạ độ một cách sáng tạo để giải các bài toán Buớc 1 học sinh gặp khó khăn hơn cả do không có phơng pháp

cụ thể Để khắc phục khó khăn đó, học sinh phải tập luyện và phải biết dựa vào một số đặc điểm của bài toán này Chọn hệ toạ độ sao cho gốc trùng với

điểm cố định đã biết, dựa vào các đờng thẳng vuông góc để gắn với các trục toạ độ, các điểm đã biết gắn với các toạ độ đơn giản, thuận lợi

Đối với loại bài toán tính toán, nếu không chuyển về phơng pháp toạ độ thì rất khó khăn vì hầu hết sử dụng đến khoảng cách mà chỉ có phơng pháp toạ độ

ta mới biểu diễn đợc khoảng cách một cách đơn giản

phơng pháp chung

Ta thực hiện theo các bớc sau:

cần thiết

gồm:

Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng hoặc mặt phẳng

Góc, khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau

Tính độ dài đoạn thẳng

Chú ý: Với hình hộp chữ nhật AA B C D’ ’ ’ ’ ta thờng thết lập hệ trục toạ độ dựa trên ba cạnh AB, AD và AA’ tơng ứng với các trục Ox, Oy, Oz

Bài 1: Cho hình lập phơng ABCD A B C D’ ’ ’ ’cạnh bằng a

a/ Tính góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng A B’ và AC’

b/ Gọi K là trung điểm DD’ Tính góc và khoảng cách giữa 2 đờng thẳng

CK và A D ’ ’

c/ Mặt phẳng (P) qua BB’ và hợp với hai đờng thẳng BC , B D’ ’ hai góc bằng nhau Tính các góc này

Giải

Chọn hệ trục toạ độ Axyz với

,

B Ax D Ay∈ ∈ và A′∈Az, khi đó:

(0;0;0 ,) ( ;0;0 ,) ( ; ;0 ,) (0; ;0)

A′(0;0; ,a B a) (′ ;0; ,a C a a a D) (′ ; ; ,) (′ 0; ; a a)

a Ta có uuurA B a′ ( ;0;−a)&uuuurAC a a a′( ; ; )

Gọi α là góc tạo bở A B’ và AC’ ta có:

2 ' '

A B AC

A B AC

π

uuur uuuur

uuuur uuuur

Gọi d1 là khoảng cách giữa A B’ và AC’ ta có:

9

A’

C’

D’

B’

x

y z

B A

C D

1

' , ' '

6 ' , '

d

A B A C

uuuur uuuur uuur

uuuur uuuur

b Ta có: 0; ; , ;0; & ' (0; ; ).

Gọi β là góc tạo bởi CK và A D’ , ta có:

10 '

KC A D

KC A D

uuur uuuur

uuur uuuur

Gọi d 2 là khoảng cách giữa CK và A D’ , ta có:

2

, ' ,

3 , '

d

KC A D

uuur uuuur uuur

uuur uuuur

c Ta có BB’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABB A’ ’) và (BCC B’ ’) nên:

( ' :) 0 ( ' :) 0

0

Mặt phẳng (P) qua BB ’có dạng:

( )P x a my: − + = ⇔ 0 ( )P x my a: + − = ⇒ 0 vtpt nr(1; ;0m )

Vì (P) hợp với BC , B D’ ’ (có vtcp là uur1(0;1;1) và uuur2(1; 1;1 − )) hai góc bằng nhau ( giả sử là γ ) nên:

1

⇔ = − ±m 2 6

Với m= − + 2 6 ta đợc:

sin

5

Với m= − − 2 6 ta đợc:

( )2 ( )2

sin

5

Bài 2 : Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB; AC; AD vuông góc với nhau từng

đôi một, biết AB=a AC=b, AD=c

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp(ABCD)

A B

C D

x

y

z

gI

Giải

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho:

(0;0;0); ( ;0;0)

(0; ;0); (0;0; )

= =

= =

a/ Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

tứ diện, giả sử toạ độ của I là ( ; ; ) I x y z

Tacó

2

2

2

a x

b y c z

 =







⇔ =



 =



⇔ Toạ độ điểm I là: ( ; ; )

2 2 2

a b c

* Xác định bán kính R

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có tâm ( ; ; )

2 2 2

a b c

và bán kính: 1 2 2 2

2

b Phơng trình mp(BCD):

a + + = ⇔ + + − =b c a b c

Gọi khoảng cách từ A đến mp(BCD) là h ta có:

0 0 0

1

1

( ) ( ) ( )

abc

a b c h

+ + −

+ + + + + +

Vậy khoảng cách từ A đến mp(BCD) là:

abc h

=

+ +

Bài 3: Chứng minh rằng trong hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ có AC’

vuông góc với mặt phẳng (B’CD’)

Giải

11

z

D’

C’

B’

A’

y

C

D

x B A O

Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.

Giả sử hình lập phơng có cạnh a

Ta có toạ độ các điểm là:

A(0;0;0); B’(a;0;a); C(a;a;0);

D’(0;a;a); C’(a;a;a)

Ta có:

uuuurAC′ =(a a a; ; ); B Cuuuur′ =(0; ;a a− )

uuuurD C' =(a;0; −a)

uuuur uuuurAC B C a′ ′ = 0 +a a a + ( )− = ⇒a 0 uuuurAC' ⊥B Cuuuur' ⇒ AC' ⊥B C' (1)

uuuur uuuurAC D C a a a' ' = + 0 + − = ⇒a.( a) 0 uuuurAC' ⊥uuuurD C' ⇒AC' ⊥D C' (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC' ⊥(B CD' ').

Vậy suy ra điều phải chứng minh

* Bài tập

Bài 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCDA B C D’ ’ ’ ’ đờng cao h Mặt phẳng

quanh hình lăng trụ

Bài 2: Cho hình hộp ABCDA B C D’ ’ ’ ’ có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh

bằng a, góc àA= 60 0, B O’ vuông góc với đáy ABCD, cho BB =a.’

a/ Tính góc giữa cạnh bên và đáy

b/ Tính khoảng cách từ B, B’ đến mp(ACD )’

Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA

vuông góc với đáy Tính độ dài đoạn SA biết rằng số đo góc nhị diện (B SC D) bằng 120 0

Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Từ trung điểm H của cạnh AB kẻ

SH vuông góc với mp(ABCD) sao cho góc giữa cạnh SD và mặt đáy (ABCD)

bằng 60 0

a/ Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD)

b/ Gọi K là trung điểm của cạnh AD Chứng minh CK⊥SD và tính số đo

góc giữa 2 mặt phẳng (A S D ) và (C S D )

c/Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK)

III/ Giải bài toán định tính trong hình học không gian

phơng pháp chung

Ta thực hiện theo các bớc sau:

cần thiết

chứng minh

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh bằng nhau:

AB=CD=a; ; BC=AD=b; ; AC=BD=b

Chứng minh rằng đoạn thẳng nối hai trung điểm vủa cặp cạnh là đờng vuông góc chung của hai cạnh đó

Giải

Gọi I, K lần lợt là trung điểm AB và CD

Ta cần chứng minh: IK AB

⊥



 ⊥



Chọn hệ trục toạ độ Đề các Oxyz sao cho

(0;0;0)A

Giả sử trong hệ trục toạ độ đó

B=( ; ; );x y z C1 1 1 =( ; ; );x y z2 2 2 D=( ; ; )x y z3 3 3

Khi đó

IK

+ + +

+ − + − + −

⇒uur=

Theo giả thiết, ta có:

= = ⇔ + + =

= = ⇔ + + =

= = ⇔ + + =

uuur uuur uuur

13

A

B

K

g

C

I

x

y z

Ta có

2

= ⇔ = ⇔ − + − + − =

⇔ + − + + =

+ −

⇔ + + =

Tơng tự ta cũng có: BD b= ⇔ BD2 =b2 1 2 1 2 1 2 2 2 2

2

⇔ + + =

2

2

=

2

2

a

+ − ì + − −

=

0

=

⇒uur⊥uuur

Chứng minh tơng tự ta có: IK CDuur⊥uuur

IK AB

 ⊥



⇒ 

⊥



uur uuur

uur uuur⇒IKlà đờng vuông góc chung của cặp cạnh đối diện AB và

CD

Chứng minh tơng tự ta cũng có IK là đờng vuông góc chung của các cặp đối

diện còn lại

Bài 2: Cho hình lập phơng ABCD A B C D’ ’ ’ ’ cạnh a

Trên BD và AD’ lần lợt lấy hai điểm thay đổi M,N sao cho

CMR: MN luôn song song với một mặt phẳng cố định

Giải

A

D

A’

x

y z

M N

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho:

(0;0;0); ( ;0;0)

(0; ;0); (0;0; )

= =

′

= =

Khi đó

( ; ;0)

(0; ; )

=

′ =

Gọi M =( ; ; ),x y z N1 1 1 =( ; ; )x y z2 2 2

Ta có:

(0; ;0); ( ;0;0);

= = −

= − − −

uuuur

Mặt khác theo giả thiết:

2

x

a

= ≤ ≤

( )

− = − = −

= ⇔ = ⇔ =

 =  =

2 2

0

=





′

= ⇔ =

 =



uuur uuuur

Xét D BC BA MN(uuur uuur uuuur, ', ) =a.( ) (−a . z2 −z1)+ 0.(y2 −y1).0 +(x2 −x1).0.a

(x2 x1) ( ). a .0 a y( 2 y a1) 0.0.(z2 z1)

( ) ( )

2

0

=

Suy ra BC BA MNuuur uuur uuuur, ', luôn luôn đồng phẳng

Suy ra MN luôn luôn song song với (A BCD )’ ’ cố định

Bài 3: Cho tứ diện DABC có ba cạnh DA; DB; DC vuông góc với nhau từng

đôi một Gọi O là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện Chứng minh nếu ( )α là mặt phẳng bất kỳ qua O thì khoảng cách từ D xuống ( )α bằng tổng đại số 3 khoảng cách từ A, B, C đến mp ( )α

Giải

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz vuông góc

sao cho:

Gọi O là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ

15

A

B

C D

x

y z

O