Định nghĩa 3 Cho tập A có điểm tụ là +∞, :f A→ . Ta nói rằng f(x) có giới hạn hữu hạn là L khi x→ +∞ nếu ∀ >ε 0 cho trước, ∃ >K 0 sao cho ∀ ∈x A x, > K , ta có f x( )−L <ε và kí hiệu là
→+∞ =
lim ( )
x f x L.
Nếu ∀M >0 lớn tuỳ ý, tồn tại một số K > 0 sao cho ∀ ∈x A x, > K ta có f(x) > M thì ta nói rằng f có giới hạn là +∞ khi x→ +∞ và kí hiệu là lim ( )
→+∞ = +∞
x
f x .
Nếu ∀M >0 lớn tuỳ ý, tồn tại một số K > 0 sao cho ∀ ∈x A x, > K ta có f(x) < – M thì ta nói rằng f có giới hạn là −∞ khi x→ +∞ và kí hiệu là lim ( )
→+∞ = −∞
x
f x .
Định nghĩa 4Cho tập A có điểm tụ là −∞, :f A→ . Ta nói rằng f(x) có giới hạn hữu hạn là
L khi x→ −∞ nếu ∀ >ε 0 cho trước, ∃ >K 0 sao cho ∀ ∈x A x, < −K , ta có | f x( )−L|<ε
và kí hiệu là
→−∞ =
lim ( )
x f x L .
Nếu ∀M >0 lớn tuỳ ý, tồn tại một số K > 0 sao cho ∀ ∈x A x, < −K ta có f(x) > M thì
→−∞ = +∞
lim ( )
x f x .
Nếu ∀M >0 lớn tuỳ ý cho trước, bao giờ cũng tồn tại một số K > 0 sao cho ,
∀ ∈x A x< −K ta có f(x) < − M thì lim ( )
→−∞ = −∞
x
Ví dụ 7: Chứng minh rằng sin x không có giới hạn khi x→ +∞. Thật vậy, chọn dãy số (2 1) 2 = + n x π n . Rõ ràng rằng khi n→ ∞ thì xn → +∞
Khi đó dãy {sin xn} nhận các giá trị
−1,1, −1,…(−1)n,...
Dãy số này phân kì, từ đó suy ra lim sin
→∞
x x không tồn tại. Tương tự lim cos
→∞
x x không tồn tại.