TOÁN CỰC TRỊ

Dạy học tự chọn toán theo chủ đề "Toán cực trị đại số" cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở trờng THCS Mục lục Mục lục .1 A - Mở đầu 1 1. Lý do chọn sáng kiến 1 2. Mục đích của sáng kiến 3 3. Nhiệm vụ của sáng kiến 3 4. Phạm vi nghiện cứu .3 5. Đối tợng nghiên cứu và phơng pháp tiến hành .4 B - Nội dung 5 I - Phơng pháp chung để giải các bài toán cực trị đại số: .5 1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: .5 2. Các kiến thức thờng dùng: 5 3. Một số phơng pháp giải toán cực trị thờng dùng trong đại số 8 a) Phơng pháp tam thức bậc hai: .8 b) Phơng pháp xét khoảng: .8 c) Phơng pháp miền giá trị của hàm số: 8 d) Phơng pháp sử dụng các bất đẳng thức phụ: 10 4. Những sai lầm thờng gặp khi giải toán cực trị 12 a) Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1: .12 b) Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2: .14 5. Một số chú ý khi tìm cực trị: .16 II. Các dạng toán cực trị đại số thờng gặp: .17 Dạng 1: Biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối .17 Dạng 2: Biểu thức là đa thức .23 Dạng 3: Biểu thức là phân thức một biến .29 Dạng 4: Biểu thức có chứa căn thức .33 C - Thực nghiệm s phạm .38 I. Giáo án thực nghiệm: 38 II. kết quả thực nghiệm: 43 D - Kết luận .46 I. Những vấn đề còn hạn chế: .46 II. Bài học kinh nghiệm: .46 III. Kiến nghị: .46 IV. Kết luận: .47 A - Mở đầu. 1. Lý do chọn sáng kiến 1 Dạy học tự chọn toán theo chủ đề "Toán cực trị đại số" cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở trờng THCS Các bài toán với yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, diện tích lớn nhất, diện tích nhỏ nhất, độ dài đoạn thẳng ngắn nhất gọi chung là các bài toán cực trị. Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng mang một nội dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục t tởng qua môn toán: đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài nhất, v.v trong một bài toán, để dần dần hình thành cho học sinh một thói quen đi tìm một giải pháp tối u cho một công việc nào đó cho cuộc sống sau này. Qua việc nghiên cứu và thực tế giảng dạy toán THCS, tôi nhận thấy khái niệm cực trị cha đợc xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà chỉ hình thành từng bớc cho học sinh qua một số bài tập đơn giản trong SGK. Nhng các bài toán cực trị rất hay gặp trong các kỳ thi, các bài kiểm tra định kỳ hàng năm của học sinh lớp 8, lớp 9. Thực tế hiện nay, học sinh nắm khái niệm cực trị và phơng pháp cơ bản để giải các dạng toán cực trị thờng gặp trong chơng trình học của các em là rất yếu. Ngay cả đối với những học sinh giỏi, khi làm bài tập về cực trị cũng gặp không ít những khó khăn và mắc những sai lầm đáng tiếc trong lập luận hoặc vận dụng các phép biến đổi thiếu chính xác do không nắm vững khái niệm cực trị, phơng pháp, điều kiện của phép biến đổi khi vận dụng. Về phía giáo viện giảng dạy bộ môn toán, thực tế có không ít những giáo viên còn hạn chế trong việc dạy học sinh giải toán cực trị. Một trong những nguyên nhân dẫn đến tình trạng đó là do giáo viên nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến cực trị nhng cha tìm cách phân loại, chỉ ra phơng pháp cơ bản cho từng dạng bài cụ thể, cha tuyển chọn và sắp xếp các dạng toán cực trị theo một trật tự phù hợp với đối tợng học sinh. Đặc biệt từ năm học 2004 - 2005, môn học tự chọn đã chính thức đợc thực hiện giảng dạy cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở các trờng THCS. Đây chính là cơ hội để giáo viên dạy toán có thể giúp học sinh của mình dần dần nắm vững khái niệm cực trị và nhất là nắm đợc một số phơng pháp tìm cực trị cơ bản thờng dùng cho một số dạng toán cực trị cụ thể. Từ đó các em dần bớt cảm giác "sợ" với những bài toán với yêu cầu của đề bài là tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất. Chính vì những lí do trên đây, tôi đã chọn sáng kiến Dạy học tự chọn toán theo chủ đề "Toán cực trị đại số" cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở trờng THCS nhằm tháo gỡ một phần khó khăn cho học sinh khi làm các bài toán cực trị, đồng thời gợi ý 2 Dạy học tự chọn toán theo chủ đề "Toán cực trị đại số" cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở trờng THCS cho giáo viên khi dạy học tự chọn toán cho học sinh lớp 8, lớp 9 một chủ đề có thể thực hiện một cách khả thi tại cơ sở trờng mình công tác. 2. Mục đích của sáng kiến. Đề tài này nhằm giúp cho học sinh lớp 8, lớp 9 dần bớt khó khăn về đ ờng lối, phơng pháp suy luận hạn chế chững sai lầm đáng tiếc khi học toán nói chung và việc giải các bài toán cự trị nói riêng. Qua đó phần nào gây đ ợc hứng thú học tập môn toán cũng nh việc giải các bài toán cực trị có trong chơng trình học tập của các em. Đề tại này cũng nhằm mục đích gợi ý đối với giáo viên dạy học tự chọn toán một chủ đề cần thiết phải dạy cho học sinh lớp 8, lớp 9 trong khi tài liệu dạy học tự chọn chính thống hiện nay cha có. Nh vậy, mục đích chính của sáng kiến vẫn là nhằm góp phần nâng cao chất lợng giáo dục hiện nạy. 3. Nhiệm vụ của sáng kiến. * Đối với giáo viên: - Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị. - Tuyển chọn, phân loại đợc các bài tập cơ bản và nêu lên đợc các phơng pháp chính giải từng dạng bài tập cự trị cụ thể. - Dự đoán đợc các sai sót của học sinh, nêu đợc những điểm cần chú ý khi giải các bài toán cực trị. * Đối với học sinh: - Hiểu đợc khái niệm cực trị và nắm vững các bớc giải của bài toán cực trị. - Nhận dạng đợc từng loại bài toán cực trị, vận dụng sáng tạo các phơng pháp giải toán cực trị vào từng bài cụ thể, từ dễ đến khó. Dần thấy đợc những điểm mà bản thân mình hay sai khi giải toán cực trị và từ đó có ý thức khắc phục những sai lầm đó. - Bớc đầu thấy đợc những tình huống dẫn đến bài toán cực trị, cách xây dựng một bài toán cực trị. Trên cơ sở đó có ý thức vận dụng kiến thức về toán cực trị vào các môn học khác nh vật lý, hoá học , và thấy đ ợc tính ứng dụng của toán cực trị vào đời sống hàng ngày. 4. Phạm vi nghiện cứu. 3 Dạy học tự chọn toán theo chủ đề "Toán cực trị đại số" cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở trờng THCS Do khuôn khổ của một sáng kiến kinh nghiệm, do thực tế khả năng lĩnh hội kiến thức của học sinh lớp 8, lớp 9 ở trờng THCS, mà sáng kiến này chỉ xin đề cập đến một số dạng toán cực trị thờng gặp trong đại số có trong chơng trình toán THCS có thể dạy học tự chọn theo chủ đề bám sát hoặc nâng cao đối với học sinh lớp 8, lớp 9 ở các trờng THCS. 5. Đối tợng nghiên cứu và phơng pháp tiến hành. Trong sáng kiến này, tôi áp dụng mô hình một nhóm học sinh tiền trắc nghiệm và hậu trắc nghiệm, đối chiếu so sánh và rút ra kết luận. Đối tợng khảo sát và thực nghiệm là 58 học sinh lớp 9 đang ở học kỳ I tham gia học tự chọn toán 4 Dạy học tự chọn toán theo chủ đề "Toán cực trị đại số" cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở trờng THCS B - Nội dung. I - Phơng pháp chung để giải các bài toán cực trị đại số: Do tính chất s phạm, để nhằm mục đích học sinh hiểu đợc khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (cực trị), giáo viên khi dạy nên đa khái niệm thật đơn giản tránh lý thuyết kinh viện. Chính vì thế ta có thể cho học sinh tìm hiểu khái niệm cực trị thông qua cực trị của hàm một biến nh dới đây. 1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền (D). a) M đợc gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền (D) nếu nh hai điều kiện sau đồng thời đợc thoả mãn: = M)f(x cho sao (D)x 2) (D)x vớiMf(x) 1) 00 Kí hiệu: M = max f(x), x (D). b) m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền (D) nếu nh hai điều kiện sau đồng thời đợc thoả mãn: = m m )f(x cho sao (D)x 2) (D)x vớif(x) 1) 00 Kí hiệu: m = min f(x), x (D). Nh vậy, theo trên để giải một bài toán cực trị đại số thông thờng ta tiến hành theo hai bớc sau: Bớc 1: Chỉ rõ f(x) m (hoặc f(x) M), x (D) (với m, M là hắng số). Bớc 2: Chỉ ra đợc x 0 (D) để sao cho f(x) = m (hoặc f(x) = M). 2. Các kiến thức thờng dùng: 1) x 2 0, tổng quát [f(x)] 2k 0 với x; k Z. Từ đó suy ra: [f(x)] 2k + m m hoặc M - [f(x)] 2k M. 2) a/ x 0 b/ x + y x + y ; dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu. c/ x - y x- y ; dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu. 5 Dạy học tự chọn toán theo chủ đề "Toán cực trị đại số" cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở trờng THCS Chứng minh a) Dựa vào định nghĩa của giá trị tuyệt đối. b) Vì hai vế của bất đẳng thức phải chứng minh đều không âm, bình phơng hai vế ta đợc bất đẳng thức tơng đơng: ( ) ( ) 22 yxyx ++ x 2 + 2xy + y 2 x 2 + 2x.y + y 2 xy x.y Bất đẳng thức cuối cùng đúng, vậy bất đẳng thức phải chứng minh đúng. Dấu "=" xảy ra x, y cùng dấu. c) x - y x- y - Nếux< y thì vế phải là một số âm; vế trái là một số không âm, bất đẳng thức đúng. - Nếu x y thì cả hai vế đều không âm, bình phơng hai vế ta đợc bất đẳng thức tơng đơng: ( ) ( ) 22 yxyx x 2 - 2xy + y 2 x 2 - 2x.y + y 2 xy x.y. Bất đẳng thức cuối cùng đúng, vậy bất đẳng thức phải chứng minh đúng. Dấu "=" xảy ra x, y cùng dấu. 3) Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) có các dạng sau: a) (a + b) 2 4ab, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. b) , 2 a b b a + với a.b > 0; dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. c) ab2ba + , (a 0; b 0), dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. Các hệ quả: d) Với a 0, b 0 và a + b = k (không đổi). Tích (a.b) lớn nhất khi và chỉ khi a = b. Hai số không âm có tổng không đổi thì tích sẽ lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. e) Với a 0, b 0 và a.b = k (không đổi). Tổng (a + b) nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b. Hai số không âm có tích không đổi thì tổng sẽ nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất. 6 Dạy học tự chọn toán theo chủ đề "Toán cực trị đại số" cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở trờng THCS Chứng minh a) Từ (a - b) 2 0: Bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b, ta suy ra: a 2 - 2ab + b 2 > 0 a 2 + b 2 > 2ab (1) a 2 + 2ab + b 2 > 4ab (a + b) 2 4ab (2) b) Nếu ab > 0, chia cả hai vế của (1) cho ab ta đợc: 2 ab ba 22 + , 2 a b b a + Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. c) Từ ( ) 0ba 2 , với a 0, b 0. ab2ba + (3) d) Nếu a + b = k, từ (2) suy ra: k 2 4ab 4 k ab 2 Vậy max(ab) = 4 k 2 , dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. e) Nếu a.b = k từ (3) k2ba + . Vậy min(a + b) = k2 , dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. 4) Bất đẳng thức Bunhiacốpski: (ax + by) 2 (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) hoặc ( )( ) 2222 bxbabyax +++ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ay = bx. Chứng minh Xét hiệu: (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) - (ax + by) 2 = a 2 x 2 + a 2 y 2 + b 2 x 2 + b 2 y 2 - a 2 x 2 - 2abxy - b 2 y 2 = (ay - bx) 2 0 (đpcm) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ay = bx. * Tơng tự ta có bất đẳng thức Bunhiacốpski áp dụng cho 3 số: (ax + by + cz) 2 (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ), Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi z c y b x a == . 5) Bất đẳng thức Mincôpxki: ( ) ( ) 22 2222 ybxayxba ++++++ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ay = bx. 7 Dạy học tự chọn toán theo chủ đề "Toán cực trị đại số" cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở trờng THCS L u ý: Khi cần sử dụng đến các bất đẳng thức Bunhiacốpski và Mincôpxki ta phải chứng minh rồi mới vận dụng. 3. Một số phơng pháp giải toán cực trị thờng dùng trong đại số. a) Phơng pháp tam thức bậc hai: Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) 2 2 1x 1xx D + ++ = Lời giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 1x 1 1x 1 1 1x 11x1x 1x 1xx D + + + = + +++ = + ++ = Đặt t 1x 1 = + , khi đó D có dạng: D = t 2 - t + 1 = 4 3 4 3 2 1 t 2 + với mọi t. 1.x 2 1 1x 1 0 2 1 t 4 3 D 2 == + = = Vậy giá trị nhỏ nhất của D bằng 4 3 , đạt đợc khi x = 1. b) Phơng pháp xét khoảng: Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = |x - 5| + |x + 2| Lời giải: * Nếu x < - 2, ta có: M = - x + 5 - x - 2 = - 2x + 3 > 4 + 3 = 7. * Nếu - 2 x 5, ta có: M = - x + 5 + x + 2 = 7. * Nếu x > 5, ta có: M = x - 5 + x + 2 = 2x - 3 > 10 - 3 = 7. Vậy trong mọi trờng hợp ta có minM = 7, đạt đợc khi - 2 x 5. Trong ví dụ trên ta có thể giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức: x + y x + y c) Phơng pháp miền giá trị của hàm số: Giả sử ta phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị (D). Gọi y 0 là một giá trị nào đó của f(x) với x (D). Điều này có nghĩa là phơng trình f(x) = y 0 ( với x (D) ) phải có nghiệm. 8 Dạy học tự chọn toán theo chủ đề "Toán cực trị đại số" cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở trờng THCS Sau khi giải phơng trình, điều kiện có nghiệm thờng dẫn đến bất đẳng thức: m y 0 M. Từ đó suy ra: min f(x) = m với x (D); max f(x) = M với x (D). Cũng có trờng hợp ta chỉ tìm đợc giá trị nhỏ nhất mà không có giá trị lớn nhất, hoặc ngợc lại. Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số: a) y = 7x 2 - 4x + 1 b) y = - 6x 2 + 5x - 2. Lời giải: a) Hàm số xác định với x R. Giả sử y 0 là một giá trị nào đó của y suy ra: y 0 = 7x 2 - 4x + 1 Do đó phơng trình (biến x): 7x 2 - 4x + 1 - y 0 = 0 phải có nghiệm. ' = 4 - 7(1 - y 0 ) = 7y 0 - 3 0 y 0 7 3 . Vậy min y = 7 3 , đạt đợc khi và chỉ khi x = 7 2 (nghiệm kép vì lúc đó ' = 0). b) Làm tơng tự câu a) ta có max y = 24 23 , đạt đợc khi và chỉ khi x = 12 5 . Ví dụ 2: Cho ( ) 1x 1xx2 A 2 2 + ++ = Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A. Lời giải: Vì x 2 + 1 > 0 với x nên A xác định với x. Phơng trình: A(x 2 + 1) = 2(x 2 + x + 1) (A - 2)x 2 - 2x + (A - 2) = 0 (*) Phơng trình có nghiệm khi ' = 1 - (A - 2) 2 0 1 A 3. 1) Khi A = 1, từ (*) suy ra - x 2 - 2x - 1 = 0 (x + 1) 2 = 0 x = - 1. 2) Khi A = 3, từ (*) suy ra x 2 - 2x + 1 = 0 (x - 1) 2 = 0 x = 1. Vậy min A = 1 khi và chỉ khi x = - 1; max A = 3 khi và chỉ khi x = 1. Chú ý: ở ví dụ 2 trên ta có thể giải bài toán theo cách khác. 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1x 1x 1 1x 12xx1x 1x 1xx2 A 2 2 2 22 2 2 + + += + ++++ = + ++ = vì ( ) 0 1x 1x 2 2 + + . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = - 1. Vậy min A = 1 khi và chỉ khi x = - 1. 9 Dạy học tự chọn toán theo chủ đề "Toán cực trị đại số" cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở trờng THCS 2) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 3 1 1213 1x 1xx2 A 2 2 2 22 2 2 + = + ++ = + ++ = x x x xxx vì ( ) 0 1 1 2 2 + x x . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 1. Vậy max A = 3 khi và chỉ khi x = 1. d) Phơng pháp sử dụng các bất đẳng thức phụ: Nội dung của phơng pháp này là vận dụng các bất đẳng thức đã chỉ ra ở mục các kiến thức thờng dùng để chỉ ra giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Giả sử cho một hàm số f(x) có miền xác định (D). Ta phải chứng minh: * f(x) M hoặc f(x) m * Chỉ ra trờng hợp x = x 0 (D) sao cho bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) A = 3 - (2x - 1) 2 b) B = 4x - x 2 + 2 c) 94xx 2 C 2 + = d) 3x 215x D 2 2 + + = Lời giải: a) (2x - 1) 2 0 với x, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 2 1 x = . - (2x - 1) 2 0 3 - (2x - 1) 2 3. Vậy max A = 3 khi và chỉ khi 2 1 x = . b) B = 4x - x 2 + 2 = 6 - (x 2 - 4x + 4) = 6 - (x - 2) 2 6. Vậy max B = 6 khi và chỉ khi x = 2. c) x 2 - 4x + 9 = (x - 2) 2 + 5 5, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 2. Vì mẫu luôn luôn dơng nên phân thức đã cho luôn có nghĩa, tử là hằng số dơng nên phân thức sẽ lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất, do đó: max C = 5 2 khi và chỉ khi x = 2. d) 3x 6 5 3x 6155x 3x 215x D 22 2 2 2 + += + ++ = + + = Ta có: x 2 + 3 3 2 3 6 3x 6 2 = + . Vậy max D = 5 + 2 = 7 khi và chỉ khi x = 0. Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của : a) x8xE += b) F = |x - 3| + |x - 5| Lời giải: áp dụng bất đẳng thức |x| + |y| |x + y|, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x.y 0. a) 88x8xE =++= xx , khi và chỉ khi x(8 - x) 0 10 [...]... max A = 4 khi và chỉ khi x = - 1 4 Những sai lầm thờng gặp khi giải toán cực trị a) Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 12 Dạy học tự chọn toán theo chủ đề "Toán cực trị đại số" cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở trờng THCS A= 1 x 6x + 17 2 Lời giải sai: Phân thức A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất Ta có: x2 - 6x + 17 = (x - 3)2 + 8 ... = 2 + 5 Vậy min P = - 16 khi và chỉ khi x = 2 5 hoặc x = 2 + 5 b) Chú ý 2: Khi tìm cực trị của biểu thức nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi biểu thức khác đạt cực trị (xét biểu thức phụ) A lớn nhất (A > 0) 1 A nhỏ nhất A lớn nhất (A > 0) A2 lớn nhất Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của B= x 4 +1 (x +1 nhỏ nhất; B nhỏ nhất 1 B Lời giải: Ta thấy x4 + 1 >... 1 1 +1 = 2 B min B = 2 khi và chỉ khi x = 1 II Các dạng toán cực trị đại số thờng gặp: Dạng 1: Biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Các phơng pháp thờng dùng để giải các bài toán dạng này gồm: * Chia khoảng, xét trong từng khoảng để khử dấu giá trị tuyệt đối So sánh các giá trị trong tất cả các trờng hợp để tìm ra giá rtị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất * Sử dụng các bất đẳng thức phụ: + |A| + |B|... thức M và N (số dấu giá trị tuyệt đối, cách làm ) qua đó thấy đ ợc u thế của phơng pháp sử dụng bất đẳng thức phụ |A| + |B| |A + B| - Đến đây giáo viên có thể khái quát bài toán qua ví dụ 1 và ví dụ 2 đó là: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức |f(x) + a| + |f(x) + b| 18 Dạy học tự chọn toán theo chủ đề "Toán cực trị đại số" cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở trờng THCS Nhng để đi đến bài toán tổng quát, giáo... bình: 21 Dạy học tự chọn toán theo chủ đề "Toán cực trị đại số" cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở trờng THCS Trớc khi cho học sinh vận dụng bất đẳng thức |A| A giáo viên nên cho học sinh sắp thứ tự các giá trị tuyệt đối theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần về nghiệm của các nhị thức trong các dấu giá trị tuyệt đối Tiếp đó cho học sinh xác định số biểu thức nằm trong bao nhiêu dấu giá trị tuyệt đối cần đổi dấu... viên có thể dẫn học sinh đi đến bài toán tổng quát của ví dụ 4, ví dụ 5 là: Bài toán tổng quát 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: |x - a1| + |x - a2| + |x - a3| + + |x - a2m + 1| trong đó: a1, a2, a3, , a2m + 1 cho trớc và a1 < a2 < a3 < < a2m + 1 Sự kết hợp của bài toán tổng quát 1 và bài toán tổng quát 2 cho ta lời giải của bài toán tổng quát dới đây: Bài toán tổng quát: Cho n số a1 < a2 0 x nên A xác định với mọi x Cách 1: ( ) ( ) 4x + 3 4 x 2 + 1 4x 2 4x +... ra khi và chỉ khi am x am + 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức |x - a1| + |x - a2| + |x - a3| + + |x - a2m - 1| + |x - a2m| là (am + 1 + am + 2 + + a2m) - (a1 + a2 + + am) khi am x am + 1 Lời bình: Bài toán trên là bài toán tổng quát của các bài toán ở ví dụ 1, 2, 3, nhng cha là bài toán tổng quát nhất Vì nếu trong biểu thức có một số lẻ lần dấu giá trị tuyệt đối thì làm nh thế nào ? Đến đây,... x = 10 - 3x 7 Vậy trong mọi trờng hợp ta có min M = 5 khi x = 3 20 Dạy học tự chọn toán theo chủ đề "Toán cực trị đại số" cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở trờng THCS Rõ ràng với cách chia khoảng nh trên, lời giải sẽ trở nên dài khi số dấu giá trị tuyệt đối nhiều và việc đánh giá các bất đẳng thức kép để xác định miền giá trị của M học sinh cũng thờng lúng túng Nhng với cách giải sử dụng bất đẳng thức |A| . bài toán cực trị. * Đối với học sinh: - Hiểu đợc khái niệm cực trị và nắm vững các bớc giải của bài toán cực trị. - Nhận dạng đợc từng loại bài toán cực trị, . tình huống dẫn đến bài toán cực trị, cách xây dựng một bài toán cực trị. Trên cơ sở đó có ý thức vận dụng kiến thức về toán cực trị vào các môn học khác