đạo hàm 11 (hay)

1 Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, Giới hạn, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, dãy số, hàm số, nguyên lý Cantor, nguyên lý Cauchy, giới hạn trên, giới hạn dưới, vô cùng bé, vô cùng lớn, hàm số hợp, hàm số ngược. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 2 Giới hạn của dãy số và hàm số 3 2.1.1 Định nghĩa dãy số 3 2.1.2 Các tính chất của dãy hội tụ 5 2.1.3 Giới hạn vô hạn 8 2.2 Tiêu chuẩn hội tụ 9 2.2.1 Các định lý 9 2.2.2 Số e 10 2.2.3 Nguyên lý Cantor về dãy các đoạn thẳng lồng nhau và thắt lại 11 2.2.4 Sự hội tụ của dãy bị chặn 12 2.2.5 Nguyên lý Cauchy về sự hội tụ của một dãy số 13 2.2.6 Giới hạn trên và giới hạn dưới 14 2.3 Khái niệm về hàm số một biến số 16 Chương 2. Giới hạn của dãy số và hàm số Lê Văn Trực 2 2.3.1 Định nghĩa 16 2.3.2 Đồ thị của hàm số 16 2.3.3 Hàm số hợp 18 2.3.4 Hàm số ngược 18 2.3.5 Các hàm lượng giác ngược 20 2.3.6 Các hàm số hypebol 22 2.3.7 Các hàm hypebol ngược 23 2.4 Giới hạn của hàm số 25 2.4.1 Lân cận của một điểm 25 2.4.2 Các định nghĩa giới hạn 26 2.4.3 Giới hạn một phía 29 2.4.4 Giới hạn vô cùng 30 2.4.5 Các tính chất của giới hạn 31 2.4.6 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số 31 2.4.7 Vô cùng bé. Vô cùng lớn 32 2.4.8 Các giới hạn đáng nhớ 35 2.5 Bài tập chương 2 46 3 Chương 2 Giới hạn của dãy số và hàm số 2.1 Giới hạn của dãy số 2.1.1 Định nghĩa dãy số Cho *  ={1,2,3,…} là tập hợp các số tự nhiên. Một ánh xạ f: *  →  được gọi là một dãy số thực. Nếu đặt x n = f(n) thì ta có thể biểu diễn dãy số dưới dạng: 123 ,,, ,, n xxx x (2.1.1) Phần tử x n được gọi là số hạng thứ n của dãy số. Để cho gọn ta sẽ ký hiệu dãy số bằng {x n }. Chỉ số n trong số hạng x n chỉ vị trí của số hạng này trong dãy (2.1.1). Trước hết ta hãy nêu ra một vài ví dụ về dãy: 12 3 4 11111 : 1, , , , , , 234 ⎧⎫ == = = = ⎨⎬ ⎩⎭ n xxxx x nn (2.1.3) 12 12 : , , , , 123 1 ⎧⎫ == = ⎨⎬ ++ ⎩⎭ n nn xx x nn (2.1.4) 123 21 2 11 1 1 1 1 , : , 1, , , , , 22 1 2 4 2 2 1 − ⎧⎫ === = = ⎨⎬ −− ⎩⎭ nn xxx x x nn n n (2.1.5) Ta thấy rằng các số hạng của dãy (2.1.3) và dãy (2.1.5) gần 0 tuỳ ý khi n tăng, các số hạng của dãy (2.1.4) gần 1 tuỳ ý khi n tăng. Ta nói rằng dãy (2.1.3) và dãy (2.1.5) có giới hạn 0, còn dãy (2.1.4) có giới hạn 1. Bây giờ ta đưa ra định nghĩa chính xác về giới hạn của dãy. Định nghĩa 1: Ta nói rằng số a là giới hạn của dãy {x n } nếu đối với mọi số dương ε bé tuỳ ý đều tìm được một số ∈  * p sao cho ∀> ∈ * ,npn ta đều có: |x n − a|< ε , tức là a− ε < x n < a+ ε . (2.1.6) Nếu a là giới hạn của dãy {x n } thì ta viết: →∞ =→→∞lim hay khi nn n xa x a n . (2.1.7) 4 Ta chú ý rằng số p ở trên nói chung phụ thuộc vào việc chọn ε . Để nhấn mạnh điều đó đôi khi thay cho p ta sẽ viết p ε . Khoảng mở (a− ε , a+ ε ) có tâm tại điểm a được gọi là lân cận của điểm a. Như vậy, để a là giới hạn của dãy {x n } thì với lân cận bé bất kỳ của điểm a tất cả các phần tử x n của dãy bắt đầu từ một chỉ số nào đó cần phải rơi vào trong lân cận đó (tức là ngoài lân cận đó chỉ có thể có một số hữu hạn các phần tử x n ). Hình 2.1.1 Nếu dãy (2.1.1) có giới hạn, ta nói rằng nó hội tụ, nếu không có giới hạn được gọi là phân kỳ. Ví dụ 1 Hãy chứng minh dãy ⎧⎫ ⎨⎬ + ⎩⎭ 1 n n có giới hạn là 1. Ta có: −= + 1 | 1| 1 n x n . Với mọi ε cho trước 1 1n ε < + 11 11⇔+>⇔>−nn εε . Nếu ta lấy 1 11 ε ⎡⎤ =−+ ⎢⎥ ⎣⎦ p ε (phần nguyên của ( 1 1 ε − )) thì np ε ∀ > ta có: |x n − 1|< ε . Do đó lim 1. 1 →∞ = + n n n Ví dụ 2 Hãy chỉ ra rằng dãy: {( 1) } : 1,1, 1, ,−−− n (2.1.8) không có giới hạn. Giả sử rằng dãy có giới hạn là a. Khi đó với ε =1, tồn tại số p sao cho với n>p ta có |x n – a|< ε =1. Ta hãy chọn n lớn hơn p, khi đó n+1>p, cho nên |x n+1 – a|<1. Từ đó ta suy ra với n>p |x n – x n+1 |= |(x n − a)+ ( a −x n+1 )| ≤ | x n − a|+| x n+1 − a| n < 1+1 = 2 điều này mâu thuẫn với tính chất của các số hạng của dãy (2.1.8) là: | x n – x n+1 |= 2 ∀∈ * n . 5 2.1.2 Các tính chất của dãy hội tụ a) Tính duy nhất Định lý 2.1.1 Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất. Chứng minh: Giả sử dãy: (2.1.1) có hai giới hạn khác nhau a và b với a< b Ta lấy số ε = − > 1 ()0 2 ba . Bởi vì, a là giới hạn của dãy (2.1.1), ta tìm được số p 1 sao cho với n> p 1 ta có: |x n – a|< ε tức là a – ε < x n < a+ ε (2.1.9) nhưng b cũng là giới hạn của dãy (2.1.1), nên với số ε nói trên, ta tìm được p 2 sao cho với n>p 2 ta có: |x n – b|< ε tức là b – ε < x n < b+ ε (2.1.10) Nếu lấy n > max(p 1 , p 2 ) thì b – ε < x n < a+ ε ⇒ b – ε < a+ ε ⇒ b–a < 2 ε , điều này mâu thuẫn với giả thiết b – a = 2 ε . Định lý 2.1.2 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn. Chứng minh: Giả sử lim n n x a →∞ = . Theo định nghĩa với ε =1, ta tìm được một số tự nhiên p sao cho với mọi số tự nhiên n ≥ p, ta có: n − x a < 1. Do n − x a ≤ n − x a nên n x < a + 1 Gọi k = max {|x 1 |,|x 2 |,|x 3 |,…,|x n |,|a|+1}. Khi đó|x n | ≤ k ∀ n=1,2,3,…, tức là dãy {x n } bị chặn. Ta chú ý rằng dãy bị chặn không nhất thiết phải hội tụ. Ví dụ: Dãy có số hạng tổng quát x n = (–1) n là dãy bị chặn nhưng không hội tụ vì: 1 khi 2 ; 1 khi 2 1 ;→=→∞→−=+→∞ nn xnkx nk Tuy nhiên |x n |=1, ∀ n. b) Dãy con Định nghĩa 2 Giả sử { n k } là dãy tăng các chỉ số, tức là 123 kkk < << Khi đó dãy với các số hạng 123 ,,, kkk xxx (2.1.12) 6 được gọi là dãy con của dãy (2.1.1). Hiển nhiên dãy con của dãy (2.1.12) cũng là dãy con của dãy (2.1.1). Ta chú ý rằng n k ≥ n ∀ n ∈  * . (2.1.13) Thật vậy k 1 ≥ 1, cho nên k 2 >1 và do đó k 2 ≥ 2, bởi vì k 2 là số tự nhiên. Một cách tổng quát giả sử ta đã chứng minh được n k ≥ n, ta nhận được 1n kn + > và do đó + ≥+ 1 1 n kn. Các ví dụ về dãy con là: = == 2468 1 2 , , , , ,( 2, 4, , 2 ) n x xxx k k k n (2.1.14) == =− 1357 1 2 ,,,, ( 1, 3, , 2 1) n xxxx k k k n (2.1.15) == = 2 14916 1 2 , , , , ( 1, 4, , ) n x xxx k k k n (2.1.16) = 1 3 5 7 11 13 17 ,,,, , , , ( , nnn x xxxx x x x pplà số nguyên tố) (2.1.17) Định lý 2.1.3 Mọi dãy con của một dãy hội tụ là một dãy hội tụ và có cùng giới hạn. Chứng minh: Giả sử dãy (2.1.1) có cùng giới hạn a và { n k x } là một dãy con của dãy (2.1.1). Ta hãy chứng minh dãy { n k x } cũng có giới hạn là a. Đặt y n = n k x . Giả sử cho trước ε >0 vì lim , →∞ = n n x a nên tồn tại số p sao cho với n>p ta có || − < n xa ε . Mặt khác với n>p thì k n >p (vì k n ≥ n) và do đó ||| | − =−< n nk yax a ε Cho nên lim →∞ = n n ya, điều phải chứng minh. c) Các phép toán về giới hạn Định lí 2.1.4 Cho hai dãy hội tụ →∞ = lim , n n x a →∞ = lim n n y b Khi đó: (i) →∞ + =+lim( ) nn n x yab (2.1.18) (ii) →∞ =lim( ) n n cx ca; →∞ +=+lim( ) n n cx ca với c là hằng số (2.1.19) (iii) →∞ =lim( ) nn n x yab. (2.1.20) (iv) →∞ 1 lim( ) n n y = 1 b với n y ≠ 0, b ≠ 0. (2.1.21) (v) →∞ =lim( ) n n n x a yb với n y ≠ 0, b ≠ 0. (2.1.22) 7 Chứng minh: (i) Vì , nn x ay b→→ nếu với ε >0 ta tìm được p 1 và p 2 sao cho: khi n>p 1 thì |x n – a|< 2 ε , khi n>p 2 thì |y n −b|< 2 ε . Gọi p = max(p 1 , p 2 ) thì khi n>p ta có: |( ) ( )| | | | | nn n n xy ab xa yb ε +−+ ≤ −+−<. Từ đây suy ra điều phải chứng minh. (ii) Chứng minh tương tự như trên (iii) Ta có đẳng thức: ()()()()−= − −+ −+ − nn n n n n x yabxaybaybbxa. Vì ,→→ nn x ay b, nên với ε > 0 cho trước, tìm được p 1 , p 2 sao cho: khi n>p 1 thì |x n − a|< ε , khi n>p 2 thì |y n −b|< ε . Gọi p =max(p 1 ,p 2 ) thì khi n>p ta có: ||||.||.,−<+ + nn xy ab a b ε εε từ đó lim( ) 0. →∞ − = nn n xy ab (iv) Do →yb n , nên ta có thể chọn m sao cho khi n>m thì | − n y b |< 1 || 2 b . Ngoài ra do ||y n | −|b|| ≤ | − n y b |< 1 || 2 b , suy ra − 1 || 2 b <|y n | −|b|< 1 || 2 b Từ bất đẳng thức trên suy ra khi n >m thì |y n | > 1 || 2 b . (2.1.23) Mặt khác, cũng do → n yb nên với ε >0 cho trước tìm được p >m sao cho khi n > p ta có | − n yb|< 2 1 || 2 b ε (2.1.24) Do vậy khi n>p ta có: 2 11 2 || || − −= < −< n n nn yb yb yb by b ε , điều này chứng tỏ rằng 11 khi →→∞ n n yb . (v) Kết luận này là hệ quả của (iii) và iv d) Sự bảo toàn thứ tự qua giới hạn trong bất đẳng thức Định lý 2.1.5 Giả sử lim lim →∞ →∞ < nn nn x y . Khi đó tìm được một số p sao cho với n>p thì < nn x y . 8 Chứng minh: Đặt lim , lim nn nn x ayb →∞ →∞ == và 1 () 2 ba ε = − . Do đó a+ ε = b − ε . Theo giả thiết tìm được p 1 ,p 2 sao cho khi: 1 >np thì −< <+ n axa ε ε và khi 2 >np thì − <<+ n byb ε ε . Nếu gọi p =max( 12 ,pp) thì bất đẳng thức: ,<+=−< ∀> nn x abynp ε ε được thoả mãn. Do đó: ,<∀> nn x ynp. Chú ý: Trường hợp đặc biệt khi * , =∀∈ n ybn ta có khẳng định sau: Nếu như lim → =< n n x ab ∞ , thì ∃psao cho ∀ >np ta có < n x b . Một cách tương tự nếu lim → => n n yba ∞ , thì ∃ p sao cho ∀ >np ta có .> n ya Định lý 2.1.6 Cho hai dãy số {x n } và {y n }. Khi đó: (i) Nếu →→∞ ≥==≥ ∞ vµ lim , lim th× nn n n nn x yxaybab (ii) Nếu {z n } là một dãy thoả mãn →∞ →∞ →∞ ≤≤∀ = = = vµ lim lim th× lim . nnn n n n nn n x yzn x za ya Chứng minh: (i) Hãy chứng minh khẳng định này bằng phản chứng. Giả sử a < b, khi đó tồn tại số r thoả mãn a< r <b. Mặt khác vì → n x a và a < r nên tồn tại p 1 sao cho khi n > p 1 thì x n < r. Tương tự ta tìm được p 2 sao cho khi n > p 2 thì y n > r. Nếu gọi p =max(p 1 ,p 2 ) thì khi n>p ta có x n <r và y n >r, nghĩa là x n <y n , và điều này mâu thuẫn với giả thiết. (ii) Vì x n a→ nên với 0 ε > cho trước tìm được p 1 sao cho khi n >p 1 thì: | | hay nn xa a xa ε εε −< −< <+. Tương tự, vì n za→ , ta tìm được p 2 sao cho khi n>p 2 ta có − <<+ n aza ε ε . Từ đây, đặt p = max(p 1 ,p 2 ), thì khi n > p ta có − <≤≤<+ nnn axyza ε ε . Suy ra −< <+ n aya ε ε , tức là n y a→ , điều phải chứng minh. 2.1.3 Giới hạn vô hạn Định lý 2.1.7 Cho dãy số {x n }. Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, bao giờ cũng tồn tại một số p sao cho ,np∀> ta có x n >M, thì ta nói rằng dãy {x n } có giới hạn cộng vô cùng và ký hiệu là 9 lim n n x →∞ = +∞ . Nếu với mọi M >0 lớn tuỳ ý, bao giờ cũng tồn tại một số p sao cho ,np∀> ta có x n < – M, thì ta nói rằng dãy {x n } có giới hạn trừ vô cùng và ký hiệu là lim n n x →∞ = −∞ . Cuối cùng ta hãy chú ý rằng một dãy hội tụ khi và chỉ khi nó có giới hạn hữu hạn. Dãy có giới hạn là ±∞ không được xem là dãy hội tụ. 2.2 Tiêu chuẩn hội tụ 2.2.1 Các định lý Định nghĩa 1 Dãy 123 ,,, xxx gọi là tăng nếu (2.2.1) + ≤∀∈ * 1 nn xx n (2.2.2) Nếu + <∀∈ * 1nn xxn (2.2.3) ta nói rằng dãy (2.2.1) là dãy thực sự tăng. Tương tự, nếu như * 1 + ≥∀∈ nn xx n (2.2.4) dãy (2.2.1) là giảm. Nếu như * 1 + >∀∈ nn xx n (2.2.5) thì ta nói rằng dãy (2.2.1) thực sự giảm. Các dãy nói trên gọi chung là các dãy đơn điệu. Tất cả các dãy đơn điệu tạo nên một lớp dãy rất quan trọng. Bây giờ đối với những dãy này ta có hai định lý quan trọng sau. Định lý 2.2.1 Giả sử dãy (2.2.1) là không giảm. Nếu như dãy không bị chặn trên thì lim →∞ =+∞ n n x . (2.2.6) Nếu như dãy bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn 1,2, lim sup →∞ = = nn n n x x . (2.2.7) Chứng minh: (i) Giả sử dãy (2.2.1) không bị chặn trên. Khi đó 0 ∀ >M lớn tuỳ ý, ta đều tìm được một số tự nhiên p sao cho x p >M (tức là ít nhất một số hạng của dãy lớn hơn M). Bởi vì, dãy là không giảm, nên khi n>p, ta có: ≥ np x x và do đó x n >M, cho nên lim →∞ = +∞ n n x . (ii) Giả sử dãy(2.2.1) bị chặn trên, ta đặt 10 1,2, sup n n ax = = . (2.2.8) Theo định nghĩa * ≤∀∈ n xan Mặt khác, 0,∀> ε ta tìm được chẳng hạn phần tử x p của dãy sao cho >− p xa ε . Với n>p ta có ≥ np x x , nên: − <≤<+ n axaa ε ε tức là |x n −a|< ε do đó lim →∞ = n n x a. Hệ quả 1 Nếu dãy (2.2.1) không giảm và bị chặn trên thì * lim →∞ ≤∀∈ kn n xxk. (2.2.9) Tương tự ta có định lý sau Định lý 2.2.2 Giả sử dãy (2.2.1) là không tăng. Nếu nó không bị chặn dưới thì lim →∞ = −∞ n n x . (2.2.10) Nếu nó bị chặn dưới, thì có giới hạn hữu hạn 1,2, lim →∞ = = nn n n x inf x . (2.2.11) Hệ quả 2 Nếu (2.2.1) không tăng và bị chặn dưới thì * lim →∞ ≥∀∈ kn n xxk. (2.2.12) Định lý sau đây suy ra từ hai định lý trên. Định lý 2.2.3 Dãy số đơn điệu là hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn. Ta thấy rằng dãy hội tụ bất kỳ là bị chặn. Tất nhiên, ta cũng biết rằng dãy bị chặn không nhất thiết phải hội tụ. Ví dụ như dãy 1 {( 1) } + − n là bị chặn nhưng không hội tụ. Nhưng dãy bị chặn đơn điệu luôn luôn hội tụ. Ví dụ sau đây có một vai trò cực kỳ quan trọng trong giải tích cũng như trong ứng dụng. 2.2.2 Số e Xét dãy 1 1 ⎧⎫ ⎪⎛ ⎞⎪ =+ ⎨⎬ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎪⎪ ⎩⎭ n n x n . Ta chứng minh rằng lim →∞ n n x tồn tại. Chứng minh: Trước hết xét dãy 1 1 1 + ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠ n n y n . Ta thấy rằng dãy {y n }là dãy giảm, tức là [...]... có đồ thị như nhau 2.3.3 Hàm số hợp Cho X ⊂ , Y ⊂ , ⊂ ngoài ra cho hàm số f : X → Y và hàm số g : Y → hàm số h : X → được định nghĩa bởi h( x ) = g[ f ( x )] với x ∈ X Xét (2.3.2) Hàm số h được gọi là hàm số hợp của hàm số g và hàm số f Người ta thường kí hiệu hàm số hợp là h = gof, cụ thể h( x ) = ( gof )( x ) = g[ f ( x )] ∀x ∈ X Ví dụ 5: Cho X=Y=Z= (2.3.3) và xét các hàm số: f :x sin x, g : x... − π 2 22 Hình 2.3.6 Hình 2.3.7 e) Khái niệm các hàm sơ cấp Trong toán học các hàm số sau đây được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản: hàm số luỹ thừa: x → xα ,α ∈ ; hàm số mũ: x → a x , a > 0, a ≠ 1 ; hàm số logarit: x → log a x ; các hàm số lượng giác: x → sinx, x → cosx, x → tgx, x → cotgx và các hàm số lượng giác ngược Người ta gọi hàm sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép... ar csin x (2.3.10) b) Hàm số y = arccosx Ta thấy y = cosx, 0 ≤ x ≤ π ⇔ x = ar ccos y Hàm số ngược của hàm số y = cosx là hàm số y = arccosx Hàm số y = arccosx có miền xác định là tập [−1,1] và miền giá trị là [0, π ] và là hàm số giảm (xem hình vẽ Hình 2.3.5) Do sin x = cos( π 2 − x ) nên dễ dàng suy ra công thức: ar csin x + ar ccos x = π 2 (2.3 .11) c) Hàm số y = arctgx ⎛ π π⎞ Hàm số y=tgx là một... + x2 − 1 ) Với x ≥ 1 đồ thị của hàm số y=Argchx trùng với đồ thị hàm số y= ln( x + x2 − 1 ) Một cách tương tự, do hàm thx ánh xạ khoảng ( −∞, +∞ ) lên khoảng (−1,1) ta có thể xét hàm ngược của nó y=Argthx Trong khoảng (−1,1) hàm y=Argthx tương đương với hàm y= 1 1+ x ln 2 1− x còn trong khoảng x 1, hàm y=Argcthx tương đương với hàm y= Argcthx= 2.4 Giới hạn của hàm số 2.4.1 Lân cận của một điểm... học (cộng, trừ, nhân, chia), các phép lấy hàm số hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản Trong phần này, ngoài các hàm số sơ cấp nêu trên, ta còn nghiên cứu lớp các hàm số hypebol 2.3.6 Các hàm số hypebol Xét tổ hợp tuyến tính của hàm số mũ 1 x 1 − x a x + a− x ví i a >1 y= a + a = 2 2 2 (2.3.13) Ta thu được đồ thị của hàm số y bằng cách cộng các đồ thị của các hàm 1 −x a 2 y= 1 x a 2 a x + a− x 2 y= 1... đường cong đi qua điểm (0,1) và đối xứng qua trục Oy Hàm y là hàm số chẵn Trong góc toạ độ thứ nhất khi x → +∞ đồ thị của hàm số (2.3.1) dần đến đồ thị của đường 1 x a và trong góc toạ độ thứ hai, khi x → −∞ đồ thị của hàm số (2.3.1) dần đến đồ thị hàm số 2 1 −x a 2 Hàm số y= 1 x 1 − x a x − a− x ví i a > 1 a − a = 2 2 2 là một hàm số lẻ Đồ thị của hàm số này đi qua gốc toạ độ và đối xứng qua gốc 0... ∈ , x∈ ⎜ − , ⎟ ⎝ 2 2⎠ , hàm số ngược của nó là x=arctgy: ⎛ π π⎞ và tập giá trị là khoảng mở ⎜ − , ⎟ và ⎝ 2 2⎠ Do đó hàm số y=arctgx có tập xác định là tập là hàm số tăng d) Hàm số y=arccotgx Hàm số y = arccotgx là một đơn ánh tập X=(0, π ) lên tập Y= ( −∞, +∞ ) nên có hàm ngược là x = arccotgy, y ∈ ( −∞, +∞ ) , x ∈ X=(0, π ) Do đó hàm số y = arccotgx có tập xác định là X= hàm số giảm , và tập giá... →∞ Khái niệm về hàm số một biến số 2.3.1 Định nghĩa Cho X , Y : X ⊂ , Y ⊂ Ánh xạ f : X → Y được gọi là một hàm số một biến số thực, tập X gọi là tập xác định của hàm số Người ta còn kí hiệu tập xác định của hàm số f là Df Tập Y thường được gọi là tập giá trị của hàm số Phần tử x ∈ X được gọi là biến độc lập, hay đối số, còn f ( x ) ∈ Y được gọi là biến phụ thuộc hay hàm số Để chứng tỏ hàm số f cho tương... ứng đó đã xác định một hàm số từ tập Y sang tập X Hàm số này được gọi là hàm số ngựơc của hàm f và được kí hiệu là f −1 : Y → X , nghĩa là f −1 : y → x = f −1 ( y) (2.3.5) Từ định nghĩa hàm số ngược ta có x = f −1 ( y ) ⇔ y = f ( x ) (2.3.6) 19 Cho nên trong cùng một hệ trục toạ độ đồ thị hàm số y = f ( x ) và x = f −1 ( y) trùng nhau Tuy nhiên ta cũng có thể kí hiệu đối số của hàm ngược bằng chữ x,... hàm đơn điệu) i) Giả sử hàm f(x) là hàm tăng trên [ x , x0 ) , khi đó nếu f bị chặn trên trên [ x , x0 ) thì hàm f có giới hạn trái tại x0 ii) Nếu f(x) là hàm giảm trên [ x , x0 ) , khi đó nếu f bị chặn dưới trên [ x , x0 ) thì f có giới hạn trái tại x0 Chứng minh: Giả sử f(x) là hàm tăng trên [ x , x0 ) Gọi L = sup f ⎡ x , x0 ) ⎣ Khi đó ∀ε > 0, ∃x1 ∈ [ x , x0 ) sao cho L − ε < f ( x1 ) ≤ L Do hàm . Dùng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của dãy 22 2 11 1 1 23 =++++ n x n Giả sử m > n, ta có 222 11 1 (1)(2) 11 1 1 1 111 1 112 1 −= + ++ < ++ − +−++ −=−<< +++ − mn xx nn. dãy số và hàm số Lê Văn Trực 2 2.3.1 Định nghĩa 16 2.3.2 Đồ thị của hàm số 16 2.3.3 Hàm số hợp 18 2.3.4 Hàm số ngược 18 2.3.5 Các hàm lượng giác ngược 20 2.3.6 Các hàm số hypebol. đã xác định một hàm số từ tập Y sang tập X. Hàm số này được gọi là hàm số ngựơc của hàm f và được kí hiệu là 1 : − →fYX, nghĩa là 11 :() −− →=fyxfy (2.3.5) Từ định nghĩa hàm số ngược ta