SKKN HD HS giải toán cực trị trong ĐS 8

a - đặt vấn đề I-Lời mở đầu : Trong trờng phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng. Các kiến thức và phơng pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả năng t duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh t tởng đạo đức và thẩm mỹ của ngời công dân. ở tròng THCS, trong dạy học Toán: cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí; thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của phơng pháp dạy học Toán ở trờng phổ thông. Đối với học sinh THCS, có thể coi việc giải bài toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán. Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các kiến thức cơ bản để học sinh có thể vận dụng vào làm bài tập thì việc bồi dỡng học sinh khá giỏi là mục tiêu quan trọng của ngành giáo dục nói chung và bậc học THCS nói riêng. Do đó việc hớng dẫn học sinh kĩ năng tìm tòi sáng tạo trong quá trình giải toán là rất cần thiết và không thể thiếu đợc. Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trờng THCS tôi đi sâu nghiên cứu nội dung chơng trình và qua thực tế dạy học tôi thấy: trong chơng trình Toán THCS "Các bài toán về cực trị trong đại số" rất đa dạng, phong phú và thú vị, có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này. ở THPT để giải quyết các bài toán về cực trị đại số ngời ta thờng dùng đến "công cụ cao cấp" của toán học là: đạo hàm của hàm số. ở THCS, vì không có (hay nói chính xác hơn là không đ ợc phép dùng) "công cụ cao cấp" của Toán học nói trên, nên ng ời ta phải bằng các cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để giải quết các bài toán loại này. Chính vì vậy, các bài toán cực trị đại số ở THCS không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả, nó đòi hỏi ng ời học phải có một cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách logic có hệ thống. Trên thực tế giảng dạy Toán 8-9 những năm qua tôi nhận thấy: phần "Các bài toán cực trị trong đại số" là một trong những phần trọng tâm của việc bồi dỡng học sinh khá giỏi ở trờng THCS. Thế nhng thực trạng học sinh trờng chúng tôi và những trờng tôi đã từng dạy là: học sinh không có hứng thú với loại toán này, bởi lẽ các bài toán về cực trị đại số ở trờng THCS không theo một ph- ơng pháp nhất định nên các em rất lúng túng khi làm toán về cực trị, các em không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hớng nào. Hầu hết học sinh rất ngại khi gặp các bài toán cực trị và không biết vận dụng để giải quyết các bài tập khác. Thực trạng đó khiến tôi luôn băn khoăn suy nghĩ: "Làm thế nào để học sinh không thấy ngại và có hứng thú với loại toán này". Với trách nhiệm của ngời giáo viên tôi thấy mình cần giúp các em học tốt hơn phần này. Tôi đã dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạy của bản thân và của một số đồng nghiệp; qua sự tìm tòi thử nghiệm, đợc sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp. Đặc biệt là những bài học sau những năm ở tr ờng s phạm. Tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "Hớng dẫn học sinh THCS giải các bài toán cực trị trong đại số". Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các bài toán cực trị đại số, giúp các em học tốt hơn. Đồng thời hình thành ở học sinh t duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa học luôn mong muốn làm đợc những việc đạt kết quả cao nhất, tốt nhất. II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu. 1, Đối với học sinh :. Thực trạng khi nhận chuyên môn phân công dạy toán 8 ở những tiết đầu tiên tôi cảm thấy hụt hẩng tr ớc cách học của học sinh. Để Thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tôi dùng nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút ra một hiện tợng nổi bật học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc nhng mang tính chất học vẹt chấp hành đúng nguyên bản, quá trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng của học sinh tôi đ a ra một số ví dụ thì học sinh lúng túng không biết chứng minh nh thế nào. Trớc thực trạng trên tôi đã điều tra học sinh qua nhiều biện pháp kết quả cho thấy. Lớp Sỉ số Giỏi Khá TB Yếu- kém SL % SL % Sl % SL % 8 49 02 06 31 10 Sau khi kiểm tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm rất mơ hồ, một sô học sinh làm đợc chỉ nằm vào một số học sinh khá- giỏi. Số còn lại chủ yếu là học sinh TB, Yếu, kém không biết giải thích bài toán nh thế nào. 2, Đối với giáo viên : Thực trạng này không thể đổ lỗi cho tất cả học sinh bởi vì ng- ời giáo viên là ngời chủ động, chủ đạo kiến thức, cũng chỉ tuân theo SGK mà dạy bài toán này đòi hỏi học sinh phải t duy tốt và phải thâu tóm đợc kiến thức đã học để tận dụng vào làm bài tập . Đôi khi giáo viên áp đặt gò bó các em phải thê này, phải thế nọ mà không đa ra thực tế để các em nhìn nhận vấn đề. Về phí học sinh cảm thấy khó tiếp thu bởi vì đây là dạng toán mà các em rất ít đợc gặp chính vì lí do đó mà ngời thầy phải tìm ra PP phù hợp nhất để học sinh có hứng học, b ớc đầu học sinh làm quen với dạng bài toán Toán Cực chỉ nên cảm thấy mơ hồ phân vân tại sai lại phải làm nh vậy. Nếu không biến đổi thì có tìm đợc kết quả không. Từ những băn khoăn đó của học sinh giáo viên khẳng định nếu không biến đổi nh vậy thì không trả lời yêu cầu của bài toán. Sau đây tôi xin đa ra một số kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải các bài toán cực trị trong đại số 8. B- giải quyết vấn đề I - các giải pháp thực hiện 1. Khái niệm về cực trị của một biểu thức Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc miền S nào đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến (x 0 , y 0 , z 0 ) S mà ta có: P(x 0 , y 0 , z 0 ) P(x, y, , z) hoặc P(x 0 , y 0 , z 0 ) P(x, y, , z) thì ta nói P(x, y, , z) lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại (x 0 , y 0 , z 0 ) trên miền S. P(x, y, , z) đạt giá trị lớn nhất tại (x 0 , y 0 , z 0 ) S còn gọi là P đạt cực đại tại (x 0 , y 0 , z 0 ) hoặc P max tại (x 0 , y 0 , z 0 ). Tơng tự ta có: P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x 0 , y 0 , z 0 ) S còn gọi là P đạt cực tiểu tại (x 0 , y 0 , z 0 ) hoặc P min tại (x 0 , y 0 , z 0 ). Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là các cực trị của P trên miền S. 2. Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó là vấn đề rộng và phức tạp, nguyên tắc chung là: *) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền xác định S, ta cần chứng minh hai b ớc: - Chứng tỏ rằng P k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các biến trên miền xác định S - Chỉ ra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức. *) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền xác định S, ta cần chứng minh hai b ớc: - Chứng tỏ rằng P k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các biến trên miền xác định S - Chỉ ra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức. Chú ý rằng không đợc thiếu một bớc nào trong hai bớc trên. Ví dụ: Cho biểu thức A = x 2 + (x - 2) 2 Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A nh sau: Ta có x 2 0 ; (x - 2) 2 0 nên A 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0. Lời giải trên có đúng không? Giải : Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới chứng tỏ rằng A 0 nhng cha chỉ ra đợc trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức. Dấu đẳng thức không xảy ra, vì không thể có đồng thời: x 2 = 0 và (x - 2) 2 = 0 . Lời giải đúng là: A = x 2 + (x - 2) 2 = x 2 + x 2 - 4x +4 = 2x 2 - 4x + 4 = 2(x 2 -2x - +1) + 2 = 2(x - 1) 2 + 2 Ta có: (x - 1) 2 0 , x 2(x - 1) 2 + 2 2 x A 2 x Do đó A = 2 x = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 với x = 1. 3. Kiến thức cần nhớ: Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững: a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất đẳng thức. b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc: * a 2 0, tổng quát: a 2k 0 (k nguyên dơng) Xảy ra dấu đẳng thức a = 0 * -a 2 0, tổng quát: -a 2k 0 (k nguyên dơng) Xảy ra dấu đẳng thức a = 0 * 0 a . (Xảy ra dấu đẳng thức a = 0) * - aaa . (Xảy ra dấu đẳng thức a = 0) * baba ++ (Xảy ra dấu đẳng thức ab 0) * baba (Xảy ra dấu đẳng thức a b 0 hoặc a b 0) * 2 1 + a a , a >0 và 2 1 + a a , a <0 * ab baba + + 2 2 22 a,b (Xảy ra dấu đẳng thức a = b) * a b, ab >0 ba 11 (Xảy ra dấu đẳng thức a = b) II - các biện pháp thực hiện (Một số dạng bài toán cực trị trong đại số) Thông qua các bài toán trong sách giáo khoa (sách tham khảo) tôi tiến hành phân loại thành một số dạng cơ bản nhất về các bài toán cực trị trong đại số ở THCS rồi hớng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải từng dạng toán đó. Sau đây là một số dạng cơ bản thờng gặp: Dạng 1 : bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức là tam thức bậc hai. Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. A(x) = x 2 - 4x+1 Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ. H ớng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi về dạng A(x) k (k là hằng số) với mọi gía trị của biến và chỉ ra trờng hợp xảy ra đẳng thức Lời giải : A(x) = x 2 - 4x+1 = x 2 - 2.2x+1 = (x 2 - 2.2x+4)- 3 = (x- 2) 2 - 3 Với mọi giá trị của x: (x - 2) 2 0 nên ta có: A(x) = (x- 2) 2 - 3 -3 Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3 khi x=2 Đáp số : A(x) nh ỏ n h ấ t = - 3 với x=2 Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) = -5x 2 - 4x+1 Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ H ớng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đa B(x) về dạng B(x) k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến khi đó giá trị lớn nhất của B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng thức Lời giải : B(x) = -5x 2 4x+1 = -5 (x 2 + 5 4 x) +1 = -5 1 5 2 5 2 5 2 .2 22 2 + ++ xx = 1 25 4 5 2 5 2 + + x = -5 1 5 4 5 2 2 ++ + x = -5 5 9 5 2 2 + + x Với mọi giá trị của x: 2 5 2 + x 0 nên -5 2 5 2 + x 0 suy ra: B(x)= -5 2 5 2 + x + 5 9 5 9 Vậy B(x)đạt giá trị lớn nhất khi B(x)= 5 9 , khi x = - 5 2 Đáp số : B(x) lớn n h ấ t = 5 9 với x = - 5 2 Ví dụ 3 : (Tổng quát) Cho tam thức bậc hai P = ax 2 +bx + c Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0 Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0 H ớng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải biến đổi sao cho P = a.A 2 (x) + k. Sau đó xét với từng trờng hợp a>0 hoặc a<0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất. Lời giải : P = a.A 2 (x) + k = a (x 2 + a b x) + c 2 2 2 2 2 442 2 a b c a b a b xxa + ++= k a b xa + += 2 2 với 2 2 4a b ck = Do 0 2 2 + a b x nên: +Nếu a>0 thì 0 2 2 + a b xa do đó P k +Nếu a<0 thì 0 2 2 + a b xa do đó P k Vậy khi x = - a b 2 thì P có giá trị nhỏ nhất bằng k (nếu a>0) hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nếu a<0) Dạng 2 : bài toán tìm giá trị nhỏ nhất,giá tri lớn nhất của đa thức bậc cao: Ví dụ4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x 2 + x + 1) 2 H ớng dẫn giải : (?) Ta nhận thấy A = (x 2 + x + 1) 2 0, nhng giá trị nhỏ nhất của A có phải bằng 0 hay không? Vì sao? Trả lời : Mặc dù A 0 nhng giá trị nhỏ nhất của A không phải bằng 0 vì: x 2 + x +1 0 Do đó A min (x 2 + x +1) min [...]... tính toán, khả năng t duy Đề tài này giúp học sinh giải quyết các bài toán về cực trị trong đại số 8 có PP hơn, có hiệu quả hơn và vận dụng vào giải quyết các bài tập có liên quan kích thích đ ợc sự đam mê học toán nói chung và sự say mê giải các bài toán cực trị nói riêng Yêu cầu về phát huy tính tự giác rèn luyện khả năng t duy tích cực độc lập, sáng tạo của học sinh thông qua hoạt động giải toán. .. mặt t tởng các bài toán cực trị giúp học sinh thêm gần gũi với kíên thức thực tế của đời sống, rèn luyện nếp nghỉ khoa học luôn mong muốn làm đợc những công việc đạt hiệu quả cao nhât, tốt nhất 3 Bài học kinh nghiệm: Với đề tài H ớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số Tôi đã cố gắng hệ thống một số dạng cơ bản nhất về các bài toán cực trị trong đại số 8 Trong mỗi giờ dạy tôi... toán cực trị trong đại số 8 theo nội dung đề tài này kết quả mà tôi thu đ ợc khá khả quan Để giải quyết các bài toán về cực trị đại số ở lớp 8 các em phải biến đổi đồng nhất các biểu thức đaị số, phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các hằng đẳng thức đáng nhớ từ dạy đơn giản đến phức tạp Ngoài ra còn liên quan mật thiết đến các kiến thức chứng minh đẳng thức bởi thế nói các bài toán cực trị đại số 8. .. có chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x - 1 + x - 3 H ớng dẫn giải : Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối do đó chúng ta phải nghỉ tới các khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đối của một biểu thức A Nếu A 0 A = - A Nếu A 0 Cách 1 : Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A trong các khoảng nghiệm So sánh các giá trị của A trong các khoảng... những ví dụ trong mỗi ví dụ đó có gợi ý và hớng dẫn học sinh cách giải và những chú ý cần thiết để khi gặp các ví dụ khác các em có thể giải đ ợc Các dạng bài tập đa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm giúp cho học sinh có những kiến thức cơ bản về giải bài toán cực trị trong đại số 8 Bên cạnh đó tôi còn đ a ra các ví dụ là các bài toán tổng hợp các kiến thức và kĩ năng tính toán, khả năng... x+1=0 hay x=-1 Vậy giá trị lớn nhất của M(x) = 3 1 khi và chỉ khi x=-1 2 Đáp số : M(x) L ớ n n h ấ t =3 1 với x = -1 2 C Kết luận 1 Thực tiễn khảo sát sau khi áp dụng Sauk hi áp dụngcác cách giải bài toán cực trị trong đại số 8 thực tế học sinh dần dần chú trọng khi giải toán chứ không lúng túng nh trớc Kết quả tôi đã thu đợc sau khi áp dụng đề tài này đ ợc thể hiện ở bảng sau: Lớp 8 Sỉ số 49 Giỏi SL %... bộ môn Toán Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy vẫn có rất nhiều học sinh còn bỡ ngỡ trong qúa trình giải các bài toán cực trị, lập luận cha có căn cứ, suy diễn ch a hợp logic và đặc biệt là một số dạng cha phù hợp với học sinh trung bình, yếu Mặc dù có rất nhiều cố gắng nh ng do thời gian không nhiều, do trình độ năng lực của bản thân và tài liệu tham khảo còn hạn chế lại cha có kinh nghiệm trong lĩnh... cứu khoa học nên trong cách trình bày không tránh khỏi những sơ xuất thiếu sót Rất mong nhận đ ợc sự giúp đỡ, góp ý của các thầy , cô và và bạn đồng nghiệp để tôi có thể rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy của mình trong thời gian sau Thiệu Minh, ngày 08 tháng 3 năm 2009 Ngời viết Nguyễn Thị Huyền Tài liệu tham khảo: 1 SGK Toán 8- NXB Giáo dục- Phan Đức Chính, Tôn Thân 2 SBT Toán 8 NXB Giáo dục-... 10 do đó A = 2x 7 > 3 So sánh các giá trị của A trong các khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2 x 5 Đáp số: A m i n = 3 khi và chỉ khi 2 x 5 Cách 2 : Ta có thể sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối của một tổng nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A A = x - 2+ x 5 = x - 2+ 5 x Lời giải: Ta có: x - 2 + 5 - x x - 2 + 5... nào? Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng bao nhiêu? Lời giải : x 4 - 6x 3 + 10x 2 - 6x +9 = x 4 - 2.x 2 3x + (3x) 2 + x 2 - 2x.3 +3 2 = (x 2 - 3x) 2 + (x - 3) 2 0 Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi: x 2 3x = 0 x(x-3) = 0 x3=0 x=0 x3=0 x=3 x=3 x=3 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3 Đáp số : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3 Dạng 3 : bài toán Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn . đề tài H ớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số Tôi đã cố gắng hệ thống một số dạng cơ bản nhất về các bài toán cực trị trong đại số 8. Trong mỗi giờ dạy tôi có đa ra. của bài toán. Sau đây tôi xin đa ra một số kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải các bài toán cực trị trong đại số 8. B- giải quyết vấn đề I - các giải pháp thực hiện 1. Khái niệm về cực trị của. bài toán về cực trị trong đại số 8 có PP hơn, có hiệu quả hơn và vận dụng vào giải quyết các bài tập có liên quan kích thích đ ợc sự đam mê học toán nói chung và sự say mê giải các bài toán cực