SKKN: Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ

Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải Sở g d & đt hng yên Trờng THPT Trng Vơng Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc lập Tự Do Hạnh Phúc sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012- 2013 - Họ và tên: Tô Minh Hải - Ngày tháng năm sinh: 26-08-1961 - Năm vào ngành: 1984. - Chức vụ : Phó hiệu trởng . - đơn vị công tác: Trờng THPT Trng Vơng. I/ phần mở đầu 1- Tên đề tài: Giải bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toạ độ 2 Lý do chọn đề tài: Trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng không có một phơng pháp nào chung để giải các bài toán. Mỗi phơng pháp đều có những u, nhợc điểm riêng. Với mỗi loại bài toán luôn đòi hỏi một phơng pháp cụ thể để giải quyết một cách đơn giản nhất. Sự ra đời của phơng pháp toạ độ đã đơn giản hoá đợc phần lớn các bài toán trong hình học không gian. Thông qua phơng pháp toạ độ và phơng pháp vectơ có thể xây dựng thêm một công cụ giải toán, cho phép đại số hoá hình học, hình học hoá đại số. Với học sinh lớp 12, các em đã đợc làm quen với phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng, vì thế có thể sử dụng phơng pháp toạ độ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học không gian một cách thuận tiện. 3- Phạm vi , đối t ợng nghiên cứu : - Khách thể: Học sinh lớp 12. - Đối tợng nghiên cứu: Một số bài toán hình học không gian. - Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp về hình học không gian trong chơng trình THPT. - Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập của học sinh lớp 12 . 2 Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải II Quá trình thực hiện đề tài : 1 Tình trạng thực tế trớc khi thực hiện đề tài: Trớc khi thực hiện đề tài, tôi đã khảo sát chất lợng của học sinh thông qua kiểm tra viết sử dụng phơng pháp toạ độ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học không gian. Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải bằng phơng pháp toạ độ: Cho hình lập phơng ABCD. A B C D cạnh a . Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB D ) và (C BD) . 30% học sinh biết dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong bài toán đợc thuận tiện. 10% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối u Chất lợng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán dạng này yếu 2- Các biện pháp thực hiện đề tài: Bớc 1: Hệ thống hoá các kiến thức Bớc 2: Đa ra một số ví dụ điển hình Bớc 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập ứng đụng cho học sinh thông qua một số bài tập bổ sung nâng cao. Gợi mở cho học sinh những hớng phát triển, mở rộng . 3 Kết quả thực hiện đề tài: Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải bằng phơng pháp toạ độ: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Từ trung điểm H của cạnh AB kẻ SH vuông góc với mp (ABCD) sao cho góc giữa cạnh SD và đáy ABCD bằng 60 0 . a/ Tính SH và khoảng cách từ H đến mp (SCD). b/ Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh CK SD và tính góc giữa hai mặt phẳng (ASD);(CSD). c/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK). Kết quả : 100% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong bài toán đợc thuận tiện. 80% Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ 75% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối u. III Những bài học kinh nghiệm và kiến nghị sau khi thực hiện đề tài Qua kết quả điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy rằng khi giải các bài toán hình học không gian, học sinh thờng không chú ý đến phơng pháp toạ độ và tính u việt của nó hoặc rất lúng túng khi giải bằng phơng pháp toạ độ. Do đó học sinh rất ngại khi giải các bài toán không gian. Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học môn hình học không gian và thấy đợc tính u việt của phơng pháp toạ độ khi giải bài tập hình học không gian, thầy giáo cần đề ra giải pháp khi giải bài toán hình học không gian bằng ph- ơng pháp toạ độ. Lựa chọn những bài toán có thể quy về toạ độ trong hệ toạ độ thích hợp. 3 Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong bài toán đợc thuận tiện. Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ và ngợc lại. Nhận xét, đánh giá , xếp loại của Hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm Văn Lâm, ngày 30 tháng3 năm 2013 Ngời viết tô minh hải 4 Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải Nội dung - - - - - - - - - - - - Chơng I Một số kiến thức cơ bản. 1/ Hệ trục toạ độ. Cho ba trục toạ độ xOx, yOy, zOz vuông góc với nhau từng đôi một tại điểm O. Gọi , ,i j k r r r là các véctơ đơn vị tơng ứng trên các trục xOx, ozzoyy ,, : . Hệ ba trục toạ độ nh vậy gọi là hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là toạ độ Oxyz. + Trục Ox gọi là trục hoành. + Trục Oy gọi là trục tung. + Trục Oz gọi là trục cao. + Điểm O gọi là gốc của hệ toạ độ. 2/ Vectơ đối với hệ toạ độ. + Cho hệ toạ độ Oxyz và một vectơ tuỳ ý v r . Vì ba vectơ , ,i j k r r r không đồng phẳng nên có duy nhất bộ ba số x, y, z sao cho: v xi y j zk= + + r r r r + Bộ ba số (x; y; z) gọi là toạ độ của vectơ v r , kí hiệu là ( ; ; )v x y z r hoặc ( ; ; )v x y z= r . Số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ và số z gọi là cao độ của vectơ v r . + Với hai điểm ( ) 1 1 1 1 , ,M x y z và ( ) 2 2 2 2 , ,M x y z thì: ( ) 1 2 2 1 2 1 2 1 , ,M M x x y y z z= uuuuuur + Nếu có hai vectơ 1 1 1 1 ( , , )v x y z= ur và 2 2 2 2 ( , , )v x y z= uur thì: 5 x O y z j r k r i r Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải (i). ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 , ,v v x x y y z z+ = + + + ur uur (ii). ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 , ,v v x x y y z z = ur uur (iii). 1 1 1 1 ( , , )kv kx ky kz= ur (iv). 1 2 1 2 1 2 1 2 . . . .v v x x y y z z= + + ur uur (v). 1 2 1 2 1 2 1 2 0v v x x y y z z + + = ur uur (vi). Tích có hớng của hai vectơ 1 1 1 1 ( , , )v x y z= ur và 2 2 2 2 ( , , )v x y z= uur là một vectơ v r đợc xác định bởi: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 , , , y z z x x y v v v y z z x x y = ữ ur uur r 3/ Khoảng cách giữa hai điểm. Cho hai điểm ( ) 1 1 1 1 , ,M x y z và ( ) 2 2 2 2 , ,M x y z , thì khoảng cách d giữa 1 M và 2 M là độ dài của vectơ 1 2 M M uuuuuur : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 d M M x x y y z z= = + + uuuuuur . 4/ Chia một đoạn thẳng cho tr ớc theo một tỷ số cho tr ớc. Điểm ( ) , ,M x y x chia đoạn thẳng 1 2 M M theo tỉ số k: 1 2 MM k MM= uuuuur uuuuur đợc xác định bởi công thức: 1 2 1 2 1 2 1 1 1 x kx x k y ky y k z kz z k = = = Đặc biệt nếu k= - 1, thì M là trung điểm của 1 2 M M , khi đó toạ độ của M là: 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x x x y y y z z z + = + = + = 5/ Góc giữa hai vectơ Góc giữa hai vectơ 1 1 1 1 ( , , )v x y z= ur và 2 2 2 2 ( , , )v x y z= uur xác định bởi: 6 Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . . . cos . x x y y z z x y z x y z + + = + + + + . 6/ Hai vectơ cùng ph ơng Hai vectơ 1 1 1 1 ( , , ) 0v x y z= ur r và 2 2 2 2 ( , , ) 0v x y z= uur r cùng phơng với nhau khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho: 2 1 v kv= uur ur cả ba định thức sau đều bằng 0: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 , , y z z x x y y z z x x y . 7/ Ph ơng trình mặt phẳng. a. Khái niệm. Một vectơ 0n r r đợc gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) nếu nằm trên đờng thẳng vuông góc với ( ) . Mặt phẳng ( ) hoàn toàn xác định nếu cho biết một điểm 0 ( )M và một vectơ pháp tuyến của nó. b. Định lý. Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả những điểm có toạ độ thoả mãn phơng trình dạng: 2 2 2 0 ( 0)Ax By Cz D A B C+ + + = + + và ngợc lại mỗi phơng trình dạng đó là phơng trình của một mặt phẳng. 8/ Ph ơng trình đ ờng thẳng a. Định nghĩa: Vectơ a r là vectơ chỉ phơng của đờng thẳng (d) 0 //( ) a a d r r r b. Phơng trình tổng quát của đờng thẳng: Vì đờng thẳng (d) trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nào đó, nên phơng trình tổng quát của (d) có dạng: ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 0 1 ( ) : 0 2 A x B y C z D d A x B y C z D + + + = + + + = với điều kiện 1 1 1 2 2 2 : : : :A B C A B C trong đó (1), (2) theo thứ tự là phơng trình của hai mặt phẳng (P) và (Q). 7 Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải 9/ Ph ơng trình mặt cầu Trong hệ toạ độ Oxyz tập hợp các điểm cách điểm ( , , )I a b c cho trớc một khoảng R>0 không đổi là một mặt cầu có phơng trình: 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )x a y b z c R + + = . Chơng II Giải bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toạ độ. I/ H ớng dẫn học sinh sử dụng ph ơng pháp toạ độ. Để giải các bài toán hình học nói chung và hình học không gian nói riêng chúng ta phải dựa vào các yếu tố, các quan hệ về hình học, đồng phẳng, song song, vuông góc, bằng nhau. . . Nếu ta chọn một hệ toạ độ thích hợp thì ta có thể chuyển thể bài toán hình học sang bài toán đại số với những số, những chữ, véc tơ với phép toán trên nó. Với bài toán đại số này chúng ta có sự định hớng rõ ràng hơn và khả năng tìm đợc lời giải nhanh hơn. Để thực hiện đợc điều đó, đòi hỏi học sinh phải có sự luyện tập, vận dụng các kiến thức và cần nắm đợc quy trình giải toán bằng phơng pháp toạ độ thích hợp. Bớc 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp. Bớc 2: Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ. Bớc 3: Dùng các kiến thức về toạ độ để giải toán. Bớc 4: Phiên dịch kết quả bài toán từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học. Trong các bớc trên, bớc 2 và bớc 4 học sinh có thể hoàn toàn làm đợc nhờ các kiến thức liên hệ giữa hình học không gian và hệ toạ độ đã biết, ở bớc 3 học sinh có thể sử dụng các kiến thức trên hệ toạ độ một cách sáng tạo để giải các bài toán. Buớc 1 học sinh gặp khó khăn hơn cả do không có phơng pháp cụ thể. Để khắc phục khó khăn đó, học sinh phải tập luyện và phải biết dựa vào một số đặc điểm của bài toán này. Chọn hệ toạ độ sao cho gốc trùng với điểm cố định đã biết, dựa vào các đờng thẳng vuông góc để gắn với các trục toạ độ, các điểm đã biết gắn với các toạ độ đơn giản, thuận lợi. II/Giải bài toán định l ợng trong hình học không gian. 8 Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải Đối với loại bài toán tính toán, nếu không chuyển về phơng pháp toạ độ thì rất khó khăn vì hầu hết sử dụng đến khoảng cách mà chỉ có phơng pháp toạ độ ta mới biểu diễn đợc khoảng cách một cách đơn giản. phơng pháp chung Ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết. Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thờng bao gồm: Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng hoặc mặt phẳng. Góc, khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau. Tính độ dài đoạn thẳng. Chú ý: Với hình hộp chữ nhật AA B C D ta thờng thết lập hệ trục toạ độ dựa trên ba cạnh AB, AD và AA tơng ứng với các trục Ox, Oy, Oz. Bài 1: Cho hình lập phơng ABCD. A B C D cạnh bằng a. a/ Tính góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng A B và AC. b/ Gọi K là trung điểm DD. Tính góc và khoảng cách giữa 2 đờng thẳng CK và A D . c/ Mặt phẳng (P) qua BB và hợp với hai đờng thẳng BC , B D hai góc bằng nhau. Tính các góc này. Giải. Chọn hệ trục toạ độ Axyz với ,B Ax D Ay và A Az , khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , 0; ;0A B a C a a D a ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0; , ;0; , ; ; , 0; ; .A a B a a C a a a D a a a. Ta có ( ) ( ) ;0; & ; ;A B a a AC a a a uuur uuuur Gọi là góc tạo bở A B và AC ta có: . cos 0 2 ' . ' A B AC A B AC = = = uuur uuuur uuuur uuuur . Gọi d 1 là khoảng cách giữa A B và AC. ta có: 9 A C D B x y z B A C D Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải 1 ' , ' . ' 6 ' , ' A B A C AA a d A B A C = = uuuur uuuur uuur uuuur uuuur . b. Ta có: ( ) 0; ; , ;0; & ' 0; ; . 2 2 a a K a KC a A D a a ữ ữ uuur uuuur Gọi là góc tạo bởi CK và A D , ta có: . ' 1 cos 10 . ' KC A D KC A D = = uuur uuuur uuur uuuur . Gọi d 2 là khoảng cách giữa CK và A D , ta có: 2 , ' , 3 , ' KC A D KD a d KC A D = = uuur uuuur uuur uuur uuuur c. Ta có BB là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABB A ) và (BCC B ) nên: ( ) ( ) 0 0 ' : ' : 0 y x a BB BB x a y = = = = Mặt phẳng (P) qua BB có dạng: ( ) ( ) ( ) : 0 : 0 1; ;0P x a my P x my a vtpt n m + = + = r Vì (P) hợp với BC , B D (có vtcp là ( ) 1 0;1;1u ur và ( ) 2 1; 1;1u uur ) hai góc bằng nhau ( giả sử là ) nên: ( ) ( ) 2 2 2 1 sin 3 2 1 4 2 0 2 1 3 1 m m m m m m m m = = = + = + + 2 6m = . Với 2 6m = + ta đợc: ( ) ( ) 2 2 6 2 6 2 6 2 6 1 sin 5 22 8 6 4 6 2 6 2 1 = = = = + Với 2 6m = ta đợc: ( ) ( ) 2 2 6 2 6 2 6 2 6 1 sin 5 22 8 6 4 6 2 6 2 1 + + + + = = = = + + + . Bài 2 : Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB; AC; AD vuông góc với nhau từng đôi một, biết AB=a. AC=b, AD=c. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp(ABCD). 10 A B C D x y z g I Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải Giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: (0;0;0); ( ;0;0) (0; ;0); (0;0; ) A B a C b D c = = = = a/ Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, giả sử toạ độ của I là ( ; ; )I x y z . Tacó 2 2 2 a x b y c z = = = Toạ độ điểm I là: ( ; ; ) 2 2 2 a b c I = . * Xác định bán kính R 2 2 2 2 2 2 1 4 4 4 2 a b c R IA a b c= = + + = + + Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có tâm ( ; ; ) 2 2 2 a b c I = và bán kính: 2 2 2 1 2 R a b c= + + b. Phơng trình mp(BCD): 1 1 0 x y z x y z a b c a b c + + = + + = Gọi khoảng cách từ A đến mp(BCD) là h. ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) abc a b c h a b b c c a a b c a b c + + = = = + + + + + + Vậy khoảng cách từ A đến mp(BCD) là: 2 2 2 2 2 2 abc h a b b c c a = + + Bài 3: Chứng minh rằng trong hình lập phơng ABCD.ABCD có AC vuông góc với mặt phẳng (BCD). Giải 11 z D C B A y C D x B A O [...]... Cơng Hình học 12 NXB Giáo dục - 2008 2/ Trần Văn Hạo Hình học 12, NXB Giáo dục - 2009 3/ Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí Phơng pháp giải toán hình học giải tích trong không gian Nhà xuất bản Hà Nội - 2010 20 Ngời thực hiện: Tô Minh Hải Mục lục Nội dung 2 Chơng I Một số kiến thức cơ bản 5 Chơng II Giải bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toạ độ8 1/ Hỡng dẫn học sinh sử dụng phơng pháp toạ độ .8 2/ Giải. .. 5 Chơng II Giải bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toạ độ8 1/ Hỡng dẫn học sinh sử dụng phơng pháp toạ độ .8 2/ Giải bài toán định lợng trong hình học không gian .9 3/ Giải bài toán định tính trong hình học không gian 13 4/ Bài toán về điểm và quỹ tích trong không gian 17 21 ... các góc bằng nhau, ngoài ra nó không vuông góc với mặt phẳng ( ) chứa các đờng thẳng này CMR hình chiếu vuông góc (d) của đờng thẳng (d) lên mặt phẳng ( ) cũng tạo thành những góc bằng nhau với 2 đờng thẳng (d1) và (d2) Iv/ Giải bài toán về điểm và quỹ tích trong hình học không gian phơng pháp chung Ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các... mặt phẳng (SBC) và (SCK) III/ Giải bài toán định tính trong hình học không gian phơng pháp chung 12 Ngời thực hiện: Tô Minh Hải Ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểu kiện, từ đó suy ra kết quả cần chứng minh Bài 1: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh bằng nhau: AB=CD=a; ; BC=AD=b;... x . 5 Chơng II. Giải bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toạ độ 8 1/ Hỡng dẫn học sinh sử dụng phơng pháp toạ độ 8 2/ Giải bài toán định lợng trong hình học không gian 9 3/ Giải bài toán định. giúp học sinh có hứng thú học môn hình học không gian và thấy đợc tính u việt của phơng pháp toạ độ khi giải bài tập hình học không gian, thầy giáo cần đề ra giải pháp khi giải bài toán hình học. II Giải bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toạ độ. I/ H ớng dẫn học sinh sử dụng ph ơng pháp toạ độ. Để giải các bài toán hình học nói chung và hình học không gian nói riêng chúng