Phương pháp giải nhanh cực trị bậc 4

PP GIẢI NHANH BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG y  ax  bx  c,  a   Hoàng Trọng Tấn 0909520755 Page : Nhóm Tốn Trắc Nghiệm PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG y  ax4  bx2  c ,  a   A)Kiến thức sở Bài Toán : cho hàm số y  ax4  bx2  c ,có đồ thị (C ) tìm điều kiện a,b,c cho (C ) có điểm cực trị A,B,C điểm A thuôc trục tung Lời giải : Đạo hàm : y '  4ax3  2bx x  Ta có : y '   4ax3  2bx    b x   2a Để (C ) có điểm cực trị  b  , đặt :   b2  4ac 2a  xA   yA   Lúc : y '       b x   yB  yc  4a  B ,C 2a   b   b   Biểu thức tọa độ điểm cực trị : A(0, c) , B   ;  , B    ;  2a 4a  2a 4a    Độ dài đoạn AB,BC,CA : AB  AC  b4 b b BC   16a 2a 2a B)Các kết đáng nhớ Gọi  góc đỉnh tam giác cân ABC ta có : cos   b3  8a (1) b3  8a b b Gọi S diện tích tam giác cân ABC ta có : S  (2) a 2a Gọi (Cr ) đường tròn tâm I , bán kính R ngoại tiếp tam giác cân ABC phương trình (Cr ) :   2   x  y   c    y  c     (3) b 4a    b 4a  c      (b  8a)  c   I  0;    R       c     ab  b 8a   b 8a   b 4a  2 C)Áp dụng : Bài : cho hàm số y  x4  2mx2  có đồ thị (C ) , tìm m để (C ) có điểm cực trị tạo thành tam giác Giải : Ta có a  1, b  2m, c  Điều kiện có cực trị b 2m 0 0m0 2a Để tam giác góc đỉnh cân 60 độ , áp dụng kết (1) ta có :  8m (2m)3  8.1 b3  8a    m  ( nhận )  cos60  cos   3 (  m )  8  8m b  8a Bài : cho hàm số y  x4  2mx2  có đồ thị (C ) , tìm m để (C ) có điểm cực trị tạo thành tam giác vng Giải : Ta có a  1, b  2m, c  Điều kiện có cực trị b 2m 0 0m0 2a Để tam giác vng góc đỉnh cân 90 độ , áp dụng kết (1) ta có :  8m (2m)3  8.1 b3  8a 0  m  ( nhận)  cos90  cos   3 (2m)  8.1 8  8m b  8a Bài : cho hàm số y  x4  2mx2  có đồ thị (C ) , tìm m để (C ) có điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 120 độ Giải : Ta có a  1, b  2m, c  Điều kiện có cực trị b 2m 0 0m0 2a Để tam giác có góc 120 độ góc đỉnh cân 120 độ , áp dụng kết (1) ta có : 1  8m (2m)3  8.1 b3  8a    m  ( nhận)  cos120  cos   3 (2m)  8.1 8  8m b  8a Bài : cho hàm số y  x4  2mx2  có đồ thị (C ) , tìm m để (C ) có điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 135 độ Giải : Ta có a  1, b  2m, c  Điều kiện có cực trị b 2m 0 0m0 2a Để tam giác có góc 135 độ góc đỉnh cân 120 độ , áp dụng kết (1) ta có : cos   (2m)3  8.1 b3  8a   8m  cos1 35     m   2 ( nhận) 3 (2m)  8.1 8  8m b  8a Bài 5: cho hàm số y  x4  2mx2  có đồ thị (C ) , tìm m để (C ) có điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 30 độ Giải : Ta có a  1, b  2m, c  Điều kiện có cực trị b 2m 0 0m0 2a Để tam giác có góc 30 độ ta có trường hợp : TH1 : Góc đỉnh cân 30 độ , áp dụng kết (1) ta có : cos   (2m)3  8.1 b3  8a  8m  cos30     m   ( nhận) 3 (2m)  8.1 8  8m b  8a TH2 : Góc đáy 30 độ góc đỉnh cân 120 độ, áp dụng kết (1) ta có : (2m)3  8.1 1  8m b3  8a  cos120     m  ( nhận) cos   3 (2m)  8.1 8  8m b  8a Bài : cho hàm số y  x4  2mx2  có đồ thị (C ) , tìm m để (C ) có điểm cực trị tạo thành tam giác cân có cạnh bên gấp lần cạnh đáy Giải : Ta có a  1, b  2m, c  Điều kiện có cực trị b 2m 0 0m0 2a Theo giả thuyết AB=2BC ,áp dụng đinh lý hàm cos cho góc đỉnh cân ta có :  AB  2 BC  AB2  AC  ABAC.cos     AB  AB cos  cos    áp dụng kết (1) ta có : cos    8m (2m)3  8.1 b3  8a    m  15 ( nhận)   3 (2m)  8.1 8  8m b  8a Bài : cho hàm số y  x4  2mx2  có đồ thị (C ) , tìm m để (C ) có điểm cực trị tạo thành tam giác cân có độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh với cạnh đáy Giải : Ta có a  1, b  2m, c  Điều kiện có cực trị b 2m 0   m  , Gọi M trung điểm BC 2a 2  BC  2 AB     BC  AB  BC   Theo giả thuyết AM  BC hay áp dụng đinh lý hàm cos cho góc đỉnh cân ta có : BC  AB2  AC  ABAC.cos  AB  AB  AB cos  cos  5 Áp dụng kết (1) ta có : cos    8m (2m)3  8.1 b3  8a    m  (nhận)   3 (2m)  8.1 8  8m b  8a Bài : cho hàm số y  x4  2mx2  có đồ thị (C ) , tìm m để (C ) có điểm cực trị tạo thành tam giác có độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp Giải : Ta có a  1, b  2m, c  Điều kiện có cực trị b 2m 0   m  0, 2a Gọi M trung điểm BC, R bán kính đường tròn ngoại tiếp Theo giả thuyết R=1 1 BC AB  BC Ta có : diện tích tam giác ABC S  AM BC  S  2 Lại có: áp dụng đinh lý hàm cos cho góc đỉnh cân ta có : BC  AB2  AC  ABAC.cos  AB  AB  AB cos  cos  5 Áp dụng kết (1) ta có : cos   (2m)3  8.1  8m b3  8a      m  (nhận) 3 (2m)  8.1 8  8m b  8a Bài : cho hàm số y  x4  2mx2  có đồ thị (C ) , tìm m để (C ) có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích Giải : Ta có a  1, b  2m, c  Điều kiện có cực trị b 2m 0 0m0 2a Áp dụng kết thứ ta có : b b (2m) 2m S 1  m  (nhận) a 2a 2.1 Bài 10 : cho hàm số y  x4  2mx2  có đồ thị (C ) , tìm m để (C ) có điểm cực trị tạo thành tam giác có độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp Giải : Ta có a  1, b  2m, c  Điều kiện có cực trị b 2m 0 0m0 2a Gọi M trung điểm BC, R bán kính đường trịn ngoại tiếp, theo giả thuyết R  Áp dụng kết thứ ta có :  m   m  1 (b3  8a) ((2 m)3  8.1) 1   R  1  m   m  1  ab (2m)   1   m   Bài 11 : Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2(1  m2 )x2  m  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn Giải : Ta có a  1, b  2(1  m2 ), c  m  Điều kiện có cực trị : (2(1  m2 ))    m2   1  m  2.1 Áp dụng kết thứ ta có : b b (2(1  m2 )) 2(1  m2 ) S S S 2.1 a 2a   m2    m  (nhận) Bài 12 : Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  2m  m4 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nội tiếp đường trịn có bán kính nhỏ Giải : Ta có a  1, b  2m, c  2m  m4 Điều kiện có cực trị : (2m) 0m0 2.1 Áp dụng kết thứ ta có : (b3  8a) ((2m)3  8.1) R R ab (2m) R m3  m m2 1 m2 1      3  2m 2m 4m 4m 4m 4m Dấu "  " xảy 1 m2  m3   m  (nhận)  4m 2 Bài 13 : Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2m2 x2  m4  có ba điểm cực trị A, B, C cho bốn điểm A, B, C, O nằm đường trịn ? Giải : Ta có a  1, b  2m2 , c  m4  Điều kiện có cực trị : (2m2 )   m2   m  2.1 Đặt :   b2  4ac  (2m2 )2  4(m4  1)  4 Áp dụng kết thứ , ta có phương trình đường trịn qua A,B,C :   2   (Cr ) : x  y   c    y  c     b 4a    b 4a  4  2    2 O(0 ;0) thuộc (Cr ) :  c      (m4  1)      m   m  1 b a  m 4.1     Bài 14 : Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  có ba điểm cực trị A, B, C tạo 3 9 thành tam giác có đường trịn ngoại tiếp qua điểm A  ;  5 5 Giải : Ta có a  1, b  2m, c  Điều kiện có cực trị : (2m) 0m0 2.1 Đặt :   b2  4ac  (2m)2  4.1.2  4m2  Áp dụng kết thứ , ta có phương trình đường trịn qua A,B,C :   2   (Cr ) : x  y   c    y  c     b 4a    b 4a   18  4m   4m   3 9   A  ;  thuộc (Cr ) :        0  2m 4.1  4.1  5 5  2m        (m2  2)     (m2  2)    m  m      m   m  1       (m  2)    m  2m     m    m  1   m     1   m   Nhắc nhở : em không nên lạm dụng phải học trình bày tự luận cho đàng hoàng đụng mà áp dụng áp dụng, thân ko tán thành việc giải tốn Mớ thủ thuật mang tính hỗ trợ em trình học tập em phải nghĩ Hãy nhớ việc học phải ghi chép phải quan sát phải nhìn ngắm ko phải đè cơng thức mà làm Ví dụ : Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2(m  1)x2  m có ba điểm cực trị A, B, C cho độ dài OA  BC với A cực trị thuộc trục tung ? (ĐH B – 2011) Quá rõ ràng em bế tắc khơng cơng thức áp dụng cho này, buột lịng em có cách biến đổi tính tốn cho : Giải : điều kiện có cực trị : b   m    m  1 , 2a Đặt :   b2  4ac  4(m  1)2  4m  4m2  4m    b   b   Tọa độ điểm cực trị : A(0, c) , B   ;  , C    ;  2a 4a  2a 4a     A(0,m) , B     m  1; m2  m  , C  m  1; m2  m  Vậy OA  BC  m2  4(m  1)  m   2 Cuối , ta bỏ qua bước tìm điều kiện có cực trị cách giải m lại D) Bài Tập Áp Dụng BT BT Tìm tham số m để đồ thị hàm số sau có ba điểm cực trị ? a) y  2x4  8mx3  (8m  1)x2  2015 b) y  mx4  (m2  9)x2  10 c) y  (m  2)x4  2mx2  m  d) y  x4  2(m  1)x2  e) y  x4  (m2  4)x2  f) y  x4  (m  1)x2  Tìm tham số m để hàm số thỏa yêu cầu theo sau toán: a) Cho hàm số y  mx4  (m  1)x2   2m Tìm m để đồ thị hàm số có cực trị ? b) Cho hàm số y  x4  4mx3  3(m  1)x2 Tìm m để hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại ? c) Cho hàm số y  (m  1)x4  3mx2  Tìm m để hàm số có cực đại mà khơng có cực tiểu ? d) Cho hàm số y  (m  1)x4  2mx2  Tìm m để hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại ? BT Cho hàm số: y  x4  2mx2  m  1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m  2) Tìm tham số m để hàm số có điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có trực tâm gốc tọa độ O Đáp số: m  Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Cao Bá Quát – Quảng Nam BT Cho hàm số: y  x4  2(m2  1)x2  1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m  2) Tìm tham số m để hàm số có điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn Đáp số: m  Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Mạc Đỉnh Chi – Tp Hồ Chí Minh BT Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2(m  1)x2  m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông ? BT (Đại học khối A – 2012) ĐS: m  Tìm tham số m để đồ thị thàm số y  x4  2m2 x2  có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân ? ĐS: m  1 BT Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  (3m  1)x2  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân cho độ dài cạnh đáy lần độ dài cạnh bên ? ĐS: m    3 BT Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2(m  2)x2  m2  5m  có cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác ? BT ĐS: m   3 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx  2m  m4 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị tạo thành tam giác ? ĐS: m  3 BT 10 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  4(m  1)x2  2m  có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị tạo thành tam giác ? ĐS: m   3/2 BT 11 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  m2  m có ba điểm cực trị ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 120o ? ĐS: m    BT 12 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  m2  m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 30 o ? m , m   3 BT 13 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  2m  m4 có cực đại, cực tiểu mà cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích ? BT 14 ĐS: m   Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  2x4  m2 x2  m2  có ba điểm cực trị A, B, C cho bốn điểm O, A, B, C bốn đỉnh hình thoi ? BT 16 ĐS: m  Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4 – 8m2 x2  có ba cực trị A, B, C, đồng thời ba điểm tạo thành tam giác có diện tích 64 ? BT 15 ĐS: ĐS: m   Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  (m  1)x2  2m  có điểm cực đại A, hai điểm  5 cực tiểu B C cho tứ giác ABIC hình thoi với I  0;   ?ĐS: m   2  BT 17 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2m2 x2  m4  có ba điểm cực trị A, B, C cho bốn điểm A, B, C, O nằm đường tròn ? ĐS: m  1 BT 18 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  m có ba điểm cực trị A, B, C, cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính ? 1 m1  m  BT 19 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành 3 9 tam giác có đường trịn ngoại tiếp qua điểm A  ;  ? 5 5 BT 20 1  ĐS: m  2;   Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  có ba điểm cực trị A, B, C cho ba điểm nằm trục tọa độ ? BT 22 ĐS: m  1, m  Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp lớn ? BT 21 ĐS: ĐS: m  ; 0  2 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2(m  1)x2  m có ba điểm cực trị A, B, C cho độ dài OA  BC với A cực trị thuộc trục tung ? (ĐH B – 2011) ĐS: m   2 BT 23 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2x2  m  có ba điểm cực trị A, B, C, đồng thời O trọng tâm tam giác ABC ? ĐS: m    10 BT 24 BT 25 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2(m2  m  1)x2  m  có khoảng cách hai điểm cực tiểu đồ thị nhỏ ? ĐS: m   Chứng minh với m đồ thị hàm số y  x4  2(m2  1)x2  ln có ba điểm cực trị Tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại đến đường thẳng qua hai điểm cực tiểu đồ thị hàm số cho nhỏ ? ĐS: m  BT 26 BT 27 1 Cho đồ thị hàm số y  x4  x2  1, (C ) đường thẳng d qua điểm cực đại (C) có hệ số góc m Tìm m để tổng khoảng cách từ hai điểm cực tiểu đồ thị (C) đến đường thẳng d đạt giá trị nhỏ ? ĐS: m    Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2(1  m2 )x2  m  có ba điểm cực trị tạo thành ĐS: m  tam giác có diện tích lớn ? BT 28 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x  2mx  2m  m có ba điểm cực trị tạo thành 1 tam giác nội tiếp đường trịn có bán kính nhỏ ? ĐS: m   BT 29 Tìm tham số m để đồ thị hàm số (Cm ) : y  x4  2(m2  m  1)x  m  có khoảng cách 4 hai điểm cực tiểu ngắn ? BT 30 Xác định tham số m để đồ thị hàm số (Cm ) : y  x4  4(m  1)x2  2m  có ba cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác BT 31 Tìm tham số m để đồ thị hàm số (Cm ) : y  x4  2mx2  m2  m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 120o 11