skkn phương pháp giải toán cực tri trong toán THCS

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH HẢI DƯƠNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN CỰC TRỊ TRONG TỐN THCS BỘ MƠN: TỐN Năm học 2014 - 2015 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Phương pháp giải toán cực tri toán THCS Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chuyên môn Tác giả: Họ tên: Nguyễn Chí Thanh Nam Ngày tháng/năm sinh: 02/9/1976 Trình độ chun mơn: Sư phạm Tốn Chức vụ, đơn vị cơng tác: Giáo viên Điện thoại: 0946559388 4.Chủ đầu tư sáng kiến: Trường THCS Thành Nhân - Ninh Giang - Hải Dương Địa : Thị trấn Ninh Giang - Ninh Giang - Hải Dương Số đt: 03203.766419 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Lớp thực nghiệm - Cần có phương tiện hỗ trợ giảng dạy máy tính, máy chiếu Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu từ: Năm học 2010-2011 HỌ TÊN TÁC GIẢ (KÝ TÊN) Nguyễn Chí Thanh XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN TÓM TẮT SÁNG KIẾN Xuất phát từ yêu cầu chung ngành giáo dục giáo dục, đào tạo công dân thành người lao động hoà nhập với sống nói chung với hoạt động lao động sáng tạo nói riêng đất nước Vì q trình giáo dục nói chung dạy – học nói riêng mơn Tốn đóng vai trị trọng tâm Xác định tính cấp thiết vấn đề tơi khơng ngừng nghiên cứu nhằm đổi phương pháp giảng dạy mơn Tốn Từ nghiên cứu thực tế tơi viết áp dụng sáng kiến: Phương pháp giải toán cực trị tốn THCS Sáng kiến tơi viết áp dụng điều kiện ngành giáo dục có nhiều đổi Thay cho việc nặng nề lí thuyết, hàn lâm, giáo dục phát triển theo hướng gắn với thực tiễn, lấy người học làm trung tâm Đây điều kiện thuận lợi để thực sáng kiến Sáng kiến áp dụng từ năm học 2010-2011 với đối tượng học sinh khối lớp 6, 7, 8, Tính mới, tính sáng tạo sáng kiến đổi toàn diện, triệt để phương pháp nghiên cứu áp dụng thực tế Đưa giải pháp, biện pháp để thực sáng kiến cách hiệu với người dạy người học Sáng kiến thân đồng nghiệp dạy mơn Tốn trường áp dụng năm năm học Mức độ áp dụng sáng kiến nâng cao dần sau năm học Dần dần đạt đến hoàn chỉnh dạy trực tiếp liên hệ đến tốn cực trị Tính khả thi sáng kiến cao việc khai thác thông tin, tài liệu, sách tham khảo tương đối thuận lợi (đặc biệt với hỗ trợ mạng Google) Trong năm học sáng kiến cịn áp dụng cách rộng rãi hiệu Khi đưa sáng kiến vào áp dụng nhận thấy hiệu giảng dạy nâng lên rõ rệt Tình trạng học sinh khơng nắm khơng cịn tồn Học sinh hứng thú tích cực học tập, học trở lên sôi nổi, hiệu Từ việc hiểu dẫn đến thay đổi hẳn hành vi ứng xử em Ý thức học sinh khả thích ứng với sống, kĩ ứng biến em tốt lên nhiều Kết việc áp dụng sáng kiến minh chứng rõ nét kết khảo sát học sinh qua năm học Tỉ lệ học sinh giỏi tăng lên Kết khích lệ lớn với giáo viên học sinh công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Để mở rộng việc áp dụng sáng kiến nâng cao hiệu giảng dạy mơn Tốn, tơi đưa số đề xuất, kiến nghị với cấp lãnh đạo thân đồng chí giáo viên trực tiếp giảng dạy như: - Tuyên truyền làm thay đổi nhận thức nhà giáo dục, giáo viên, phụ huynh học sinh học sinh vai trò tầm quan trọng việc tự học tự nghiên cứu mơn Tốn - Tổ chức đợt hội thảo trao đổi kinh nghiệm, bồi dưỡng thường xuyên phương pháp dạy – học môn cấp huyện, cấp tỉnh - Tăng cường tài liệu tham khảo môn toán cho thư viện, trang thiết bị dạy - học MƠ TẢ SÁNG KIẾN Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến 1.1 Hồn cảnh khách quan To¸n häc môn khoa học , mang tính trừu tợng nhng mô hình ứng dụng rộng rÃi gần gũi lĩnh vùc cđa ®êi sèng x· héi , khoa häc lí thuyết khoa học ứng dụng Dạy học sinh học Toán không cung cấp kiến thức , dạy học sinh giải tập SGK, STK mà quan trọng hình thành cho học sinh phơng pháp chung để giải dạng Toán từ giúp em tích cực hoạt động , độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ , kỹ sảo hoàn thiện nhân cách Trong Toán học , cực trị khái niệm hẹp nhng kiến thức liên quan đến vô rộng rÃi Trong chơng trình Toán THCS toán cực trị có mặt rải rác hầu khắp phân môn Số học , Đại số Hình học Häc sinh tõ líp ®Õn líp ®Ịu ®· gặp toán cực trị với yêu cầu nh : t×m sè x lín nhÊt cho , tìm giá trị lớn ( nhỏ ) biểu thức , xác định vị trí điểm M ®Ĩ ®é dµi ( diƯn tÝch , chu vi ) hình H đạt giá trị lớn ( nhá nhÊt ) Nhng gi¶i cã thĨ giáo viên không dạy phơng pháp tổng quát có dạy nhng học sinh không đợc tiếp thu theo hệ thống dạng toán Nói chung gặp toán cực trị đa phần học sinh e ngại lúng túng cách giải 1.2 Hon cnh ch quan Trong năm thực tế giảng dạy học sinh từ lớp đến lớp , dạy học sinh ôn tập,ôn thi HSG ôn thi THPT nhận thấy cần thiết phải hình thành cách có hệ thống dạng toán cực trị phơng pháp giải để dạy học sinh Tôi đà dành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu , học hỏi đồng nghiệp , tìm tòi thử nghiệm với đối tợng học sinh đại trà ôn thi Đợc khuyến khích , giúp đỡ nhiệt tình bạn bè đồng nghiệp trờng trờng bạn, đà mạnh dạn nghiên cứu bớc đầu đề tài : Phơng pháp giải toán cực trị toán THCS ” Cơ sở lí luận vấn đề Trong Toán học , cực trị khái niệm hẹp nhng kiến thức liên quan đến vô rộng rÃi Trong chơng trình Toán THCS toán cực trị có mặt rải rác hầu khắp phân môn Số học , Đại số Hình học Học sinh từ lớp đến lớp đà gặp toán cực trị với yêu cầu nh : tìm số x lớn cho , tìm giá trị lớn ( nhỏ ) biểu thức , xác định vị trí điểm M để độ dài ( diện tích , chu vi ) hình H đạt giá trÞ lín nhÊt ( nhá nhÊt ) 2.1 Sự phân bố kiến thức cực trị toán THCS Trong số học ta có: Bội chung nhỏ nhất, ước chung lớn nhất,…… Trong đại số ta có: Tính chất lũy thừa bậc chẵn, giá trị tuyệt đối, điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai, số bất đẳng thức bản,…… Trong hình hoc ta có: Đường xiên đường vng góc, đường gấp khúc đường thẳng, đường kính dây,……… 2.2 Một số yêu cầu cần có giải toán cực trị - Khi giải toán cực trị thiết phải đủ hai bước: Chỉ A ≥ m A ≤ M Xét dấu " = " xẩy nào? Từ kết luận - Việc giải toán cực trị phân môn có giới hạn tập hợp số để xét Trong chơng trình THCS xét giới hạn trờng số thực R phân môn Đại số Hình học phân môn Số học xét vành số nguyên Z Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trên thực tế, trước bắt tay vào nghiên cứu viết sáng kiến nhận thấy việc dạy học mơn Tốn đa số cịn thụ động Giáo viên giảng dạy hầu hết vào thông tin có sách giáo khoa Trong kiến thc cc tr c cp rải rác hầu khắp phân môn Số học , Đại số H×nh häc , việc khai thác địi hỏi phải có hệ thống Phương pháp giảng dạy chủ yếu gặp giải Phương pháp hoạt động dạy học đơn điệu chưa đưa yêu cầu đổi giảng dạy Nội dung kiến thức cực trị nội dung có phần mang tính trừu tượng địi hỏi tư logic cao Do người dạy người học phải có khối kiến thức chắn Xong vấn đề người dạy người học chưa tích cực tìm hiểu nội dung kiến thức Về phía học sinh tính tự học chưa có mấy, dẫn đến em thụ động học, khả phân tích, tư liên kết cịn hạn chế Theo số khảo sát nhanh trường số mặt - Có khoảng 70% học sinh ngại học phần cực trị, khơng muốn nói sợ - 80% em chưa biết cách lập luận lập luận thiếu chặt chẽ - Khảo sát 100 học sinh (cho làm đề kiểm tra theo hướng đổi mới): có 5% học sinh đạt điểm trở lên Trước thực trạng dạy học kiến thức cực trị nêu cố gắng nghiên cứu nhằm đưa giải pháp khắc phục Đó việc nghiên cứu đưa vào áp dụng sáng kiến " Phương pháp giảỉ toán cực trị toán THCS " Các giải pháp, biện pháp thc hin Bài toán cực trị xuất phát từ thực tiễn giải toán lớn Cực trị tên gọi chung cho toán tìm giá trị lớn ( GTLN) giá trị nhỏ ( GTNN) Trong lí thuyết Toán học đại phân môn Số học , Đại số , Hình học đợc định nghĩa qua tập hợp Theo lí thuyết Giải tích cổ điển , xét tập hợp số thực x E R , E không rỗng bị chặn tồn cận M cđa E ( M = supE ) hc cËn díi ®óng m cđa E ( m = infE ) hc hai Tuy nhiên M m không thuộc E Khi M E ( hc m ∈ E) ta viÕt M = maxE ( m = minE ) cách viết tắt theo chữ Latin ( max = maximum, = minimum ) mà trờng phổ thông ta thờng gọi giá trị lớn ( GTLN ) giá trị nhỏ ( GTNN ) Theo quan điểm việc tìm maxE = M minE = m phải bao gồm đồng thời hai điều kiện : i) M = E hc m = E ii) x E để M = E m = E ( Đối với phân môn Hình học ta hiểu x điều kiện ràng buộc mà đề yêu cầu) Sau dạng tập phơng pháp cụ thể phân môn xét theo quan điểm 4.1 Cực trị sè häc 4.1.1.phÐp chia hÕt vµ phÐp chia cã d 4.1.1.1 Lí thuyết 4.1.1.1.1 Định nghÜa * PhÐp chia hÕt vµ phÐp chia cã d Cho a , b ∈ Z , b > Chia a cho b ta cã : a chia hết cho b a không chia hết cho b NÕu a chia hÕt cho b ta kí hiệu a b ta nói b chia hÕt a hay b lµ íc cđa a vµ kí hiệu b | a Nếu a không chia hết cho b ta đợc thơng gần q vµ d lµ r , ta viÕt : a = bq + r , < r < b * Ước chung lớn bội chung nhỏ Cho hai số nguyên dơng a , b ớc chung lớn a b đợc kí hiệu ƯCLN ( a,b) hay ( a , b ) Sè d gäi lµ íc chung cđa a vµ b vµ chØ d lµ íc cđa ¦CLN(a ,b) : d | a vµ d | b ⇔ d | (a,b) Béi chung nhá nhÊt cña a b đợc kí hiệu BCNN(a,b) hay [a,b] Sè m lµ BCNN(a,b) vµ chØ m lµ béi cđa BCNN(a,b) : m  a vµ m b m [a,b] Hai số đợc gọi nguyên tố (a,b) = Tuy nhiên , việc tìm ¦CLN cđa hai sè d¬ng a, b ( a>b) ngêi ta sử dụng thuật toán Euclide nh sau : a = bq ⇒ (a,b) = b a = bq + r ( r ≠ ) ⇒ (a,b) = (b,r) b = rq1 + r1 ( r1 ≠ 0) ⇒ (b,r) = (r,r1) r = r1q2 + r2 (r2 ≠ 0) ⇒ (r,r1) = (r1,r2) ri = ri+1qi+2 (a,b) = (ri,ri+1) 4.1.1.1.2 Một số định lí quan träng thêng dïng (ca,cb) = c(a,b)  a b  ( a, b ) ( víi c =¦C(a,b) )  ; = c c c a.c  b vµ (a,b) = ⇒ c  b c  a vµ c  b vµ (a,b) = c a.b * Định lí vỊ phÐp chia cã d Víi mäi cỈp sè tù nhiªn a,b ( b ≠ 0) bao giê cịng tồn cặp số q , r cho : a = bq + r ( víi r < b ) * Định lí Trong phân tích số n! thừa số nguyên tè ( n! = 1.2.3 n) th× sè mị thừa số pi : n!= p a p a p a k k  n  n  n  =   +   + +  k  + ( [ x ] kí hiệu phần nguyên số x , ®ã  pi   p i   pi số nguyên lớn không vợt x ) 4.1.1.2 Một số phơng pháp thờng dùng giải toán chia hết * Để chứng minh A(n) ( n ∈ Z ) chia hÕt cho mét sè nguyªn tè p , ta cã thĨ xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia n cho p * §Ĩ chøng minh A(n) chia hÕt cho hợp số m ta thờng phân tích m thừa số nguyên tố Giả sử m = pq , ta tìm cách chứng minh A(n) p A(n)  q suy A(n) A(n) pq (p,q) = Nếu (p,q) ta phân tích A(n) råi chøng minh tÝch ®ã chia hÕt cho m Ta phân tích A(n) thành tổng nhiỊu sè h¹ng cïng chia hÕt cho m * Ta thêng sư dơng kÕt qu¶ sau : NÕu sè d chia a cho b>0 lµ r ( 0< r 1) cho b lµ sè d chia rn cho b ( sè d nµy b»ng rn nÕu rn < b ) 4.1.1.3 Bài tập áp dụng * Qui ớc : Nếu a số lớn sè a ,b ,c, d th× ta kÝ hiƯu max(a,b,c,d) = a NÕu b lµ sè nhá nhÊt số a ,b ,c, d ta kí hiệu min(a,b,c,d) = b Bài số : Tìm số nguyên dơng n nhỏ cho 2n Giải : Xét phép chia số nguyên n cho th× n chØ cã mét ba d¹ng : n = 3k ; n = 3k+1 ; n = 3k+3 ( k ∈ Z) Víi n = 3k ta cã : 2n – = 8k –  Víi n = 3k+1 ta cã : 2n -1 = 2.8k -1=2(8k -1) + kh«ng chia hÕt cho Víi n = 3k+2 ta cã : 2n – 1=4.8k-1= 4(8k -1) + kh«ng chia hÕt cho VËy víi n  2n mà n số nguyên dơng nhỏ nên n = Bài số : Tìm số tự nhiên k lớn nhÊt tho¶ m·n : ( 1994!)1995  1995k Gi¶i : Ta cã : 1995k = (3.5.7.19)k = 3k.5k.7k.19k Ta cần tìm số mũ lớn thừa sè , , ,19 sè (1994!)1995 Ta cã : Sè mị cđa 1994! lµ : 1994  1994  1994    +   + +  37  = 664 + 221 + + = 992 T¬ng tù : Sè mị cđa 1994! lµ : 495 Sè mị cđa 1994! lµ : 329 Sè mị cđa 19 1994! lµ : 109 VËy 1994! cã c¸c thõa sè : 3992 ; 5495 ; 7329 ; 19109 Suy : (1994!)1995 = (3992 5495 7329 19109 M )1995 Víi M tích thừa số không chứa thừa sè nguyªn tè ; ; ; 19 Víi k = 109.1995 th× ( 1994!)1995  1995k Víi k = 109.1995 + th× ( 1994!)1995 kh«ng chia hÕt cho 1995k VËy k = 109.1995 số tự nhiên lớn cần tìm Bài số Tìm GTLN GTNN n để P = (n+5)(n+6) 6n Gi¶i : Ta xÐt trờng hợp : * Với n>0 : Ta phải tìm n ®Ĩ P = (n+5)(n+6) 6n Ta cã : P = (n+5)(n+6) 6n = n2 + 11n + 30 = 12n + ( n2 – n + 30 ) P  6n ⇔ ( n2 – n + 30 )  6n ; n | n2 – n nªn n | 30 , | 30 nªn | n – n = n(n-1) n(n-1) lµ số chẵn tích hai số tự nhiên liªn tiÕp nªn n(n-1)  ⇔ n  n-1 Vậy P 6n n lµ íc cđa 30 vµ lµ béi cđa bội cộng thêm n = {1;2;3;6;10;15;30} Thay giá trị vào P = ( n+5)(n+6) 6n ta có n = {1;3;10;30} (*) thoả mÃn điều kiện toán * Với n< : Đặt m = - n Ta t×m m cho : P = ( -m+5)(-m+6)  -6m Giải nh ta tìm đợc n = { -2;-5;-6;-15} (**) thoả mÃn điều kiện toán Kết hợp (*) (**) ta có n = {1;3;10;30;-2;-5;-6;-15} VËy max n = max (1;3;10;30;-2;-5;-6;-15 ) = 30 n = min(1;3;10;30;-2;-5;-6;-15 ) = -15 Bµi sè Cho A = m+n vµ B = m + n2 m,n số tự nhiên nguyên tố Tìm max (ƯCLN) ( min(BCNN) ) A B Giải : Gọi d = (m+n,m2+n2) ⇒ (m+n)2 d ⇒ (m+n)2 – (m2 + n2) = 2mn  d ⇒ d lµ íc chung cđa m+n vµ 2mn (*) (m,n) = ⇒ (m+n , n) = (m+n,m) = (m+n,mn) = (**) Tõ (*) vµ (**) ⇒  d ⇒ d = hc d = hay d = {1,2} VËy max d = max ( 1,2) = d = (1,2) = 4.1.1.4 Bài tập tự luyện Tìm số nguyên a lớn nhỏ cho 100 < a < 150 ; a chia d a chia d 4.1.2.Đồng d thức phơng trình đồng d 4.1.2.1 Lí thuyết 4.1.2.1.1 Định nghĩa tính chất đồng d thức * Định nghĩa đồng d thức Cho số nguyên dơng m Nếu a hai số nguyên a b có số d chia cho m ( tøc lµ m – n chia hÕt cho m ) ta nói a đồng d víi b modun m vµ ta kÝ hiƯu : a b ( mod m ) Đây đồng d thức với a vế trái , b vế phải Nói riêng , a ( mod m ) nghÜa lµ a chia hÕt cho m Trong trờng hợp b < m a ≡ b ( mod m ) cã nghÜa lµ chia a cho m có d b * Các tÝnh chÊt cđa ®ång d thøc Ta cã : a ≡ a víi ∀ a a ≡ b ( mod m) ⇒ b ≡ a ( mod m) a ≡ b ( mod m) vµ b ≡ c ( mod m) ⇒ a ≡ c ( mod m) NÕu a ≡ b ( mod m) vµ c ≡ d ( mod m) th× a ± c ≡ b ± d ( mod m) ; ac ≡ bd ( mod m) Suy : i) a ≡ b ( mod m) ⇒ a ± c ≡ b ± c ( mod m) ii) a+c ≡ b (mod m ) ⇒ a ≡ b-c ( mod m) iii) a ≡ b ( mod m) ⇒ na ≡ nb ( mod m) iv) a ≡ b ( mod m) ⇒ an ≡ bn ( mod m) a b ≡ (mod m) víi d lµ íc chung cđa a vµ b vµ (d,m) = d d * NÕu a b ( mod m) c>0 ac ≡ bc ( mod mc) a b m NÕu d ớc chung dơng a,b,m ax b ( mod m) ⇒ ≡ ( mod ) d d d * a ≡ b (mod m) ⇒ 4.1.2.1.2 Định nghĩa phơng trình hệ phơng trình đồng d * Định nghĩa phơng trình đồng d bậc ẩn Phơng trình đồng d bậc ẩn đồng d thức có dạng : ax ≡ b ( mod m) víi a kh«ng chia hÕt cho m Trong a,b,m>0 số đà biÕt , x lµ Èn * TÝnh chÊt - Phơng trình đồng d ax b ( mod m) cã nghiÖm nhÊt nÕu (a,m) = ( ta hiểu phơng trình đồng d ax b ( mod m) cã nghiƯm nhÊt nghÜa lµ tÊt nghiệm thuộc lớp số đồng d víi b modun m ) - B»ng c¸c phÐp biÕn ®ỉi cđa dång d thøc bao giê ta đa phơng trình đồng d bậc dạng ax ≡ b ( mod m) víi m>a>0 vµ m>b - Định nghĩa hệ phơng trình đồng d bậc ẩn Hệ phơng trình đồng d bậc ẩn hệ đồng d thøc cã d¹ng : a1 x ≡ b1 (mod m1 ) a x ≡ b (mod m )  2   a n x bn (mod mn ) Bằng cách biến đổi tơng đơng đồng d thức ta qui hệ phơng trình đồng d bậc ẩn phơng trình đồng d bậc ẩn 4.1.2.2 Phơng pháp giải toán cực trị phơng trình ®ång d Tõ lÝ thuyÕt ë trªn , ta biết đa đợc phơng trình ( hệ phơng trình ) đồng d dạng ax b ( mod m) Do vấn đề từ điều kiện đề ta chuyển phơng trình ( hệ phơng trình ) đồng d ẩn , biến đổi tơng đơng phơng trình dạng ax b ( mod m) theo điều kiện toán ta suy GTLN ( GTNN) ẩn cần tìm 4.1.2.3 Bài tập áp dụng Bài số Tìm số nguyên x lớn , nhỏ thoả mÃn : - 10< x ∀ x ) (2) * NÕu a = th× (2) cã nghiƯm x = * Nếu để (2) a có nghiƯm ta cÇn cã ≤ a ≤ 3(a ≠ 1) − (a + 1) a +1 = Với a = a=3 nghiệm (2) : x = 2(a − 1) 2(1 − a ) Víi a = th× x = , víi a=3 th× x = -1 Kết hợp hai trờng hợp ta có : A = ⇔ x = ; maxA = ⇔ x=-1 ∆ ≥ ⇒ (a + 1) − 4(a − 1) ≥ ⇔ (3a − 1)(a − 3) ≤ ⇔ Bµi sè T×m max , cđa B = x −2 3x + x −x Gi¶i : Điều kiện để B có nghĩa x 0; x (*) B nhận giá trị m phơng trình m = x 3x + (1) cã nghiÖm x −x (1) ⇒ (m-1)x2 – (m-3)x – = (2) *NÕu m=1 x = 2,5 *Nếu m để (2) ≠1 cã nghiƯm ta cÇn cã ∆ ≥ ⇒ (m − 3) + 20(m − 1) = m + 14m − 11 ≥ 2 ⇒ m ≤ −7 − 15 hc m ≥ −7 + 15 Víi m = − − 15 th× x= − 15 ; víi m = − + 15 th× x= + 15 2 Kết hợp hai trờng hợp điều kiÖn (*) ta cã : maxB = x = 2,5 ; B = − − 15 x= − 15 4.2.3.3 Bµi tËp tự luyện Tìm max , biểu thøc sau : 4x − 6x + a) C = x2 − 16 x + 41 ; b) D = ; c) E = x − x + 22 (2 x − 1) x ( x + 10) 4.2.4 Phơng pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Cô- si ( Cauchy) 4.2.4.1 Lí thuyết Cho n số không âm : a1 , a2 , a3 , , an ta có : a1 + a + a3 + + a n n ≥ a1 a a3 a n n D¹ng : a1 + a + a3 + + a n ≥ n n a1 a a3 a n D¹ng : D¹ng : ( a1 + a + a3 + + a n n ) ≥ a1 a a3 a n n DÊu xảy a1 = a2 = a3 = = an Từ ta dễ dµng suy : i) NÕu a1 a2 a3 an = A không đổi a1 + a + a3 + + a n n n A : a1 + a + a3 + + a n = nn A a1 = a2 = a3 = = an ii) NÕu a1 + a2 + a3 + + an = B không đổi n a1a a3 a n B : n : max n a1a a3 a n = B a1 = a2 = a3 = = an n 4.2.4.2 Bài tập áp dụng Bài số Cho a.b.c = T×m cđa A = (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2) Giải : Theo BĐT Cô- si ta cã : a + b ≥ ab ≥  2 b + c ≥ bc ≥ dÊu b»ng x¶y a=b=c  2 c + a ≥ ca ≥ Suy A = (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2) ≥ a b c = VËy A = ⇔ a=b=c=1 Bµi sè a, b, c, d > Cho  t×m max a.b.c.d ? 1 1 + a + + b + + c + + d Giải : Từ giả thiết theo BĐT C«-si ta cã : 1 1 b c d bcd ≥ (1 − ) + (1 − ) + (1 − )= + + ≥ 33 (1 + b)(1 + c)(1 + d ) 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d 1+ b 1+ c 1+ d T¬ng tù : acd abd ≥ 33 ≥0 ; ≥ 33 ≥0 1+ b (1 + c)(1 + d )(1 + a ) 1+ c (1 + b)(1 + d )(1 + a ) abc ≥ 33 Nhân vế với vế BĐT ta đợc : 1+ d (1 + a)(1 + b)(1 + c ) 81 ≥ ⇒ abcd ≤ (1 + a )(1 + b)(1 + c)(1 + d ) (1 + a )(1 + b)(1 + c)(1 + d ) 81 VËy maxabcd = 81 a=c=b=d Bµi sè Víi ∀ a>b ≥ , tìm B = a + Giải : Ta cã : B = a + 4 ( a − b) ( a − b)(b + 1) b +1 b +1 = ( a − b) + + + −1 ≥ 2 ( a − b)(b + 1) (a − b)(b + 1) b +1 b +1 −1 = −1 = 2 (a − b)(b + 1) VËy minB = a = 2; b = Bµi sè a ≥  Cho b ≥ T×m max C = ab c − + bc a − + ca b − 2 c ≥  Gi¶i : Ta cã : ab (c − 2) + abc = 2 2 bc bc (a − 3) + abc bc a − = (a − 3)3 ≤ = 2 3 ca ca (b − 4) + abc ca b − = (b − 4)4 ≤ = 4 1 + + Từ BĐT suy : C ≤ 2 c − = c = 1  + + DÊu b»ng a − = ⇔ a = VËy max C = 2 b − = b =   ab c − = ab (c − 2)2 ≤ Bµi sè Cho a,b,c số dơng Tìm cđa D = Gi¶i : a b c + + b+c c+a a+b a b c a+b+c a+b+c a+b+c ) + (1 + ) + (1 + )= + + b+c c+a a+b b+c c+a a+b 1 1   + + ) = [ (b + c ) + ( c + a ) + ( a + b) ]  + + ⇒ 2D + = 2(a + b + c)( ≥9 b+ c c+ a a+b  b + c c + a a + b  3 ( theo C«-si) ⇒ 2D + ≥ ⇒ D ≥ VËy D = a=b=c 2 Ta cã : D + = (1 + 4.2.4.3 bµi tËp tù lun Bµi sè Cho a,b số không âm a.b = Tìm A= (1+a+b)(a+b+ab) Bài số Cho a số thực Tìm cña B = a2 + a2 +1 Bài số Cho a,b số không âm a+b = Tìm max C = 16ab(a-b)2 4.2.5 Phơng pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacôpki(B-C-S) 4.2.5.1 Lí thuyết Cho a1 , a2 , a3 , , an vµ b1,b2,b3, , bn lµ 2n sè thùc tuú ý Khi ta có : Dạng : (a12+a22+a32+ +an2)(b12+b22+b32+ +bn2) ≥ ( a1b1+ a2b2+a3b3+ +anbn)2 (1) 2 n 2 D¹ng : (a1 + a + + a n )(b1 + b2 + + bn ) ≥ a1b1 + a b2 + a n bn (2) DÊu b»ng x¶y ë (1) vµ (2) a a1 a = = = n b1 b2 bn HƯ qu¶ : i) NÕu a1x1+a2x2+ +anxn= C = const th× ( x1 +x + +xn ) = 2 2 C2 a1 + a + + a n ii) NÕu x +x2 + +x = C th× 2 n 2 DÊu b»ng x x1 x = = = n a1 a an max (a1x1+a2x2+ +anxn) = C a1 + a + + a n DÊu b»ng = - C a1 + a 2 + + a n DÊu b»ng 2 x x1 x = = = n ≥ a1 a an (a1x1+a2x2+ +anxn) x x1 x = = = n ≤ a1 a an 4.2.5.2 Bµi tËp vËn dơng Bµi sè Cho xy + yz + xz = T×m A = x4+y4+z4 Gi¶i : Ta cã : 2 1 ( +1 +1 )( x4+y4+z4) ≥ (x2+y2+z2)2 = ( x2+y2+z2)(y2+z2+x2) ≥ 3 16 (xy+yz+xz)2 = 3 16 Suy minA = đạt đợc x=y=z= 3 A= Bµi sè Cho a2 + b2 + c2 = T×m max B = a + 3b + 5c Gi¶i : Ta cã : B = a + 3b + 5c ≤ (11 + + )(a + b + c ) = 35 ;b = ;c = Từ ta đợc minB = 35 a = ± 35 35 35 Bài số Tìm C = (x-2y+1)2 + ( 2x+ay+5)2 Gi¶i : Ta cã : 1 [(-2)2 + 12 ][(x-2y+1)2 + (2x+ay+5)2] ≥ [(-2)(x-2y+1) + 1.(2x+ay+5)]2 5 = [(a+4)y +3 ]2 ≥ nÕu a ≠ - hc ≥ nÕu a =- 5 VËy : nÕu a ≠ - th× C = ; nÕu a = - th× max C = C= Bµi sè 1  + + =1 Cho  a b c T×m D = a2+b2+c2 a, b, c > Gi¶i : Theo B§T B-C-S ta cã : 1  a + b + c ≥ (a + b + c) = (a + b + c)( + + ) ≥ (1 + + ) 3 a b c  VËy minD = (1 + + ) a=b=c=6 2 4.2.5.3 Bµi tËp tù lun Bµi sè a , b >  Cho  T×m A = a + b + a + b + =  a b Bµi sè  x + y = 16  Cho u + v = 25 T×m max (x+y)  xu + yv ≥ 20  Bµi sè Cho x2+4y2 =1 Tìm max x y Bài số Cho 3x-4y=7 T×m cđa 3x2+4y2 Bµi sè Cho 36x2 + 16y2 = Tìm max , y-2x Bài số  xy ≥ Cho  2 x + y = T×m max , cña x + y + y + x 4.3 Cực trị hình học 4.3.1 Phơng pháp tìm cực trị dựa vào mối quan hệ đ ờng vuông góc - đờng xiên- hình chiếu ; bất đẳng thức tam giác ; khoảng cách hai đ ờng thẳng song song 4.3.1.1 Lí thuyết - Từ điểm M đờng thẳng d , kẻ MH d H , kẻ MA với A thuộc d A không trùng H , kẻ MB với B thuộc d B không trùng H Ta lu«n cã : MH ≤ MA dÊu b»ng H ≡ A MA ≥ MB dÊu b»ng vµ chØ HA = HB - Với điểm A,B,C mặt phẳng ta lu«n cã : M AB + AC ≥ BC (1) AC + BC ≥ AB (2) AB + BC ≥ AC (3) DÊu b»ng ë ( 1) A thuộc đoạn BC Dấu ( 2) C thuộc đoạn BA d Dấu ( 3) B thuộc đoạn AC - NÕu a || b vµ A ∈ a , B , C ∈ b vµ B H A AB ⊥ a,b th× ta cã : A a AB ≤ AC DÊu b»ng B ≡ C 4.3.1.2 Bµi tËp vËn dơng b Bµi sè B C Cho hình vuông ABCD Trong hình vuông nội tiếp , hÃy xác định hình vuông có diện tích nhỏ Giải : Gọi EFGH hình vuông nội tiếp hình vuông ABCD Tâm hai hình vuông phải trùng O A E K B EG.FH 2OE.2OE = = 2OE 2 Nh vËy S nhá nhÊt ⇔ OE nhỏ Gọi K trung điểm AB , ta cã : OE ≥ OK = const OE = OK ⇔ E ≡ K Ta cã : S GH = VËy SEFGH nhá nhÊt c¸c đỉnh E,F,G,H trung điểm cạnh hình vuông ABCD F H O Bài số D G C Cho tam gi¸c ABC Qua A dựng đờng thẳng d cắt cạnh BC tam giác cho tổng khoảng cách từ B C đến d có giá trị nhỏ Giải : A Gọi D giao điểm d cạnh BC VÏ BM , CN vu«ng gãc víi d M Với vị trí D cạnh BC ta cã : SBAD + S CAD = S ABC ⇒ 1 AD.BM + AD.CN = S 2 C ⇒ BM + CN = S Do ®ã BM + CN B D AD 2S ⇔ ⇔ AD max N AD Gi¶ sư AC AB hai đờng xiên AD , AC đờng xiên AD có hình chiếu nhỏ ®ã AD ≤ AC kh«ng ®ỉi AD = AC ⇔ D C Vậy đờng thẳng d phải dựng đờng thẳng chứa cạnh lớn hai cạnh AB,AC Bài số Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Ax By tiếp tuyến nửa đờng tròn ( A , B lần lợt tiếp điểm ) M điểm nửa đờng tròn ( M khác A B ) , qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đờng tròn cắt Ax C , cắt By D Tìm vị trí M để diện tích tứ giác ABCD nhỏ Giải : Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã : x y Ax ⊥ AB , By ⊥ AB ⇒ ABCD hình thang vuông D CA = CM ; DB = DM C' D' Do M điểm nằm C D nên : C AC + BD = CM + DM = CD S ACBD = ( AC + BD) AB CD AB = 2 A B Do AC || BD vµ AB lµ khoảng cách hai tia Ax || By nên CD ≥ AB ⇒ SABCD = AB ⇔ CD = ABOkhi M điểm cung AB nửa đờng tròn xét Bài số Cho hình thang có diện tích a ( đvdt) Hỏi độ dài đờng chéo Giải : A B Đặt AC = m , BD = n Gäi M , N lần lợt hình chiếu A , B lên CD Đặt MC = x , ND = y Không tính tổng quát ta giả sử : m ≥ n ⇒ x y D M N C Ta cã : 2x ≥ x+ y = MC + ND = CD + MN Tø gi¸c ABNM hình chữ nhật nên : AB = MN 2x ≥ x + y = CD + AB Xét tam giác vuông AMC có : AC = AM2 + MC2 hay m2 = h2 + x2 ≥ 2xh h = AM = BN Mặt kh¸c 2xh ≥ ( DC + AB ).h = 2SABCD = 2a ⇒ m2 ≥ 2a m ≥ 2a Vậy đờng chéo hình thang có độ dài nhỏ nhÊt lµ 2a AM = MC Bµi sè Cho tam gi¸c ABC cã gãc A = 900 , ®êng cao AH LÊy E thuéc AB , lÊy F thuéc AC cho gãc EHF = 90 Hỏi E , F phải có vị trí nh để độ dài EF có giá trị nhỏ ? A Giải : Gọi I trung ®iĨm EF Ta cã : IA = IH = EF ( tÝnh chÊt ®êng E I F trung tuyến tam giác vuông ) EF = IE + IF = IA = IA + IM ≥ AH = const B H C Suy EF nhá nhÊt EF = AH , ®ã A,I,H thẳng hàng hay I trung điểm AH AEHF hình chữ nhật Bài số M Cho gãc nhän xOy §iĨm A n»m góc Xác định B Ox C Oy cho x chu vi tam giác ABC nhỏ ? Giải : Gọi M điểm đối xứng A qua Ox , N điểm đối xøng cña A qua Oy B A Suy MN cố định O Chu vi tam giác ABC = AB + BC + AC Ta cã : NB + BC ≥ NC C ⇒ NB + BC + CM ≥ NC + CM ≥ MN y Dấu B giao điểm MN với Ox , C giao điểm MN với Oy , chu vi tam giác ABC = MN N 4.3.1.3 Bµi tËp tù lun Bµi sè Cho tam gi¸c ABC cã gãc A = 90 , AH BC Điểm M chuyển động trªn BC VÏ MD ⊥ AB , ME ⊥ AC Xác định M để DE nhỏ Bài số Cho hai điểm A B nửa mặt phẳng bờ đờng thẳng d cho trớc a) Tìm d điểm C cho chu vi ∆ ABC nhá nhÊt b) T×m d hai điểm M,N có khoảng cách MN = a cho độ dài đờng gấp khúc AMNB nhỏ 4.3.2 Phơng pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức đờng tròn 4.3.2.1 Lí thuyết i) Trong đờng tròn , đờng kính dây lớn ii) Trong đờng tròn hai đờng tròn : - Dây lớn gần tâm - Dây lớn trơng cung lớn 4.3.2.2 Bµi tËp vËn dơng Bµi sè Cho ABC cân A Đờng tròn (O) tiÕp xóc víi AB t¹i B, tiÕp xóc AC t¹i C Qua A vÏ c¸t tuyÕn ADE bÊt kú Vẽ dây CK song song DE Xác định vị trí cát tuyến ADE để tam giác AKE có diƯn tÝch lín nhÊt Gi¶i : A Gäi R bán kính (O) Kẻ EH AC Ta cã : CK// DE nªn SAKE = SACE = 1 AC.EH => SAKE ≤ AC.EC ≤ AC.2R = AC.R 2 Do ®ã maxSAKE = AC.R EC đờng M D B C O kính (O) Cát tuyến ADE vị trí AMN hình bên K AKE có diện tích lớn Đó tam giác ANP N Bài số P E Trong ABC cã BC = a , gãc BAC = α , tam giác có : a) Diện tích lớn nhÊt ? b) Chu vi D Gi¶i : A XÐt c¸c tam gi¸c ABC cã BC = a , gãc BAC = Khi A nằm cung chøa gãc α dùng trªn BC a) Gäi D điểm cung chứa góc nói Kẻ AH , DG BC Hiển nhiên AH ≤DG B H G ®ã SABC ≤SGBC VËy tam giác nói trên, tam giác cân A cã diƯn tÝch lín nhÊt b) Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy D cho AD = AC Khi góc BDC = di chuyển cung chøa gãc α dùng trªn BC ( cã giíi h¹n bëi tiÕp tun t¹i B ) Chu vi tam gi¸c ABC lín nhÊt ⇔ BA + AC max ⇔ BD max α Lu ý r»ng , t©m cung chứa góc điểm M cđa cung chøa gãc α Gäi giao ®iĨm BM víi cung chøa gãc D H C α nªn D N K M A B C α lµ N ( khác B) E BD BN ( đờng kính dây lớn ) Do BA + AC ≤BM + MC VËy ∆ MBC c©n M tam giác có chu vi lớn tam giác ABC thoả đề Bài số Cho (O) cắt (I) A,B Một cát tuyến d qua A cắt (O) M (I) N Xác định vị trí cát tuyÕn d cho ∆ BMN cã chu vi lín ? Giải : Gọi C điểm đối xứng B qua O , M D D điểm đối xứng B qua I dễ dàng A chứng minh đợc C , A , D thẳng hàng N Ta có : BMN đồng dạng BCD ( g-g) C BM BN MN BM + BN + MN = = = = BC BD CD BC + BD + CD Chuvi∆BMN Chuvi∆BCD Do BM ≤BC ( đờng kính dây lớn ) BM nên ≤ ⇒ Chu vi ∆ BMN ≤Chu vi ∆ BCD BC nªn : O I B VËy chu vi tam gi¸c BMN lín nhÊt b»ng chu vi tam giác BCD BC+BD+CD =const BM đờng kính (O) BD đờng kính (I) 4.3.2.3 Bµi tËp tù lun Bµi sè Cho (O,R) điểm A nằm (O) Xác định vị trí cát tuyến d qua A để ®é dµi MN lín nhÊt , nhá nhÊt ( M lµ giao cđa d víi (O) ) Bµi sè Cho ABC vuông A Tìm vị trí M thuộc (O) đờng tròn ngoại tiếp ABC cho gọi D,E hình chiếu M AB , AC DE có ®é dµi lín nhÊt Bµi sè Cho nưa (O) đờng kính AB , dây CD Tìm M thuộc cung CD cho tia MA, MB cắt dây CD I,K IK có độ dài lớn nhÊt Kết đạt được: Sau thời gian áp dụng nhận thấy hiệu mà sang kiến mang lại tương đối cao học sinh giáo viên Chi phí cho việc áp dung sáng kiến không lớn chủ yếu đầu tư thời gian nghiên cứu đổi phương pháp giảng dạy tiết có liên quan đến kiến thức cực trị Hiệu lớn giúp học sinh có thêm phương pháp tư phân tích giải tốn cực trị, em khơng hiểu mà cịn biết vận dụng vào thực tiễn sống Điều kiện để sáng kiến nhân rộng Giáo viên trực tiếp giảng dạy phải người yêu nghề, có tâm huyết với nghề Từ đầu tư thời gian, công sức nghiên cứu để đổi tiết dạy Ban giám hiệu nhà trường quan tâm đầu tư sở vật chất trang thiết bị thường xuyên tạo điều kiện để giáo viên học sinh có thời gian nghiên cứu học tập môn Sở giáo dục phòng giáo dục tổ chức dạy thực nghiệm nhiều trường KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ kết luận Đề tài Dạy học sinh THCS phơng pháp giải số dạng toán cực trị theo cá nhân khó , nghiên cứu tổng hợp dạng toán đà vấn đề nhng dạy học sinh nắm đợc dạng toán giải chúng vấn đề không đơn giản Trong trình nghiên cứu đề tài đà giúp nhiều kiến thức kinh nghiệm dạy toán cực trị Sau áp dụng đề tài trờng THCS Thành Nhân Ninh Giang - Hải Dơng , đà giúp em học sinh hiểu đợc chất vấn đề dạng toán cực trị em đà bớc đầu biết giải dạng toán cực trị đơn giản quan trọng đà gây đợc hứng thú học toán toán cực trị cho em , rèn luyện đợc t logic sáng tạo cho em trình tự học Thống kê kết qu¶ tØ lƯ häc sinh thu nhËn kiÕn thøc cùc trị qua năm nh sau: Gii Khỏ Trung bỡnh % % % 2010-2011 15,3 32,9 51,8 2011-2012 22,4 42,9 34,7 2012-2013 2013-2014 27,1 33,4 50,0 54,3 22,9 12,3 §Ĩ hoàn thành đề tài , việc tích cực tham khảo tài liệu , lấy ý kiến đóng góp đồng nghiệp , thực nghiệm s phạm Khuyn nghị Để mở rộng phạm vi áp dụng sáng kiến nâng cao hiệu việc dạy- học kiến thức cực trị mơn tốn góp phần tạo thêm hứng thú nâng cao chất lượng dạy - học mơn tốn , tơi có số đề xuất khuyến nghị sau: - Tuyên truyền làm thay đổi nhận thức nhà giáo dục, giáo viên, phụ huynh học sinh học sinh vai trò tầm quan trọng việc tự học tự nghiên cứu mơn Tốn - Tổ chức đợt hội thảo trao đổi kinh nghiêm phương pháp dạy – học môn cấp trường, cấp khu - Có hình thức, biện pháp khuyến khích giáo viên tích cực đổi phương pháp giảng dạy môn - Tổ chức bồi dưỡng thường xuyên chuyên môn, nghiệp vụ cho đội ngũ giáo viên giảng dạy môn - Tăng cường tài liệu tham khảo môn toán cho thư viện, trang thiết bị dạy - học PHỤ LỤC Giáo án minh hoạ : Đại số 9: Tiết 70 ÔN TẬP CUỐI NĂM I.Mục tiêu: Kiến thức : - Gióp häc sinh hiĨu kh¸i niệm giá trị lớn ( max) , giá trị nhỏ (min) Học sinh nắm đợc số phơng pháp tìm cực trị đại số qua dạng K nng : - Rèn đợc kỹ tìm cực trị từ phát triển t logic , sáng tạo v trỡnh by Thỏi độ: - Thấy hứng thú giải toán cực trị, phát huy tính tự học Chăm học tập có tinh thần đồn kết giúp đỡ ban học tập Phát triển lực: - Năng lực hợp tác, sáng tạo, sử dụng ngôn ngữ, giải vấn đề, lực liên kết vấn đề II Chuẩn bị Máy chiếu ( MC ) , giấy , bút , phấn màu III Tiến trình lên lớp ổn định tổ chức Tổ chức hoạt động dạy học Hoạt ®éng KiÓm tra (5') GV : gäi hai HS lên bảng đồng thời HS1 : Tìm GTNN cđa biĨu thøc : A = x2 -2x + HS2 : T×m GTLN cđa biĨu thøc : B = -x2 + 4x + GV đặt vấn đề : ta đà gặp nhiều toán tìm giá trị lín nhÊt , nhá nhÊt tõ c¸c líp díi nhng cha đợc phân dạng phơng pháp cụ thể Giờ hôm nghiên cứu toán cực trị , số phơng pháp tìm cực trị đại số HS1 : Ta có : A = x2 -2x + = = (x-1)2 + => A ≥ ∀ x Do ®ã : minA = ⇔ x-1 = ⇔ x=1 HS2 : Ta cã : B = -x2 + 4x + = – ( x2 -4x + 4) = – ( x-2)2 ≤ ∀ x Do ®ã : max B = ⇔ x-2 = x= Hoạt động Tìm hiểu khái niệm cực trị đại số (3') GV đa lên MC khái niệm max , yêu cầu HS đọc HS nghe giảng , ghi Khái niệm cực trị đại số : Nếu biểu thức A biến x xác định tập D thoả m·n :  A ≥ m(m ∈ IR ) th× m gọi giá trị nhỏ x E : A = m nhÊt cña A , viÕt minA=m Hc :  A ≤ M ( M ∈ IR) M gọi giá trị x E : A = M lín nhÊt cđa A , viết maxA = M Một toán tìm max , cđa mét biĨu thøc gäi chung lµ bµi toán cực trị Sau GV lấy ví dụ qua HS1, HS2 Hoạt động Phơng pháp tìm cùc trÞ theo tÝnh chÊt cđa l thõa bËc hai GV : qua HS1, HS2 , để tìm cực trị biểu thức ta thờng HS : Ta biến đổi biểu thức để đợc làm ? biểu thức không âm cộng với GV đa lên MC ví dụ , giảng cho HS mét sè hc mét sè trõ mét biĨu thøc hiểu phơng pháp không âm Ví dụ : T×m cđa A = x - x +2 từ tìm B = x x + x x +2 Giải : Điều kiÖn : x ≥ * Ta cã : A = x - x +2= HS nghe GV giảng cách lµm , ghi bµi 7 ( x − )2 + ≥ ∀ x VËy A = 4 1 ⇔ x− =0⇔ x= 4 −1 * B = 2x − x + = + ,B x − x +1 x x +2 đạt đạt ⇔ -x −x+ x −2 + x -2 đạt max mà A = 10 x= nªn minB = ⇔ x = ĐK : x C= Bài làm HS : x +1 x −2 = 1+ x −2 C max ⇔ max ⇔ x − , mµ x −2 x − ≥ -2 ∀ x ≥ nªn x − =- ⇔ x = ⇒ max C = + = − ⇔ x=0 −2 GV đa lên MC đề : Tìm max C = x +1 x GV yêu cầu HS lµm theo nhãm , sau thu bµi nhóm chữa cho HS MC Hoạt động Phơng pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Cô-si GV gới thiệu BĐT Cô-si cho hai , HS nghe giảng , ghi ba số không âm : * Cho a,b ta cã : a + b ≥ ab dÊu b»ng x¶y ⇔ a =b Suy , nÕu a+b không đổi Giải : max ab = (a + b) , ab không ĐK : x đổi Ta có : P = x + 27 x − + 36 36 (a+b) = ab = = x +3+ * Tơng tự cho ba số không âm x +3 x +3 x +3 a,b,c ta cã : 36 a + b + c ≥ 33 abc GV ®a vÝ dụ lên MC giảng cho HS = + ( x + 3) + x +3 áp dụng BĐT Cô-si ta có : Ví dụ : Tìm P = x + 27 x +3 GV ®a ®Ị lên MC cho học làm theo nhóm , khoảng phút thu 2,3 nhóm chữa MC 36 ( x + 3) + x +3 ≥ ( x + 3) 36 DÊu = ( x + 3) = x +3 36 x +3 = 2.6 = 12 ⇔ x=9 ⇒ P ≥ -6+12=6 ⇒ minP = ⇔ x = KÕt qu¶ : Bằng cách giải tơng tự đợc x +1 minM = -2+ ⇔ x = ( 1) Hoạt động Phơng pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacopxki GV giới thiệu BĐT Bunhiacopxki ( BĐT B-C-S) MC : Giải : * TH cho hai cỈp sè (a1 , a2), (b1,b2) bất áp dụng BĐT B-C-S ta có : kì ta có : 12 Tơng tự cho a1 , a2 , a3 , , an vµ ≤ (3 x − y ) = ( 3 x + (− )( y )) b1,b2,b3, , bn 2n số thực tuỳ ý Khi ta cã : (a12+a22+a32+ +an2) ≤ [( ) + (− ) ][( x) + ( y ) ] (b12+b22+b32+ +bn2) ≥ ( a1b1+ =8(3x2 + 5y2) ⇒ E = (3x2 + 5y2) a2b2+a3b3+ +anbn) T×m cđa M = x+2 DÊu b»ng x¶y a a1 a = = = n b1 b2 bn GV gi¶ng vÝ dơ trªn MC : VÝ dơ : Cho 3x-5y = T×m cđa E = 3x2 + 5y2 ≥ ⇒ minE =   3x − y x=  =    ⇔ 3 x − y = y = −1   Ho¹t động Phơng pháp tìm cực trị dựa vào miền xác định hàm số GV đa ví dụ lên MC giảng Ví dụ : x Giải : Tìm max , N = x +2 N nhận giá trị a phải tån t¹i x cho : a= x −1 ⇔ ax2 –x+2a+1 = x2 + ⇒ ∆ = – 4a(2a+1) = -8a2- 4a +1 ∆ ≥ ⇔ -8a - 4a +1 ≥ ⇔ GV đa tập cho HS làm cá nhân : T×m max , cđa : Q = x 2x + (Nếu không đủ thời gian cho HS làm nhà ) −1+ ≤a≤ 4 ⇒ N = −1− −2 ⇔x= = 2a + maxN = − + ⇔ x = = 2a −1 Ho¹t ®éng Cđng cè GV : Qua bµi häc hôm , ta thấy : muốn tìm cực trị biểu thức đại số ta sử dụng phơng pháp nh dùng tính chất luỹ thừa bậc hai , dùng miền xác định hàm số , dùng BĐT Cô-si , dùng BĐT B-C-S Ngoài tìm hiểu phơng pháp khác sau Lu ý sử dụng BĐT Cô-si biểu thức số phải không âm , toán có đặc trng riêng nên giải cần áp dụng linh hoạt , phù hợp Hoạt động Hớng dẫn nhà Bài sè T×m max , cđa : A = x −1 x +5 ,B= x + 17 x +2 Bài số Cho 7x-5y = Tìm max , cña C = 7x2 + 5y2 Tài liệu tham khảo: Tên tài liệu Chủ biên ( Tác giả ) Bất đẳng thức toán cực trị Trần Đức Huyên 30 đề thi học sinh giỏi toán cấp II Số học Bà chúa toán học Nguyễn Vũ Thanh Hoàng Chúng Nâng cao phát triển toán T1, Vũ Hữu Bình Nâng cao phát triển toán T1, Vũ Hữu Bình 255 toán hình học chọn lọc Vũ Dơng Thuỵ Kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức Trần Phơng Các phơng pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Bất đẳng thức chọn lọc cấp II Phan Huy Khải Ngun Vị Thanh